Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο του δίσκου οριζόντια δύνα µη F, της οποίας το µέτρο είναι F=µmg, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. i) Nα βρείτε πιο κλάσµα του έργου της δύναµης F µετασχηµατίζε ται σε θερµότητα εντός ορισµένου χρόνου. i) Να απαντήσετε στο ίδιο ερώτηµα στην περίπτωση που το µέτρο της δύναµης F είναι F=4µmg. Ποια είναι η κινητική ενέργεια του δίσκου ύστερα από χρόνο t από την εκκίνησή του; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο δίσκος µε την επίδραση της οριζόντιας δύνα µης F κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του οριζόντιου εδάφους. Ο δίσκος δέχε ται ακόµη το βάρος του m g και την δύναµη επαφής από το έδαφος που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N (σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον Σχήµα 1 δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφική συνιστώσα τον θεµελι ώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: F - T = ma TR = I F - T = ma TR = mr / F - T = ma T = mr / (1)
όπου a η επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης και η γωνιακή επιτάχυν ση της περιστροφικής κίνησης του δίσκου. Eπειδή δεχθήκαµε ότι ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει a =ω R, οπότε οι σχέσεις (1) γράφονται: F - T = ma T = ma / (:) F - T T = F - T = T T = F/3 () Όµως η τριβή T είναι στατική, οπότε το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση Τ µmg, η οποία συνδυαζόµενη µε την () δίνει: F/3 µmg F 3µmg (3) H (3) επιβεβαιώνει ότι, στην περίπτωση που το µέτρο της δύναµης F είναι F=µmg η αρχική µας παραδοχή ότι ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση είναι σωστή, που σηµαίνει ότι πράγµατι η τριβή T είναι στατική και το έργο της σε ορισµένο χρόνο είναι µηδενικό και εποµένως δεν αναπτύσσεται θερµότη τα κατά την κίνηση του δίσκου, όλο δε το έργο της F µετασχηµατίζεται σε κινητική ενέργεια του δίσκου. ii) Στην περίπτωση που το µέτρο της δύναµης F είναι F=4µmg η συνθήκη (3) δεν ικανοποιείται, που σηµαίνει ότι µε την έναρξη της κίνησής του ο δίσκος κυλίεται ολισθαίνοντας, δηλαδή εκτελεί επίπεδη κίνηση που παρου σιάζει µεταφορική συνιστώσα στην διάρκεια της οποίας η τριβή T είναι τριβή ολισθήσεως και περιστροφική συνιστώσα που οφείλεται στην ροπή της T περί το κέντρο µάζας του δίσκου. Εφαρµόζοντας και στην περίπτωση αυτή για την µεταφορική συνιστώσα τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφική συνιστώσα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: F - T = ma TR = I 4µmg - µmg = ma µmgr = mr / a = 3µg = µg/r όπου a η νέα επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης και η νέα γωνιακή επιτάχυνση της περιστροφικής κίνησης του δίσκου. Επειδή από τις (4) προκύπτει ότι οι επιταχύνσεις a, είναι σταθερές, τόσο η µεταφορική όσο και η περιστροφική κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµετες και εποµένως για τα µέτρα της ταχύτητας v του κέντρου του δίσκου και της γωνιακής του ταχύτητας ύστερα από χρόνο t από την έναρξη της κίνησής του, ισχύουν οι σχέσεις: (4) v = 3µgt = µgt/r (5) Εξάλλου αν σε χρόνο t η µετατόπιση του κέντρου του δίσκου είναι S, τα αντίστοιχα έργα της δύναµης F και της τριβής T είναι:
W = FS = 4µmgS F = -T S- S W T ( ) = -µmg ( S- S ) (6) όπου S η µετατόπιση του σηµείου επαφής σε χρόνο t, λόγω της περιστρο φικής συνιστώσας της κίνησης του δίσκου. Όµως για τις µετατοπίσεις S και S ισχύουν οι σχέσεις: S = a t / S = R = R t & S = 3µgt / S = µgt / (7) όπου φ η εντός χρόνου t γωνία στροφής του δίσκου. Συνδυάζοντας τις (6) µε τις (7) παίρνουµε: W F W T = 1µmg ( µg / )t = -µmg( µg)t (:) W T W F = 1 1 Q W F = 1 1 όπου που Q η θερµότητα που παράγεται λόγω τριβής σε χρόνο t, ίση µε την απόλυτη τιµή του αντίστοιχου έργου της τριβής. Τέλος η κινητική ενέργεια του δίσκου την χρο νική στιγµή t είναι: K = mv + I (5) K = m ( 3µgt ) + mr 4 µgt & R K = 9m ( µgt) + m ( µgt) = 11m ( µgt) (8) Παρατήρηση: Aφού η θερµότητα Q σε χρόνο t αποτελει το 1/1 του αντίστοιχου έργου της δύναµης F τα υπόλοιπα 11/1 αποτελουν την αντίστοιχη κινητική ενέργεια του δίσκου, δηλαδή θα έχουµε: K = 11 1 W = 11 F 1 1m ( µgt) = 11 m ( µgt ) δηλαδή επανευρίσκουµε την (8) µε άλλο τρόπο. P.M. fysikos Η λεπτή oµογενής ράβδος AB του σχήµατος (1) κρατείται σε οριζόντια θέση στηριζόµενη στο άκρο της Α από κατακόρυφο ελατήριο, ενώ το άκρο της B υποβαστάζεται. Κάποια στιγµή η ράβδος παύει να υποβαστάζεται και αρχίζει να κινείται. i) Nα βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, την στιγµή t=0 που απελευθερώνεται.
ii) Nα βρείτε την αντίστοιχη επιτάχυνση του άκρου Β της ράβδου. Δίνεται η µάζα m και το µήκος L της ράβδου, η ροπή αδράνειας Ι =m(l) /1 αυτής ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχό µενο από το κέντρο µάζας της και η επιτάχυνση g της βαρύτη τας. ΛΥΣΗ: i) Όταν η ραβδος ΑΒ κρατείται σε οριζόντια θέση δέχεται το βάρος της m g, την κατακόρυφη δύναµη F A από το συµπιεσµένο ελατήριο και την δύναµη F B στο άκρο της Β, που την υποβαστάζει (σχ. ). Λόγω της ισορ ροπίας της ράβδου η συνολική ροπή περί το άκρο της Β όλων αυτών των δυνάµεων είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: ( B) = 0 F A L- mgl+f B 0 = 0 F A = mg/ (1) Σχήµα Σχήµα 3 Όταν η ράβδος ελευθερωθεί τίθεται σε επίπεδη κίνηση στο κατακόρυφο επί πεδο που καθορίζει η ράβδος και ο άξονας του ελατηρίου, η οποία παρουσιά ζει περιστροφική και µεταφορική συνιστώσα. Εφαρµόζοντας αµέσως µετά την έναρξη κίνησης της ράβδου (t=0) για την περιστροφική συνιστώσα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: ( ) = I F A L- mgl0 = m( L) / 1 (1) mgl = ml = 3g 3 L όπου η ζητούµενη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου την στιγµή t=0. () ii) Εξάλλου την στιγµή t=0 το κέντρο µάζας της ράβδου έχει επιτάχυνση a και σύµφωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας θα ισχύει: mg - F A = ma (1) mg - mg/ = ma a = g/ (3) Tην ίδια στιγµή το άκρο Β της ράβδου έχει επιτάχυνση a B που θα προκύψει µε επαλληλία της µεταφορικής του επιτάχυνσης a B( µ ) που είναι ίση µε a, της επιτρόχιας επιτάχυνσής του a B( ) που οφείλεται στην περιστροφική συνι στώσα της κίνησης της ράβδου και τέλος της κεντροµόλου επιταχυνσης του εξ αιτίας της ίδιας συνιστώσας, η οποία όµως είναι µηδενική διότι η αντί στοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι µηδενική. Με βάση λοιπόν τα παραπάνω θα έχουµε:
a B = a + a B( ) + 0 a ( ),( 3) B = a j + L j a B = g 3g j + L L j a B = g j όπου j το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην αρχική θέση ΑΒ της ράβδου. P.M. fysikos Στο κέντρο λεπτού δίσκου µάζας m και ακτί νας R έχει στερεωθεί ελαστικό νήµα σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο ενώ το νήµα κρατείται οριζόντιο. Ο δίσκος εφάπτεται οριζόντιου δαπέδου µε το επιπεδό του κατακόρυ φο και αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε το νήµα τεντωµένο από την φυσική του κατάσταση. Η επιµήκυνση x 0 του νήµατος έχει επιλεγεί ώστε όταν το συστηµα αφήνεται ελευθερο ο δίσκος να εκτελεί οριακή κύλιση χωρίς ολίσθηση. Ο δίσκος αφου ξεπεράσει την θέση ισορροπίας του συναντά λείο κατακόρυφο τοίχωµα µε το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά. i) Να βρεθεί o συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσκου και δαπέ δου. ii) Εάν το φυσικό µήκος του ελαστικού νήµατος είναι πολύ µεγα λύτερο του µήκους x 0, να βρείτε σε ποια θέση ο δίσκος θα ακινητο ποιηθεί µετά την κρούση του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η µάζα του δίσκου είναι συγκεντρωµένη στην περιφέρειά του. ΛΥΣΗ: i) Eπειδή η κίνηση του δίσκου είναι οριακή κύλιση χωρίς ολίσθηση αυτό σηµαίνει ότι την στιγµή t=0 που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο η τριβή επί του δίσκου από το οριζόντιο δάπεδο είναι ίση µε την οριακή τριβή T η οποία είναι αντίρροπη της δύναµης F που ασκεί στον δίσκο το τεντωµένο ελαστικό νήµα, το δε µέτρο της είναι ίσο µε µmg, όπου µ ο συντε λεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσκου και δαπέδου. Εφαρµόζοντας την στιγµή t=0 για την κίνηση του κέντρου µάζας του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: T - F = -ma µmg - kx 0 = -ma (1) όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δίσκου κατά την εκκίνηση του. Εξάλλου ο δίσκος έχει αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση που σχετί ζεται µε την ροπή περί το κέντρο µάζας της τριβής T και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: T R = I µmgr = mr µg = R ()
όπου τέθηκε Ι=mR διότι η µάζα του δίσκου είναι συγκεντρωµένη στην περιφέρειά του. Όµως λόγω της οριακής κύλισης ισχύει Rω =a, οπότε η () δίνει µg = a και η σχέση (1) γράφεται: µmg - kx 0 = -mµg µmg = kx 0 µ = kx 0 /mg (3) Σχήµα 4 ii) Για t>0 ο δίσκος συνεχίζει την κύλισή του, ένω η δύναµη από το ελαστικό νήµα συνεχώς µειώνεται και µηδενίζεται όταν το κέντρο του δίσκου φθάνει στην θέση ισορροπίας του Ο, όπου το ελαστικό νήµα αποκτά το φυσικό του µήκος. Tην στιγµή αυτή το κέντρο µάζας του δίσκου αποκτά την µέγιστη ταχύτητά του v και ο δίσκος την µέγιστη γωνιακή του ταχύ τητα των οποίων τα µέτρα ικανοποιούν την σχέση Rω =v η δε τρι βή µηδενίζεται, το νήµα χαλαρώνει και ο δίσκος συνεχίζει να κυλίεται ισοτα χώς. Για τον υπολογισµό του µέτρου της ταχύτητας v εφαρµόζουµε για το σύστηµα δίσκος-ελαστικό νήµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την κίνησή του από την αρχική του θέση στην θέση ισορροπί ας του και θα έχουµε: kx 0 = mv + I kx 0 = mv + m R kx 0 = 3mv / v = kx 0 /3m (4) Όταν o δίσκος φθάνει στον τοίχο συγκρούεται µε αυτόν ελαστικά και κεντ ρικά µε αποτέλεσµα η µεν ταχυτητά του να αντιστρέφεται, ενώ η γωνιακή του ταχύτητα παραµένει ίδια, διότι καµιά ροπή περί το κέντρο του δεν ασκεί ται στην διάρκεια της επαφής του µε το τοίχο. Αµέσως µετά την κρούση η τριβή T από το δάπεδο είναι τριβή ολίσθησης αντίρροπη της ταχύτητας ανακλάσεως - v (σχ. 5), η οποία επιβραδύνει την µεταφορική συνιστώσα της κίνησης του δίσκου µέσω δε της ροπής της επιβραδύνει και την περιστροφική του κίνηση. Εάν a είναι η επιβράδυνση του κέντρου του δίσκου και η γωνιακή επιβράδυνση της περιστροφικής του κίνησης, θα έχουµε τις σχέσεις:
T = ma TR = I µmg = ma µmgr = mr a = µg = µg/r (5) Aπό τις σχέσεις (5) προκύπτει ότι τόσο η µεταφορική όσο και η περιστροφική κίνηση του δίσκου είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε ύστερα από χρόνο t Σχήµα 5 µετά την απόσπαση του δίσκου από τον τοίχο τα µέτρα της ταχύτητας και της γωνιακής του ταχύτητας υπολογίζονται από τις σχέσεις: v = v - a t = - t (4) v = v - µgt = - µgt/r v = v - µgt R = v - µgt Aπό τις (6) προκύπτει ότι η ταχύτητα v και η γωνιακή ταχύτητα θα µηδενιστούν την ίδια στιγµή t *, που υπολογίζεται από την σχέση: 0 = v - µgt * t * = v /µg (7) H µετατόπιση S του δίσκου σε χρόνο t * δίνει την θέση στην οποία θα ακινη τοποιηθεί ο δίσκος, υπό την προυπόθεση ότι είναι S x 0 ώστε το νήµα να µην έχει τεντώσει, δίνεται δε από την σχέση: (6) v S = v t * - a t * ( 5),( 7) S = v µg - v µg = v µg (),(4) S = kx 0 3m m = x 0 kx 0 3 P.M. fysikos Tο σύστηµα του σχήµατος (6) αποτελείται από δύο σφαιρίδια µάζας m το καθένα και από τρείς αβαρείς ράβδους µήκους L η κάθε µία. Οι τρείς ράβδοι αποτελούν ισόπλευρο τρίγω νο ΟΑΒ όλο δε το σύστηµα είναι άκαµπτο και µπορεί να περιστρέ φεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από την κορυφή Ο. Aρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε την ράβδο ΟΑ κατακόρυφη και κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο µέσον της Μ δύναµη F σταθερού µέτρου, της οποίας ο φορέας είναι συνε
χώς κάθετος στην ράβδο, η οποία προκαλεί µέγιστη εκτροπή του συστήµατος κατά γωνία φ=π/3. i) Εάν διπλασιαστεί το µέτρο της δύναµης, ποια θα είναι η ταχύτη τα των δύο σφαιριδίων την στιγµή που η γωνιακή εκτροπή του συστήµατος είναι φ=π/3; ii) Εάν η δύναµη εφαρµόζεται στο σφαιρίδιο Α και διατηρήσει το αρχικό της µέτρο, αλλά ο φορέας της παραµένει συνεχώς οριζόν τιος η εκτροπή του συστήµατος θα υπερβεί την τιµή φ=π/3; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας στο σύστηµα το θεώρηµα µηχανικής ενέργειαςέργου στην περίπτωση που η µέγιστη εκτροπή του από την αρχική θέση του είναι π/6, παίρνουµε την σχέση: K + U = W F 0 + ( U - U & ) = W F ) 0 - -mgl - mglµ &, + (. = F L * 6' - 3 3mg L = F L 3 F = 9mg (1) Σχήµα 6 Εφαρµόζοντας για το σύστηµα το ίδιο θεώρηµα στην περίπτωση που η εκτρο πή του από την αρχική θέση του είναι π/6, αλλα το µέτρο της δύναµης διπλάσιο, παίρνουµε την σχέση: K + U = W F ( ) = F L mv & + U '() - U *+, - 3 ) mv + 0 - -mgl - mglµ &, + (. = F L * 6' - 3 (1) mv + 3mgL = 18mg L 3 mv + 3mgL = 3mgL
v = 3gL v = 3gL όπου v το κοινό µέτρο των ταχυτήτων v A, v B των σφαιριδίων Α και Β αντι στοίχως. ii) Εάν η δύναµη εφαρµόζεται στο σφαιρίδιο Α, ο φορέας της είναι οριζόν τιος και το µέτρο της F =9mg/π (σχ. 6), τότε το έργο της για εκτροπή του συστήµατος κατά γωνία φ=π/3 από την αρχική του θέση είναι: () W = F A F ( ) = FLµ 3 (1) W F = 9mg L 3 = 3mg L 3 3 Όµως στο 1ο ερώτηµα βρέθηκε ότι το αντίστοιχο έργο της δύναµης F είναι: (3) Σχήµα 7 W F = 3mg L (3) W > F W F δηλαδή στην περίπτωση της δύναµης F το σύστηµα θα εκτραπεί κατά γωνία µεγαλύτερη της π/3. P.M. fysikos Oµογενής σφαίρα ισορροπεί στην κορυφή ενός σταθερού ηµισφαιρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα (8). Ωθούµε ελαφ ρώς την σφαίρα, οπότε αυτή αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του ηµισφαιρίου. i) Eάν µ είναι ο συντελεστής οριακής τριβής ανάµεσα στην σφαίρα και στο ηµισφαίριο, να δείξετε ότι η γωνία φ για την οποία αρχίζει η ολίσθηση της σφαίρας ικανοποιεί την σχέση: 17µ - µ = 10µ
ii) Nα βρείτε για ποια τιµή της γωνίας φ η σφαίρα εγκαταλείπει το ηµισφαίριο. iii) Υπάρχει τιµή του συντελεστή µ για την οποία η θέση έναρξης ολίσθησης της σφαίρας συµπίπτει µε την θέση, όπου αυτή εγκαταλ λείπει το ηµισφαίριο ; Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, όπου m η µάζα της σφαίρας και r η ακτίνα της ΛYΣH: i) Έστω Α η θέση όπου επίκειται η ολίσθηση της σφαίρας επί της κυρτής επιφάνειας του ηµισφαιρίου. Στην θέση αυτή η σφαίρα δέχεται το βάρος της w, που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα w r και στην εφα πτοµενική συνιστώσα w και την δύναµη επαφής από το ηµισφαίριο, η οποία αναλύεται στην εφαπτοµενική συνιστώσα T που αποτελεί την οριακή τριβή µεταξύ σφαίρας και ηµισφαιρίου µε φορά αντίθετη της ταχύτητας v του κέντρου µάζας της σφαίρας και στην ακτινική συνιστώσα N, που αποτε λεί την κάθετη αντίδραση και έχει φορά προς το κυρτό µέρος της ηµισφαι ρικής επιφάνειας. Η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων επί της σφαίρας λειτουργεί ως κεντροµόλος δύναµη για την κυκλική κίνηση που εκτελεί το κέντρο µάζας της και εποµένως ισχύει η σχέση: w r - N = mv R +r mg - N= mv R +r (1) Σχήµα 8 όπου R, r οι ακτίνες του ηµισφαιρίου και της σφαίρας αντιστοίχως και φ η γωνία της επιβατικής ακτίνας του κέντρου της σφαίρας ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς του, στην θέση Α. Όµως η σφαίρα στην θέση Α ορια κά κυλίεται, οπότε για την περιστροφική συνιστώσα της κύλισης θα ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δήλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: Tr = I µnr = mr / 5 N = mr / 5µ () όπου η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής της σφαίρας περί το κέντρο της στην θέση Α. Λόγω όµως της κύλισης θα ισχύει ω r=a E, όπου a E η επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας στην θέση Α, οπότε η () γράφεται: N = ma E / 5µ (3)
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: mg - ma E 5µ = mv R +r g - a E 5µ = v R +r (4) Εφαρµόζοντας εξάλλου στην θέση Α για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης της σφαίρας τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: w - T = ma E mgµ - µn = ma E ( 3) mgµ - ma E /5 = ma E a E = 5gµ / 7 (5) Όµως µέχρι την θέση Α η µηχανική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται και αυτό επιτρέπει να έχουµε την σχέση: mg( R +r) +0 = mg( R +r) + mv + I mg( R +r) ( 1- ) = mv + mr 5 10g( R +r) ( 1- ) = 5v +r v = 10g( R +r) ( 1- ) /7 (6) όπου τέθηκε v=ωr λόγω της κύλισης της σφαίρας. Η σχέση (4) λόγω των (5) και (6) γράφεται: g - 5µ - µ 7µ 5gµ 7 ( )( 1- ) ( ) 10g R +r = 7 R +r 10 1- = ( ) 7 7µ - µ = 10µ ( 1- ) 17µ - µ = 10µ (7) H (7) αποτελεί την αποδεικτέα σχέση. ii) Έστω B η θέση όπου η σφαίρα εγκαταλείπει την ηµισφαιρική επιφάνεια. Στη θέση αυτή η µοναδική δύναµη που δέχεται η σφαίρα είναι το βάρος της w, του οποίου η ακτινική συνιστώσα w r αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την κυκλική κίνηση του κέντρου µάζας της σφαίρας και σύµφωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας θα έχουµε την σχέση: w r = mv R +r mv mg = R +r v = g(r +r) (8) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας στην θέση B και θ η γωνία που σχηµατίζει η αντίστοιχη επιβατική ακτίνα του κέντρου της
σφαίρας µε την κατακόρυφη διεύθυνση (σχ. 9). Eξάλλου κατά την κύλιση της σφαίρας από την αρχική της θέση στην θέση Β, η µηχανική της ενέργεια διατηρείται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mg( R +r) +0 = mg( R +r) + mv + I Σχήµα 9 mg( R +r) ( 1- ) = mv + mr 5 10g( R +r) ( 1- ) = 7v (9) όπου τέθηκε v=ωr λόγω της κύλισης της σφαίρας. Η σχέση (9) λόγω της (8) γράφεται: 10g( R +r) ( 1- ) = 7g(R +r) 10( 1- ) = 7 = 10/17 (10) iii) Ας δεχθούµε ότι υπάρχει τιµή του συντελεστή οριακής τριβής µ για την οποία η θέση της σφαίρας στην οποία αυτή χάνει την επαφή της µε το ηµισφαίριο συµπίπτει µε την θέση διακοπής της κύλισή της. Τότε θα έχουµε φ=θ και οι σχέσεις (7), (10) δίνουν: 17µ ( 10/ 17) - 1- ( 10/ 17) = 10µ 10µ - 1- ( 10/ 17) = 10µ 1- ( 10/ 17) = 0 (άτοπο) Άρα ο αρχικός ισχυρισµός µας αποτελεί λάθος. P.M. fysikos