Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
4.1 Εισαγωγή Η επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων βασίζεται σε τρία βήματα: 1. Αναγνώριση της τοπολογίας του κυκλώματος 2. Εφαρμογή των δύο (μόνο) νόμων του Kirchhoff για την κατάστρωση εξισώσεων που περιλαμβάνουν τους αγνώστους 3. Επίλυση των παραπάνω (γραμμικών) εξισώσεων για τον υπολογισμό των τιμών των αγνώστων. Η εφαρμογή των παραπάνω βημάτων με συστηματικό τρόπο μας επιτρέπει: Την ελαχιστοποίηση του αριθμού των αγνώστων και κατά συνέπεια του αριθμού των εξισώσεων Τη χρήση υπολογιστικών εργαλείων για την επίλυση πολύπλοκων κυκλωμάτων Την επίλυση οποιουδήποτε κυκλώματος.
4.2 Μέθοδος κλαδικών ρευμάτων Έστω ότι θέλουμε να επιλύσουμε το κύκλωμα του σχήματος. Αναγνωρίζουμε τους αγνώστους (τα τρία ρεύματα) και τα σημειώνουμε στο κύκλωμα. Σημειώνουμε τις τάσεις που σχετίζονται με αυτά (στις αντιστάσεις). 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - + V 3 - B R 3 =20 Ω Τα τρία ρεύματα συνδέονται με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α: Χρειαζόμαστε όμως άλλες δύο εξισώσεις.
4.2 Μέθοδος κλαδικών ρευμάτων Αυτές θα προκύψουν από το νόμο τάσεων του Kirchhoff στους δύο ελάχιστους βρόχους του κυκλώματος: 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - + V 3 - R 3 =20 Ω Εκφράζουμε τις τάσεις συναρτήσει των ρευμάτων στις αντιστάσεις από το νόμο του Ωμ και καταλήγουμε σε τρεις εξισώσεις με αγνώστους τα τρία ρεύματα του κυκλώματος: B
4.2 Μέθοδος κλαδικών ρευμάτων Έχοντας στη διάθεσή μας τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους μπορούμε να εφαρμόσουμε όποια μέθοδο θέλουμε για να υπολογίσουμε τις τιμές των αγνώστων. Γράφουμε το σύστημα σε μορφή πινάκων και λύνουμε με ορίζουσες: 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - + V 3 - B R 3 =20 Ω
4.2 Μέθοδος κλαδικών ρευμάτων Η μέθοδος λέγεται μέθοδος των κλαδικών ρευμάτων, είναι μια γενική μέθοδος επίλυσης κυκλωμάτων, αλλά δεν οδηγεί στο απλούστερο δυνατό σύστημα εξισώσεων. Για το λόγο αυτό δεν συνηθίζεται η χρήση της. 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - + V 3 - R 3 =20 Ω B
Η μέθοδος βρόχων οδηγεί σε λιγότερες εξισώσεις σε σχέση με τη μέθοδο κλαδικών ρευμάτων. Χρησιμοποιεί τα ρεύματα βρόχων όμως αντί για τα ρεύματα κλάδων. Ορίζοντας τα ρεύματα βρόχων Ι 1 και Ι 2 τα ρεύματα κλάδων είναι: Για τους κλάδους που βρίσκονται μόνο σε ένα βρόχο, ίσα με το ρεύμα βρόχου, Για τους κλάδους που βρίσκονται σε δύο βρόχους, ίσα με το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων βρόχων, ανάλογα με τη φορά τους. 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - I 1 B R 3 =20 Ω I 2
Έτσι έχουμε για τα ρεύματα: I 1 R 1 =10 Ω I 2 Το βρογχικό ρεύμα Ι 1 είναι ίσο με το A + V I κλαδικό ρεύμα Ι 1, 1-3 + V 2-20V Το βρογχικό ρεύμα Ι 2 είναι ίσο με το R 3 =20 Ω κλαδικό ρεύμα Ι 2, I 1 I 2 Το κλαδικό ρεύμα Ι 3, με τη φορά που έχει επιλεγεί, ισούται με τη διαφορά B των βρογχικών ρευμάτων Ι 1 -Ι 2. Ως αγνώστους έχουμε τα ρεύματα βρόχων (2 άγνωστοι αντί για 3). Ο νόμος ρευμάτων του Kirchhoff δεν μας παρέχει καμία πληροφορία, καθώς έχει ενσωματωθεί στον ορισμό των ρευμάτων. Μπορούμε να γράψουμε μόνο εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff (χρειαζόμαστε 2).
Συνεπώς το κύκλωμά μας έχει δύο αγνώστους. Ποιες εξισώσεις θα γράψουμε; Μπορούμε να γράψουμε τρεις, μία για κάθε βρόχο του κυκλώματος. Από αυτές οι δύο είναι ανεξάρτητες. Επιλέγουμε τις εξισώσεις των ελάχιστων βρόχων: 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - I 1 R 3 =20 Ω B I 2 Αναδιατάσσουμε και οι εξισώσεις γίνονται:
Σε μορφή πινάκων έχουμε το σύστημα: I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2-20V I 1 R 3 =20 Ω Ο πίνακας που πολλαπλασιάζει το I 2 διάνυσμα των αγνώστων παρουσιάζει ορισμένα ενδιαφέροντα B χαρακτηριστικά: Οι όροι της κύριας διαγωνίου a ii προκύπτουν από το άθροισμα των αντιστάσεων του βρόχου i, Ο πίνακας είναι συμμετρικός (a ij =a ji ) και οι όροι εκτός της κύριας διαγωνίου a ij ισούνται με το αντίθετο της κοινής αντίστασης μεταξύ των βρόχων i και j.
Το σταθερό διάνυσμα προκύπτει από τις πηγές τάσης που παρέχουν ενέργεια σε κάθε βρόχο, ανάλογα με την πολικότητά τους και τη φορά με την οποία έχουν οριστεί τα ρεύματα βρόχων. 20V I 1 R 1 =10 Ω I 2 A + V 1 - + V 2 - I 1 R 3 =20 Ω I 2 Αντικαθιστώντας τις τιμές των αντιστάσεων το σύστημά μας γίνεται: B Το ρεύμα του πρώτου βρόχου είναι:
Και το ρεύμα του δεύτερου βρόχου είναι: Σημειώνεται ότι: Η συμμετρία του πίνακα αντιστάσεων ισχύει μόνο αν δεν υπάρχουν στο κύκλωμα πηγές ρεύματος ή εξαρτημένες πηγές, Το μέγεθος του πίνακα εξισώσεων εξαρτάται από τον αριθμό των ελάχιστων βρόχων του κυκλώματος, που καθορίζει και τον αριθμό των αγνώστων, Η μεθοδολογία παραμένει απαράλλαχτη ανεξάρτητα με το μέγεθος του κυκλώματος, Οι πηγές ρεύματος απαιτούν ιδιαίτερο χειρισμό, που θα δείξουμε αργότερα.
Παράδειγμα 4-1: Να επιλυθεί το κύκλωμα με τη μέθοδο βρόχων. Το κύκλωμα είναι ίδιο με αυτό που εξετάσαμε πριν, αλλά έχουμε προσθέσει την αντίσταση R 4 μεταξύ των θετικών ακροδεκτών των πηγών, ώστε να έχει τρεις ελάχιστους βρόχους. 20V R 1 =10 Ω R 4 =20 Ω R 3 =20 Ω Ακολουθούμε την ίδια μεθοδολογία. Για τον πρώτο βρόχο έχουμε:
Για το δεύτερο βρόχο έχουμε: R 4 =20 Ω R 1 =10 Ω Για τον τρίτο βρόχο έχουμε: 20V R 3 =20 Ω Γράφοντας τις εξισώσεις σε μορφή εξίσωσης πινάκων:
Απλοποιώντας το σύστημα διαιρώντας όλες τις εξισώσεις με το 10 γίνεται: R 4 =20 Ω R 1 =10 Ω Στη συνέχεια λύνουμε το σύστημα και υπολογίζουμε τα ρεύματα βρόχων: 20V R 3 =20 Ω
Έχοντας υπολογίσει τα ρεύματα βρόχων μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος. Έτσι το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 1 είναι: 20V R 1 =10 Ω R 4 =20 Ω R 3 =20 Ω
Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 2 είναι: R 4 =20 Ω Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 3 είναι: Η πηγή των 20 V παρέχει ισχύ: 20V R 1 =10 Ω R 3 =20 Ω Η πηγή των 10 V καταναλώνει ισχύ: Και οι αντιστάσεις καταναλώνουν:
Τι γίνεται αν το κύκλωμά μας έχει πηγή ρεύματος; Δεν μπορούμε να εκφράσουμε την 1A R 1 =15 Ω τάση στα άκρα της πηγής ρεύματος I 1 I συναρτήσει των ρευμάτων βρόχων, 2 άρα δεν εξυπηρετεί να γράψουμε την εξίσωση του νόμου τάσεων του Kirchhoff για το βρόχο που περιέχει την πηγή ρεύματος. Αντί αυτού όμως έχουμε την εξίσωση ορισμού της πηγής ρεύματος: Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από το δεύτερο βρόχο:
Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων και βρίσκουμε το ρεύμα του δεύτερου βρόχου: 1A R 1 =15 Ω Η αντίσταση R 1 διαρρέεται από ρεύμα:
Εάν η πηγή ρεύματος βρίσκεται σε ένα κλάδο που είναι κοινός σε δύο βρόχους, τότε δεν μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε κανέναν από τους δύο βρόχους. Πάλι ξεκινάμε από την εξίσωση της πηγής: R 1 =15 Ω 1A Επειδή δεν μπορούμε να γράψουμε εξίσωση για κανέναν από τους ελάχιστους βρόχους, γράφουμε την εξίσωση του μη ελάχιστου βρόχου, που όμως δεν περιλαμβάνει την πηγή ρεύματος:
Στη συνέχεια λύνουμε το σύστημα: Και υπολογίζουμε τα ρεύματα των δύο βρόχων: R 1 =15 Ω 1A
Αν έχουμε εξαρτημένη πηγή τάσης γράφουμε τις εξισώσεις βρόχων: i x όπου όμως έχουμε εκφράσει την τιμή της εξαρτημένης πηγής συναρτήσει των αγνώστων: 5 i x R 1 =15 Ω + - Στη συνέχεια φέρνουμε τις εξισώσεις στην κατάλληλη μορφή:
Φτιάχνουμε το σύστημα σε μορφή εξίσωσης πινάκων: i x και υπολογίζουμε τα ρεύματα βρόχων: 5 i x R 1 =15 Ω + -
Αν έχουμε εξαρτημένη πηγή ρεύματος ξεκινάμε από την εξίσωση της πηγής ρεύματος, εκφράζοντάς την συναρτήσει των ρευμάτων βρόχων: 0,5 v x - v x + R 1 =15 Ω 10 V Στη συνέχεια βρίσκουμε ένα βρόχο που δεν περιλαμβάνει την πηγή ρεύματος, ελάχιστο ή μη:
Καταστρώνουμε το σύστημα: - v x + και υπολογίζουμε τα ρεύματα βρόχων: 0,5 v x R 1 =15 Ω 10 V
R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Παράδειγμα 4-2: Υπολογίστε το ρεύμα i x και την τάση v x στο κύκλωμα. Πρώτα εκφράζουμε τις τιμές των εξαρτημένων πηγών συναρτήσει των ρευμάτων βρόχων: 0,5 v x R 1 =5 Ω i x + - 5 i x - v x + Στη συνέχεια γράφουμε την εξίσωση της εξαρτημένης πηγής ρεύματος:
R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Τέλος γράφουμε τις εξισώσεις δύο βρόχων που δεν περιέχουν την πηγή ρεύματος: R 1 =5 Ω + - 5 i x 0,5 v x i x - v x +
R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Καταστρώνουμε το σύστημα: + - 5 i x R 1 =5 Ω Υπολογίζουμε τις τιμές των οριζουσών: 0,5 v x i x - v x +
R 3 =20 Ω 4 Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Τα ρεύματα βρόχων είναι: + - 5 i x R 1 =5 Ω 0,5 v x i x - v x + Το ρεύμα που ελέγχει την πηγή τάσης είναι: Η τάση που ελέγχει την πηγή ρεύματος είναι:
Παράδειγμα 4-3: Υπολογίστε το ρεύμα i x και την τάση v x του κυκλώματος. Η ανεξάρτητη πηγή ρεύματος μας δίνει μία εξίσωση: 0,5 v x R 1 =5 Ω i x 1A + - 5 i x - v x + Η εξαρτημένη πηγή ρεύματος μας δίνει άλλη μία: Η τρίτη εξίσωση θα προκύψει από το νόμο τάσεων του Kirchhoff σε ένα βρόχο που να μην περιέχει πηγή ρεύματος. Μόνο ο τρίτος βρόχος έχει αυτή την ιδιότητα:
Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή που μας εξυπηρετεί: R 1 =5 Ω + - 5 i x Γράφουμε το σύστημα εξισώσεων σε μορφή πινάκων: 0,5 v x i x 1A - v x + Υπολογίζουμε τις ορίζουσες:
+ - 5 i x R 1 =5 Ω 0,5 v x i x 1A - v x + Τα ρεύματα βρόχων είναι: Το ρεύμα που ελέγχει την πηγή τάσης είναι: Η τάση που ελέγχει την πηγή ρεύματος είναι:
Η μέθοδος βρόχων είναι μια συστηματική μέθοδος επίλυσης κυκλωμάτων. Η διαδικασία συνοψίζεται ως εξής: 1. Αναγνωρίζουμε τους ελάχιστους βρόχους του κυκλώματος και σημειώνουμε το ρεύμα κάθε βρόχου. Εάν το κύκλωμα έχει Ν ελάχιστους βρόχους, τα Ν ρεύματα βρόχων είναι οι άγνωστοι. 2α. Εάν το κύκλωμα περιέχει μόνο ανεξάρτητες πηγές τάσης, γράφουμε την εξίσωση που προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε κάθε ελάχιστο βρόχο του κυκλώματος. Προκύπτει ένα σύστημα Ν εξισώσεων με Ν αγνώστους. 2β. Εάν το κύκλωμα περιέχει εξαρτημένες πηγές τάσης ακολουθούμε την ίδια διαδικασία, αλλά πρέπει να αντικαταστήσουμε τις τάσεις που έχουν στα άκρα τους οι εξαρτημένες πηγές με τις κατάλληλες σχέσεις που τις εκφράζουν συναρτήσει των ρευμάτων βρόχων.
2γ. Εάν το κύκλωμα περιέχει πηγές ρεύματος, εξαρτημένες ή ανεξάρτητες, πρώτα πρέπει να γράψουμε την εξίσωση ορισμού κάθε πηγής ρεύματος. Συμπληρώνουμε τις εξισώσεις μας μέχρι τον αριθμό των αγνώστων ρευμάτων βρόχων με τις εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε βρόχους που δεν περιέχουν πηγές ρεύματος. 3. Λύνουμε το σύστημα των Ν εξισώσεων με Ν αγνώστους και υπολογίζουμε τα ρεύματα βρόχων. 4. Οποιοδήποτε άλλο μέγεθος του κυκλώματος (ρεύμα, τάση, ισχύς) προκύπτει από τα ρεύματα βρόχων.