EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα του στοχαστικού σήµατος { } διατίθενται ακολουθιακά και εποµένως καλούµαστε να εκτιµήσουµε τα δείγµατα του σήµατος { } µε συνεχώς αυξανόµενη πληροφορία. ς χ Άρα τη χρονική στιγµή η εκτίµηση του των δειγµάτων { χ χ..., }., 2, χ ς µπορεί να γίνει µε χρήση Πως µπορούµε να λύσουµε σ αυτή την περίπτωση το πρόβληµα; 2
Τροποποίηση της FI περίπτωσης του φίλτρου Wieer A { 0,,..., } A {,2,..., } Εξισώσεις Wieer-Hopf FI φίλτρo r!" m " h r!! m!, #m $ A Το Βέλτιστο φίλτρο προκύπτει από τη λύση ενός Toepliz γραµµικού συστήµατος µε τον Αλγόριθµο του Leviso. Μήπως όµως υπάρχει κάποιο πρόβληµα; 3
Η Ιδέα του Kalma και το φίλτρο του Η συσχέτιση της εκτίµησης ςˆ τη χρονική στιγµή µε την εκτίµηση του σήµατος τη χρονική στιγµή -. ˆ ς Στο φίλτρο Wieer τα σήµατα περιγράφονται µε τη βοήθεια των στατιστικών β τάξης. Στο φίλτρο Kalma τα σήµατα περιγράφονται µε τη βοήθεια ΓΣ στο Χώρο Κατάστασης. 4
Η Ιδέα του Kalma και το φίλτρο του Χώρος Κατάστασης + W χ C B v Καταστατική Εξίσωση Εξίσωση Εξόδου W B + + v - C - Z χ 5
W διανυσµατικός Λευκός Θόρυβος µε µητρώο συνδιασποράς v Λευκός Θόρυβος µέτρησης µε διασπορά Αρχική Κατάσταση του συστήµατος µε Μέση τιµή 0 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων E{ v 0 } q E{ v 2 } Q και ράς Σ. Επίσης και. 0 0 0 E{ 0 } W E{ W E { v W } v W και µητρώο συνδιασπο- 0 } 0 W Σύστηµα στο Χώρο Κατάστασης + B + - C - Z χ 6
Επαναδιατύπωση του Προβλήµατος Εκτίµησης. Θεωρώντας ότι το στοχαστικό σήµα { } µας διατίθεται ακολουθιακά και ότι οι ακολουθίες { C }, { B }, { Q }, { q } είναι γνωστές, θέ λουµε να εκτιµήσουµε την Κατάσταση του Συστήµατος σαν γρα- µµικό συνδυασµό των διαθέσιµων δειγµάτων, { χ χ..., }. Μπορούµε να κάνουµε Διαφορετικές Εκτιµήσεις της Κατάστασης; χ Εκτίµηση βασισµένη σε Πρόβλεψη Εκτίµηση βασισµένη σε Φιλτράρισµα Εκτίµηση βασισµένη σε Εξοµάλυνση, 2, χ 7
, ˆ - F χ Εκτίµηση βασισµένη σε Πρόβλεψη. Εκτίµηση βασισµένη σε Φιλτράρισµα Εκτίµηση βασισµένη σε Εξοµάλυνση H, ˆ χ m D, ˆ χ 8 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
Σκοπός µας είναι τώρα να εκφράσουµε την Βέλτιστη Εκτίµηση Αναδροµικά. Για το σκοπό αυτό θα ορίσουµε το:. Εκ των Προτέρων Σφάλµα Εκτίµησης και το αντίστοιχο µητρώο συνδιασποράς 2. Εκ των Υστέρων Σφάλµα Εκτίµησης και το αντίστοιχο µητρώο συνδιασποράς και θα θεωρήσουµε ότι την χρονική στιγµή, εκτός του δείγµατος, µας διατίθενται από τη χρονική στιγµή - χ 3. Το Εκ των Υστέρων Σφάλµα Εκτίµησης και το αντίστοιχο µητρώο συνδιασποράς 4. Η βέλτιστη Εκ των Υστέρων Εκτίµηση της Κατάστασης. 9
. Ορίζουµε το Εκ των Προτέρων Σφάλµα Εκτίµησης: µε µητρώο συνδιασποράς Σ - e ˆ - - - F, χ E{ ˆ ˆ - - - - } 0
2. και το Εκ των Υστέρων Σφάλµα Εκτίµησης: e - ˆ µε µητρώο συνδιασποράς Σ E{ - ˆ H - ˆ 3. και θεωρούµε γνωστά το και 4. το µητρώο, χ } ˆ H χ, Σ
Σχέσεις που ορίζουν το φίλτρο Kalma, για >0: Σ CΣ C + Q K Σ - - B q BΣ -B Κέρδος Kalma ˆ Σ I - KB Σ C ˆ ˆ ˆ Με αρχική εκτίµηση ˆ - χ - B - K ˆ 0 0 0 και Σ0 0 Σ0 2
ˆ Εκ των προτέρων Εκτίµηση Πρόβλεψη C ˆ Εκ των υστέρων Εκτίµηση Φιλτράρισµα ˆ ˆ B ˆ K - χ - - χ Φίλτρο Kalma - C Z Ŝ K + + ˆ - B - 3
v W Σύστηµα στο Χώρο Κατάστασης + B + - C - Z χ Φίλτρο Kalma - C Z Ŝ K + + ˆ - B - 4
Επαυξηµένο Σύστηµα στο Χώρο Κατάστασης + W C Καταστατική Εξίσωση W χ ς B v D Εξίσωση Εξόδου B + + v χ - C - Z D ς 5
Εναλλακτική Σηµασία των αποτελεσµάτων Ας υποθέσουµε παρόλο που διαθέτουµε τα σήµατα { },{ } θέλουµε να βρούµε τη συνιστώσα του ς που σχετίζεται µε τα δείγµατα { x x,..., x } µε τον παρακάτω τρόπο:, 2 ςˆ 0 ˆ ς h χ Η βέλτιστη λύση του προβλήµατος είδαµε ότι είναι η ακόλουθη: χ ς E { ς } E{ } H 6
L s L } { ς E L s L L H Αν έχουµε στη διάθεσή µας τις υλοποιήσεις των σηµάτων { },{ } και υποθέσουµε στασιµότητα και εργοδικότητα, τότε: x s L L } { E και εποµένως: 7 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
Ένα Πολύ γνωστό πρόβληµα ανάλογο του Προβλήµατος του Kalma Ας υποθέσουµε ότι οι υλοποιήσεις { }, { } των σηµάτων { },{ } διατίθενται ακολουθιακά και κάθε φορά καλούµαστε να εκτιµήσουµε ŝ το βασισµένοι στην υπάρχουσα πληροφορία { x, s,..., x, s } µε τη σχέση: 0 ˆ ς h χ Πως µπορούµε εδώ να εφαρµόσουµε την ιδέα του Kalma; x s χ ς 8
s Αν ορίσουµε τις ποσότητες: τότε τη χρονική στιγµή η γίνεται: L s L L H H H ή ισοδύναµα 9 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
Η ίδια εξίσωση τη χρονική στιγµή - θα είναι H s + + όµως άρα s + H H H s + H ή ισοδύναµα: 20 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
Χρησιµοποιώντας αναδροµή και στον αντίστροφο: + + + και άρα s + H H H 2 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
K K + γ K K γ s e H K e γ + H H Αντίστοιχες Ποσότητες Kalma: 22 Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
Αναδροµικός Αλγόριθµος Ελαχίστων Τετραγώνων: s H ŝ - + ε K 23