ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση στο Επίπεδο- Παραγώγιση Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου Κατοπτρισµός στο Πεδίο του Χρόνου Συσχέτιση Συζυγές Σήµα Συνέλιξη στο Μιγαδικό Επίπεδο 2

3 Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μονόπλευρου Μετασχηµατισµού- Αριστερή Ολίσθηση Δεξιά Ολίσθηση Θεώρηµα Αρχικής Τιµής Θεώρηµα Τελικής Τιµής Μετασχηµατισµός- Περιοδικών Σηµάτων 3

4 Μετασχηµατισµός - Αναλυτικές Συναρτήσεις Συνθήκες Cuchy-Rie Αρµονικές Συναρτήσεις Αναλυτικές Συναρτήσεις και Δυναµοσειρές 0 4

5 Μετασχηµατισµός - Αναλυτικές Συναρτήσεις-Θεώρηµα του Cuchy Έστω µία αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο Βα, R & έστω γ µία κλειστή καµπύλη που κείται εντός του δίσκου. Τότε: I{} Βα, R d γ 0 Re{} 5

6 Μετασχηµατισµός - Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης Μια Μιγαδική Συνάρτηση έχει µία αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο α αν R > 0: η να ορίζεται και να είναι αναλυτική στον κύκλο Βα, R-{α} αλλά όχι στον Βα, R. I{} Βα, R Re{} Παραδείγµατα si e 6

7 Μετασχηµατισµός - Απαλειφόµενα Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης Αν η Μιγαδική Συνάρτηση έχει µία αποµονωµένη ανωµαλία στο ση- µείο α, τότε το σηµείο α είναι ένα απαλείψιµο σηµείο ανωµαλίας αν και µόνο αν: li 0 7

8 Μετασχηµατισµός - Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι Αν η Μιγαδική Συνάρτηση έχει µία αποµονωµένη ανωµαλία στο ση- µείο α, τότε το σηµείο α είναι ένας πόλος της αν :. li 2. Αν η Μιγαδική Συνάρτηση έχει ένα πόλο στο σηµείο α και είναι ο µικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο το ακόλουθο όριο : li είναι πεπερασµένο, τότε θα λέµε ότι η έχει ένα πόλο τάξης στο 8

9 Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι H Μιγαδική Συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως g όπου g η ακόλουθη αναλυτική συνάρτηση: c g Μετασχηµατισµός - 9

10 Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι Το τµήµα: της g ονοµάζεται ανώµαλο ή κύριο τµήµα της στο α.... S k k k d d k S d d k k k } {!! Υπολογισµός των Α--k, k0,,,- Μετασχηµατισµός - 0

11 Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης -Δυναµοσειρές g c g c... 0 Αν είδαµε ότι: Άρα: Μετασχηµατισµός - και:, 2 C j d C π

12 Μετασχηµατισµός - Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Στροφικός Αριθµός ή Δείκτης Καµπύλης ως προς σηµείο C, j 2π C d Ο C,α είναι ΑΚΕΡΑΙΟΣ!! Θεώρηµα Cuchy d 2πj, k C k 0, k 2

13 Μετασχηµατισµός - Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουµε ότι η µιγαδική συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας, στο σηµείο α, µίας περιοχής του µιγαδικού επιπέδου- δηλαδή: g Τότε ορίζουµε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της α την παρακάτω ποσότητα: στο σηµείο Res{, } d g ]! d 3

14 Μετασχηµατισµός - Ολοκληρωτικά Υπόλοιπά Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουµε ότι η µιγαδική συνάρτηση είναι αναλυτική συνάρτηση εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος µεµονωµένων ανώ- µαλων σηµείων, 2, N και έστω καµπύλη γ γ d 2πj N γ i C, i Res, i 4

15 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Ανάπτυγµα σε Απλά Κλάσµατα Αν R είναι µια ρητή µιγαδική συνάρτηση µε Ν πόλους στα σηµεία αi, i,2, Ν, τότε: R N p q i Si P Όπου Si το ανώµαλο τµήµα της ρητής µιγαδικής συνάρτησης R στο αi και P Πολυώνυµο. 5

16 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Ουσιώδη Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης Αν µια αποµονωµένη ανωµαλία δεν είναι ούτε απαλείψιµη ούτε πόλος, θα λέµε ότι είναι ουσιώδες ανώµαλο σηµείο της συνάρτησης. 6

17 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Ανώµαλα Σηµεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Σύνοψη Έστω α µία αποµονωµένη ανωµαλία της µιγαδικής συνάρτησης και έστω η σειρά Luret. Τότε: το α είναι ένα απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο αν και µόνο αν το α είναι ένας πόλος τάξης αν και µόνο αν & το α είναι ένα ουσιώδες ανώµαλο σηµείο αν για µια απειρία αρνητικών τιµών του. 0, 0 0, 0 7

18 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Έστω κλειστή καµπύλη C η οποία περικλείει Ν πόλους στα σηµεία i, i0,, N-, της µιγαδικής ρητής συνάρτησης X και ανήκει εξ ολοκλήρου στην Περιοχή Σύγκλισης της µιγαδικής συνάρτησης, τότε: I{} x[ ] 2 π j C X d C k 0 Re{} 8

19 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουµε ότι η µιγαδική ρητή συνάρτηση ένα πόλο, πολλαπλότητας, στο σηµείο α, δηλαδή: X g Τότε ορίζουµε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της σηµείο α την παρακάτω ποσότητα: X X έχει στο Re d s X {, } g ]! d 9

20 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Θεώρηµα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων Αν υποθέσουµε ότι µία κλειστή καµπύλη C, που ανήκει στην περιοχή σύγκλισης του περικλείει Ν πόλους στα σηµεία i, i0,, N-, της µιγαδικής ρητής συνάρτησης, τότε: X x[ ] 2 πj N X d C i Re s{ X, i } 20

21 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός - Άλλες Μέθοδοι Υπολογισµού Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Δυναµοσειρά l, > l k k k k 2