ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Διευρύνει τη κλάση των σηµάτων για τα οποία µπορεί να επιτευχθεί η µετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Παρέχει τη δυνατότητα µελέτης συστηµάτων που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεµίας. Μας δίνει τη δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων παράστασης των συστηµάτων. Μετατροπή των Δ.Ε. σε αλγεβρικές εξισώσεις.

3 Ορισµός: L a { } e d, σ jω a Αν α-, τότε έχουµε τον Αµφίπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace Αν α±0, τότε έχουµε το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace

4 Αµφίπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace } { Ω Ω j F j Σχέση Μετασχηµατισµών Fourier και Laplace } { e F σ Ω j d e L σ, } { 4

5 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} 0 σre{} 5

6 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: a e u L a a e u L a Τι συµβαίνει;. Υπάρχει Λάθος; 6

7 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: a e u L,Re{ } a > α a e u L,Re{ } a < α 7

8 a e u Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} a e u Πόλος σ-α σre{} Περιοχή Σύγκλισης L{} σre{}<-α Περιοχή Σύγκλισης L{} σre{}>-α 8

9 u e e Μετασχηµατισµός Laplace },Re{ > Πραγµατικά Εκθετικά Σήµατα: και u e u e όπου: } Re{, > } Re{, > Όµως: και εποµένως, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της Γραµµικότητας: 9

10 Περιοχή Σύγκλισης L{ } σre{}>- Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Σύγκλισης L{ } σre{}>- Πόλος Μηδενικό - - σre{} 0

11 Πραγµατικά & Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα: u e u e u e j j όπου: e! co e! u

12 } Re{, 0 5 > } Re{, > } Re{, > j Όµως: και εποµένως, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της Γραµµικότητας: Μετασχηµατισµός Laplace Πραγµατικά & Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα: Συνέχεια } Re{, > j

13 Περιοχή Σύγκλισης L{ } σre{}>- Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} j Περιοχή Σύγκλισης L{ } σre{}>- Πόλος Μηδενικό - - σre{} -j

14 u e u e δ 4 όπου: 4 u e e δ Κρουστικά Σήµατα: 4

15 Κρουστικά Σήµατα: Συνέχεια } Re{, 4 >, } Re{, > Όµως: και εποµένως, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της Γραµµικότητας: } Re{, > 5

16 Περιοχή Σύγκλισης L{ } σre{}>- Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Σύγκλισης L{ } σre{}> Πόλος Μηδενικό - σre{} Περιοχή Σύγκλισης L{δ } 6

17 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα : Η ΠΣ του Χ συντίθεται από λωρίδες παράλληλες στον άξονα jω. Μια συνάρτηση είναι εκθετικής τάξης λ αν: M > : λ <, 0 0, λ, e M 0 7

18 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Σύγκλισης σre{} 8

19 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα : Αν το είναι πεπερασµένης διάρκειας και ολοκληρώσιµo κατ απόλυτη τιµή, η ΠΣ του Χ είναι ολόκληρο το επίπεδο. Τ Τ 9

20 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Σύγκλισης σre{} 0

21 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα : Αν το είναι ένα σήµα δεξιάς επέκτασης και η ευθεία Re{}σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ, τότε: κάθε : Re{}>σ0 θα ανήκει στην ΠΣ του. Τ

22 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} σ0 Περιοχή Σύγκλισης σre{} ευθεία Re{}σ0

23 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 4: Αν το είναι ένα σήµα αριστερής επέκτασης και η ευθεία: Re{}σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ, τότε: κάθε : Re{}<σ0 θα ανήκει στην ΠΣ του. Τ

24 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Σύγκλισης σ0 σre{} ευθεία Re{}σ0 4

25 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 5: Αν το είναι ένα σήµα αµφίπλευρης επέκτασης και η ευθεία: Re{}σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ, τότε: Η ΠΣ θα είναι µια λωρίδα στο επίπεδο- που θα περιλαµβάνει την ευθεία Re{}σ0. 5

26 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Περιοχή Σύγκλισης σ0 Σύγκλισης σre{} ευθεία Re{}σ0 6

27 Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 6: Η ΠΣ µιας ρητής Χ δεν περιέχει πόλους. Ιδιότητα 7: Η ΠΣ µιας ρητής Χ ή εκτείνεται ως το άπειρο ή περιορίζεται από τους πόλους της. 7

28 Δίνεται ο Μετασχηµατισµός Laplace: Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} - - σre{} 8

29 Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Περιοχή Σύγκλισης Δεξιάς επέκτασης σήµατος - - σre{} 9

30 Περιοχή Σύγκλισης Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} Αριστερής επέκτασης σήµατος - - σre{} 0

31 Περιοχή Σύγκλισης Αµφίπλευρης επέκτασης σήµατος Μιγαδικό Επίπεδο- jωim{} - - σre{}