996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι: ) υπάρχουν οι συνρτήσεις f κι g κι είνι συνεχείς. ) ισχύουν οι σχέσεις f + f = g + g = κι ότι η συνάρτηση h= f + g είνι στθερή. γ) ν κι είνι δύο ρίζες της f κι f() γι κάθε (, ), τότε η g έχει µί µόνο ρίζ στο διάστηµ (, ). ) Έχουµε f () = g() κι η συνάρτηση g() είνι πργωγίσιµη στο, άρ η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο µε f () = g () = - f() (). g () = - f() κι η συνάρτηση f() είνι πργωγίσιµη στο Εφρµόζετι το θεώρηµ Roll γι την g στο [ξ, ξ ], εποµένως υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (ξ, ξ ) (, ) ώστε g (ξ) = - f(ξ) =, άρ η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο µε g () = - f () = - g() (). Επειδή οι συνρτήσεις - f, - g είνι συνεχείς στο (πργωγίσιµες), πό τις (), () προκύπτει ότι οι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο. ) Από τις (), () έχουµε: γ) Επειδή f () + f() = - f() + f() =, g () + g() = - g() + g() =. Κι γι κάθε έχουµε: h () = (f () + g ()) = f() f () + g() g () = f() g() g() f() =, άρ η h είνι στθερή στο. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο (, ) κι f( ) = f( ) =. Εφρµόζετι το θεώρηµ Roll γι την f στο [, ], εποµένως υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε f (ξ ) = g(ξ ) =. Έστω ότι η εξίσωση g() = έχει κι άλλη ρίζ ξ στο (, ). Τότε επειδή η g είνι συνεχής στο [ξ, ξ ], η g είνι πργωγίσιµη στο (ξ, ξ ) κι g(ξ ) = g(ξ ) =, f(ξ) =, που είνι άτοπο φού f() γι κάθε (, ). Άρ η g έχει µί µόνο ρίζ στο διάστηµ (, ).
. Ν ποδείξετε τις νισότητες: ) ηµ <, >. ) ηµ >, >. ) Θεωρούµε τη συνάρτηση φ()= ηµ,, κι έχουµε φ () = συν <, γι κάθε (φού - συν ), συνεπώς η συνάρτηση φ είνι γνησίως φθίνουσ στο [,+ ). Άρ γι > ηµ <. f φ() < φ() ) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = ηµ + ηµ < ηµ,, κι έχουµε g () = συν +, g () = - ηµ + >, γι κάθε > (πό )), συνεπώς η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ). g Άρ γι > g () > g () g () > συν + g () >, συνεπώς η g είνι γνησίως ύξουσ στο [,+ ) κι γι > ηµ > g είνι g() > g() ηµ +. > ηµ +. Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει η σχέση: f() d = f() +, γι κάθε. Το f() d, δηλδή είνι στθερά, έστω c, άρ c = f() + f()= - + c, γι κάθε. Οπότε η δοθείσ σχέση γράφετι: ( + c) d = - + c + ( + c ) d = c + ( + c ) d = c c = c (- c) ( c) = c c =. Άρ f() = - +, γι κάθε.
4. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] κι ισχύει ότι f() + f( + ) = c, γι κάθε [, ], όπου c πργµτικός ριθµός. Ν ποδείξετε ότι: f() d = ( ) f( + ) = Επειδή f() + f( + ) = c () γι κάθε [, ] έχουµε: (f() + f()). ( f() + f( + )) d = c d f() d + f( + ) d = c( ) () u θέτοντς u = + έχουµε: du = ( + ) d du = - d Άρ f( + ) d = - f(u) du = f(u) du = f() d Άρ η () γίνετι f() d = c( ) () Από την () γι = + f( ) + f() d = + έχουµε: + f( + ) = c c = + f( ) + f( ) ( ) f() d = ( ) εποµένως η () γίνετι + f( ) Από την () γι = (ή = ) έχουµε: c = f() + f() κι η () γίνετι f() d = (f() + f()) 5. Θεωρούµε τις πργωγίσιµες συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το διάστηµ [, + ) γι τις οποίες ισχύει η σχέση f () = g () + ηµ +, [,+ ). Ν ποδείξετε ότι f() + g() < g() + f(), (, + ). Θεωρούµε τη συνάρτηση h() = f() g(), [,+ ), οπότε h () = f () g () = g () + ηµ + g () = ηµ + >, άρ η h είνι γνησίως ύξουσ στο [,+ ). Γι κάθε > έχουµε h() > h() f() g() > f() g() f() + g() < g() + f(). 6. Έστω η συνάρτηση f() =, όπου. Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τιµές της πρµέτρου έτσι ώστε ν ικνοποιείτι η σχέση f () + f () = f(), γι κάθε.
Έχουµε f ()= κι f () =, οπότε γι κάθε : f () + f () = f() + = ( + ) = + = = ή = -. 7. Έστω λ, µ,, µε. Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = λ + µ µε. Έστω ότι υπάρχει τέτοιος ώστε g( ) = g ( ) =. Ν ποδειχθεί ότι λ = µ =. Έχουµε g () = λ + µ,. Άρ g( ) = λ + µ = (), g ( ) = λ + µ = (). Οι εξισώσεις (), () ποτελούν οµογενές σύστηµ µε γνώστους λ, µ κι ορίζουσ D = = = ( ),φού. Το σύστηµ έχει λοιπόν µόνο τη µηδενική λύση, δηλδή λ = µ =. 8. ίνετι η συνάρτηση g συνεχής στο κι f() = ( t) g(t) dt. Ν ποδείξετε ότι η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη κι ν µελετήσετε την f ως προς τ κοίλ ότν g() γι κάθε. Έχουµε f() = g(t) dt t g(t) dt = g(t) dt t g(t) dt. Επειδή οι συνρτήσεις g(t), t g(t) είνι συνεχείς στο, η f είνι πργωγίσιµη στο µε f () = () g(t) dt + ( g(t) dt ) ( t g(t) dt) = g(t) dt + g() g() = g(t) dt. Επειδή ( g(t) dt ) = g() η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο µε f () = g(). Η g είνι συνεχής στο κι g() γι κάθε, οπότε:
Αν g() > f () = g() > κοίλ άνω (είνι κυρτή) στο. Αν g() < f () = g() < κοίλ κάτω (είνι κοίλη) στο. f () >, άρ η C f στρέφει τ f () <, άρ η C f στρέφει τ 9. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g() = =. Γι έχουµε κι f() = κι την ευθεί f() = g() = =. Θέτουµε = u κι η εξίσωση γράφετι u u = u = ή u = - (πορρίπτετι). Άρ = =. Γι κάθε [, ] έχουµε g() f() = + = + = + = ( ) + ( )( + ) = ( )( + ). Οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ] το ζητούµενο εµδό είνι: E = g() f() d = (g() f()) d = ( + ) d = + = + = τ.µ.. Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = + + λ, λ. ) Ν υπολογίσετε την τιµή του λ ν είνι γνωστό ότι lim + f() =. ) Γι την τιµή του λ που ρήκτε πρπάνω ν υπολογίσετε το J = d. f () ) Γι > έχουµε f() = ( + + λ) = + + λ, άρ
lim + f() = lim ( + + + λ) = + + λ = λ =. ) Γι λ = έχουµε f() = +, άρ J = d = + (+ ) d = + ln( ) + = (ln ln) = ln = ln.. Έστω ότι f(t) είνι η ποσότητ ενός ντιιοτικού που έχει πορροφηθεί πό το νθρώπινο σώµ κτά τη χρονική στιγµή t όπου t f: [,+ ) είνι πργµτική συνάρτηση µε f( t ) = κι t. Ν ρεθεί η χρονική στιγµή t κτά την οποί ο ρυθµός πορρόφησης του ντιιοτικού πό το νθρώπινο σώµ είνι ίσος µε πορρόφησης κτά τη χρονική στιγµή t =. Θέτουµε t =, οπότε f() = f () = ln(- f () = ln = ln. ln ) = 6 του ρυθµού,. Γι κάθε έχουµε:, Τη χρονική στιγµή t ο ρυθµός πορρόφησης του ντιιοτικού πό το νθρώπινο σώµ είνι ίσος µε 6 χρονική στιγµή t =, εποµένως έχουµε: του ρυθµού πορρόφησης κτά τη f (t ) = ln f () 6 t = 6 ln t = -4 - t = - 4 t =996.