3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

Transcript

1 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ, τη β β± Ότν < 0 Είνι δύντη στο R. Τύποι Vieta S + β κι P γ 4. Β-βάθµι εξίσωση πό το S κι το P των ριζών της S + P 0

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Σηµντική λεπτοµέρει Η εξίσωση + β + γ 0 είνι β-βάθµι µόνο ότν 0. Γι 0, η εξίσωση γίνετι β + γ 0, δηλδή είνι -βάθµι.. Ισχύουν τ ντίστροφ Η εξίσωση + β + γ µε 0 ν έχει δύο ρίζες άνισες, τότε > 0 ν έχει µί ρίζ διπλή, τότε 0 ν είνι δύντη, τότε < 0. Γι ν λύσουµε µι δευτεροβάθµι εξίσωση, δε χωρίζουµε γνωστούς πό γνώστους, λλά µετφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος. 4. Επέκτση των τύπων Vieta (Ν γνωρίζουµε τη διδικσί κι όχι ν τους ποστηθίσουµε) i) ii) ( + ) ( + ) ( + ) β γ β β γ β + βγ

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν βρείτε, γι ποιες τιµές του µ R, η εξίσωση (µ ) µ είνι δευτεροβάθµι. Σχόλιο Πρέπει µ 0 µ µ. Ν βρείτε, γι ποιες τιµές του µ R, η εξίσωση (µ ) µ + 4 είνι δευτεροβάθµι. Η εξίσωση γράφετι (µ ) µ Σχόλιο (µ + ) µ + 0 (µ ) µ + 0 Σχόλιο Πρέπει µ 0 µ µ +. Ν λυθεί η εξίσωση + λ λ 0, όπου λ R (λ ) 4 ( λ ) 4λ + λ 6λ 0 λ± 6λ λ± 4λ λ+ 4λ ή λ 4λ λ ή 6λ λ ή λ 4. Ν λυθεί η εξίσωση 4λ + λ 0, όπου λ R ( 4λ ) 4 λ 6λ λ 4λ 0 4λ± 4λ 4 λ± λ 4λ+ λ ή 4λ λ λ ή λ 6 6 λ ή λ

4 4 5. Ν λυθεί η εξίσωση (λ ) + 0, όπου λ R Ότν λ 0, δηλδή ότν λ. Η εξίσωση γίνετι Σχόλιο Ότν λ 0, δηλδή ότν λ. ( ) 4(λ ) 4 4λ λ 4( λ) ) ν > 0, δηλδή ν λ > 0 δηλδή ν λ < τότε ± 4( λ ) ( λ ) ± λ ( λ ) ± λ λ β) ν 0, δηλδή ν λ 0 τότε ( λ ) δηλδή ν λ λ γ) ν < 0, δηλδή ν λ < 0 δηλδή ν λ > τότε η εξίσωση είνι δύντη 6. Ν λυθεί η εξίσωση Ότν λ + λ + λ 0, όπου λ R λ 0, δηλδή ότν λ 0. Η εξίσωση γίνετι Σχόλιο Ότν λ 0, δηλδή ότν λ 0. (λ ) 4λ ( λ ) 4λ 4λ + 4λ 4 4λ 4 > 0 Τότε λ± 4λ λ 4 λ± λ λ ±λ λ

5 5 7. Αν 4 8y 5 y 0, ν βρεθεί ο συνρτήσει του y. Θεωρούµε την υπόθεση σν εξίσωση µε άγνωστο. ( 8y ) 4 4 ( 5 y ) 64 y + 80 y 44 y 0 8y± 44y 8 8y± y 8 0y 8 ή 4y 8 5 y ή y 8. Ν ποδειχθεί ότι η διφορά των ριζών της εξίσωσης όπου R, είνι νεξάρτητη πό το. [ (+ ) ] 4( + ) 4( + + ) 4( + ) 4( + + ) 4 4 (+ ) + + 0, εν έχουµε τύπο ν µς δίνει τη διφορά των ριζών, άρ πρέπει ν τις βρούµε. ( + ) ± 4 ( + ) ± + ±. Άρ κι + Οπότε + 9. Ν ποδειχθεί ότι, η εξίσωση κι άνισες γι κάθε λ R. Αρκεί ν ποδείξουµε ότι > 0 γι κάθε λ R. (λ ) 4 (λ ) 4λ 4λ + 4λ + 4 4λ 8λ ( λ λ +) + 4(λ ) + > 0 + (λ ) + λ 0 έχει ρίζες πργµτικές

6 6 0. Γι τον > 0 κι τον β 0 δίνετι ότι εξίσωση + + β 0 έχει διπλή ρίζ β + β. Ν ποδείξετε ότι η Αρκεί ν ποδείξουµε ότι 0 ( ) 4β 0 4 4β 0 β 0 Η υπόθεση β + β + + β β β β 0 ( β ) 0 β 0

7 7. Ν βρεθεί ο λ R ώστε, η εξίσωση ριθµό. ( λ + ) + 4λ 0 Ο ριθµός ρίζ της εξίσωσης την επληθεύει ( λ + ) + 4λ 0 Ρίζ εξίσωσης λέγετι λ + 4λ 0 κάθε ριθµός που την επληθεύει λ + 4λ 0 λ 4λ + 0 δ ( 4 ) λ 4 ± 4 4 ± ± λ ή λ ν έχει ρίζ τον Γι λ η δοσµένη εξίσωση γίνετι ( + ) ( ) ± 00 ± 0 6 ± 5 ή Εποµένως, γι λ η δοσµένη εξίσωση έχει ρίζ τον ριθµό. Γι λ η δοσµένη εξίσωση γίνετι ( + ) ( 4 ) ± 4 4 ± ή ± Εποµένως, γι λ η δοσµένη εξίσωση έχει ρίζ τον ριθµό. Τελικά, ο ζητούµενος λ είνι λ ή λ.

8 8. Με υπόθεση ότι µί ρίζ της εξίσωσης, ν βρείτε την άλλη. Ο ριθµός είνι ρίζ της εξίσωσης Ρίζ εξίσωσης λέγετι κάθε ριθµός που την επληθεύει (λ + ) + την επληθεύει (λ + ) + 4 λ + λ 0 0 είνι ο ριθµός λ 0 0 λ 0 0 λ λ 8 0 ± ± 6 λ 4 ή λ δ ( ) 4 ( 8) λ 6 Γι λ 4 η δοσµένη εξίσωση γίνετι (4 + ) + ± ή Άρ γι λ 4, η άλλη ρίζ της δοσµένης εξίσωσης είνι ο. Γι λ η δοσµένη εξίσωση γίνετι ( + ) ή Άρ γι λ 4, η άλλη ρίζ της δοσµένης εξίσωσης είνι ο. ( ) 0 0. Αν, είνι οι ρίζες της εξίσωσης + β + γ 0, συνρτήσει των β, γ ν βρείτε δευτεροβάθµι εξίσωση που ν έχει ρίζες ρ, ρ. Από Vieta είνι + β κι γ. Η ζητούµενη εξίσωση θ είνι της µορφής S + P 0 () S ρ + ρ + ( ) ( + ) β P ρ ρ ( )( ) γ Η () γίνετι β + γ 0

9 9 4. Αν, είνι οι ρίζες της εξίσωσης + β + γ 0, συνρτήσει των β, γ ν βρείτε δευτεροβάθµι εξίσωση που ν έχει ρίζες ρ, ρ Από Vieta είνι + β κι γ. Η ζητούµενη εξίσωση θ είνι της µορφής S + P 0 () S ρ + ρ + + ( + ) ( β) β P ρ ρ ( ) ( ) ( + ) () Αλλά + ( + ) Σχόλιο 4 ( β ) γ β γ () P 0γ ( β γ) 0γ β + 6γ 6γ β Η ζητούµενη εξίσωση () θ είνι + β + 6γ β 0

10 0 5. Ν γρφεί δευτεροβάθµι εξίσωση, της οποίς οι ρίζες, ν ικνοποιούν τις σχέσεις + + κι + 5 Η ζητούµενη εξίσωση θ είνι της µορφής S + P 0 () Οι δοσµένες σχέσεις γίνοντι P + S κι S P 5 Η () γίνετι P + S κι S 5 + P P P κι S 5 + P P 8 κι S 5 + P P 6 κι S 5 + P P 6 κι S 5 6 P 6 κι S 6. ίνετι η εξίσωση ώστε ν ισχύει. + λ + 0, λ R, µε ρίζες,. Ν βρεθεί ο λ Πρέπει + λ + λ 4 λ Γι, η εξίσωση 4 λ λ 4 Γι, η εξίσωση 4 λ λ 4 4 λ ή

11 7. Αν υπάρχουν πργµτικοί ριθµοί, y γι τους οποίους ισχύει y + + ν ποδείξετε ότι y. y y 0 () H () είνι εξίσωση ου βθµού µε άγνωστο. Επειδή R (δηλδή η εξίσωση έχει ρίζ) (y ) 0 4 4y y 8 y 8. Αν υπάρχουν πργµτικοί ριθµοί, y γι τους οποίους ισχύει y + ν ποδείξετε ότι y 4. Υπόδειξη y + (y +) 0 κι κολουθούµε την άσκηση 7.,