Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει την ενότητα «Αξιολόγηση Εργασίας» και στα δύο αντίγραφα και ειστρέφει το ένα στο φοιτητή μαζί με τα σχόλια εί της ΓΕ, ενώ κρατά το άλλο για το αρχείο του μαζί με το γρατό σημείωμα του Συντονιστή, εάν έχει δοθεί αράταση. Σε ερίτωση ηλεκτρονικής υοβολής του αρόντος εντύου, το όνομα του ηλεκτρονικού αρχείου θα ρέει να γράφεται υοχρεωτικά με λατινικούς χαρακτήρες και να ακολουθεί την κωδικοοίηση του αραδείγματος: Π.χ., το όνομα του αρχείου για την 6η ΓΕ του φοιτητή ΙΩΑΝΝΟΥ στη ΠΛΗ θα ρέει να γραφεί: «ioaou_ge6_plh.doc». ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στοιχεία Φοιτητή: Ονομ/νυμο, διευθ/ση, τηλ., -ηλεκτρονική διεύθυνση ΚωδικόςΘΕ ΠΛΗ Κωδικός Τμήματος <. > Ονοματεώνυμο Καθηγητή - Σύμβουλου Καταληκτική ημερομηνία αραλαβής σύμφωνα με το ακ. ημερολόγιο (ημέρα Τρίτη) Ακ. Έτος 8-9 Ημερομηνία αοστολής ΓΕ αό το φοιτητή α/α ΓΕ 6 η Εισυνάτεται (σε ερίτωση ου έχει ζητηθεί) η άδεια αράτασης αό το Συντονιστή;.. /6/9 ΝΑΙ / ΟΧΙ Υεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαιώνω ότι είμαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οοία είχα για την ροετοιμασία της είναι λήρως αναγνωρισμένη και αναφέρεται στην εργασία. Είσης έχω αναφέρει τις όοιες ηγές αό τις οοίες έκανα χρήση δεδομένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε αραφρασμένες. Είσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία ροετοιμάστηκε αό εμένα ροσωικά ειδικά για τη συγκεκριμένη Θεματική Ενότητα.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ημερομηνία αραλαβής ΓΕ αό το φοιτητή Ημερομηνία αοστολής σχολίων στο φοιτητή Βαθμολογία (αριθμητικά, ολογράφως) Υογραφή Υογραφή Φοιτητή Καθηγητή-Συμβούλου
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 9 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετώνται τα αραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των υοδείξεων και αραομών στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της έκτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα (Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων) Ενότητα :.-.4 (Σειρές Fourier) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός Μιας Μεταβλητής» του Γ. Δάσιου Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε είσης το: βοηθητικό υλικό ου υάρχει στη http://edu.eap.gr/pli/pli/studets.htm ως εξής: Συνοδευτικό Εκαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Ολοκληρώματα, Σειρές Fourier Ειλέον η εργασία αυτή βασίζεται σε μια εανάληψη των βασικών εννοιών του μαθήματος τις οοίες ρέει να γνωρίζετε ώστε να ροετοιμασθείτε για τις Τελικές Εξετάσεις. Η ρώτη άσκηση αναφέρεται στις εφαρμογές ολοκληρωμάτων ενώ η δεύτερη στις σειρές Fourier. Με το κεφάλαιο αυτό καλύτεται η ύλη της ΠΛΗ. Οι υόλοιες ασκήσεις είναι εαναλητικές στην ύλη της Γραμμικής Άλγεβρας, του Λογισμού μίας μεταβλητής και των Πιθανοτήτων. Στόχοι: Σκοός της εργασίας αυτής είναι να σας δώσει μια εικόνα των θεμάτων ου θεωρούμε αολύτως ααραίτητα, για να εξεταστείτε ειτυχώς στην ΠΛΗ.
Ασκηση (5 μον.) A) (8 μον.) Να σχεδιάσετε το χωρίο ου ερικλείεται μεταξύ των γραφημάτων των f και g με a b, και να υολογίσετε το εμβαδόν του: συναρτήσεων ( ) ( ) ( ) = +, ( ) =,, f g a = b=. Να εαληθεύσετε το αοτέλεσμά σας, υολογίζοντας το ζητούμενο εμβαδόν με στοιχειώδη γεωμετρία, α ευθείας αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης. Β) (7 μον.) Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού V ου δημιουργείται μέσω εριστροφής του f = si cos γύρω αό τον άξονα των, για το γραφήματος της συνάρτησης ( ) ( ) ( ) διάστημα [, ]. Υόδειξη: Συμβουλευθείτε την αράγραφο. του συγγράμματος του ΕΑΠ και cos( ) αρατηρήστε ότι si ( ) cos( ) = si ( ) και si ( ) =. Άσκηση (6 μον.) (α) (6 μον.) Για όλες τις δυνατές τιμές του ακεραίου αριθμού να υολογίστε τα ολοκληρώματα I = si( ), (β) (6 μον.) Δείξτε ότι η τριγωνομετρική σειρά Fourier της f() = -,, είναι - = + 4 cos((k -)) k= (k-) (γ) (4 μον.) Χρησιμοοιώντας το ροηγούμενο ανάτυγμα δείξτε ότι = + + +... = 8 5 (k-) J = cos( ) Υόδειξη: Σύμφωνα με τη θεωρία μας (ΣΕΥ, σειρές Fourier, σελ. ) γνωρίζουμε ότι το ανάτυγμα Fourier μιας συνάρτησης f() με εδίο ορισμού το διάστημα [-, ] είναι: f ( ) = ( acos( ) + bsi( )) όου: a = = f( ) a = f( )cos( ), b = f( )si( ), Ας θεωρήσουμε τώρα τη γενικότερη ερίτωση όου η συνάρτηση f() ορίζεται και είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [-,]. Τότε η συνάρτηση F( ) = f είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [-,] και η σειρά Fourier της είναι (σύμφωνα με τις αραάνω σχέσεις): k=
F( ) = f = ( acos( ) + bsi( ) ). Εφαρμόζοντας την αντικατάσταση = σειρά Fourier της f() δίνεται αό τη σχέση: t t f () t = acos + bsi = με a = f f ( ) = a = f cos( ) = f ( ) cos b = f si( ) = f ( ) si t = η Άσκηση. (6 μον.) (α) (4 μον.) Να ροσδιορισθούν τα,y,z τέτοια ώστε ο ίνακας 5 y z b a να είναι ορθογώνιος. (β) (6 μον.) a Να δειχθεί ότι όλοι οι ίνακες της μορφής Χ =, με bc = a. ικανοοιούν την εξίσωση Χ =. Αοτελεί το σύνολo W των ινάκων αυτών διανυσματικό χώρο; Αιτιολογήστε την αάντησή σας. 4 5 (γ) (6 μον.) Εκφράστε τον ίνακα Α= ίνακας, υολογίστε την ακολουθία u = = A y αν συγκλίνει καθώς. Άσκηση 4 (6 μον.) Δίνεται η γραμμική αεικόνιση f : R R με τύο: f ( yz,, ) = ( z, y z, + y z). c ως ένα γινόμενο ΡΔΡ -, όου Δ διαγώνιος, για κάθε φυσικό αριθμό και εξετάστε (i) Βρείτε τον ίνακα της f ως ρος την κανονική βάση του R. (ii) Προσδιορίστε τον υρήνα και την εικόνα της f καθώς και αντίστοιχες βάσεις. Είναι η f -; Είναι εί ; (iii) Υάρχει ο αντίστροφός του ίνακα της f ; Υόδειξη: Μορείτε να συμβουλευθείτε το Παράδειγμα, σελ. 6 του βιβλίου. Είσης Παράδειγμα σελ. και τα Παραδείγματα,4 σελ. - αό το κεφάλαιο Γραμμικές Αεικονίσεις του ΣΕΥ. Άσκηση 5 ( μον.) ( )! (α) (4 μον.) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας: a =,, ( + )! Υόδειξη: Δείτε ΣΕΥ Λογισμός, Ακολουθίες, Παράγραφοι.4 και.5. Μελετήστε αράδειγμα 5 της αραγράφου.5.. το 4
(β) (4 μον.) Να μελετηθεί ως ρος την σύγκλισή της η σειρά: = + a b (γ) (6 μον.) Δίνεται η συνάρτηση y = f( ) = + + c. Να ροσδιορισθούν οι ραγματικές σταθερές abc,,, ώστε η y = f() να έχει σημείο καμής στο (, y) = (/, /4), και τοικά ακρότατα στα σημεία = και =. Ακολούθως να ροσδιορισθεί το είδος των ακρότατων αυτών. ta si (δ) (8 μον.) Να υολογιστεί το όριο lim με δύο τρόους. Χρησιμοοιήστε αρχικά τον κανόνα de Hospital για τον υολογισμό του ορίου. Στη συνέχεια υολογίστε το όριο και με την αντικατάσταση με τα ανατύγματα Taylor: si = +..., ta = + +... Ποιά 6 μέθοδο ροτιμάτε και γιατί; Υόδειξη: Εκτός αό τον κανόνα de Hospital, θα φανεί χρήσιμη και η Πρόταση 5.. του Σ.Ε.Υ. Άσκηση 6 (5 μον.) (α) (6 μον.) Σε μία εξέταση ολλαλής ειλογής δίνονται έντε ααντήσεις σε κάθε ερώτηση μία αό τις οοίες είναι μόνο σωστή. Ο εξεταζόμενος είτε γνωρίζει την αάντηση, με ιθανότητα.8, είτε ααντά στη τύχη. Αν ο εξεταζόμενος αάντησε σωστά σε μία ερώτηση, οια είναι η ιθανότητα να μην την γνώριζε; Υόδειξη: Θεωρήστε τα ενδεχόμενα Α={ο εξεταζόμενος αάντησε σωστά} και Β = {ο εξεταζόμενος δεν γνώριζε την αάντηση}. Ζητάμε τότε την Ρ(Β Α) για τον υολογισμό της οοίας ρέει να χρησιμοοιήσετε τον τύο Bayes. (β) (9 μον.) Μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας f X () η οοία δίδεται αό τον τύο: λ e, <+ fx ( ) =, < (i) Να βρεθεί η ραγματική σταθερά λ ώστε η συνάρτηση αυτή να είναι υκνότητα ιθανότητας. (ii) Να βρεθούν οι ιθανότητες Ρ{ Χ } και Ρ{Χ }. (iii) Να βρεθούν η μέση τιμή Ε(Χ) και η διασορά V(Χ) της μεταβλητής Χ. 5