ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Εαρινό Εξάµηνο Ρόδος, Μαρτιος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΟ ΟΥ #1 φυλλάδιο 1 αϖό 3 ίνονται έξη Οµάδες ερωτήσεων και ασκήσεων, οι ακόλουθες: Οµάδα Α1: Προβλήµατα αϖό 1 έως και 2 Οµάδα Β1: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ αϖό 1 έως και 6 Οµάδα Γ1: Ασκησεις αϖό 1 έως και 14 Οµάδα Α: Ερωτήσεις αϖό 1 έως και 3 Οµάδα : Ασκήσεις αϖό 1 εως και 13 Οµάδα Β: Ασκήσεις αϖό 1 έως και 7 Οµαδα Ε: ασκήσεις αϖό 1 εως και 24 Οµάδα Γ: Ερωτήσεις αϖό 1 έως και 12 Οµαδα Ζ Ασκήσεις αϖό 1 εως και 2 Προβληµατα Παρακαλούµε να αϖαντήσετε µε ϖροσοχή δίνοντας έµφαση σε οσα ακούσατε στις διαλέξεις του µαθήµατος, αλλά και σε όσα µϖορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραµµάτων της ϖροτεινόµενης βιβλιογραφίας. Θα ϖρέϖει να αϖαντήσετε: ΟΛΟΙ οι φοιτητές ΟΛΕΣ τις Ερωτήσεις και τα ΟΛΑ Προβλήµατα οι φοιτητές µε αρτιο αριθµό µητρώου στις αρτια αριθµηµένες ασκήσεις των Οµάδων Γ1, Β,, Ε, και Ζ οι φοιτητές µε ϖεριττό αριθµό µητρώου στις ϖεριττα αριθµηµένες ασκήσεις των Οµάδων Γ1, Β,, Ε, και Ζ Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #1 θα ϖρέϖει να ϖαραδοθεί την ευτέρα 12 Μαΐου 2014 και ώρες 11.00-14.00 στο Εργαστήριο Μαθηµατικών. Ρόδος, 04 Αϖριλίου 2014 Για το Εργαστήριο Μαθηµατικών, ιδακτικής και Πολυµέσων Eυγένιος Αυγερινός 1
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ που λύνονται µε τη λογική. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Α1 1. Όταν ο κύριος Μοσχόπουλος µπήκε σε µια αίθουσα του γυµνασίου, βρήκε τους τρεις µεγαλύτερους ταραχοποιούς του σχολείου, το Φίλιππο, το Χρήστο και το Στάθη να κάθονται σαν αγγελούδια στα καθίσµατά τους, µε πλατειά χαµόγελα στα πρόσωπά τους. Στον πίνακα ήταν ζωγραφισµένη µια καθόλου κολακευτική εικόνα του κυρίου Μοσχόπουλου. «Λοιπόν, ποιος είναι ο καλλιτέχνης;» µούγκρισε ο καθηγητής. «εν το έκανα εγώ» απάντησε ο Φίλιππος, «ήµουν έξω από την τάξη όταν συνέβηκε αυτό, ο Χρήστος το έκανε». «Είµαι αθώος» διαµαρτυρήθηκε ο Χρήστος, «η εικόνα βρισκόταν ήδη στον πίνακα όταν έφθασα εγώ. Ο Φίλιππος είπε ψέµατα ότι το έκανα εγώ.» «Ένας από εµάς το έκανε» παραδέχθηκε ο Στάθης, «εγώ όµως δεν έχω καµιά σχέση µε αυτό, και ο Φίλιππος είναι επίσης αθώος.» Εάν ο καθένας από τους µαθητές έκανε δυο αληθείς δηλώσεις και µόνο µια ψευδή, τότε ποιος ήταν ο ένοχος και ποιος ήταν παρών όταν ζωγραφιζόταν η εικόνα; 2. Ο κ. Μιχαηλίδης µοιράζεται ένα ιατρείο µε τρεις κυρίες Γεωργίου, Μάνου και Ρωµανού. Καρδιολογία, Γαστρεντερολογία, Ενδοκρινολογία και Αιµατολογία είναι οι ειδικότητες των τεσσάρων γιατρών. Από φήµες που άκουσα ως ασθενής στο νοσοκοµείο, Καρδιολόγος, Γαστρεντερολόγος και η ρ. Γεωργίου ήταν όλες στο σύλλογο φοιτητριών στο κολέγιο. Καρδιολόγος και Γαστρεντερολόγος κάποτε αποτελούσαν παντρεµένο ζεύγος. Αιµατολόγος και ρ. Μάνου έχουν δώσει αµοιβαία υπόσχεση γάµου. Ο κ. Μιχαηλίδης και η φίλη του κάθε εβδοµάδα παίζουν χαρτιά µε την γαστρεντερολόγο και τον σύζυγό της. Αν τρεις µόνο δηλώσεις είναι αληθείς τι ειδικότητα έχει κάθε γιατρός; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Β1 1. Τι ονοµάζοµε λογικό τύπο; Αναφέρατε σχετικό παράδειγµα. 2. Πότε λέµε ότι ένας λογικός τύπος είναι ταυτολογία; Ποιες είναι οι σπουδαιότερες ιδιότητες της ταυτολογικής ισοδυναµίας ; 3. Πότε λέµε ότι ένας λογικός τύπος Ρ συνεπάγεται ταυτολογικά ένα άλλο λογικό τύπο Q ; 4. Πότε λέµε ότι δύο λογικοί τύποι Ρ και Q είναι ταυτολογικά ισοδύναµοι; 5. Πότε λέµε ότι ένας λογικός τύπος Ρ είναι αντίφαση; 6. Πότε λέµε ότι ένας συλλογισµός; Ρ 1, Ρ 2,, Ρ ν Q είναι ορθός ή ισχυρός συλλογισµός; 7. Τι σηµαίνει «εις άτοπο απαγωγή» 8. Τι είναι «αντιστροφοαντιθετος» συλλογισµος ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ1 1. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω λογικοί τύποι είναι ταυτολογίες: 1) [(p q) q ] p 2) [(p q) p ] q 2. Να αποδείξετε τις ταυτολογίες: 1) (p q) [ p (p q)] 2) (p q) [( p q ) q ] 3. Να αποδείξετε τις ταυτολογίες : 1) (p q) p q 2) p q p q 2
3
ΟΜΑ Α Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε λέµε ότι δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα (ταυτά); 2. Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες της ισότητας µεταξύ των συνόλων; 3. Πότε λέµε ότι δύο σύνολα Γ και δεν είναι ίσα; ΟΜΑ Α B ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σηµειώσετε µε αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) {x x είναι ηµέρα της εβδοµάδος} β) {x x είναι πρωτεύουσα της Ελλάδος} γ) {x x είναι εποχή του έτους} δ) {x x είναι ωραίο ποίηµα} ε) {x x είναι ακέραιος της Αριθµητικής διαιρέτης του 24}. 2. Να καθορίσετε µε µια χαρακτηριστική ιδιότητα καθένα από τα σύνολα: α) Α = {Ελλάς, Αλβανία, Τουρκία, Βουλγαρία, Γιουγκοσλαβία, Ρουµανία} β) Β = {Ανατολή, ύση, Βορράς, Νότος} γ) Γ = {11, 13, 15, 17, 19} δ) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. 3. Να εξετάσετε, αν καθεµία από τις παρακάτω ιδιότητες µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον χαρακτηρισµό ενός συνόλου και, σε καταφατική απάντηση, να αναγράψετε τα στοιχεία του: α) x είναι καλός καθηγητής. β) x είναι µήνας µε όνοµα, που αρχίζει από Ι. γ) x είναι ηµέρα της εβδοµάδος µε όνοµα, που αρχίζει από Ε. δ) x είναι νόστιµο γλύκισµα. ε) x είναι ακέραιος αριθµός της Αριθµητικής τέτοιος, ώστε: x x. 4. ίνεται το σύνολο: Α = {Γιάννης, Πέτρος, Κώστας}. Να εξετάσεις, αν τα γυαλιά του Γιάννη, το σακάκι του Πέτρου και τα παπούτσια του Κώστα ανήκουν ή όχι στο Α.} 5. ίνεται το σύνολο: Α= {3 + 5, 3 5, 33, 55} Και οι προτάσεις: 3 Α, 8 Α, 5 Α, 3 Α, 33 Α, 55 Α. Ποιες απ αυτές είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; 6. Αν Α = {α, β, γ}, Β = {1, 2}, Γ = { {α}, {β}, {γ} }, Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; {1} Β, 2 Β, α Γ, {β} Γ, γ Γ, {α} Α, {γ} Γ, {1} Β. 7. ίνεται το σύνολο: Α = {1, 2, {2}, {1, 2}, 3, {3, 4, 5} }. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; {2} Α, 2 Α, {3, 4} Α, {3} Α, 3 Α, {1, 2} Α, {1, {2} } Α, Α, {3, 4, 5} Α. ΟΜΑ Α Γ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε λέµε ότι ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο είτε µέρος ενός συνόλου Β; 2. Πότε λέµε ότι ένα σύνολο Α δεν είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β; ώστε παράδειγµα. Πόσες διαφορετικές περιπτώσεις µπορείτε να διακρίνετε; 3. Πότε λέµε ότι ένα σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Β; 4. Ποιες είναι οι ιδιότητες του εγκλεισµού; 5. Τι ονοµάζουµε δυναµοσύνολο ενός συνόλου; 6. Ποιος είναι ο πληθικός ενός δυναµοσυνόλου ενός συνόλου Α µε 4 στοιχεία; 7. Τι ονοµάζουµε στα Μαθηµατικά σταθερά και τι µεταβλητή; 4
8. Ποιες είναι οι ιδιότητες της ισότητος; 9. Τι ονοµάζουµε προτασιακό τύπο µιας µεταβλητής; 10. Τι ονοµάζουµε σύνολο αναφοράς της µεταβλητής x ενός προτασιακού τύπου p(x); 11. Τι ονοµάζουµε αληθοσύνολο ενός προτασιακού τύπου p(x); 12. Τι ονοµάζουµε αντιπαράδειγµα και τι µέθοδο αντιπαραδείγµατος; ώστε ένα παράδειγµα. ΟΜΑ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σύµφωνα µε το παρακάτω σύνθετο διάγραµµα των συνόλων Α και Β να διατυπώσετε, για κάθε σηµειωµένο στοιχείο, την κατάλληλη πρόταση, που εκφράζει µε το σύµβολο ή την σχέση του στοιχείου προς το καθένα από τα σύνολα Α και Β. Π.χ. ξ Α, ξ Β. Α c β γ δ θ ε Β ζ η ξ 2. ίνονται τα δύο σύνολα: Α = {x x είναι γράµµα της λέξεως «anna»}. Β = {x x είναι γράµµα της λέξεως «banana»}. Να παραστήσετε µε διάγραµµα τα δύο σύνολα και να τα συγκρίνετε από την άποψη της σχέσεως εγκλεισµού. 3. Να παραστήσετε µε ένα σύνθετο διάγραµµα τα σύνολα: Α = { x x είναι ακέραιος της Αριθµητικής, διαιρέτης του 24} Β = { x x είναι ακέραιος της Αριθµητικής, διαιρέτης του 16} Και να διατυπώσετε µε το σύµβολο ή την πρόταση, που εκφράζει την σχέση κάθε στοιχείου προς το καθένα από τα σύνολα Α και Β. Ποια από τις προτάσεις: Α Β, Α Β αληθεύει; 4. Να παραστήσετε µε σύνθετο διάγραµµα τα σύνολα: Α = {x x είναι ακέραιος της Αριθµητικής, πολλαπλάσιο του 12} = { x x Ν ο, διαιρετός δια 12} Β = { x x είναι ακέραιος της Αριθµητικής, πολλαπλάσιο του 4} = { x x Ν ο, διαιρετός δια 4}. Στο διάγραµµα να σηµειωθούν εν όλω 10 στοιχεία µέσα στις αντίστοιχες περιοχές. Γιατί δεν µπορούµε να σηµειώσουµε όλα ανεξαιρέτως τα στοιχεία των συνόλων Α και Β; 5. Από τις παρακάτω προτάσεις να σχεδιάσετε ένα σύνθετο διάγραµµα των συνόλων Α και Β: α Α και α Β, β Α και β Β, γ Α και γ Β, δ Α και δ Β, ε Α και ε Β, ζ Β και ζ Β, η Α και η Β, θ Α και θ Β. 6. ίνονται τα σύνολα: Α = {x x είναι νησί της Ελλάδος}, Β = {x x είναι νησί της Μεσογείου} Γ = {x x είναι νησί της ωδεκανήσου}. Να σχηµατίσετε το αντίστοιχο σύνθετο διάγραµµα αναγράφοντας και τα ονόµατα έξι εν όλο στοιχείων. Ποια ιδιότητα του εγκλεισµού µπορεί να ερµηνεύσει αυτό το διάγραµµα: 7. ίνονται τα σύνολα: = {x x είναι ιόσκουρος} και Θ = {Κάστωρ, Πολυδεύκης}. Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο διάγραµµα, αφού πρώτα συγκρίνετε τα δύο σύνολα. 8. ίνονται τα σύνολα: 5
Α = {x x είναι παραλληλόγραµµο} και Β = {x x είναι ρόµβος}. Να συνδέσετε τα δύο αυτά σύνολα µε το κατάλληλο σύµβολο εγκλεισµού και να τα παραστήσετε µε ένα σύνθετο διάγραµµα. Αν Γ = {x x είναι τετράγωνο}, Τότε ποια είναι η σχέση του Α και του Β προς το Γ; 9. Στις παρακάτω δυάδες όρων να αντικαταστήσετε το ερωτηµατικό µε το κατάλληλο σύµβολο = ή ; α) Τρίπολη; Πρωτεύουσα του νοµού Μεσσηνίας. β) Κοµοτηνή; Πρωτεύουσα του νοµού Ροδόπης. γ) {x x γράµµα της λέξεως πύλη}; {x x γράµµα της λέξεως λύπη}. δ) {πύλη}; {λύπη}, ε) πύλη; λύπη. 10. Να επιλύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όπου x ΙΝ και να εκφράσετε την επίλυση µε την ισότητα δύο συνόλων. x 5 = 20 x + 3 = 7 x + 2x = x + 3x + 1 x 1 = x + x + 2 5 3 = x + x + 5 11. Ποιο υποσύνολο y του συνόλου: Γ = {x x είναι γράµµα του ελληνικού αλφαβήτου} ορίζουν οι σχέσεις: {α, β} y {β, α}; Ποια υποσύνολα y του συνόλου Ν ο ορίζουν οι σχέσεις: {3, 5} y {1, 3, 5, 7}; Ποια σύνολα y ορίζει η σχέση y {α}, όπου {α} δοσµένο µονοµελές σύνολο; 12. Ας ονοµάσουµε p 1, p 2, p 3 τις ακόλουθες τρείς προτάσεις: p 1 = ο Πέτρος είναι µόνιµος κάτοικος Αθηνών p 2 = ο Πέτρος είναι µόνιµος κάτοικος Αττικής p 3 = ο Πέτρος είναι µόνιµος κάτοικος Ελλάδος. Ποιες από τις παρακάτω είναι αληθείς; p 1 p 2, p 2 p 3, p 1 p 3, p 2 p 1, p 3 p 1, p 3 p 2, p 2 p 1, p 3 p 2, p 3 p 1, p 1 p 2, p 1 p 3, p 2 p 3 13. Ας ονοµάσουµε q 1(x), q 2(x), q 3(x) τους παρακάτω προτασιακούς τύπους: q 1(x) = x είναι άρτιος ακέραιος, q 2(x) = x είναι διαιρετός δια 2 q 3(x) = x είναι πολλαπλάσιο του 2, µε σύνολο αναφοράς το σύνολο Ν ο. Ποιες από τις ακόλουθες συνεπαγωγές αληθεύουν για κάθε τιµή της µεταβλητής x Ν ο ; q 1(x) q 2(x), q 1(x) q 3(x), q 2(x) q 3(x) q 2(x) q 1(x), q 3(x) q 1(x), q 3(x) q 2(x) q 1(x) q 2(x), q 1(x) q 3(x), q 2(x) q 3(x) q 2(x) q 1(x), q 3(x) q 1(x), q 3(x) q 2(x) ΟΜΑ Α Ε ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν Α, Β, Γ είναι οποιαδήποτε σύνολα, τότε ποιες από τις παρακάτω συνεπαγωγές είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; 1) (Α Β Β Γ) Α Γ 2) (Α Β Γ Α) Γ Β 3) (Α Β Β = Γ) Α Γ 4) (Α Β Β Α) Α = Β 5) (Α Β Α Γ) Β = Γ 6) (Α = Β Γ Β) Γ Α 7) (Α Β Γ Β) Α Γ 8) Α Β Α Υπόδειξη. Για να απαντήσετε εύκολα, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε διαγράµµατα Venn. 6
2. Να δικαιολογήσετε τις ισοδυναµίες: 1) Α Α = και 2) (Α Β Β ) Α = Β =. 3. Πόσα είναι τα υποσύνολα ενός 5µελούς συνόλου Α; Πόσα από αυτά τα υποσύνολα είναι τριµελή; Πόσα είναι τα τετραµελή; Πόσα είναι τα διµελή; Έστω Α, Β, Γ µη κενά υποσύνολα ενός συνόλου αναφοράς: 4. Να αποδείξετε ότι : Α (Β Α) = Α Β (Α Β) = Β 6. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) (Α C Β) = Β 8. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) (Α Β C ) = Α 10. Να αποδείξετε ότι: (Α Β) C = B A c A (A B) = A B A (B A) = Α Β 12. Να απλοποιήσετε την παράσταση: (A B) (A B C ) (A c B) 14. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) (Β Γ) (Γ Α)=(Α B) (Β Γ) (Γ) 16. Να αποδείξετε ότι : (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) Γ (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) Γ 18. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) Γ = Α (Β Γ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) 5. Να αποδείξετε ότι : Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) 7. Να αποδείξετε ότι : Α (Α Β) = Α Β (Α Β) Γ = (Α Γ) Β 9. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) (Α Γ) C = A B Γ C 11. Να αποδείξετε ότι : Α C (A B) = A C B A C (A B) = A C B 13. Να αποδείξετε ότι: A (B A C ) = A B A (B A C ) = A B 15. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) 17. Να αποδείξετε ότι : Α Β = (Α Β) (Β Α) (Α Β) 19. Να αποδείξετε ότι : Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) 20. Να αποδείξετε τους νόµους του De Morgan : (1) (A B Γ C ) = A C B C Γ C (2) (A B Γ) C = A C B C Γ C 21. ίνονται τα σύνολα: Α = {α, β, γ, δ, ε}, Β = {β, δ, ζ, η}, Γ = {α, β, θ, η} Να επαληθεύσετε µε αναγραφή των στοιχείων του αριστερού, αντιστοίχως του δεξιού µέλους, την ισότητα : (Α Β) (Β Γ) = (Α Β) (Β Γ) Έπειτα να αποδείξετε ότι και γενικώς αληθεύει η προηγούµενη ισότητα, δηλαδή για οποιαδήποτε σύνολα Α, Β, Γ, U 22. Να αποδείξετε, µε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα συνόλων και έπειτα γενικώς, ότι ισχύει η ισότητα: (Α Β) (Γ Α) = (Β Γ) Α 23. Να αποδείξετε, µε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα συνόλων και έπειτα γενικώς, ότι ισχύει η συνεπαγωγή: Α Γ = (Α Γ) (Β Γ) = Α Β Ποια ιδιότητα της αφαιρέσεως στην Αριθµητική σας θυµίζει το συµπέρασµα αυτής της συνεπαγωγής: 24. Να αποδείξετε µε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα συνόλων, ότι ισχύει η ισότητα: (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) και έπειτα ότι ισχύει γενικώς, δηλ. για οποιαδήποτε σύνολα Α, Β, Γ, U. Με απ αυτό, µπορούµε άραγε να πούµε ότι η διµελής πράξη της τοµής είναι επιµεριστική ως προς την διµελή πράξη της διαφοράς; Αριθµητική, αντιστοιχεί στην παραπάνω ισότητα; 7
ΟΜΑ Α Ζ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.1. ίνονται τα γεγονότα Α, Β και C. Να εκφρασθούν µε τη βοήθεια της Θεωρίας Συνόλων τα γεγονότα: α. Μόνο το Β συµβαίνει. β. Τα Α και Β συµβαίνουν αλλά όχι το C. γ. Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, C συµβαίνει. δ. Ακριβώς ένα συµβαίνει. ε. Τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, C, συµβαίνουν. 1.2. Αν Α, Β και C παριστάνουν τα σύνολα των φοιτητών που διαβάζουν τις εφηµερίδες Μ 1, Μ 2, και Μ 3 αντίστοιχα, τότε: (i) Να εκφράσεις µε προτάσεις τα σύνολα: α. Α Β C γ. (A B) ε. ABC β. ΑBC δ. Α Β C ζ. Α Β C (ii) Να εκφράσεις µε σύνολα τις φράσεις: α. Tο σύνολο των φοιτητών που διαβάζουν τουλάχιστον δύο από τις τρεις εφηµερίδες. β. Tο σύνολο των φοιτητών που διαβάζουν το πολύ µια από τις τρεις εφηµερίδες Μ 1, Μ 2, και Μ 3. (i) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ένας σκύλος κυνηγάει µιαν αλεπού, οποία προηγείται κατά 220 δικά της βήµατα. Όταν ο σκύλος κάνει 3 βήµατα η αλεπού κάνει 4, αλλά 7 βήµατα του σκύλου ισοδυναµούν µε 11 βήµατα της αλεπούς. Θα φτάσει ποτέ ο σκύλος την αλεπού; Αν ναι, µετά από πόσα βήµατά του θα συµβεί αυτό; 2. Μια συνάντηση άρχισε ανάµεσα στις 3 και 4 το απόγευµα, και τέλειωσε µεταξύ των 6 και 7. Στη συνάντηση αυτή οι δείκτες του ρολογιού τις στιγµές της έναρξης και της λήξης αντάλλαξαν θέση. Τί ώρα άρχισε η συνάντηση; 3. Στη διαθήκη του ένας πατέρας άφησε στους τρεις γιους του 17 αγελάδες, και ζήτησε να τις µοιραστούν ως εξής: Ο πρώτος να πάρει τις µισές (!), ο δεύτερος το ένα τρίτο, κι ο τρίτος το ένα ένατο. Φυσικά δε κατάφεραν να βρουν άκρη µ αυτή την εντολή. Ένας γνωστός τους µαθηµατικός προθυµοποιήθηκε να τους βοηθήσει. Για το σκοπό αυτό έφερε µαζί του µια δική του αγελάδα, και τους µοίρασε το σύνολο πια των 18 αγελάδων, κάτι που ήταν εύκολο να γίνει, αλλά και που ο καθένας από τους τρεις κληρονόµος το θεώρησε ευνοϊκό για τον εαυτό του. Τί συνέβη, και γιατί; 4. Η φυλακή ενός βασιλείου του περασµένου αιώνα είχε 1000 κελιά, αριθµηµένα από το 1 ως και το 1000. Κάθε κελί είχε έναν φυλακισµένο, και για κάθε φυλακισµένο υπήρχε ένας ξεχωριστός φύλακας. Σε µια επανάσταση, µετά την ανατροπή του βασιλιά, δόθηκε η διαταγή να απελευθερωθούν ορισµένοι φυλακισµένοι, µε βάση τον εξής κανόνα: 0) κάθε φύλακας θα περάσει µπροστά από όλα τα κελιά µια φορά, 1) ο πρώτος φύλακας θα ανοίξει όλα τα κελιά, 2) ο δεύτερος θα κλείσει κάθε δεύτερο κελί, δηλαδή όλα µε άρτια αρίθµηση, 3) ο τρίτος θα σταµατάει µόνο σε κάθε τρίτο κελί, και θα το κλείνει αν είναι ανοιχτό ή θα το ανοίγει αν είναι κλειστό, 4) ο τέταρτος όµοια θα σταµατά σε κάθε τέταρτο κελί και θα το κλείνει αν ήταν ήδη ανοιχτό και θα το ανοίγει αν ήταν κλειστό, και 5) µε ανάλογο τρόπο θα ενεργήσουν ο πέµπτος, ο έκτος κλπ µέχρι και ο χιλιοστός φύλακας. Ποιοι φυλακισµένοι θα απελευθερωθούν; 5. Σε δύο στρατιώτες ανατέθηκε να µεταφέρουν ένα µήνυµα διά µέσου µιας ερήµου, την οποία µπορεί κανείς να διασχίσει σε 9 ηµέρες. Αν καθένας από τους δύο στρατιώτες µπορεί να κουβαλήσει µαζί του τρόφιµα µόνο για 12 ηµέρες, είναι δυνατό να µεταφερθεί το µήνυµα, και οι στρατιώτες να επιστρέψουν εκεί από όπου ξεκίνησαν, χωρίς να στερηθούν από τρόφιµα; 6. Ποιο είναι το ψηφίο των µονάδων του αριθµού Ν = 1! + 2! + 3! + + 23! ; 7. Αν όλες οι ακµές ενός κύβου αυξηθούν κατά 30%, τότε κατά πόσο τοις εκατό αυξάνεται η επιφάνειά του, και κατά πόσον ο όγκος του; κατά πόσο πρέπει να αυξηθεί η ακµή ενός κύβου, ώστε ο όγκος του να διπλασιαστεί; 8. Ποιος κατά κάποιο λογικό τρόπο θα µπορούσε να είναι ο εικοστος όρος της ακολουθίας αριθµών: 3, 7, 16, 32, 57, 93, _ ; 9. Κάποια χρονιά, ο Γενάρης είχε τέσσερις Τρίτες και τέσσερα Σάββατα. Ποια µέρα της εβδοµάδας ήταν η 1η αυτού του µήνα; 10. Η Άννα, ο Βασίλης και ο Γιώργος βαδίζουν στον ίδιο δρόµο και προς την ίδια κατεύθυνση. Μια κάποια χρονική στιγµή t, ο Γιώργος βρίσκεται 300 m πιο µπροστά από το Βασίλη, και ο Βασίλης 100 m πιο µπροστά από την Άννα. Μετά από 6 min η Άννα φτάνει τον Βασίλη, και µετά από άλλα 6 min φτάνει και τον Γιώργο. Σε πόσο χρόνο από τη στιγµή t ο Βασίλης θα φτάσει το Γιώργο; 8