Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2 Να γωρίζει τις γραφικές παραστάσεις τω βασικώ συαρτήσεω 3 Να μπορεί α βρίσκει το άθροισμα, το γιόμεο, το πηλίκο και τη σύθεση απλώ συαρτήσεω 4 Να γωρίζει τη έοια της συάρτησης 1 1, τις βασικές ιδιότητες της και α καταοήσου τη διαδικασία εύρεσης της ατίστροφης μιας απλής συάρτησης Να γωρίζει, επιπλέο, οι γραφικές παραστάσεις δύο ατίστροφω συαρτήσεω είαι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωίας τω αξόω 5 Να μπορεί α εκφράζει, με τη βοήθεια συάρτησης, το τρόπο με το οποίο συδέοται οι τιμές δύο μεγεθώ σε διάφορα προβλήματα 6 Να μπορεί α βρίσκει το όριο μιας συάρτησης στο x, ότα δίεται η γραφική της παράσταση 7 Να γωρίζει τις ιδιότητες του ορίου συάρτησης και με τη βοήθειά τους α υπολογίζει τα όρια απλώ συαρτήσεω 8 Να μπορεί α διαπιστώει τη ύπαρξη μη πεπερασμέω ορίω συαρτήσεω από τη γραφική τους παράσταση 9 Να μπορεί α υπολογίζει τα όρια πολυωυμικώ ή ρητώ συαρτήσεω στο + και στο 1 Να γωρίζεί τις γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της λογαριθμι-
κής συάρτησης και τα όρια τα σχετικά με τις συαρτήσεις αυτές 11 Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας και τη έοια του ορίου ακολουθίας 12 Να γωρίζει τη έοια της συέχειας συάρτησης σε σημείο x του πεδίου ορισμού της 13 Να ααγωρίζει τη συέχεια μιας συάρτησης f σε σημείο η διάστημα, από τη γραφική της παράσταση 14 Να γωρίζει τις βασικές συεχείς συαρτήσεις και ότι το άθροισμα, η διαφορά, το γιόμεο, το πηλίκο καθώς και η σύθεση συεχώ συαρτήσεω είαι συεχής συάρτηση 15 Να γωρίζει τα βασικά θεωρήματα: Bolzano, εδιάμεσης τιμής και μέγιστης - ελάχιστης τιμής, ότα η συάρτηση ορίζεται σε κλειστό διάστημα και α μπορεί α τα εφαρμόζει, στη εύρεση του προσήμου μιας συεχούς συάρτησης, στη εύρεση του συόλου τιμώ και του πλήθους τω ριζώ συαρτήσεω τω οποίω είαι γωστά τα διαστήματα μοοτοίας και το είδος της μοοτοίας
Τύποι - Βασικές έοιες Όρια - Συέχεια 37 ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύεται ο υπολογισμός ορίω (άλγεβρα ορίω): Α τα όρια lim f (x) και lim g(x) υπάρχου και είαι πραγματικοί αριθμοί τότε : x x x x lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) x x x x x x lim k f (x) = k lim f (x), k R x x x x lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) x x x x x x ( ) lim f (x) = lim f (x), Ν με v 2 x x x x f x lim f (x) x x lim =, lim g(x) g x lim g(x) x x x x x x lim f (x) = lim f (x) x x x x lim f (x) lim f (x) με f(x) x x x x = κοτά στο x, v Nμε v 2
38 Όρια - Συέχεια Τύποι - Βασικές έοιες Ορισμός 1 Μια συάρτηση f οομάζεται συεχής σε έα σημείο x του πεδίου ορισμού της, α και μόο α, ισχύει : lim f ( x) = f ( x ) x x Ορισμός 2 Μια συάρτηση f οομάζεται συεχής (στο πεδίο ορισμού της), α και μόο α, είαι συεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Συέχεια βασικώ συαρτήσεω - Κάθε πολυωυμική συάρτηση είαι συεχής στο R - Κάθε ρητή συάρτηση είαι συεχής στο πεδίο ορισμού της - Οι συαρτήσεις ημx, συx είαι συεχείς στο R - Οι συαρτήσεις e x, α x, lnx, logx είαι συεχείς στο πεδίο ορισμού τους, με < α 1 Πράξεις με συεχείς συαρτήσεις Α οι συαρτήσεις f και g είαι συεχείς σε έα σημείο x του πεδίου ορισμού τους, τότε και f k οι συαρτήσεις: f + g, f g, λ f( λ R ), ( g( x) ), f, f ( f( x) ), κ Νμε g κ 2 είαι συεχείς στο x Θεώρημα Bolzano (ΘΒ) Έστω μια συάρτηση f, ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα [α,β] Α: η f είαι συεχής στο [α,β] και f (α) f (β) < x, f x = τότε υπάρχει έα τουλάχιστο αβ τέτοιο ώστε δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστο ρίζα της εξίσωσης f( x) = στο (α,β) Γεωμετρική ερμηεία Η γραφική παράσταση της f τέμει το άξοα x x σε έα τουλάχιστο σημείο με τετμημέη x μεταξύ τω α και β (σχ1) Θεώρημα εδιάμεσω τιμώ (ΘΕΤ) Έστω μια συάρτηση f η οποία είαι ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα [α,β] Α ισχύου ότι: η f είαι συεχής στο [α,β] και f α f β τότε για κάθε αριθμό n μεταξύ τω f(α), f(β) υπάρχει έα τουλά- x α,β f x = n χιστο τέτοιο ώστε
Τύποι - Βασικές έοιες Όρια - Συέχεια 39 Γεωμετρική ερμηεία Η ευθεία y = n όπου n μεταξύ τω f ( α ), f ( β ) τέμει τη γραφική παράσταση της f τουλάχιστο σε έα σημείο με τετμημέη μεταξύ τω α και β Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Α f είαι συεχής συάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρει στο [α,β] μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη x,x α,β m= f x και M = f x οπότε: τιμή m, δηλαδή υπάρχου [ ] τέτοια ώστε = =, για κάθε x [ α,β] m f x f x f x M Ευρεση συόλου τιμώ Όπως ήδη ααφέρθηκε στο πρώτο σχόλιο είαι φαερό ότι το σύολο τιμώ μιάς συεχούς συάρτησης f ορισμέης σε κλειστό [ α, β ] είαι το f ( α ),f( β) f β,f α α η f είαι φθίουσα α η f είαι αύξουσα και Α η f είαι συεχής στο αοιχτό ( α,β ) τότε το σύολο τιμώ της στη περίπτωση που είαι ( + ) x α x β γησίως αύξουσα είαι f ( A) im f ( x ), im f ( x) γησίως φθίουσα είαι f( A) = imf( x ), imf( x) = εώ στη περίπτωση που είαι ( + x β x α ) Α τέλος, η f είαι συεχής και ορισμέη στα [ α,β ) ή ( α,β ] τότε (α f γησίως αύξουσα) + x β x α Εώ (α f γησίως φθίουσα) το σύολο τιμώ της είαι f( A) = ( imf( x ),f( α) ή x β f ( β,imf ) ( x + )) x α το σύολο τιμώ της είαι: f ( A) = f( α, ) imf( x ) ή f( Α) = imf( x, ) fβ (