Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα ψ.. 9 α Α (ψ). α α Α (ψ). α α (Α) ψ 4. α 4 Α (ψ) 5. α > > 4 (Α) ψ 6. α < < 4 Α (ψ) 7. < 4 α < (Α) ψ 8. > 4 α > Α (ψ) 9. α < και β < α.β < 6 Α (ψ). //. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό της ομάδας Β. Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ. ( ) 0 A 0 και. ( ) 0 Β. 4 Γ ή 4. 4 και < 0 Δ 0 5. ( ) 0 και ( ) 0 Ε 0 ή 6. 4 και > 0 Ζ Απάντηση Ε, Α, Γ, 4 Ζ, 5 Δ, 6 Β.//

.. Στους παρακάτω πίνακες να συμπληρώσετε με το σύμβολο ν εκείνα τα τετραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο.. Πως ονομάζονται οι αριθμοί για τους οποίους έχουν συμπληρωθεί τα τετραγωνάκια μόνο της τελευταίας γραμμής ;. Να χρησιμοποιήσετε τα διαγράμματα του Venn για να παραστήσετε τις διαδοχικές σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων N,Z,Q και R και να τοποθετήσετε σε αυτά τους αριθμούς αυτούς. Οι αριθμοί της τελευταίας γραμμής ονομάζονται πραγματικοί.,5 0 0 /5 π, 0/5 00 5 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν 0 0 N 5 00, Z Q R -5 -,5 5 4. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.. Αν Α {ϵz διαιρέτης του 6} και Β {ϵz διαιρέτης του 4}, τότε α) Α Β {,,, 4, 6, 8,, 4} β) Α Β {,, 4, 8}. Ας θεωρήσουμε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα υποσύνολά του Α {Ω φωνήεν} και Β {Ω σύμφωνο}. Τότε : α) Α Β Ω β) Α Β γ) Α Β δ) Β Α 0 π 5. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλους τις σωστές απαντήσεις :. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε : α) Α Α Β β) Β Α Β γ) Α Β Α (σωστό) δ) Α Β Β (σωστό). Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε :

α) Α Α Β (σωστό) β) Α Β Β γ) Α Β Α 6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, το κενό σύνολο και Α Ω. Τότε : α) Ω β) Ω γ) (Α ) Α. Έστω Α Β. Τότε : α) Α Β Α β) Α Β Β 4

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές. i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: Α : Ο αριθμός των Κ υπερβαίνει τον αριθμό των Γ Α : Ο αριθμός των Κ είναι ακριβώς Α : Ο αριθμός των Κ είναι τουλάχιστον Α 4 : Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις Α 5 : Στην πρώτη ρίψη φέρνουμε Κ. iii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα A, A5 A, A5 A4. ΛΥΣΗ i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, θα χρησιμοποιήσουμε ένα δεντροδιάγραμμα: Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες τριάδες με στοιχεία το Κ και το Γ και είναι η ρίψη η ρίψη η ρίψη Αποτέλεσμα Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Κ Κ Κ Κ Γ Κ Γ Κ Κ Γ Γ Γ Κ Κ Γ Κ Γ Γ Γ Κ Γ Γ Γ Ω { KKK, KKΓ, KΓ K, KΓΓ, ΓKK, ΓKΓ, ΓΓK, ΓΓΓ}. ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω και την αντίστοιχη ιδιότητα έχουμε: A { ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ } A { ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ } A { ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ } (Παρατηρούμε ότι A A ) A4 { ΚΚΚ, ΓΓΓ} A5 { ΚΚΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ }. iii) Το A περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το A, περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία ο αριθμός των Κ είναι μικρότερος από. Επομένως, A { ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Το ενδεχόμενο A5 A περιέχει τα κοινά στοιχεία των A 5 και A, δηλαδή τα στοιχεία με δύο ακριβώς Κ, εκ των οποίων το ένα στην πρώτη θέση. Επομένως, A5 A { ΚΚΓ, ΚΓΚ }. Το ενδεχόμενο A5 A4 περιέχει τα στοιχεία που στην πρώτη θέση έχουν Κ ή τα στοιχεία που έχουν ίδιες και τις τρεις ενδείξεις. Επομένως, A A { ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΚΚΚ, }.// 5 4 ΓΓΓ 5

. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις: i) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. ii) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β. ΛΥΣΗ Ω Ω A Α Β A ( A B) B Β Α B i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις επιφάνειες των Α και Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή επιφάνειά τους. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A B και B A. Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το ( A B) ( B A) ή ισοδύναμα το ( A B) ( A B). ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του Ω που είναι εκτός της ένωσης των Α και Β. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι το ζητούμενο σύνολο είναι συμπληρωματικό του A B, δηλαδή το ( A B).//. Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι αυτός που θα κερδίσει πρώτος δύο παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι, να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. ο παιχνίδι α ο παιχνίδι ο παιχνίδι α α β Αρχή β β α α β β Ω {αα, αβα, αββ, βαα, βαβ, ββ }.// 4. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε τα ενδεχόμενα : Α : Το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι μεγαλύτερο από το αποτέλεσμα της ης Β : Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι άρτιος αριθμός Γ : Το γινόμενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μικρότερο του 5 Στη συνέχεια να βρείτε τα ενδεχόμενα, Α Γ, Β Γ, (Α Β) Γ 6

Στο πείραμα αυτό για να βρούμε τον δειγματικό χώρο μας συμφέρει να φτιάξουμε πίνακα διπλής εισόδου η ρίψη 4 5 6 η ρίψη (,) (,) (,) (,4) (, 5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) 4 (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) Ο δειγματικός χώρος περιέχει σαν στοιχεία όλα τα αποτελέσματα του παραπάνω πίνακα διπλής εισόδου Α { (,), (,), (,), (4,), (4,), (4,), (5,), (5,), (5, ), (5,4), (6,),. (6,), (6,), (6,4), (6,5)} Β {(,), (,), (,5), (,), (,4), (,6), (,), (,), (,5), (4,), (4,4), (4, 6), ( 5,),( 5, ), ( 5,5), (6,), (6,4), (6,6)} Γ{(,), (,), (, ), (,4), (,), (, ), (, ), (4, )} {(,), ( 4, ), ( 5, ), ( 5, ), ( 6, ), ( 6, 4)} { (, ), (, ), ( 4,)} { (, ), (, ), (, ), (, ) } ( ) Γ{ (,) }.// 5. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι : αν τότε Β Α Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τυχαίο στοιχείο χ του Β ανήκει και στο Α. Β και αφού Α Β Α // 6. Έστω Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Να γράψετε το ενδεχόμενο ως ένωση τριών ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων. Έστω το παρακάτω διάγραμμα του Venn Ω Α Β ( ) ( ) ( ). Α Β Α Β Β Α.// 7

7. Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο διαδοχικούς αριθμούς. ΛΥΣΗ Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος, χρησιμοποιούμε έναν πίνακα διπλής εισόδου, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. ο ο 4 5 6 4 5 6 (,) (,) (,) (4,) (5,) (6,) (,) (,) (,) (4,) (5,) (6,) (,) (,) (,) (4,) (5,) (6,) (,4) (,4) (,4) (4,4) (5,4) (6,4) (,5) (,5) (,5) (4,5) (5,5) (6,5) (,6) (,6) (,6) (4,6) (5,6) (6,6) Από τον πίνακα αυτόν έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω έχει 6 ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή N ( ) 6. Το ενδεχόμενο Α: να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς, είναι το Επομένως, A {(,),(,),(,),(,),(,4),(4,),(4,5),(5,4),(5,6)(6,5)} δηλαδή N ( A) 0 N( A) 0 5 P ( A). N( ) 6 8 Άρα, η πιθανότητα να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς είναι 5 0, 8 ή, στη γλώσσα των ποσοστών, περίπου 8%.// 8 8. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται ( A) 0, 5 P ( A B) 0,. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων: i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. ΛΥΣΗ P, ( B) 0, 4 i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το ( A B). Επομένως P(( A B) ) P( A B) P και ( P( A) P( B) P( A B)) (0,5 0,4 0,) A B 0,7 Ω 0,. ( A B) 8

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το ( A B) ( B A). Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε: P(( A B) ( B A)) P( A B) P( B A) P( A) P( A B) P( B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,5 0,4 0, 0, 5.// Ω A B ( A B) ( B A) 9. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P ( A) 0, 6 και ( B) 0, 5 i) Να εξεταστεί αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ii) Να αποδείξετε ότι 0, P ( A B) 0, 5. ΛΥΣΗ P. i) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, από τον απλό προθετικό νόμο των πιθανοτήτων θα είχαμε: P ( A B) P( A) P( B) 0,6 0,5, ισχύει, δηλαδή, P ( A B), που είναι άτοπο. Άρα, τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. ii) Επειδή A B B και A B A P( A B) P( B), έχουμε και P( A B) P( A), επομένως P ( A B) 0, 5 () Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε: P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) 0,6 0,5 P( A B). Όμως ( A B) P. Επομένως: 0,6 0,5 P ( A B) 0,6 0,5 P( A B) 0, P( A B). () Από τις () και () προκύπτει ότι: 0, P ( A B) 0, 5.// 0. Να βρείτε την πιθανότητα στην ρίψη δύο νομισμάτων (διαδοχικά) να εμφανιστούν δύο γράμματα. Για να βρούμε τον δειγματικό χώρο του πειράματος φτιάχνουμε δεντροδιάγραμμα ο νόμισμα Κ ο νόμισμα Κ Γ Αρχή Κ Γ Γ Ω A A B B 9

Όπου Κ κεφάλι και Γ γράμματα Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι ο Ω{ ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}, άρα Ν(Ω) 4. Αν Α είναι το ενδεχόμενο : δύο γράμματα, τότε Α { ΓΓ}, Άρα Ν(Α). ( ) Οπότε ( ).// ( ) 4. Ένα κουτί περιέχει μπάλες : 0 άσπρες (Α), 5 μαύρες (Μ), 5 κόκκινες (Κ) και 0 πράσινες (Π). Παίρνουμε τυχαίως μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι : i) μαύρη ii) μαύρη ή άσπρη iii) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη Αφού μέσα στο κουτί υπάρχουν 0 + 5 + 5 + 0 40 μπάλες, θα είναι Ν(Ω) 40 i) Έστω Μ το ενδεχόμενο : η μπάλα να είναι μαύρη. Τότε Ν(Μ) 5 Άρα 5 ( ) 40 8 ii) Έστω Α είναι το ενδεχόμενο : η μπάλα είναι άσπρη. Τότε Ν(Α) 0 0 Άρα ( ) 40 4 Το ενδεχόμενο : η μπάλα να είναι μαύρη ή άσπρη, είναι το με Α, Μ ασυμβίβαστα. Οπότε 5 ( ) ( ) ( ) 8 4 8 iii) Το ενδεχόμενο : η μπάλα δεν είναι ούτε πράσινη ούτε κόκκινη, σημαίνει ότι η μπάλα είναι : μαύρη 5 ή άσπρη, που όπως είδαμε έχει πιθανότητα.// 8. Σε μία τάξη με 0 μαθητές, ρωτήθηκαν οι μαθητές πόσα αδέλφια έχουν. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στον πίνακα Αριθμός μαθητών 4 9 Αριθμός αδελφών 0 4 5 Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα η οικογένειά του να έχει τρία παιδιά. Το πλήθος όλων των μαθητών της τάξης είναι 0, οπότε Ν(Ω)0. Για να έχει η οικογένεια του μαθητή παιδιά θα πρέπει ο μαθητής που επιλέχτηκε να έχει αδέλφια. Έστω Α το ενδεχόμενο : ο μαθητής έχει δύο αδέλφια. Από τον πίνακα βλέπουμε ότι Ν(Α) 9 ( ) Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ρ(Α) ( ) 9 0.// 40

. Έστω τα σύνολα Ω {ω / 0 ω 0}, Α {ωω / ω πολλαπλάσιο του } και Β {ωω / ω πολλαπλάσιο του 4}. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες i) Να ανήκει στο Α ii) Να μην ανήκει στο Β Από την υπόθεση βλέπουμε ότι το Ω περιέχει σαν στοιχεία τους φυσικούς που ικανοποιούν την σχέση 0 ω 0. Άρα Ω { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } με Ν(Ω) Το ενδεχόμενο Α περιέχει όλα τα στοιχεία του Ω τα οποία είναι πολλαπλάσια του. Άρα Α{, 5,8 } με Ν(Α) Το Β περιέχει τα στοιχεία του Ω που είναι πολλαπλάσια του 4. Άρα Β {, 6, 0 } με Ν(Β) ( ) Οπότε i) ( ) ( ) ii) Δεν ανήκει στο Β σημαίνει ανήκει στο Β. ( ) 8 Γνωρίζουμε ότι Ρ(Β ) Ρ(Β). Αλλά Ρ(Β) Άρα Ρ(Β ).// ( ) 4. Σε έναν αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο Λευτέρης είναι 0%, η πιθανότητα να κερδίσει ο Παύλος είναι 0% και η πιθανότητα να κερδίσει ο Νίκος είναι 40%. Να βρείτε την πιθανότητα i) Να κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Παύλος ii) Να μην κερδίσει ο Λευτέρης ή ο Νίκος Έστω : Λ το ενδεχόμενο κερδίζει ο Λευτέρης, Π κερδίζει ο Παύλος και Ν κερδίζει ο Νίκος 0 0 Τότε Ρ(Λ), Ρ(Π) και Ρ(Ν) 00 00 00 i) Το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το με Λ και Π ασυμβίβαστα. Από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε ότι 0 0 50 ( ) ( ) ( ) 00 00 00 ii) Δεν κερδίζει ο Λευτέρης ή ο Νίκος είναι το ενδεχόμενο ( ) οπότε 0 40 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 00 00 00 ( πάλι τα Λ και Ν είναι ασυμβίβαστα ).// 40 4

5. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ) 7 και Ρ(Α Β). Να βρείτε την Ρ(Α Β) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) 0 5 ( ) 7 7 0 5 ( ).// 0 6. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω έχουμε ότι ( ), Ρ(Β ) και Ρ(Α Β). Να βρείτε την Ρ(Α Β). Ρ(Β ) Ρ(Β) Ρ(Β) Ρ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 0 6 4 7. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και P(A B) 0 ( ) ( ) ( ) (Προσθέτουμε στο ο μέλος την P(A B), άρα αυτό μεγαλώνει).// 8. Ένα ορισμένο κατάστημα δέχεται πιστωτικές κάρτες D ή V. Το 5% των πελατών έχει κάρτα D, το 55% έχει κάρτα V και το 5% έχει και τις δύο κάρτες. Ποια είναι η πιθανότητα, ένας πελάτης που επιλέγεται τυχαία να έχει μία τουλάχιστον κάρτα ; 5 Έστω D το ενδεχόμενο, ο πελάτης να έχει κάρτα D. Τότε Ρ(D), 00 55 V το ενδεχόμενο, ο πελάτης να έχει κάρτα V. Τότε Ρ(V). 00 Το ενδεχόμενο, ο πελάτης έχει και τις δύο κάρτες είναι το (D V). Οπότε Ρ(D V) 5. 00 Το ενδεχόμενο, ο πελάτης έχει μία τουλάχιστον κάρτα, είναι το (D V). Οπότε από τον προσθετικό νόμο έχουμε 9.// 4 (D V) (D) (V) (D V) (D V) 5 55 5 άρα P(D V ) 65 00 00 00 00.// 4

9. Το 0% των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση, το 6% στεφανιαία καρδιακή ασθένεια και το % έχουν και τα δύο. Για ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα να έχει α) τουλάχιστον μία ασθένεια β) μόνο μία ασθένεια Έστω τα ενδεχόμενα : Υ το άτομο έχει υπέρταση, οπότε Ρ(Υ) 00 6 Σ το άτομο έχει στεφανιαία, οπότε Ρ(Σ) 00 Tο ενδεχόμενο : το άτομο έχει και τις δύο ασθένειες, είναι το, οπότε ( ) 00 α) Το ενδεχόμενο : το άτομο έχει μία τουλάχιστον ασθένεια είναι το. Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 4 00 00 00 00 β) Το ενδεχόμενο : το άτομο έχει μία μόνο ασθένεια είναι το (Υ Σ) (Σ Υ) και επειδή τα Υ Σ, Σ Υ είναι ασυμβίβαστα, με τον απλό προσθετικό νόμο θα έχουμε P ( ) ( ) () 0 Αλλά P(Υ Σ) Ρ(Υ) Ρ(Υ Σ) 00 00 8 00 και Ρ(Σ Υ) Ρ(Σ) Ρ(Υ Σ) 6 00 00 4 00 () P 8 00 + 4 00.// 00 0 0. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 0% γαλλικά και το 0% και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα, να μη μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες Έστω τα ενδεχόμενα Α : μαθαίνει αγγλικά, με Ρ(Α) 00 0 Γ : μαθαίνει γαλλικά, με Ρ(Γ) 00 Το ενδεχόμενο, μαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι το με Το ενδεχόμενο δεν μαθαίνει καμία γλώσσα είναι το ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 80 0 0 0.// 00 00 00 00 4 80 Ρ(Α Γ) 0 00

. Σε μία κωμόπολη το 5% των νοικοκυριών δεν έχουν τηλεόραση, το 40% δεν έχουν βίντεο και το 0% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο. Επιλέγουμε τυχαία ένα νοικοκυριό. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τηλεόραση και βίντεο. Έστω Τ το ενδεχόμενο το νοικοκυριό δεν έχει τηλεόραση με Ρ(Τ) 00 40 Β το ενδεχόμενο το νοικοκυριό δεν έχει βίντεο με Ρ(Β) 00 Τότε, το νοικοκυριό δεν έχει ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο είναι το ( ) με ( ) Ζητάμε την πιθανότητα, επιλέγοντας ένα νοικοκυριό στην τύχη, να έχει τηλεόραση και βίντεο. Δηλαδή ζητάμε την Ρ(Τ Β ). Από διάγραμμα Venn, διαπιστώνουμε ότι (Α Β) (Α Β ) Οπότε Ρ(Τ Β ) Ρ(Τ Β) Ρ(Τ Β) [Ρ(Τ) + Ρ(Β) - Ρ(Τ Β)] Ρ(Τ) Ρ(Β) + Ρ(Τ Β) 5 40 0 55.// 00 00 00 00 5 0 00. Αν 0 < Ρ(Α) < να αποδείξετε ότι 4 ( ) ( ) Έστω Ρ(Α) ρ με 0 < ρ <, οπότε Ρ(Α ) ρ > 0. Αρκεί να αποδείξουμε + 4 ρ + ρ 4ρ( ρ) 4ρ 4 4 4ρ + 0 (ρ ) 0 που ισχύει.//. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) 0,6 και Ρ(Β) 0,7, να δείξετε ότι 0, Ρ(Α ) 0,6 44

Για την ανισότητα Ρ(Α ) 0,6 Ρ(Α ) Ρ(Α) Ρ(Α ) 0,6 Για την ανισότητα 0, Ρ(Α ) Ρ(Α ) ( ) ( ) ( ) Ρ(Α ) 0,6 + 0,7 ( ) Ρ(Α ), ( ) () Αρκεί να αποδείξουμε 0, Ρ(Α ) ( ) 0,, ( ) ( ) ( ) 0 που ισχύει.// 4. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ιδίου δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Ρ(Β) + Ρ(Α) Ρ(Α) + Ρ(Β) ( ) + ( ) ( ) που ισχύει.//, 5. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω { 0,,,,, 00}. Δίνονται και οι πιθανότητες ( ) κ,,,, 00. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(0) Γνωρίζουμε ότι Ρ(0) + Ρ( ) + Ρ() +... + P(00) Αλλά (), Ρ(), Ρ(),..., Ρ(00) 00 Άρα Ρ(0) +... () 00 Η παράσταση... είναι το άθροισμα των 00 00 πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ, που 45

δίνεται από τον τύπο S 00 () Ρ(0) + 00 00 ( ) Ρ(0) 00 S 00.// 00 00 00 6. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα του Ω.Υποθέτουμε ότι Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,7. Να αποδείξετε ότι i) ( ),0 ( ) και ii) ΑΒ Ρ(Α ) 0,8 ( ) 0,8 ( ) 0,7 () Ρ(Β ) 0,7 ( ) 0,7 ( ) 0,9 () i) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) + ( ),0 Από τον προσθετικό νόμο έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 ) ( ) ii) Αν υποθέσουμε ότι Α, τότε Ρ( 0 (i) 0,0 ( ) ( ),( ) 0,7 + 0,9 ( ),0 που είναι άτοπο, αφού η πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου είναι, επομένως.// 46

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Δίνεται η παράσταση Α [ y 4 9 i) Να δείξετε ότι Α 9 y y ] : y ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης για 00 και y 00 i) Α [ y 4 ii) Α ( y 9 y ] : y 9 ) 4 [ y 6 4 y ] : 6 y : 9 y 9 00.. // 00 y 9 6 y 9 9 y 9 y. Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ) α +. //. Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ). // [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). // 47

5. Να απλοποιήσετε την παράσταση ( + y ( + y ( + y ) y ). y ( + y ) y y ). y ( + y ) ( + y ) y y y y y. // 6. Να αποδείξετε ότι + α + 0. Πότε ισχύει η ισότητα; + α + ( α +) + (α ) + 0 + 0 0 + α + 0 (α ) + 0 α 0 και β 0 α και β 0. // 7. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) Αν ( ) + (y + ) 0 ii) Αν + y + 4y + 5 0 i) ( ) + (y + ) 0 0 και y + 0 και y ii) + y + 4y + 5 0 + y + 4y + + 4 0 y + 4y + 4) 0 ( + ) + ( ( ) + (y + ) 0 0 και y + 0 και y. // 8. Αν 4,5 < < 4,6 και 5, < y < 5,4, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις i) + y ii) y iii) y 48 iv) + y

i) Προσθέτουμε κατά μέλη : 4,5 + 5, < + y < 4,6 + 5,4 9,8 < + y < 0 ii) 5, < y < 5,4 5, > y > 5,4 5,4 < y < 5, () αλλά 4,5 < < 4,6 () iii) 5, < y < 5,4 ().() : 4,5. 0 54 <. y 5, > y > 5, 4 0 5 > y > 0 54 0 54 < y < 0 () 5 < 4,6. 0 5 () + () : 0,9 < y < 0,7 45 54 < y < 46 5 iv) 4,5 < < 4,6 (4,5 ) < < (4,6 ) 0,5 < <,6 (4) 5, < y < 5,4 (5, ) < y < (5,4 ) 8,09 < y < 9,6 (5) (4) + (5) : 48,4 < + y < 50,. // 9. Αν α > > β, να αποδείξετε ότι α + β > +αβ. Αρκεί να δειχθεί ότι > 0» > 0» > 0 () Η υπόθεση > > > και > > 0 και > 0 > 0. // 0. Αν α, β θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι (α + β) 4 Αρκεί να δειχθεί ότι 4 (Ε.Κ.Π αβ > 0, αφού α,β > 0) 4 4 0 0 0 που ισχύει. // 49

. Να αποδείξετε ότι : i) i) ii) 0 ii) 0 0 + 0 0 + + 0 που ισχύει + 0 0 + + 0 που ισχύει. //. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i) ii) 4 iii) + 4 iv) i) π ii) 4 (π 4) 4 π iii) 4 ( π) + 4 π + π + 4 π iv) ( ) ( ) + + 0. //. Αν < < 4, να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση + 4 < > 0 < 4 4 < 0 4 ( 4) + 4 Άρα + 4 + 4. // 4. Αν 0 και y 0, να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση Α + y y Όταν, y θετικοί : Α + y y + Όταν, y αρνητικοί : Α y + y Όταν θετικός, y αρνητικός : Α + y 0 y Όταν αρνητικός, y θετικός : Α + y y 50 0 + 0. //

5. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπως δείχνει η πρώτη γραμμή του. ΠΙΝΑΚΑΣ Απόλυτη τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση διαστημάτων 4 d,4 [, 6] 4 d(, ) < 4 ( 7, ) 4 d(, 4) > (, ) (6, + ) 4 d(, ) 4 (, 7] [, + ) 5 < d(, 5) < (4, 6) > d(, ) > (, ) (, + ) 5 d(, 5) (, 4] [6, + ) d(, ) [, ] < d(, 0) < (, ) d(, ) [ 5, ] d(, 0) (, ] [, + ) > d(, ) > (, 5) (, + ) 6. Να αποδείξετε ότι + ( ) ( ) + (Τριγωνική ανισότητα). // 7. Αν α > β, να δείξετε ότι : i) α > β α β > 0 α β ii) i) ii) ( ). // 5

8. Τι σημαίνει για τους αριθμούς και y : i) Η ισότητα + y 0 ii) Η ανισότητα + y > 0 i) Η ισότητα + y 0 ισχύει μόνο όταν 0 και y 0 Διότι, αν ένας τουλάχιστον από τους, y ήταν 0, (έστω 0), θα ήταν > 0 οπότε + y > 0, που είναι άτοπο ii) Η ανισότητα + y > 0 ισχύει μόνο όταν 0 ή y 0 Διότι, αν ήταν 0 και y 0 θα ήταν + y 0, που είναι άτοπο. // 9. Έστω 0 < α < β. i) Να διατάξετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς, ii) Να δείξετε ότι στον πραγματικό άξονα ο αριθμός από ότι ο αριθμός i) 0 < α < β < και <. Άρα < < ii) Από (i) έχουμε < 0 και > 0 Αρκεί να αποδείξουμε < < + < + < και 0 < + 0 < που ισχύει. //, βρίσκεται πλησιέστερα στο, 0. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά i) ( 4) ii) ( 0) iii) ( ) iv) 5 4

i) ( 4) 4 4 π ii) ( 0) 0 0 iii) ( ) iv) 4. //. Να αποδείξετε ότι 5 + 5 5 + 5 5 + 5 5 + 5. //. Να αποδείξετε ότι ( 5 )( 5 + ) 8 ( 5 )( 5 + ) ( 5. Να αποδείξετε ότι : ) ( 5 ( + ) i) ( 8 8 )( 50 + 7 ) 4 ii) 8 7 6 i) 8 8 50 7 ii). 8 7 6 ) 5 8. // 4.. 5.... 5. 5 6 4.7 4.7 7 4..7 4. 7 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 6. // 5

4. Να αποδείξετε ότι : i).. ii). 5. 5 i).. ii). 5. 5 5. Να αποδείξετε ότι : 4. 5 5 9 5.4 8. // i) ii) 5 i) 4. ii). 5 5 5 6 4 5 6 6 4 0 0... // 6. Να αποδείξετε ότι : i) 4. ii) 9 8. 6 5 8 i) 4. 4 4. ii) 9 8. 6 5 8 9 5 6 8 5 9 6 8 8. 8 8. // 7. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές : i) 4 5 ii) 8 7 5 iii) 7 6 7 6 54

i) 4 5 ii) iii) 8 7 5 7 6 7 6 4(5 ) (5 )(5 ) 8( 7 5 ) 4(5 ) ( 7 5 )( 7 5 ) 5 4(5 ) 8( 7 5 ) 7 5 (5 ) 4( 7 5) ( 7 6 ) 7 7 6 6 + 4. // ( 7 6 )( 7 6 ) 7 6 8. Να αποδείξετε ότι : i) 6 98 50 6 ii) 9 9 7 0 6, i) 6 98 50.. 7 4. 5. 4 7 5 4 6 6 ii) 9 9 7 0 6 ( ) 0 ( ) ( ) 6 4 0 8 0 4 ( ) 8 4 ( ). // 9. i) Να αποδείξετε ότι ii) Αν α, β > 0 να αποδείξετε ότι 5 + 6 ( ) + i) ( )( ). 6 6 4 ( )( ) ii) ( )( ) ( )( ) 5 + 6.. ( )( ) ( ) ( ) +. // 55

0. i) Να βρείτε τα αναπτύγματα των 7, ii) Να αποδείξετε ότι 7 7 7 7 6 i) 7 9 + 7 + 8 7 + 7 7 9 7 + 8 7 7 ii) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6. είναι 7 0 και 7 0. // 7. Να αποδείξετε ότι i) 5 i) 5 + 5 5 + 5 5 4 ii) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 4 8 ii) (4 4 ) (4 4 ) ( )( ) 4 4 4 4 4 8 8. // 56

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση 4 ( ) 7 4 4 ( ) 7 4 4 6 + 7 4 9 45 5. //. Να λύσετε την εξίσωση 4 4 5 5 4 0 4 4 4 5 5 4 0 4 4 4 5 4 5.5 46 5 5 4 5 6 5 4 54 5. //. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 6 6 + 4 0 αδύνατη. // 4. Να λύσετε την εξίσωση 5 5 5 + 7 5 + 7 6 (5 ) 5 + 7 6 5 + 5 + 7 0 0 ταυτότητα, ρίζα της είναι κάθε. // 57

5. Να λύσετε την εξίσωση λ(λ ) λ, για τις διάφορες τιμές του λ. Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 ή λ 0 λ 0 ή λ. α) Για λ 0, η εξίσωση 0(0 ) 0 0 αδύνατη β) Για λ, η εξίσωση ( ) 0 0 ταυτότητα, ρίζα της είναι κάθε Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 και λ 0 λ 0 και λ η εξίσωση ( ). // 6. Να λύσετε την εξίσωση λ(λ ) + λ, για τις διάφορες τιμές του λ. Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 ή λ 0 λ 0 ή λ. α) Για λ 0, η εξίσωση 0(0 ) 0 + 0 0 0 ταυτότητα, ρίζα της είναι κάθε β) Για λ, η εξίσωση ( ) + 0 αδύνατη Όταν λ(λ ) 0, δηλαδή όταν λ 0 και λ 0 λ 0 και λ η εξίσωση ( ) ( ) ( ). // 7. Να επιλυθούν οι παρακάτω τύποι ως προς την αναφερόμενη μεταβλητή : i) R R + (ως προς R ) R i) Περιορισμός : R, R, R 0 R R R R R R + R R R + 58

R R R R R R ( R R) R R R () Όταν R R 0, δηλαδή όταν R R η εξίσωση () 0 R R R 0 ή R 0 που είναι άτοπο Όταν R R 0, δηλαδή όταν R R RR η εξίσωση () R. // R R 8. Να λύσετε την εξίσωση ( 4)( ) ( )( ) ( 4)( ) ( )( ) ( )( + )( ) ( )( + )( ) 0 0 ή 0 ή. // ( )( )[ + ( + )] 0 ( )( )( + ) 0 ( )( ) 0 9. Να λύσετε την εξίσωση + 0 Περιορισμοί : 0 και + 0 Η εξίσωση ( )( + ) 0 και ( ) 0 0 και + 0 και ( )( ) + ( ) + 0 + 0 ( ) + 0 0 αδύνατη λόγω των περιορισμών. // 59

0. Να λύσετε την εξίσωση Περιορισμοί : Ε.Κ.Π ( )( + ) 0 0 και + 0 και Η εξίσωση + + αδύνατη λόγω των περιορισμών. //. Να λύσετε την εξίσωση 5 5 5 ή 5 8 ή 4 ή. //. Να λύσετε την εξίσωση 4 4 4 ή 4 ( ) ή 4 + ή 5 ή 5. //. Να λύσετε την εξίσωση Περιορισμός : Επειδή 0, για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει και 0 ή ( ) ή + ή ή Λόγω του περιορισμού, δεκτή είναι μόνο η. // 60

4. Να λύσετε την εξίσωση 4 4 5 4 4 5 5 + 0 0 ή. // 5. Να λύσετε την εξίσωση 4 + + αδύνατη. // 6. Να λύσετε την εξίσωση 4 Περιορισμός : + 0 4 4 ή - 4 + 4 ή 4 5 9 ή 5 9 ή 5. // 5 7. Να λύσετε την εξίσωση 0 ( ) 0 0 ή 0 0 ή 0 ή ή ή ή ή. // 6

8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( + α ) ( β ) α(α + β) έχει πάντα λύση, οποιοιδήποτε και αν είναι οι πραγματικοί αριθμοί α, β. ( + α ) ( β ) α(α + β) + α + ( β + ) + αβ + α + + β + αβ (α + β) + αβ + (α + β) (α + β ) () Όταν α + β 0, η (), η λύση της Όταν α + β 0, η () 0 0 που έχει άπειρες λύσεις Άρα η εξίσωση έχει πάντα λύση. // 9. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α, β, ώστε να έχει λύση η εξίσωση ; Κατ αρχήν πρέπει α και β 0 β α αβ (β α) αβ () Όταν β α 0, δηλαδή όταν β α, η () Όταν β α 0, δηλαδή όταν β α, η () 0 0, από τον περιορισμό. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. η λύση της Επομένως, η εξίσωση έχει λύση μόνο όταν α 0 και β 0 και β α. // 0. Να λύσετε την εξίσωση για όλες τις τιμές του α. Περιορισμοί : Ε.Κ.Π ( α)( + α) 0 α 0 και + α 0 α και α Η εξίσωση ( )( ) 6

( ) + α + α () Όταν α 0, η () Όταν α 0, η () 0 0 ταυτότητα, έχει λύση κάθε με α και α. //. Να λύσετε την εξίσωση ή 4 ή ή αδύνατη ή. //. Να λύσετε την εξίσωση 5 Περιορισμοί : Πρέπει + 0 Η εξίσωση ( ) 5 ( ) 0, που ισχύει για κάθε 5. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 ή ( 5) 4 ή + 5 ή 4 6 ή. // i) 5 0 ii) 5 4 0 iii) 7 0 6

i) 5 0 5 0 5 5 ii) 5 4 0 5 5 0 5 5 iii) 7 0 7 7. // 4. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 7 i) + 5 0 ii) + 4 0 iii) + 0 i) + 5 0 + 5 0 5 ( 5 ) 5 ii) 5 + 4 0 5 + 5 0 5 5 5 ( ) 5 iii) 7 + 0 7 7 7 ( ) 7. // 5. Να λύσετε τις εξισώσεις 4 6 i) 64 0 ii) 8 0 iii) 64 0 i) 64 0 64 8 8 ή 8 ii) 4 8 0 4 8 4 4 ή iii) 6 64 0 6 64 6 6 ή. // 6. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 i) 8 4 5 0 ii) + 0 iii) + 6 0 i) 5 8 0 ( 8) 0 0 ή 8 0 0 ή 0 ή ii) 4 + 0 ( + ) 0 0 ή + 0 0 ή 0 ή ( ) 0 ή iii) 5 + 6 0 4 ( + 6) 0 0 ή 4 + 6 0 0. // 64

7. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + ) 64 ii) + 5 0 iii) ( ) 4 7( ) 0 i) ( + ) 64 ( + ) 4 + 4 ii) + 5 0 5 5 (5) ( ) 5 5 iii) ( ) 4-7( ) 0 ( ) [( ) - 7] 0 0 ή ( ) 7 0 ή ( ) 7 ή ( ) ή ή 4. // 8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 + 0 ii) 6 + 9 0 iii) + 4 + 0 i) Δ 5 4, 5 6 ή ή 4 4 ii) Δ 6 6 0, 6 (διπλή ρίζα). iii) Δ 6 4 8 < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη. // 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i),69 0 ii) 0,5 0 iii) + 7 0 i),69 0,69 (, ), ή, ii) 0,5 0 (0,5 ) 0 0 ή 0,5 0 0 ή 0,5 0 ή iii) Η εξίσωση γράφεται + 0 + 7 0 Δ 0 4.. 7 4 < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη. // 65

0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α + (α + β) + β 0, α 0 έχει πραγματικές ρίζες. Δ (α + β ) 4αβ + + 4 + (α β ) 0. Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα (όταν Δ 0) ή δύο πραγματικές ρίζες (όταν Δ < 0). //. Να βρείτε τις τιμές του μ, για τις οποίες η εξίσωση μ + + μ 0, μ 0 έχει διπλή ρίζα. Καταρχήν θα πρέπει να είναι μ 0, ώστε η εξίσωση να είναι ου βαθμού και έτσι να υπάρχει η δυνατότητα να έχει διπλή ρίζα. H εξίσωση έχει διπλή ρίζα Δ 0 4 4μμ 0 4 4 0 μ ή μ. //. Αν α β, να δείξετε ότι είναι αδύνατη στο η εξίσωση ( + ) + (α + β) + 0. Να εξετάσετε την περίπτωση που είναι α β Η περίπτωση α β Όταν + 0, δηλαδή όταν ένας τουλάχιστον από τους α, β 0, η εξίσωση είναι ου βαθμού, οπότε Δ 4 ( ) 8 ( + ) 4( + + ) 8 8 4 + 8 + 4 8 8 4 + 8 4 4( + ) 4 ( ) < 0, αφού α β Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Όταν + 0, δηλαδή όταν α 0 και β 0, με αντικατάσταση η εξίσωση γίνεται 0 που είναι αδύνατη. Η περίπτωση α β Αν μεν α β 0, όπως είδαμε η εξίσωση γίνεται 0 που είναι αδύνατη Αν δε α β 0, με αντικατάσταση η εξίσωση γίνεται 66

( + ) + ( + ) + 0 + 4 + 0 + + 0, ου βαθμού αφού α 0 Δ 4 4 0, άρα η εξίσωση μία διπλή ρίζα. //. Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς i) και ii) και iii) 5 6 και 5 + 6 i) S + 5, P. 6, η εξίσωση είναι 5 + 6 0 ii) S +, P., η εξίσωση είναι + 0 + 0 iii) S 5 6 + 5 + 6 0, P (5 6 )(5 + 6 ) 5 4 H εξίσωση είναι 0 + 0. // 4. Να βρείτε δύο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i) άθροισμα και γινόμενο 5 ii) άθροισμα 9 και γινόμενο 0 i) Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης S + P 0, όπου S και P 5 5 0 Δ 4 + 60 64, 8 5, ii) Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης S + P 0, όπου S 9 και P 0 9 + 0 0 Δ 8 40 4, 9 4 9 4, 9 4. // 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( 5 + ) + 5 0 ii) + ( ) 0 i) S 5 + και P 5 5 Οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5, 67

ii) Δ ( ) 4 + 4 + + ( + ) ( ) ( ) ή ή ή. // 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 7 + 0 ii) + 5 0 iii) 8 + 0 i) 7 + 0 Δ 49 48, 7 ii) + 5 0 7 + 0 4 ή 4 ή 4 ή ή + 5 0 Δ 4 + 40 44, 5 ή 7 απορρίπτεται αφού 0. iii) 8 + 0 5 ή 5 Δ 64 48 6, 8 4 8 + 0 6 ή 6 ή 6 ή ή. // 7. Να λύσετε την εξίσωση ( ) + 4 5 0 ( ) + 4 5 0 Δ 6 + 0 6, + 4 5 0 46 ή ή 5 απορρίπτεται αφού 0. ή 0. // 68

8. Να λύσετε την εξίσωση 5 + 6 0 Περιορισμός : 0 Θέτουμε y (), οπότε η εξίσωση γίνεται y 5y + 6 0 Δ 5 4, y 5 ή Για y, η () + + 0 Δ 9 4 5, 5 Για y, η () + + 0 Δ 4 4 0, 0. // 9. Να λύσετε την εξίσωση + 6 Περιορισμοί : 0 και + 6 Δ + 4 5, 6 + 6( + ) ( + ) 6 + 6( + + ) + 6 + 6 + + 6 0 + 6 0 + 6 0 5 ή. // 69

40. Να λύσετε την εξίσωση + + Περιορισμοί : Είναι ( ) + + 0 E.K.Π ( ) 0 0 και Δ + 8 9, 0 ( ) + ( ) + 0 4 + + 0 0 ή απορρίπτεται, άρα. // 4. Να λύσετε την εξίσωση 4 + 6 40 0 4 + 6 40 0 ( ) + 6 40 0 6 96 Δ 6 + 60 96, 6 4 4 ή 0 απορρίπτεται 4 ή. // 4. Να λύσετε την εξίσωση 4 + 7 + 0 4 + 7 + 0 ( Δ 49 4 5, ) + 7 + 0 7 5 4 4 ή απορρίπτονται αφού 0. // 4. Δίνεται η εξίσωση 4 + 0, με 0. i) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ 4. ii) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι i) Δ ( ) 4 4 ( ) 4 6 4 6 + 4 4 ii) 4 ( ) και. // 70

44. Δίνεται η εξίσωση (5 ) + 6 0 i) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ ( + ) ii) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι και i) Δ (5 ) 4(6 ) 5 0 + 4 + + + + ii) 5 ( 5 ( ) 5 ή 4 ή + + ( + ) ή 5 ( ) 5 ή. // 45. Αν ο αριθμός ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης α + β +γ 0, με α.γ 0, να δείξετε ότι ο αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης γ + β + α 0. ρ ρίζα της εξίσωσης α + β +γ 0 α + βρ + γ 0 (διαιρούμε τα δύο μέλη με ) α + β + γ 0 Δηλαδή ο αριθμός α + β + γ 0 επαληθεύει την εξίσωση α + βρ + γ 0, άρα είναι ρίζα τη. // 46. Να λύσετε την εξίσωση + +, 0 Περιορισμός : 0 + + + + + 0 + ( ) 0 Δ ( ) + 4 4 + + 4 + 4 + ( + ) ( ) ή ή. // 7

47. Δίνεται η εξίσωση + λ 8 0. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. ii) Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τετράγωνο της άλλης, τότε να βρεθούν οι ρίζες και η τιμή του λ. i) Δ 4 + > 0 για κάθε λϵr, άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ ϵr. ii) Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης με () Αλλά + λ () και 8 () από Vieta ( ) () 8 8 () ( ) 4 () + 4 λ λ λ. // 4 48. Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης 0 + α 0 είναι ο αριθμός. Να βρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση. 4 Η ρίζα επαληθεύει την εξίσωση. Άρα 0. + α 0 0 + α 0 α 9 Η εξίσωση γίνεται ( ) 0 + 9 0 Δ 00 6 64, 0 8 9 ή ή ή ή. // 7

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Να λύσετε την ανίσωση + 4 < 6 + 4 < 6 6( ) + ( + ) < 6 6 + 6 + 9 < 0 < <. // 0. Να λύσετε την ανίσωση + + 4 + + 4 > > ( ) + + > 4 4 + + > 4 0. > 0 > αδύνατη. //. Να λύσετε την ανίσωση + 5 < 0 5 + 5 < 0 5 5( ) + ( ) < 4 5 0 + 4 < 4 0. < 4 αληθεύει για κάθε ϵr. // 4. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις < + 5 και + < + 5 < 6 < + Συναλήθευση < 4 + 7

5. Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις : > + και > + > + > Οι ανισώσεις δε συναληθεύουν - 6. Να βρείτε τα ϵr για τα οποία συναληθεύουν οι ανισώσεις : > και 4 + < 0 8 > 6 + > 8 7 > > 8 7 4 + < 0 8 + + < 0 < 7 < 7 Συναλήθευση < < 7 7 Οι ακέραιοι που ανήκουν στο διάστημα, 7 7 είναι οι 0,,. // - 7 7 7. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) < ii) 4 iii) < 5 i) < < < Από τα απόλυτα θυμόμαστε ii) 4 4 + 4 5 iii) < 5 5 < + < 5 5 < < 5 6 < < 4 < <. // 0 < ρ 0 ρ < < 0 + ρ 74

8. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) ii) > 4 iii) 5 i) < ή > ii) > 4 < 4 ή > 4 < ή > 5 Από τα απόλυτα θυμόμαστε iii) 5 + 5 ή + 5 6 ή 4 ή. // 0 > ρ < 0 ρ ή > 0 + ρ 9. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 6 ii) i) 6 6 6 0 6 Από τα απόλυτα θυμόμαστε 0 ii) ( ) 0. // 0. Να λύσετε την ανίσωση 4 + 5 < Σαν άγνωστο βλέπουμε 4 + 5 < ( 4) + 0 < + 0 < + 0 < < < < < <. // το 75

. Να λύσετε την ανίσωση > > ( + ) 4 > ( ) + 4 > > ϵr. // Σαν άγνωστο βλέπουμε το. Να λύσετε την ανίσωση 6 9 5 6 9 5 ( ) 5 5 Θυμόμαστε 5 5 8. //. Να βρείτε την ανίσωση της μορφής 0 < ρ, που έχει ως λύσεις τους αριθμούς του διαστήματος ( 7, ). ( 7, ) 7 < < () 0 < ρ 0 ρ < < 0 + ρ () 0 7 ( ) : 0 4 Από τις (), () θα πρέπει 0 ( ) : 0 < ρ γίνεται ( ) < 5 < 5. // Η 0 0 5 4. Να βρείτε τις τιμές για τις οποίες ισχύει : 4 4 4 6 4 4 4. // Η διαίρεση με αρνητικό αριθμό αλλάζει τη φορά της ανίσωσης 76

5. Να βρείτε τις τιμές για τις οποίες ισχύει : i) 4 ii) 5 4 i) Από τα απόλυτα θυμόμαστε ή () > ρ < ρ ή > ρ 4 4 4 () Συναλήθευση των (), () 4 ή 4-4 - 4 ii) 5 5 5 ή 5 ή 7 () 5 4 4 5 4 4 + 5 4 + 5 9 (4) Συναλήθευση των (), (4) ή 7 9 7 9 6. Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 7 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. i) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; ii) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης + 7 6 και να βρείτε τις λύσεις της. iii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματά σας, αφού προηγουμένως συντάξετε πίνακα προσήμου των παραστάσεων και 7. Α() M d(α, β) i) Στο μέσο Μ αντιστοιχεί ο αριθμός 7 4 ii) Έστω Κ() το σημείο στο οποίο αντιστοιχεί η τυχαία λύση της εξίσωσης + 7 6 d(, ) + d(, 7) 6 (ΚΑ) + (ΚΒ) 6 (αλλά (ΑΒ) 7 6) K() (ΚΑ) + (ΚΒ) (ΑΒ) Β(7) το Κ ανήκει στο τμήμα ΑΒ 7 77

7 0 + + iii) 7 0 + Όταν < + 7 6 ( ) + [ ( 7)] 6 + + 7 6 άτοπο, αφού < Όταν < 7 + 7 6 ( ) + [ ( 7)] 6 + 7 6 6 6, που ισχύει για κάθε < 7 Όταν 7 + 7 6 ( ) + ( 7) 6 + 7 6 4 7, που ισχύει για 7 Τελικά 7. // 7. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: i) + ii) i) Δ ( ) 4.. 9 8 > 0 Ρίζες: ( ). ή Άρα +.( )( ) ( )( ) ii) Δ ( ) 4.. ( ) 9 + 6 5 > 0 ή ( ) 5 Ρίζες: 5 5 ή 5 ή. 4 4 4 Άρα ( ) ( )( + ). // 8. Να απλοποιήσετε την παράσταση: Περιορισμός 0 Για το τριώνυμο Α + Δ ( ) 4.. 9 8 > 0 78

Ρίζες: ( ). ή ή Άρα +.( )( ) ( )( ) Για το τριώνυμο Π Δ ( ) 4.. ( ) 9 + 6 5 > 0 ( ) 5 Ρίζες: 5 5 ή 5 ή. 4 4 4 Άρα ( ) ( )( + ) Ο περιορισμός γίνεται ( ) 0 0 και + 0 Τελικά ( )( ) ( )( ) και. // 9. Να απλοποιήσετε την παράσταση: Περιορισμός 5 + 0 4 9 5 Για το τριώνυμο Α 4 + 9 Δ ( ) 4. 4. 9 44 44 0 Διπλή ρίζα. 4 Άρα 4 + 9 4 Για το τριώνυμο Π 5 + Δ ( 5) 4.. 5 4 > 0 ) ( ( 5) Ρίζες: 5 6 ή 4. 4 4 4 ή Άρα 5 + ( ) ( )( ) Ο περιορισμός γίνεται ( ) 0 0 και 0 και Τελικά 4 9 5 ( ) ( )( ) 79. //

0. Για τις διάφορες τιμές του ϵr, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων i) 5 ii) 4 4 + ii) 4 + i) Δ ( ) 4.. ( 5) 4 + 60 64 > 0 Ρίζες: ( ) 64. 8 5 ή Πρόσημο του τριωνύμου 5 + 5 + 0 0 + ii) Δ ( 4) 4. 4. 6 6 0 Διπλή ρίζα 4. 4 Πρόσημο του τριωνύμου / + 4 + + 0 + 4 iii) Δ ( 4) 4.. 6 5 6 < 0 Πρόσημο του τριωνύμου + 4 + +. Για τις διάφορες τιμές του ϵr, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων i) + 4 ii) 9 + 6 iii) + i) Δ 4 4( ). ( ) 6 4 > 0 Ρίζες: 4 4 ( ) 4 ή Πρόσημο του τριωνύμου + + 4 0 + 0 ii) Δ 6 4( 9). ( ) 6 6 0 Διπλή ρίζα 6 ( 9) 80

Πρόσημο του τριωνύμου / + 9 + 6 0 iii) Δ 4. ( )( ) 4 8 4 < 0 Πρόσημο του τριωνύμου + +. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) 5 0 ii) + 4 i) 5 0 4 0 Ρίζες του τριωνύμου 4 ( 4) είναι 0 ή 4 Πρόσημο του τριωνύμου 0 4 + 4 + 0 0 + 4 0 0 4 [0, 4] ii) + 4 + 4 0 Δ 4. ( 4) 9 + 6 5 > 0 5 Ρίζες του τριωνύμου + 4 : 5 4 ή. Πρόσημο του τριωνύμου 4 + + 4 + 0 0 + + 4 0 4 [ 4, ]. //. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) > 0 ii) 5 < 0 i) Δ + 8 9 > 0, ρίζες του τριωνύμου Πρόσημο του τριωνύμου + + 0 0 + : ή > 0 < ή > (, ) (, + ) 8

ii) Δ 9 + 40 49 > 0, ρίζες του τριωνύμου 5 : 7 5 4 ή Πρόσημο του τριωνύμου 5/ + 5 + 0 0 + 5 < 0 < < 5 5,. // 4. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) + 4 > 4 ii) + 9 6 i) + 4 > 4 + 4-4 > 0 ( ) > 0 ϵr με ii) + 9 6 + 9 6 0 ( ) 0 0. // 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) + + 5 0 ii) + 0 > 0 i) Δ 9 0 < 0 το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό για κάθε ϵr, άρα η ανίσωση είναι αδύνατη. ii) Δ 9 60 5 < 0 το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό για κάθε ϵr, άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε ϵr.. // 6. Να λύσετε την ανίσωση 4 ( 4 + ) > 0 4 ( 4 + ) > 0 4 + < 0 Δ 6 4 > 0, ρίζες του τριωνύμου 4 + : 4 ή Πρόσημο του τριωνύμου + 4 + + 0 0 + 4 + < 0 < < (, ). // 8

7. Να βρεθούν οι τιμές του ϵr για τις οποίες ισχύει < 4 < < 4 < < 4 και 4 <. < 4 > 0 Δ 4 + 6 > 0, ρίζες του τριωνύμου 4 ή Πρόσημο του τριωνύμου + + 0 0 + > 0 < ή > () 4 < < 6 < 4 4 < < 4 () Συναλήθευση των (), () 4 < < ή < < 4. // -4-4 8. Να βρεθούν οι τιμές του ϵr για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις 6 + 5 < 0 και 5 + 6 > 0. Για την ανίσωση 6 + 5 < 0 Δ 6 0 6 > 0, ρίζες του τριωνύμου 6 4 Πρόσημο του τριωνύμου 5 + 6 + 5 + 0 0 + 5 ή 6 + 5 < 0 < < 5 () Για την ανίσωση 5 + 6 > 0 Δ 5 4, ρίζες του τριωνύμου 5 ή Πρόσημο του τριωνύμου + 5 + 6 + 0 0 + 5 + 6 > 0 < ή > () Συναλήθευση των (), () < < ή < < 5 5 8

9. i) Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τις παραστάσεις: + και 6 ii) Να απλοποιήσετε την παράσταση i) Για την παράσταση + Είναι τριώνυμο ως προς α (αντί ) Δ 4.. ( ) + 8 9 0 9 Ρίζες του τριωνύμου ή Άρα + (α β)(α + β) () Για την παράσταση 6 Είναι τριώνυμο ως προς α (αντί ) Δ 4.. ( 6 ) + 4 5 0 5 5 Ρίζες του τριωνύμου ή Άρα 6 (α β)(α + β) () ii) Περιορισμός 6 0 α β και α β 6 (), ( ) ( )( ) ( )( ) 0. Να απλοποιήσετε την παράσταση 6. // Για τον αριθμητή που γράφεται (α β) - αβ Δ (α β ) + 4αβ αβ + + 4αβ + αβ + (α + β ) 0 ( ) ( ) ( ) ή ή α ή β Άρα (α β) αβ ( α)( + β) () 84

Για τον παρανομαστή Δ 9 8 0 α ή α Άρα α + ( α)( α) () Περιορισμός α + 0 α και α (), ( ). //. Δίνεται η εξίσωση λ + λ + λ + 5 0, λϵr. Να βρείτε τις τιμές του λ για εξίσωση : i) έχει ρίζες ίσες ii) έχει ρίζες άνισες iii) είναι αδύνατη Για λ 0 η εξίσωση γίνεται 5 0 αδύνατη () Για λ 0 η εξίσωση είναι ου βαθμού i) έχει ρίζες ίσες Δ 0 9 4λ(λ + 5) 0 9 4 0λ 0 5 0λ 0 4λ 0 λ(λ 4) 0 λ 4 0 αφού λ 0 λ 4 ii) έχει ρίζες άνισες Δ > 0 9 4λ(λ + 5) > 0 9 4 0λ > 0 5 0λ > 0 4λ > 0 λ(λ 4) > 0 λ < 0 ή λ > 4 Πρόσημο του τριωνύμου 4λ λ 0 4 + 4λ + 0 0 + τις οποίες η iii) είναι αδύνατη Δ < 0 9 4λ(λ + 5) < 0 9 4 0λ < 0 5 0λ < 0 4λ < 0 λ(λ 4) < 0 0 < λ < 4 () Από τις (), () η εξίσωση είναι αδύνατη για 0 λ < 4. // 85

. Να βρείτε τις τιμές του λϵr για τις οποίες η ανίσωση + λ + λ > 0 αληθεύει για κάθε ϵr + λ + λ > 0 αληθεύει για κάθε ϵr το τριώνυμο + λ + λ είναι ομόσημο του α για κάθε ϵr Δ < 0 9 4λ < 0 Πρόσημο του τριωνύμου 9-4λ λ(9λ 4) < 0 0 < λ < 4 9 λ 0 4/9 + - 4λ + 0 0 + 9. Δίνεται το τριώνυμο (λ + ) λ + λ, λ. i) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την ανίσωση Δ < 0 ii) Να βρείτε τις τιμές του λϵr για τις οποίες η ανίσωση (λ + ) λ + λ < 0, λ αληθεύει για κάθε ϵr. i) Δ 4 4(λ + ). λ 4 4λ 8 4λ Δ < 0 8 4λ < 0 + λ > 0 Πρόσημο του τριωνύμου + λ λ(λ + ) > 0 λ < ή λ > 0 λ 0 4/9 + 4λ + 0 0 + 9 ii) (λ + ) λ + λ < 0 αληθεύει για κάθε ϵr [το τριώνυμο (λ + ) λ + λ είναι ομόσημο του α λ + για κάθε και λ + < 0 ] Δ < 0 και λ + < 0 [λ < ή λ > 0 ] και λ < Συναλήθευση λ < - - 0 4. i) Να αποδείξετε ότι + > 0 για όλα τα, ϵr με, 0. ii) Να καθορίσετε το πρόσημο της παράστασης Α + των, 0. 86 για τις διάφορες τιμές

i) Πρόκειται για τριώνυμο ως προς α (αντί ) Δ 4 < 0 το + είναι ομόσημο του α, (άρα θετικό) για κάθε, 0. ii) Α + Επειδή ο αριθμητής είναι θετικός, το πρόσημο του κλάσματος θα είναι ίδιο με το πρόσημο του παρανομαστή. Επομένως : αν, ομόσημοι, τότε Α > 0 αν, ετερόσημοι, τότε Α < 0.. // 5. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου Ρ() ( )( )( + ) 0 Για το τριώνυμο Δ + 8 9 > 0 Ρίζες : και > 0 < ή > Για το τριώνυμο + Δ 4 < 0 Άρα + > 0 για κάθε χϵr Πίνακας προσήμου / + + + 0 0 + 0 0 + + + + + + P() + 0 0 + 0 6. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου Ρ() ( + 4)( + )( + + ) Για το τριώνυμο + 4 Για το τριώνυμο + Δ 0 + 4 4 > 0 Ρίζες : και + 4 > 0 < < Δ 9 8 > 0 Ρίζες : και + > 0 < ή > 87

Για το τριώνυμο + + Δ 4 < 0 Άρα + + > 0 για κάθε Πίνακας προσήμου + 0 + + 0 + + 0 0 + + + + + + P() 0 + 0 0 + 7. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + )( 9) > 0 > 0 > + > 0 χϵr 9 > 0 < ή > Πίνακας προσήμου + 0 + + + + + + + 9 + 0 0 + Γινόμενο 0 + 0 0 + Άρα < < ή >. // 8. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + 6)( + ) > 0 > 0 < + 6 > 0 ( + ) > 0 ( + ) > 0 < ή > 0 + > 0 Πίνακας προσήμου 0 + + + + 0 + 6 + 0 0 + + + + + + + Γινόμενο + 0 0 + 0 Άρα ή. // 88

9. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + + ) 0 Για την ανίσωση > 0 + < 0 Δ + 8 9 > 0 Ρίζες : και Άρα < < Για την ανίσωση + + > 0 ( + ) > 0 Πίνακας προσήμου + 0 + + 0 + + + + 0 + + Γινόμενο 0 + 0 + 0 Άρα ή ή. // 40. Να λύσετε την ανίσωση ( )( + )( ) > 0 Για την ανίσωση > 0 > Για την ανίσωση + > 0 Δ + 4 5 > 0 Ρίζες 5 ή 4 Οπότε + > 0 < ή > Για την ανίσωση > 0 + < 0 Δ 8 7 < 0 Οπότε < 0 για κάθε χϵr Πίνακας προσήμου / + 0 + + + 0 0 + + Γινόμενο + 0 0 + 0 Άρα < ή < <. // 4. Να λύσετε τις ανισώσεις 0 Περιορισμός : 0 0 ( + )( ) 0 <. // 89

4. Να λύσετε την ανίσωση Περιορισμός : + 0 Δ + 8 9 > 0 Ρίζες και Άρα και Για το τριώνυμο 0 0 ( )( + ) 0 Δ + 8 9 > 0 Ρίζες και > 0 < ή > Για το τριώνυμο + + > 0 < ή > Πίνακας προσήμου + + + 0 0 + + + + + Γινόμενο + 0 + 0 + Άρα < ή <. // 4. Να λύσετε τις ανισώσεις > 4 Περιορισμός : 0 > 4 4 > 0 4 4 > 0 7 > 0 ( + 7)( ) > 0 < < 7. // 44. Να λύσετε την ανίσωση Περιορισμός : 0 0 + 0 0 + 0 0 0 90

Για την ανίσωση > 0 > 0 άρα ( )( - ) 0 Για την ανίσωση - > 0 Δ + 48 49 > 0 Ρίζες 7, 4 > 0 < ή > 4 Πίνακας προσήμου 4 + 0 + 0 + + + Γινόμενο 0 + 0 + Άρα ή < 4. // 45. Να λύσετε τις ανισώσεις 5 Περιορισμός : ( 5 0 και 0) ( 5 και ) 5 5 0 6 0 ( 5)( ) 0 7 0 ( 5)( ) 0 ( )( 5) ( 5)( ) 0 ( )( 5)( 5)( ) 0 5/ 5 + γινόμ + + 0 0 + Άρα < < 5 ή 5. // 9

46. Να λύσετε την ανίσωση > Περιορισμός : 0 > < - ή > + < 0 ή - > 0 < 0 ή > 0 < 0 ή > 0 ( + ) < 0 ή ( ) < 0 < < 0 ή 0 < <. // 9

ΠΡΟΟΔΟΙ. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i) α ν ν, ii) α ν i) α, α 4, α 8, α 4 4 6, α 5 5 ii) α 0 και ομοίως α, α, α 4, α 5 4. //. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών i) α, α ν+ i) α, α ii) α 0, α ν+ + iii) α, α ν+ (α ν ), α, α 4, α 5 ii) α 0, α + 0 +, α + + α 4 + 4 + 5, α 5 4 + 5 + 6 iii) α, α (α ) 4, α (α ) 6 α 4 (α ) 5 0, α 5 (α 4 ) 9 8. // 4. Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες i) α ν ν + 5, ii) α ν ν, i) α 6 και α ν+ α ν (ν + ) + 5 (ν + 5) α 6 και α ν+ α ν α 6 και α ν+ + α ν με νϵν* ii) α και α και α και α ν+ α ν με νϵν*. // 9

4. Να βρείτε το ν-οστό όρο των ακολουθιών i) α και α ν+ α ν + ii) α και α ν+ 5α ν i) α α α α + α α +... α ν- α ν- + α ν α ν- + Με πρόσθεση κατά μέλη α ν α + (ν ) α ν + ν α ν ν ii) α α α 5α α 5α... α ν- 5α ν- α ν 5α ν- Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη α ν 5 ν- α α ν 5 ν-. // 5. Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0,,.... + (ν ) ω 7 + (ν ) 7 + ν ν + 4. // 6. Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 6, 9,,... + (ν ) ω 6 + (ν ) ( ) 6 ν + ν. // 7. Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου,, 8,... 5 + (5 ) ω + 4. 5 - + 70 68. // 5 8. Σε μια αριθμητική πρόοδο, αν είναι 6 και 0 6, να βρείτε τον και τη διαφορά της προόδου. 94

6 6 0 6 0 6 5 9 6 5 9 6 5 5 9 6 5 44 5. 7. // 9. Ο 5 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 5 και ο 5 ος όρος της είναι. Να βρείτε τον 50 ο όρο της προόδου. 5 5 5 5 45 54 5 5 4 4 54 5 4 4 50 0 0 0 + (50 )ω 50 54 0 6 0 0 6 + 49. 0 5 4. 0 0 95 0 6 + 47 0 0 85 0. // 0. Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με και ω 5 ισούται με 97; Έστω ο ζητούμενος όρος. 97 + (ν ) ω 97 + (ν ) 5 97 + 5ν 5 97 5ν 00 ν 0 Επομένως, ο ζητούμενος όρος είναι ο. // 0. i) Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 0 και 40. ii) Να βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμητικός μέσος των 5 + και είναι ο. 0 40 0 i) O αριθμητικός μέσος των 0, 40 είναι 5 ii) αριθμητικός μέσος των 5 +, 5 6 4 5 + 6. //

. Αν δύο αριθμοί διαφέρουν κατά 0 και ο αριθμητικός τους μέσος είναι ο 5, να βρείτε τους δύο αυτούς αριθμούς. Έστω, y οι ζητούμενοι αριθμοί. Θα έχουμε το σύστημα y0 y0 y 60 0. // 5 y 50 y40 y 0. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων της αριθμητικής προόδου 7, 9,,... Η διαφορά της προόδου είναι 40 S.7 40 40 0 (4 +78) 0. 9 840. // 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 80 όρων της αριθμητικής προόδου Η διαφορά της προόδου είναι ω + 80 S. 80 80 40 79. 40 58 40. 56 40. 5 080. //,, -, 5,... 5. Να υπολογίσετε το άθροισμα + 5 + 9 +... + 97 Οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με και ω 5 4. Έστω S 50 97 ( + ) 50 + (ν )ω 97 + (ν ) 4 97 (ν ) 4 97 (ν ) 4 96 ν 49 ν 50 ( + 97) 5. 98 4950. // 96

6. Να υπολογίσετε το άθροισμα 7 0... 09 Οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με 7 και ω 0 ( 7) 0 + 7 Έστω S 50 09 + (ν )ω 09 7+ (ν ) ( ) 09 (ν ) ( ) 09 + 7 (ν ) ( ) 0 ν 4 ν 5. ( + ) 5 ( 7 09) 5 ( 6) 5. ( 58) 00. // 7. Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από την αριθμητική πρόοδο 4, 8,..., για να έχουν άθροισμα 80; Έστω ότι πρέπει να πάρουμε τους ν πρώτους όρους. S 80 80 60.4 4 60 4 60 ν ( + ν ) 90 ν (ν + ) 90 90 0 6 9 Δ + 60 6, ν 9 Η ρίζα 0 απορρίπτεται σαν αρνητικός, που εκφράζει πλήθος. // 8. Μια στέγη σχήματος τραπεζίου έχει 5 σειρές κεραμίδια. Η πρώτη σειρά έχει 5 κεραμίδια και κάθε επόμενη σειρά έχει δύο κεραμίδια λιγότερα. Πόσα κεραμίδια έχει η 5 η σειρά και πόσα κεραμίδια έχει συνολικά η στέγη; Το πλήθος των κεραμιδιών κάθε σειράς αποτελούν αριθμητική πρόοδο με 5, ω και πλήθος σειρών ν 5. + (5 )ω 5 + 4( ) 5 8 5 5 S 5 5 ( + ) 5 5 (5 + 5) 5. 78 5. 9 585. // 97

9. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι 4ν. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της ω. Στην ισότητα 4ν, θέτουμε όπου ν το ν +. Τότε 4(ν + ) 4ν 4 8 4ν 8 4ν ( 4ν) 8 4ν + 4ν 4 Άρα η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με ω 4 4. 8. // 0. Αν οι α, β, γ είναι θετικοί αριθμοί και οι,, προόδου, να δείξετε ότι και οι αριθμοί,, αριθμητικής προόδου.,, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου + (β +γ)(α + β) (γ +α)(α + β) + (γ +α)(β + γ) βα + + γα + γβ γα + γβ + το οποίο ισχύει, αφού οι +,, + αβ + γβ + είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής + αβ + αγ είναι επίσης διαδοχικοί όροι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. //. Αν οι,, καθώς και οι,, είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, y να δείξετε ότι το σύστημα έχει ως μια λύση το ζεύγος (, ). y Αρκεί το ζευγάρι (, ) να επαληθεύει τις εξισώσεις του συστήματος, δηλαδή που ισχύουν από τις υποθέσεις. //. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 00 θετικών άρτιων Οι θετικοί άρτιοι αριθμοί, 4, 6,... αποτελούν αριθμητική πρόοδο με και ω 00 S. 00 00 50(4 + 598) 50. 60 9000. // 98

. Να βρείτε το άθροισμα των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ και 99 Πρόκειται για τους αριθμούς 5, 0, 5,..., 95, οι οποίοι αποτελούν αριθμητική πρόοδο με 5 και ω 5. 95 9 S 9 5 95 9 + (ν )ω 95 5 + (ν ) 5 95 5 (ν ) 90 ν 8 ν 9. 00 9. 00 900. // 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων της ακολουθίας 5 ν 5(ν + ) ( 5 ν ) 5ν 5 + 5ν + 5 Άρα η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με 5. 8 και ω 5 40 S (40 ) 40 0.( 8) 9.( 5) 0 ( 6 95 ) 0. ( ) 40. // 5. Να βρείτε το άθροισμα των ακεραίων από μέχρι 00 που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή του 9.. Έστω S το άθροισμα των ακεραίων από μέχρι 00. Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με, ω, ν 00 και 00 S 00 00 00. 0 000 () Έστω το άθροισμα των πολλαπλασίων του 4 από μέχρι 00. 4 Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με 4, ω 4 και 00. 00 + (ν ) ω 00 4 + (ν ) 4 00 + ν 50 ν 50 5. 04 500 () 4 50 4 00 50.04 Έστω το άθροισμα των πολλαπλασίων του 9 από μέχρι 00. 9 Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με 9, ω 9 και 98. 98 + (ν ) ω 98 9 + (ν ) 9 98 + ν ν 99

9 9 98. 07 77 () Για να βρούμε το ζητούμενο άθροισμα πρέπει, από το άθροισμα S να αφαιρέσουμε τα αθροίσματα 4 και. 9 Τότε, όμως, θα έχουμε αφαιρέσει δύο φορές τα κοινά πολλαπλάσια των 4, 9, δηλαδή τα πολλαπλάσια του 6. Επομένως πρέπει να προσθέσουμε μια φορά το άθροισμα των πολλαπλασίων του 6, το οποίο ας συμβολίσουμε. 6 Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με 6, ω 6 και 80. 80 + (ν ) ω 80 6 + (ν ) 6 80 + ν 5 ν 5 5 6 80 5.6 5. 08 540 (4). 6 + 9 6 Ζητούμενο άθροισμα S 4 000 500 77 + 540 6. // 6. Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου,, 5, 7,... που απαιτούνται, ώστε το άθροισμά του να ξεπερνάει το 4000. Έστω ν το ζητούμενο πλήθος. S > 4000 ν [. + (ν ).] > 8000 ν ( + ν ) > 8000 > 8000 > 4000 ν > 4000 6, Άρα ν 64. // 7. Ένα ρολόϊ χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 4/ωρο; Ζητούμενο πλήθος ( + +... + ) + ( + +... + ) ( + +... + ) ( + ). 56. // 8. Ένα στάδιο έχει σειρές καθισμάτων. Στην κάτω-κάτω σειρά βρίσκονται 800 θέσεις και στην πάνω-πάνω σειρά βρίσκονται 460 θέσεις. Το πλήθος των θέσεων αυξάνει από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό θέσεων. Να βρείτε πόσες θέσεις έχει συνολικά το στάδιο και πόσες θέσεις έχει η μεσαία σειρά. 00

Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με ν, 800 και 460. 800 460.4960 S 460 + ( )ω 460 800 + ω 460 ω 460 800 ω 60 ω 05. 480 8840 Η μεσαία σειρά είναι η 7 η + (7 )ω 800 + 6. 05 800 + 680 480. // 7 9. Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς που αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου, αν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενό τους είναι 680. Έστω α ω, α ω, α + ω, α + ω οι ζητούμενοι αριθμοί. Άθροισμα α ω + α ω + α + ω + α + ω 4α α 8 Γινόμενο 680 (α ω)(α ω)(α + ω)(α + ω) 680 Θέτουμε Δ ( 9 )( ) 680 ( 8 9 )( 8 ) 680 ( 64 9 )( 64 ) 680 64 64 9. 64 + 9 4 680 9 4 64( + 9) 9 4 640 + 46 0 + 4096 680 0 y, οπότε η εξίσωση γίνεται 9 y 640y + 46 0 640 4. 9. 46 409600 86976 64 640 64 640 568 y 8 8 4 ω ή ω. Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 7 8 4 8., 8 6, 8 + 0, 8 +. 4 ή 8 ( ) 4, 8 ( ) 0, 8 + ( ) 6, 8 + ( ). // 0

0. Μεταξύ των αριθμών και 80 θέλουμε να βρούμε άλλους 0 αριθμούς που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. [Τέτοια προβλήματα λέγονται προβλήματα παρεμβολής όρων]. Η αριθμητική πρόοδος θα έχει όρους, και 80. 80 + ( )ω 80 + ω 80 ω 77 ω 7 Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 0, 7, 4,, 8, 45, 5, 59, 66, 7. //. Να υπολογίσετε το άθροισμα + + +... + Συμβολίζουμε με Σ το ζητούμενο άθροισμα. Παρατηρώντας τους αριθμητές από το τέλος προς την αρχή, διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα έχει ν προσθετέους. Σ.... //. Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου, 6,,... Είναι λ 6 και... //. Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου Είναι λ 8 4 8 και. 4 4, 4. 8, 6,.... // 4. Να βρείτε το ν-οστό όρο της γεωμετρικής προόδου, 4, -8,... Είναι λ 4 και... // 0

5. Να βρείτε τον της γεωμετρικής προόδου,, 6, 8,... 7 Είναι λ 6 και. 7 7 6. // 4 6. Να βρείτε τον ο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο 4 ος όρος είναι 7 8 και ο λόγος 4. 7 8 4.. 7 8 4 7 8 4 7 6 7. // 7. Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο ος όρος είναι 8 και ο 5ος όρος 8 64 5 8 είναι 64 8. 5 64 8 8 8 64 8.64 8.8 8 8 4 64 8 7 () () λ. // 8. Να βρείτε τον 4 μιας γεωμετρικής προόδου με 4 5 και 5 0 64 5 4 5 0 64 6 4 0 5 64 5 5 5 () 5 64 64 6 6 9 5 64 λ () ή λ 0

α) Για λ, η () οπότε 4 4 8 000 5 5 8. 5 000 β) Για λ, η () 5 5 8. 5 000 8 οπότε 4 4 000 000. // 9. Έστω η γεωμετρική πρόοδος, 6,,....Να βρείτε το πλήθος των όρων της μέχρι και τον όρο που ισούται με 768 Είναι λ 6 768 768. 768 56 8 ν 8 ν 9. // 40. Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 4, 8, 6,..., που υπερβαίνει το 000. Είναι λ 8 4 > 000 > 000 4. > 000 > 500 8 9 Επειδή όμως 56 και 5, θα έχουμε ν 9 ν 0 άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο. // 0 4. Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 8, 64,,..., που είναι μικρότερος του 0, 5 Είναι λ < 0,5 64 8 < 0,5 04

8 < 4 7 < < < 9 9 7 > ν > 9 ν > 0 άρα ν Άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο. // 4. i) Να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 0, καθώς και των και. ii) Να βρείτε τον ώστε οι αριθμοί 4, +, 9 να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο. i) Γεωμετρικός μέσος των 5 και 0 5.0 00 0 Γεωμετρικός μέσος των και ii) Θα πρέπει ( 4) 9) 5 75. // 9 4 + 76 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της γεωμετρικής προόδου,, 4,... λ και 0 0 0 S.. // 0 44. Να υπολογίσετε το άθροισμα + 8 + +... + 89 Οι προσθετέοι του αθροίσματος αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με λ 8 4 89 89 4 89 4 4096 4 6 4 ν 6 ν 7 7 4 S 7 4 7 7 4. // 05