ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Σχετικά έγγραφα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

3. Κατανομές πιθανότητας

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Βιομαθηματικά BIO-156

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

x P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

X i = Y = X 1 + X X N.

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Στατιστική Συμπερασματολογία

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

X = = 81 9 = 9

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

P(200 X 232) = =

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b

Σημειώσεις : Πιθανότητες και Στοχαστικές Διαδικασίες

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2

Κατανομές Πιθανοτήτων. Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ.

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

Y = X 1 + X X N = X i. i=1

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Στοχαστικά χρηματοοικονομικά, Βασιλείου Π. Χ., Εκδόσεις ΖΗΤΗ, 1 η έκδοση, 2001, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11280. 2. Σημειώσεις παραδόσεων: Παράγωγα Χρηματοοικονομικά προϊόντα (εισαγωγή στην στοχαστική χρηματοοικονομική ανάλυση), Μπούτσικας Μιχαήλ, Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιά. 3. Στοιχειώδης εισαγωγή στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά, Ross S., ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ, 1η έκδοση, 2007., Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 4659 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία 1. An Elementary Introduction to Mathematical Finance: Options and other Topics, Ross, S., Cambridge University Press; 2 nd edition, 2002. 2. Options, Futures and Other Derivatives, Ηull, J., 5 th edition, Prentice Hall, 2003. 3. The Mathematics of Financial Derivatives, Willmott, P., Howison, S., Dewynne, J., Cambridge University Press..1997. 4. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, Neftci, S. N., Academic Press, 2000.

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή-Επανάληψη Θεωρίας Πιθανοτήτων Επιτόκια-Χρονική Αξία Χρήματος Χρηματοπιστωτική Αγορά και Παράγωγα Τιμολόγηση Κέρδους Martingales Αυτοχρηματοδοτούμενες Διαδικασίες Κεφαλαίου Διαδικασία Wienner-Κίνηση Brown Στοχαστική Ολοκλήρωση Τιμολόγηση Ευρωπαϊκού Δικαιώματος σε συνεχή Χρόνο

Πειράματα Αιτιοκρατικά πειράματα Πειράματα τύχης Πειράματα στα οποία η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες αυτά εκτελούνται, καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα Αποσταγμένο νερό θερμαινόμενο σε 100 0 C, υπό πίεση 760 χιλιοστών υδραργύρου, θα βράσει 10000 με επιτόκιο 5% γίνονται σε 2 χρόνια: 10000(1+0.05) 2 Πειράματα στα οποία η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες αυτά εκτελούνται, καθορίζει ένα σύνολο από δυνατά αποτελέσματα Το αποτέλεσμα της ρίψης ενός νομίσματος είναι κορόνα ή γράμματα Χρόνος αναμονής σε μια στάση λεωφορείου Κατανάλωση ρεύματος μιας πόλης

Ορισμός Πιθανότητας- Προτάσεις Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης ονομάζεται δειγματοχώρος ή δειγματικός χώρος Κάθε δειγματοχώρος Ω εφοδιάζεται με ένα σώμα F υποσυνόλων του. Τα στοιχεία του F καλούνται γεγονότα. Σε κάθε γεγονός Α αντιστοιχεί μια αριθμητική ποσότητα Pr(Α) η οποία ορίζεται ως πιθανότητα του Α Έστω Ω ένας δειγματοχώρος και F μια συλλογή (κλάση) υποσυνόλων του. Τότε αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες λέμε ότι το F είναι μια άλγεβρα: ΩF Αν Α F τότε και A c F Αν Α F και Β F τότεa B F Ορισμός Έστω Ω ένας δειγματοχώρος και F μια συλλογή υποσυνόλων του. Τότε το F είναι μια σ-άλγεβρα αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. ΩF 2. Αν Α F τότε και A c F 3. Αν {Α i } ii είναι μια οικογένεια συνόλων της F τότε Ai F i1

Ορισμός Πιθανότητας- Προτάσεις Ορισμός (Αξιωματικός Ορισμός Kolmogorov) Μια πιθανότητα Pr είναι μια συνολοσυνάρτηση Pr: FIR που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Pr (Ω)) = 1 ii) A F, Pr(A) 0 iii) A, B F, A B =, Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Η τριάδα (Ω, F, Pr) ονομάζεται πιθανοθεωρητικός χώρος Ορισμός Έστω Ω ένας δειγματοχώρος και F μια συλλογή υποσυνόλων του που είναι μια σ- άλγεβρα. Ένα μέτρο πιθανότητας Pr( ) είναι μια συνάρτηση που απεικονίζει το F στο [0,1] με τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Pr(A) 0, A F, ii) Pr (Ω)) = 1 iii) Αν {Α i } ii είναι μια οικογένεια συνόλων στο F με Α i Α j = για i j τότε Pr ii A i ii Pr A i

Ορισμός Πιθανότητας- Προτάσεις Ορισμός Έστω Ω ένας πεπερασμένος δειγματοχώρος. Ονομάζουμε φιλτράρισμα μια ακολουθία από σ-άλγεβρες του δειγματοχώρου Ω, F 0, F 1,, F n τέτοιες ώστε F 0 F 1 F n Προτάσεις 1. Pr(A c ) = 1 - Pr(A) 2. Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B) 3. Αν Α Β τότε Pr(A) Pr (B) 4. Pr(A) = Pr(A B) + Pr(A B c ) και γενικά Pr(A) = Σ n Pr(A B n ) αν Ω = n B n

Δεσμευμένη πιθανότητα Ορισμός Για κάθε ζεύγος γεγονότων Α και Β με Pr(B) > 0, ορίζεται η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β που συμβολίζεται με Pr(A B), με Pr A B Pr A B Pr(B) Είναι η πιθανότητα του Α γνωρίζοντας ότι έχει συμβεί το Β Αν τα γεγονότα Α και Β είναι ασυμβίβαστα (δηλ. ΑΒ = ) τότε Pr(A B) = 0 Αν Β Α τότε Pr(A Β) = 1 Pr(A B) = Pr (B) Αν Α Β τότε Pr(A Β) = Pr(A) / Pr(B) Pr(A B) = Pr (A) Παραδείγματα 1. Ρίχνουμε 2 ζάρια, το πρώτο δίνει 3, ποια είναι η πιθανότητα το σύνολο των αποτελεσμάτων των 2 ζαριών να ξεπερνάει το 6; 2. Ποια είναι η πιθανότητα ώστε 2 παιδιά μιας οικογένειας να είναι αγόρια γνωρίζοντας ότι τουλάχιστον ένα είναι αγόρι;

Ανεξαρτησία γεγονότων Ορισμός Δύο γεγονότα Α και Β λέγονται στοχαστικά ανεξάρτητα ή ανεξάρτητα κατά πιθανότητα ή απλά ανεξάρτητα όταν Pr(A B) = Pr(A) Pr(B) Δεσμευμένη πιθανότητα και ανεξαρτησία: Pr(A Β) = Pr(A) Γενικότερα ένα πεπερασμένο σύνολο ή μη πεπερασμένο αριθμήσιμο υποσύνολο γεγονότων (Α i, ii ) λέγεται ανεξάρτητο αν για οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο J του I έχουμε: Pr jj A j Παρατηρήσεις: 1. Η ανεξαρτησία ανά 2 των γεγονότων δεν αρκεί για την ανεξαρτησία όλων των γεγονότων jj Pr 2. Αν 2 γεγονότα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, δεν είναι απαραίτητα και ανεξάρτητα. Αντιθέτως αν Pr(A) Pr(B)0 τότε ΔΕΝ είναι ανεξάρτητα. A j

Βασικές προτάσεις Πρόταση (Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας) Έστω (Β n, ni) μια διαμέριση του δειγματοχώρου Ω και Α ένα γεγονός, ισχύει: Pr Η δεύτερη ισότητα ισχύει αν Pr(Β n ) > 0 για όλα τα ni Πρόταση (Τύπος Poincare) A PrA B PrA B Pr ni n n Bn ni Για μια πεπερασμένη σειρά γεγονότων Α 1, Α 2,, Α n ισχύει: Pr Ai Pr Ai Pr Ai A j 1 n 1in 1i jn Πρόταση (Τύπος του Bayes - διαδοχικός) Για μία πεπερασμένη σειρά γεγονότων: Α 1, Α 2,, Α n, με Pr(Α 1 Α n-1 ) > 0, ισχύει: Pr ( 1 i n Α i ) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A n A 1 A 2 A n-1 ) Πρόταση (Τύπος του Bayes) Έστω (Β n, n I) μία διαμέριση του δειγματοχώρου Ω με Pr(Β n ) > 0 για όλα τα n I, και Α ένα γεγονός με Pr(A) > 0, τότε ισχύει, Pr(Β j A) = Pr(A Β j ) Pr(Β j ) / Σ k I Pr(A Β k ) Pr(Β k ) n1 1 Pr A i in i 1

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ορίζεται με βάση ένα τυχαίο πείραμα ως μία συνάρτηση Χ, η τιμής της οποίας εξαρτάται από το αποτέλεσμα ω αυτού του συγκεκριμένου πειράματος. Παράδειγμα : στο πείραμα με τα 2 ζάρια, το άθροισμα, το γινόμενο και η διαφορά των αποτελεσμάτων ορίζουν διαφορετικές τ.μ. : Χ(ω) = x+y, Y(ω) = xy, Z(ω) = x-y, όπου ω = (x,y). Μιγαδική τ.μ. : Ζ = Χ+iY όπου Χ,Υ είναι π.τ.μ. Δείκτρια τ.μ. : Α F, ορίζουμε την δείκτρια τ.μ., που συμβολίζεται με 1 Α, ως 1 αν ω Α 1 Α (ω) = 0 αν όχι

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ιδιότητες : 1. 1 Ω = 1 και 1 = 0 2. 1 Α Β = 1 Α. 1 Β 3. 1 Α Β = 1 Α + 1 Β - 1 Α. 1 Β 4. 1 Α c = 1-1 Α 5. Α B 1 Α 1 B και Α = Β 1 Α = 1 B Μία απλή τ.μ. μπορεί να αναπαρασταθεί με την βηματική συνάρτηση : Χ = Σ 1 i n x i.1 Α i όπου τα γεγονότα Α i είναι μία διαμέριση του δειγματοχώρου Ω.

Κατανομή μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Έστω μία τ.μ. Χ : Ω Ε ΙR. Για x E, ορίζεται το γεγονός {ω: Χ(ω) = x} (η πιο απλά {Χ = x}), για το οποίο συμβολίζουμε με p X (x) την πιθανότητα του, δηλαδή p X (x) = Pr(Χ = x). Ορισμός (κατανομή μίας διακριτής τ.μ.) : Το σύνολο αριθμών (p X (x), x E) έτσι ώστε p X (x) = Pr(Χ = x) λέγεται κατανομή της τ.μ. Χ. Ιδιότητες : 1. p X (x) 0 2. Σ x E p X (x) = 1 Το πλεονέκτημα στην χρήση μίας κατανομής μίας τ.μ. είναι ότι επιτρέπει κατευθείαν, χωρίς την χρήση του δειγματοχώρου, να υπολογισθούν οι πιθανότητες των γεγονότων που ορίζονται από την τ.μ. Χ.

Κατανομή μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Παραδείγματα : Ένα ζάρι : η κατανομή της τ.μ. Χ(ω) = ω είναι p X (ω) = 1/6 για οποιοδήποτε ωω, και λέγεται ομοιόμορφη κατανομή (διακριτή περίπτωση). Δύο ζάρια : η κατανομή της τ.μ. Χ(ω) = ω 1 + ω 2 και δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα: x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Αν υποτεθεί ότι 2 τ.μ. Χ και Υ ορίζονται πάνω στο ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο με τιμές στο Ε 1 και Ε 2 : Ορισμός : (Ανεξαρτησία 2 τ.μ.) Οι τ.μ. Χ και Υ λέγονται ανεξάρτητες εάν για οποιαδήποτε x Ε 1 και y Ε 2, ισχύει: Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y)

Μέση τιμή και ροπές Ορισμός : Η μέση τιμή μίας τ.μ., συμβολίζεται με ΕΧ η Ε[Χ]. Αν η τ.μ. Χ είναι διακριτή με τιμές στο Ε και με κατανομή p = (p X (x), x Ε), η μέση τιμή της δίνεται με Ιδιότητες : 1. Ε[αΧ] = αε[χ]. 2. Ε[Χ +Υ] = Ε[Χ] + Ε[Υ]. ΕΧ = Σ x E x p(x) 3. Εάν Χ 0 τότε Ε[Χ] 0, η εάν Χ Υ, τότε ΕΧ ΕΥ. Παραδείγματα : Η μέση τιμή της δείκτριας τ.μ. : Ε 1 Α = 1. Pr(1 Α = 1) + 0. Pr(1 Α = 0) = Pr(A). Η μέση τιμή της απλής τ.μ. Χ = Σ 1 i n x i.1 Α i : ΕΧ = Σ 1 i n x i Pr(Α i ).

Μέση τιμή και ροπές Ορισμοί : 1. Η k-οστή ροπή (k IN*), ορίζεται με : μ k = E[Χ k ] = Σ x E x k p(x) εάν η σειρά συγκλίνει απόλυτα. 2. Η k-οστή κεντρική ροπή (k IN*), ορίζεται με : m k = E[(X - EΧ) k ] = Σ x E (x - EX) k p(x) Η δεύτερη κεντρική ροπή, m 2, συμβολίζεται επίσης σ 2 (Χ) ή Var(X) και λέγεται διασπορά (Variance) της τ.μ. Χ. Μετράει την διασπορά ή την διασπαρμένη μάζα γύρω από την μέση τιμή της τ.μ.. Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς λέγεται επίσης τυπική απόκλιση. Πρόταση : Εάν Χ είναι μία τ.μ. με τιμές στο IN, τότε ΕΧ = Σ n 1 Pr(X n).

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Κατανομή του Bernoulli 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 X = 0 X = 1 Κατανομή Bernoulli παραμέτρου p = 0,8 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή Bernoulli παραμέτρου p (0 < p < 1), και συμβολίζεται : Χ ~ Β(p), εάν παίρνει τις τιμές τις μέσα στο {0,1} με Pr(X = 1) = p και Pr(X = 0) = 1 p. Το γεγονός {Χ = 1}, λέγεται επιτυχία και το γεγονός {Χ = 0} λέγεται αποτυχία. Η μέση τιμή δίνεται : και η διασπορά ΕΧ = p Var(X) = σ 2 = p(1 p).

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Διωνυμική κατανομή Όταν ενδιαφερόμαστε για τον αριθμό επιτυχιών σε μία πεπερασμένη σειρά πειραμάτων του Bernoulli, τότε αυτό μπορεί να περιγραφεί από μία διωνυμική τ.μ.. Ο αριθμός επιτυχιών σε μία σειρά n πειραμάτων Bernoulli μπορεί να είναι : 0, 1, n. Μία τ.μ. Υ έχει μία διωνυμική κατανομή παραμέτρου (n,p) (n>0 και 0 < p < 1), και συμβολίζεται : Υ ~ Β(n,p). H κατανομή της δίνεται από : p(k) = Pr(Y = k) = C n k p k (1-p) n-k, (k = 0, 1,, n) Αν Υ ~ b(n,p), τότε μπορεί να αναπαρασταθεί με το άθροισμα n τ.μ. του Bernoulli παραμέτρου p και ανεξάρτητες : Y = X 1 + X 2 + +X n 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Διωνυμική κατανομή Η μέση τιμή δίνεται : και η διασπορά ΕY = np Var(Y) = σ 2 = np(1 p).

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Γεωμετρική κατανομή 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Γεωμετρική κατανομή Η γεωμετρική κατανομή έχει άμεση σχέση με μία άπειρη σειρά ανεξάρτητων πειραμάτων Bernoulli. Η πραγματοποίηση μίας γεωμετρικής τ.μ., δείχνει την πρώτη στιγμή πραγματοποίησης μίας επιτυχίας. Η τ.μ. Υ ακολουθεί μία γεωμετρική κατανομή παραμέτρου p (0 < p < 1), και συμβολίζεται : Υ ~ G(p), όταν η κατανομή της δίνεται από p(k) = Pr(Y = k) = p (1-p) k-1, (k > 0) Εάν υποτεθεί μία άπειρη σειρά τ.μ. Bernoulli : X 1, X 2, ~ B(p), τότε η γεωμετρική τ.μ. Υ μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακολούθως : {Y = n} = {X 1 = 0,, X n-1 =0, X n = 1} Η μέση τιμή δίνεται : ΕY = 1 / p και η διασπορά : Var(Y) = σ 2 = (1 p) / p 2.

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Κατανομή Poisson 0,25 0,2 0,15 0,1 Kατανομή POISSON 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Μία τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή Poisson παραμέτρου λ IR* +, και συμβολίζεται : Χ ~ P(λ), όταν η κατανομή της δίνεται από : p(k) = Pr(Χ = k) = e -λ λ k / k! (k IN) Η μέση τιμή δίνεται: ΕΧ = λ και η διασπορά : Var(Χ) = σ 2 = λ.

Συνεχής τυχαία μεταβλητή Ορισμός : (Τυχαία μεταβλητή απόλυτα συνεχής) Μία πραγματική τ.μ. Χ είναι απόλυτα συνεχής εάν υπάρχει μία συνάρτηση f X : IR IR +, έτσι ώστε η κατανομή να δίνεται ως ακολούθως : P X (Β) = Β f X (x) dx για οποιοδήποτε διάστημα Β του IR. Η συνάρτηση f X λέγεται πυκνότητα πιθανότητας του P X ή της τ.μ. Χ. Έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. x IR, f X (x) 0. 2. IR f X (x) dx = 1. Παρατηρήσεις : 1. Μία ερμηνεία της πυκνότητας πιθανότητας είναι η ακόλουθη : Pr(x < X x +Δx) = f X (x) Δx + ο(δx) ή f X (x) = lim Δx0 Pr(x < X x +Δx) / Δx 2. Εκτός από τις διακριτές τ.μ., υπάρχουν και άλλες τ.μ. που δεν είναι απόλυτα συνεχείς.

Συνεχής τυχαία μεταβλητή Ορισμός : (Αθροιστική συνάρτηση κατανομής) Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής ορίζεται για οποιοδήποτε xir, ως ακολούθως : F X (Β) = P X ( ] -, x] ) = Pr( X x ) Συνεπώς, για οποιοδήποτε διάστημα [a, b] του IR, έχουμε : Pr( x ]a, b] ) = F X (b) - F X (a) Έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. Η F X είναι αύξουσα στο IR. 2. F X (-) = lim x- F X (x) = 0, και F X () = lim x F X (x) = 1. 3. F X (. ) είναι συνεχής δεξιά. Παρατηρήσεις : 1. Εάν η τ.μ. Χ είναι απόλυτα συνεχής, τότε F X (x) = ] -, x] f X (u) du 2. Εάν x είναι ένα σημείο συνέχειας της f X, τότε έχουμε : f X (x) = d/dx [F X (x)]

Συνεχής τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα : (η ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0, 1]) 1 f 1 F 0 1 0 1 Η πυκνότητα αυτής της κατανομής είναι : f(x) = 1 [0, 1] (x). Και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μετά από υπολογισμό δίνει : 0 εάν x < 0 F X (x) = x εάν 0 x 1 1 εάν x > 1

Συνεχής τυχαία μεταβλητή Ορισμός : (Μέση τιμή μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα) Η μέση τιμή μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα ορίζεται : και στην περίπτωση μίας διακριτής τ.μ. έχουμε : όπου p(x) είναι η κατανομή της Χ. EX = IR x f(x) dx EX = x x p(x) Ορισμοί : (Διασπορά και ροπές μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα) Η διασπορά μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα ορίζεται όπως και στη διακριτή περίπτωση : Var(X) = E[(X - EX) 2 ] = IR (x - ΕΧ) 2 f(x) dx και η ροπή βαθμού k : μ k = E[X k ] = IR x k f(x) dx Μία πιο πρακτική σχέση : Var(X) = E[X 2 ] (EX) 2 Μερικές ιδιότητες της διασποράς : 1. Var(aX + b) = a 2 Var(X), (a,b IR) 2. Αν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Ομοιόμορφη κατανομή 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 a=1 b=2 Μία τ.μ. ακολουθεί μία ομοιόμορφη κατανομή σε ένα διάστημα [a, b], που συμβολίζεται Χ U[a, b], εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : f(x) = 1 / (b-a) εάν x [a, b] και 0 αλλιώς, Και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας δίνεται με : F(x) = (x-a) / (b-a) εάν x [a, b], 0 εάν x a, 1 εάν x b. EX = (a+b)/2 Var(X) = (b-a) 2 / 12

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Γενική κανονική κατανομή -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 Έστω Ζ Ν(0, 1), (μ,σ) IR x IR +, και Χ = σζ + μ. Τότε EΧ = μ και Var(Χ) = σ 2. Αποδεικνύουμε ότι η τ.μ. Χ ακολουθεί μία γενική κανονική κατανομή, που συμβολίζεται : Χ Ν(μ, σ 2 ) Η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : Και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής : f( x ) 1 e 2πσ xμ 2 2σ 2 F( x) 1 2πσ z e uμ 2 2σ 2 du

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Εκθετική κατανομή 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία εκθετική κατανομή παραμέτρου λ IR + *, που συμβολίζεται Χ Ε(λ), εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται : Και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας δίνεται : f(x) = λ exp(-λx) 1 IR + (x) F(x) = 1 - exp(-λx). EX = 1/λ Var(X) = 1/λ 2

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή γάμμα Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή γάμμα παραμέτρων (α,β) IR + *x IR + *, που συμβολίζεται Χ γ(α,β), εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται : x 1 1 f( x ) x e 1 IR ( ) ( x ) 0,03 0,02 0,01 Όπου Γ(.) είναι η συνάρτηση γάμμα, που δίνεται με : Εάν α ΙΝ*, Γ(α) = (α-1)! a a 1 ( ) t e Εάν α ΙΝ*, τότε γ(α,β) είναι μία κατανομή Erlang. Για α=1, έχουμε Χ Ε(1/λ) Εάν Χ γ(α 1,β) και Υ γ(α 2,β) τότε Χ+Υ γ(α 1 +α 2,β) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 dt EX = αβ Var(X) = αβ 2 0 t ac

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή χι τετράγωνο (χ 2 (n)) : 0,04 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή χι τετράγωνο με n βαθμούς ελευθερίας (n IN*) που συμβολίζεται Χ χ 2 (n), εάν Χ γ(n/2,2). Μία τ.μ. Χ χ 2 (n) είναι το άθροισμα των τετράγωνων n τυπικών κανονικών και ανεξάρτητων τ.μ., δηλαδή εάν Χ χ 2 (n), έχουμε : Χ = Ζ 1 2 + +Ζ n 2 και Ζ i N(0,1). 0,03 0,02 0,01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 EX = n Var(X) = 2n

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Λογάριθμοκανονική κατανομή Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία λογάριθμοκανονική κατανομή παραμέτρου (μ, σ 2 ) IR + x IR +, εάν Χ = e Y και Υ Ν(μ, σ 2 ) και η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : 1 2 f( x ) e 2σ 1 2πσx log xμ 2 IR ( x ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 EX = e μ+σ 2/2 Var(X) = e 2(μ+σ 2) e 2μ+σ 2

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή Weibull 0,07 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή Weibull παραμέτρου (β,η) IR + *xir + *, που συμβολίζεται Χ W(β,η), εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : 0,06 0,05 0,04 0,03 f ( x) 1 x β x e 1 η η IR ( x) 0,02 0,01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας στο IR +, είναι : F(x) = 1 exp[-(x/η) β ]. EX = η Γ(1+1/β) Var(X) = η 2 [Γ(1+2/β) (Γ(1+2/β)) 2 ]

Συνδιακύμανση 2 τυχαίων μεταβλητών Έστω Χ και Υ δύο τυχαίες μεταβλητές. Ορίζουμε σαν συνδιακύμανση και συμβολίζουμε με Cov(X,Y) την ποσότητα: Cov(X,Y) = E[(X - E[X]) (Y E[Y]) = = E[XY - XE[Y] YE[X] + E[X] E[Y]]= = E[XY] E[X]E[Y] Αν Χ, Υ ανεξάρτητες τότε Cov(X,Y) = 0 Ιδιότητες : 1. Cov(X,Χ) = Var(X) 2. Cov(X,Y) = Cov(Y,X) 3. Cov(αX,Y) = α Cov(X,Y) 4. Cov(X,Y+Ζ) = Cov(X,Y) + Cov(X,Ζ) Καθορίζει κατά πόσο δύο μεταβλητές μεταβάλλονται μαζί δηλαδή, κατά πόσο μεγάλες τιμές της μιας σχετίζονται με μεγάλες τιμές της άλλης (θετική συνδιακύμανση), κατά πόσο μικρές τιμές της μιας σχετίζονται με μεγάλες τιμές της άλλης (αρνητική συνδιακύμανση) ή κατά πόσο οι τιμές και των δύο είναι άσχετες μεταξύ τους (σχεδόν μηδενική συνδιακύμανση) n m n m 5. Αν Χ 1, Χ 2,, Χ n είναι τ.μ. τότε Cov X i, Y j CovX i, Y j i1 j1 i1 j1 Ορίζουμε σαν συντελεστή συσχέτισης 2 τ..μ CovX i,y j X,Y Χ, Υ, την ποσότητα VarX Var Y Αν ρ(χ,υ) = 0 λέμε ότι οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι είναι ανεξάρτητες

Ασυμπτωτικά αποτελέσματα Η σύγκλιση μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών γενικεύεται με αρκετούς τρόπου; Στην περίπτωση της σύγκλισης μιας ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών 1. Σύγκλιση με πιθανότητα 1 ή σχεδόν βέβαια Έστω X n n μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών λέμε ότι η ακολουθία αυτή 0 συγκλίνει σχεδόν βέβαια( ) εάν X n Pr σ.β. lim X X 1 n n 2. Σύγκλιση κατά πιθανότητα Έστω X μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών λέμε ότι η ακολουθία αυτή n n 0 συγκλίνει κατά πιθανότητα ( ) εάν για κάθε ε > 0 limpr n X n P X X 1 n 3. Σύγκλιση κατά τετραγωνικό μέσο Έστω X n n 0 μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών λέμε ότι η ακολουθία αυτή συγκλίνει κατά τετραγωνικό μέσο ( ) εάν lim E n X n ms X - X 2 0 n

Ασυμπτωτικά αποτελέσματα 4. Σύγκλιση κατά κατανομή Έστω X n n 0μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών και F n (x) = Pr{X n n}, n =0, 1, 2, η αντίστοιχη ακολουθία συναρτήσεων κατανομών και τέλος έστω Χ μια τ.μ. με F(x) = Pr{X n}. Λέμε ότι η ακολουθία Χ n συγκλίνει κατά κατανομή στην Χ ( ) εάν Παρατήρηση lim F n n (x) F(x) X f n X n σ.β. X n P X n f

Ασυμπτωτικά αποτελέσματα ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ: Ανισότητα Markov Εάν Χ είναι μια τ.μ. η οποία έχει μη αρνητικές τιμές τότε για οποιαδήποτε α > 0 Ανισότητα Chebychev Εάν Χ είναι μια τ.μ. με μέση τιμή μ και διακύμανση σ 2 τότε E X Pr X σ X μ 2 Ερμηνεία: Pr Για Ανισότητα ε = kσ και Schwarz εφαρμόζοντας την ανισότητα Chebychev Εάν Χ και Υ δύο τυχαίες Pr( X μεταβλητές μ ) > με kσ πεπερασμένες < 1/k 2 δεύτερες ροπές, τότε Η πιθανότητα του Χ να κυμαίνεται 2σ γύρω από την μέση τιμή μ είναι 2 2 2 μικρότερη από 1/2 2 E(XY) E X E Y Η πιθανότητα του Χ να κυμαίνεται 3σ γύρω από την μέση τιμή μ είναι μικρότερη από 1/3 2 2

Ασυμπτωτικά αποτελέσματα Ασθενής Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. και έστω 1 2 n Xn n Τότε για κάθε ε >0 υπάρχει ένας αριθμός μ τέτοιος ώστε μια ακολουθία τυχαίων lim n Pr Xn μ 0 όπου μ η μέση τιμή των Χ 1, Χ 2,, Χ n Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες με μ μέση τιμή. Τότε lim n Pr X n μ 01 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνομες με μ μέση τιμή και διακύμανση σ 2. Τότε η κατανομή του X n n συγκλίνει στην τυπική κανονική καθώς n n