ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας Τηλ:

2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Πιθανότητες και Στατιστική για Μηχανικούς, Γ. Ζιούτας,, Εκδόσεις "σοφία" Ανώνυμη Εκδοτική & Εμπορική Εταιρεία, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: Εισαγωγή στη Στατιστική, Τ. Παπαϊωάννου, Σ.Β. Λουκάς, Εκδόσεις Σταμούλη Α.Ε., Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 745 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία. Εισαγωγή στις πιθανότητες και τη στατιστική, Δαμιανού Χ., Χαραλαμπίδης Χ., Παπαδάκης Ν., Εκδόσεις Συμμετρία, 00. Πιθανότητες και Στατιστική, (Schaum's Outline of PROBABILITY AND STATISTICS), Murray R. Spiegel, Μετάφραση: Σωτήριος Κ. Περσίδης 3. Στατιστική, Υ. Κολυβά-Μαχαίρα, Ε. Μπόρα-Σέντα, Ζήτη 4. Ανάλυση Δεδομένων με τη Βοήθεια Στατιστικών Πακέτων, Ν. Δ. Σσάντας, Φρ. Θ. Μωϋσιάδης, Ντ. Μπαγιάτης, Θ. Φατζηπαντελής,

3 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή-Επανάληψη Θεωρίας Πιθανοτήτων Περιγραφική Στατιστική Κατανομές Συχνοτήτων Μέτρα θέσης και απόκλισης Συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης Εκτιμητική Αμεροληψία, Συνέπεια, Επάρκεια, Πληρότητα, Εκτιμήτριες Μεγίστης Πιθανοφάνειας Αμερόληπτη Εκτιμήτρια Ελαχίστης Διασποράς Μέθοδος των Ροπών-Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Διαστήματα Εμπιστοσύνης Έλεγχος Υποθέσεων Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση Διακύμανσης

4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ είναι η επιστήμη η οποία ασχολείται με τον σχεδιασμό, τη συλλογή και την ανάλυση αριθμητικών δεδομένων και την εξαγωγή συμπερασμάτων Τα συμπεράσματα αναφέρονται σε άγνωστα χαρακτηριστικά ή ιδιότητες πληθυσμών και εξάγονται με την βοήθεια πληροφοριών που περιέχονται σε δείγματα από αυτούς τους πληθυσμούς Θεωρητικό υπόβαθρο της Στατιστικής αποτελεί η ΘΕΩΡΙΑ ΠΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Η Στατιστική μαζί με την Θεωρία Πιθανοτήτων χρησιμοποιούνται: Επιχειρήσεις Διοίκηση Βιολογία Γενετική Εκπαίδευση Οικονομικά Ψυχολογία Ιδιαίτεροι κλάδοι που έχουν δημιουργηθεί από την χρησιμοποίηση στατιστικών μεθόδων είναι: Οικονομετρία Βιομετρία Βιοστατιστική Ψυχομετρία

7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές, ονομάζονται παρατηρήσεις ή μετρήσεις ή δεδομένα. Συλλογή επιλογή ενός δείγματος από τον πληθυσμό (ένα ομοιογενές σύνολο ατόμων των οποίων εξετάζουμε κάποιο χαρακτηριστικό) Οργάνωση σήμερα σχεδόν πάντα με τη βοήθεια υπολογιστή Παρουσίαση με τη μορφή π.χ. κάποιου πίνακα, ή κάποιου διαγράμματος, χρησιμοποιώντας είτε το σύνολο των μετρήσεων από το δείγμα είτε κάποιο περιγραφικό μέτρο (π.χ. τον αριθμητικό μέσο) Ανάλυση στατιστική συμπερασματολογία με τη χρήση κάποιου μοντέλου (π.χ. ότι ο πληθυσμός τον οποίο μελετάμε ακολουθεί κάποια κατανομή)

8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

9 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Η επιλογή ενός δείγματος από κάποιο πληθυσμό αποτελεί αντικείμενο της δειγματοληψίας Για την οργάνωση των δεδομένων χρησιμοποιούμε κάποιο λογιστικό φύλλο (π.χ. Excel) ή κάποιο στατιστικό πακέτο (π.χ. Minitab, SPSS, Splus,) Με την παρουσίαση περιγραφή των δεδομένων ασχολείται η Περιγραφική Στατιστική Βασικό μαθηματικό εργαλείο της Στατιστικής Συμπερασματολογίας είναι η θεωρία πιθανοτήτων και ειδικότερα οι διάφορες κατανομές πιθανότητας Στη στατιστική, ένας πληθυσμός που εξετάζουμε μπορεί να είναι Πεπερασμένος ή άπειρος Υπαρκτός ή ιδεατός Είδη στατιστικών στοιχείων Χρονοσειρές ή χρονικές σειρές (π.χ. οι διάφοροι οικονομικοί δείκτες) Διαστρωματικά στοιχεία (π.χ. απογραφές, έρευνες αγοράς κλπ) Μεικτά δεδομένα(που συνδυάζουν τα δύο παραπάνω στοιχεία)

10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Βασικός σκοπός της Περιγραφικής Στατιστικής είναι η παρουσίαση των τιμών του δείγματος με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να γίνει μια πρώτη ερμηνεία των αποτελεσμάτων Περιγραφική Στατιστική περιλαμβάνει: Πινακοποίηση δεδομένων Παραστάσεις δεδομένων με γραφήματα ή εικόνες Υπολογισμό περιγραφικών μέτρων Περιλαμβάνει έννοιες όπως Διαστήματα εμπιστοσύνης Τεστ σημαντικότητας Παλινδρόμηση Προβλέψεις Συντελεστές συσχέτισης Στοχαστικά μοντέλα κλπ

11 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Η σύγχρονη στατιστική Συμπερασματολογία ασχολείται κυρίως με την Στατιστική Χρησιμοποιούμε μέτρα που υπολογίζουμε για να κάνουμε γενικεύσεις γεγονός που οδηγεί στην εξαγωγή συμπερασμάτων επαγωγικά συμπερασματολογία ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ένας δημοσιογράφος κάνει μια σφυγμομέτρηση της κοινής γνώμης και ρωτά 00 ανθρώπους για το αν υποστηρίζουν την αλλαγή ενός νόμου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 75 από τους 00 ΝΑΙ 75 % ΝΑΙ Ποια η διαφορά στις απαντήσεις? Αντιπροσωπευτικό δείγμα

12 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Η Στατιστική Συμπερασματολογία περιλαμβάνει: Εκτιμητική Στατιστικά Τέστ Παλινδρόμηση Ανάλυση Διακύμανσης Πολυμεταβλητή Ανάλυση

13 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Θεωρία Πιθανοτήτων

14 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Βασικές έννοιες Πιθανοτήτων Τυχαία Μεταβλητή Διακριτές και συνεχείς τ.μ. και κατανομές Χαρακτηριστικά τ.μ. και κατανομών Μέση τιμή Διακύμανση Ροπές και ροπογεννήτριες Παραμετρικές οικογένειες κατανομών Από κοινού κατανομή Δεμευμένη κατανομή Κατανομές και χαρακτηριστικά αθροισμάτων τ.μ. Κατανομή min και max Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

15 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ορίζεται με βάση ένα τυχαίο πείραμα ως μία συνάρτηση Χ, η τιμής της οποίας εξαρτάται από το αποτέλεσμα ω αυτού του συγκεκριμένου πειράματος. Παράδειγμα : στο πείραμα με τα ζάρια, το άθροισμα, το γινόμενο και η διαφορά των αποτελεσμάτων ορίζουν διαφορετικές τ.μ. : Χ(ω) = x+y, Y(ω) = xy, Z(ω) = x-y, όπου ω = (x,y). Μιγαδική τ.μ. : Ζ = Χ+iY όπου Χ,Υ είναι π.τ.μ. Δείκτρια τ.μ. : Α F, ορίζουμε την δείκτρια τ.μ., που συμβολίζεται με Α, ως αν ω Α Α (ω) = 0 αν όχι

16 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ιδιότητες :. Ω = και = 0. Α Β = Α. Β 3. Α Β = Α + Β - Α. Β 4. Α c = - Α 5. Α B Α B και Α = Β Α = B Μία απλή τ.μ. μπορεί να αναπαρασταθεί με την βηματική συνάρτηση : Χ = Σ i n x i. Α i όπου τα γεγονότα Α i είναι μία διαμέριση του δειγματοχώρου Ω.

17 Κατανομή μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Έστω μία τ.μ. Χ : Ω Ε ΙR. Για x E, ορίζεται το γεγονός {ω: Χ(ω) = x} (η πιο απλά {Χ = x}), για το οποίο συμβολίζουμε με p (x) την πιθανότητα του, δηλαδή p (x) = Pr(Χ = x). Ορισμός (κατανομή μίας διακριτής τ.μ.) : Το σύνολο αριθμών (p (x), x E) έτσι ώστε p (x) = Pr(Χ = x) λέγεται κατανομή της τ.μ. Χ. Ιδιότητες :. p (x) 0. Σ x E p (x) = Το πλεονέκτημα στην χρήση μίας κατανομής μίας τ.μ. είναι ότι επιτρέπει κατευθείαν, χωρίς την χρήση του δειγματοχώρου, να υπολογισθούν οι πιθανότητες των γεγονότων που ορίζονται από την τ.μ. Χ.

18 Κατανομή μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Παραδείγματα : Ένα ζάρι : η κατανομή της τ.μ. Χ(ω) = ω είναι p (ω) = /6 για οποιοδήποτε ωω, και λέγεται ομοιόμορφη κατανομή (διακριτή περίπτωση). Δύο ζάρια : η κατανομή της τ.μ. Χ(ω) = ω + ω και δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα: x p(x) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Αν υποτεθεί ότι τ.μ. Χ και Υ ορίζονται πάνω στο ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο με τιμές στο Ε και Ε : Ορισμός : (Ανεξαρτησία τ.μ.) Οι τ.μ. Χ και Υ λέγονται ανεξάρτητες εάν για οποιαδήποτε x Ε και y Ε, ισχύει: Pr( = x, Y = y) = Pr( = x) Pr(Y = y)

19 Μέση τιμή και ροπές Ορισμός : Η μέση τιμή μίας τ.μ., συμβολίζεται με ΕΧ η Ε[Χ]. Αν η τ.μ. Χ είναι διακριτή με τιμές στο Ε και με κατανομή p = (p (x), x Ε), η μέση τιμή της δίνεται με Ιδιότητες :. Ε[αΧ] = αε[χ].. Ε[Χ +Υ] = Ε[Χ] + Ε[Υ]. ΕΧ = Σ x E x p(x) 3. Εάν Χ 0 τότε Ε[Χ] 0, η εάν Χ Υ, τότε ΕΧ ΕΥ. Παραδείγματα : Η μέση τιμή της δείκτριας τ.μ. : Ε Α =. Pr( Α = ) + 0. Pr( Α = 0) = Pr(A). Η μέση τιμή της απλής τ.μ. Χ = Σ i n x i. Α i : ΕΧ = Σ i n x i Pr(Α i ).

20 Μέση τιμή και ροπές Ορισμοί :. Η k-οστή ροπή (k IN*), ορίζεται με : μ k = E[Χ k ] = Σ x E x k p(x) εάν η σειρά συγκλίνει απόλυτα.. Η k-οστή κεντρική ροπή (k IN*), ορίζεται με : m k = E[( - EΧ) k ] = Σ x E (x - E) k p(x) Η δεύτερη κεντρική ροπή, m, συμβολίζεται επίσης σ (Χ) ή Var() και λέγεται διασπορά (Variance) της τ.μ. Χ. Μετράει την διασπορά ή την διασπαρμένη μάζα γύρω από την μέση τιμή της τ.μ.. Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς λέγεται επίσης τυπική απόκλιση. Πρόταση : Εάν Χ είναι μία τ.μ. με τιμές στο IN, τότε ΕΧ = Σ n Pr( n).

21 Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Κατανομή του Bernoulli 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 = 0 = Κατανομή Bernoulli παραμέτρου p = 0,8 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή Bernoulli παραμέτρου p (0 < p < ), και συμβολίζεται : Χ ~ Β(p), εάν παίρνει τις τιμές τις μέσα στο {0,} με Pr( = ) = p και Pr( = 0) = p. Το γεγονός {Χ = }, λέγεται επιτυχία και το γεγονός {Χ = 0} λέγεται αποτυχία. Η μέση τιμή δίνεται : και η διασπορά ΕΧ = p Var() = σ = p( p).

22 Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Διωνυμική κατανομή Όταν ενδιαφερόμαστε για τον αριθμό επιτυχιών σε μία πεπερασμένη σειρά πειραμάτων του Bernoulli, τότε αυτό μπορεί να περιγραφεί από μία διωνυμική τ.μ.. Ο αριθμός επιτυχιών σε μία σειρά n πειραμάτων Bernoulli μπορεί να είναι : 0,, n. Μία τ.μ. Υ έχει μία διωνυμική κατανομή παραμέτρου (n,p) (n>0 και 0 < p < ), και συμβολίζεται : Υ ~ Β(n,p). H κατανομή της δίνεται από : p(k) = Pr(Y = k) = C n k p k (-p) n-k, (k = 0,,, n) Αν Υ ~ b(n,p), τότε μπορεί να αναπαρασταθεί με το άθροισμα n τ.μ. του Bernoulli παραμέτρου p και ανεξάρτητες : Y = n 0,5 0, 0,5 0, 0, Διωνυμική κατανομή Η μέση τιμή δίνεται : και η διασπορά ΕY = np Var(Y) = σ = np( p).

23 Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Γεωμετρική κατανομή 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Γεωμετρική καταν ομή Η γεωμετρική κατανομή έχει άμεση σχέση με μία άπειρη σειρά ανεξάρτητων πειραμάτων Bernoulli. Η πραγματοποίηση μίας γεωμετρικής τ.μ., δείχνει την πρώτη στιγμή πραγματοποίησης μίας επιτυχίας. Η τ.μ. Υ ακολουθεί μία γεωμετρική κατανομή παραμέτρου p (0 < p < ), και συμβολίζεται : Υ ~ G(p), όταν η κατανομή της δίνεται από p(k) = Pr(Y = k) = p (-p) k-, (k > 0) Εάν υποτεθεί μία άπειρη σειρά τ.μ. Bernoulli :,, ~ B(p), τότε η γεωμετρική τ.μ. Υ μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακολούθως : {Y = n} = { = 0,, n- =0, n = } Η μέση τιμή δίνεται : ΕY = / p και η διασπορά : Var(Y) = σ = ( p) / p.

24 Μερικές κλασσικές διακριτές κατανομές Κατανομή Poisson 0,5 0, 0,5 0, Kατανομή POISSON 0, Μία τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή Poisson παραμέτρου λ IR* +, και συμβολίζεται : Χ ~ P(λ), όταν η κατανομή της δίνεται από : p(k) = Pr(Χ = k) = e -λ λ k / k! (k IN) Η μέση τιμή δίνεται: ΕΧ = λ και η διασπορά : Var(Χ) = σ = λ.

25 Συνεχής τυχαία μεταβλητή Ορισμός : (Τυχαία μεταβλητή απόλυτα συνεχής) Μία πραγματική τ.μ. Χ είναι απόλυτα συνεχής εάν υπάρχει μία συνάρτηση f : IR IR +, έτσι ώστε η κατανομή να δίνεται ως ακολούθως : P (Β) = Β f (x) dx για οποιοδήποτε διάστημα Β του IR. Η συνάρτηση f λέγεται πυκνότητα πιθανότητας του P ή της τ.μ. Χ. Έχει τις ακόλουθες ιδιότητες :. x IR, f (x) 0.. IR f (x) dx =. Παρατηρήσεις :. Μία ερμηνεία της πυκνότητας πιθανότητας είναι η ακόλουθη : Pr(x < x +Δx) = f (x) Δx + ο(δx) ή f (x) = lim Δx0 Pr(x < x +Δx) / Δx. Εκτός από τις διακριτές τ.μ., υπάρχουν και άλλες τ.μ. που δεν είναι απόλυτα συνεχείς.

26 Συνεχής τυχαία μεταβλητή Ορισμός : (Αθροιστική συνάρτηση κατανομής) Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής ορίζεται για οποιοδήποτε xir, ως ακολούθως : F (Β) = P ( ] -, x] ) = Pr( x ) Συνεπώς, για οποιοδήποτε διάστημα [a, b] του IR, έχουμε : Pr( x ]a, b] ) = F (b) - F (a) Έχει τις ακόλουθες ιδιότητες :. Η F είναι αύξουσα στο IR.. F (-) = lim x- F (x) = 0, και F () = lim x F (x) =. 3. F (. ) είναι συνεχής δεξιά. Παρατηρήσεις :. Εάν η τ.μ. Χ είναι απόλυτα συνεχής, τότε F (x) = ] -, x] f (u) du. Εάν x είναι ένα σημείο συνέχειας της f, τότε έχουμε : f (x) = d/dx [F (x)]

27 Συνεχής τυχαία μεταβλητή Παράδειγμα : (η ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0, ]) f F 0 0 Η πυκνότητα αυτής της κατανομής είναι : f(x) = [0, ] (x). Και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μετά από υπολογισμό δίνει : 0 εάν x < 0 F (x) = x εάν 0 x εάν x >

28 Συνεχής τυχαία μεταβλητή Ορισμός : (Μέση τιμή μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα) Η μέση τιμή μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα ορίζεται : και στην περίπτωση μίας διακριτής τ.μ. έχουμε : όπου p(x) είναι η κατανομή της Χ. E = IR x f(x) dx E = x x p(x) Ορισμοί : (Διασπορά και ροπές μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα) Η διασπορά μίας πραγματικής τ.μ. με πυκνότητα ορίζεται όπως και στη διακριτή περίπτωση : Var() = E[( - E) ] = IR (x - ΕΧ) f(x) dx και η ροπή βαθμού k : μ k = E[ k ] = IR x k f(x) dx Μία πιο πρακτική σχέση : Var() = E[ ] (E) Μερικές ιδιότητες της διασποράς :. Var(a + b) = a Var(), (a,b IR). Αν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε Var(+Y) = Var() + Var(Y)

29 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Ομοιόμορφη κατανομή, 0,8 0,6 0,4 0, 0 a= b= Μία τ.μ. ακολουθεί μία ομοιόμορφη κατανομή σε ένα διάστημα [a, b], που συμβολίζεται Χ U[a, b], εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : f(x) = / (b-a) εάν x [a, b] και 0 αλλιώς, Και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας δίνεται με : F(x) = (x-a) / (b-a) εάν x [a, b], 0 εάν x a, εάν x b. E = (a+b)/ Var() = (b-a) /

30 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Γενική κανονική κατανομή Έστω Ζ Ν(0, ), (μ,σ) IR x IR +, και Χ = σζ + μ. Τότε EΧ = μ και Var(Χ) = σ. Αποδεικνύουμε ότι η τ.μ. Χ ακολουθεί μία γενική κανονική κατανομή, που συμβολίζεται : Χ Ν(μ, σ ) Η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : Και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής : f( x ) e πσ xμ σ F( x) πσ z e uμ σ du

31 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Τυπική κανονική κατανομή

32 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Τυπική κανονική κατανομή

33 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Εκθετική κατανομή 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία εκθετική κατανομή παραμέτρου λ IR + *, που συμβολίζεται Χ Ε(λ), εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται : Και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας δίνεται : f(x) = λ exp(-λx) IR + (x) F(x) = - exp(-λx). E = /λ Var() = /λ

34 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή γάμμα Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή γάμμα παραμέτρων (α,β) IR + *x IR + *, που συμβολίζεται Χ γ(α,β), εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται : x f( x ) x e IR ( ) ( x ) 0,03 0,0 0,0 Όπου Γ(.) είναι η συνάρτηση γάμμα, που δίνεται με : Εάν α ΙΝ*, Γ(α) = (α-)! a a ( ) t e Εάν α ΙΝ*, τότε γ(α,β) είναι μία κατανομή Erlang. Για α=, έχουμε Χ Ε(/λ) Εάν Χ γ(α,β) και Υ γ(α,β) τότε Χ+Υ γ(α +α,β) dt E = αβ Var() = αβ 0 t ac

35 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή χι τετράγωνο (χ(n)) : 0,04 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή χι τετράγωνο με n βαθμούς ελευθερίας (n IN*) που συμβολίζεται Χ χ (n), εάν Χ γ(n/,). Μία τ.μ. Χ χ (n) είναι το άθροισμα των τετράγωνων n τυπικών κανονικών και ανεξάρτητων τ.μ., δηλαδή εάν Χ χ (n), έχουμε : Χ = Ζ + +Ζ n και Ζ i N(0,). 0,03 0,0 0, E = n Var() = n

36 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Λογάριθμοκανονική κατανομή Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία λογάριθμοκανονική κατανομή παραμέτρου (μ, σ ) IR + x IR +, εάν Χ = e Y και Υ Ν(μ, σ ) και η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : f( x ) e σ πσx log xμ IR ( x ) 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, E = e μ+σ / Var() = e (μ+σ ) e μ+σ

37 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή Weibull 0,07 Η τ.μ. Χ ακολουθεί μία κατανομή Weibull παραμέτρου (β,η) IR + *xir + *, που συμβολίζεται Χ W(β,η), εάν η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται με : 0,06 0,05 0,04 0,03 f ( x) x β x e η η IR ( x) 0,0 0, και η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας στο IR +, είναι : F(x) = exp[-(x/η) β ]. E = η Γ(+/β) Var() = η [Γ(+/β) (Γ(+/β)) ]

38 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή t Έστω Χ ~ Ν(0,), Υ ~ χ ν και Χ,Υ ανεξάρτητες τ.μ. Η κατανομή της τ.μ. : Z Y λέγεται t ν κατανομή με ν βαθμούς ελευθερίας : t ν N(0,) ν Είναι γνωστή και ως κατανομή Student Όσο μεγαλώνουν οι βαθμοί ελευθέριας τόσο περισσότερο η κατανομή προσεγγίζει την τυπική κανονική

39 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή t Συνάρτηση Πιθανότητας Συνάρτηση Κατανομής ( ) ν ( ) t f t, t x F Ft ( ) ( ) 3 x ( ) (, ; ; ) F είναι η υπεργεωμετρική συνάρτηση

40 Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανομές Κατανομή t

41 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΓΝΩΣΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

42 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Α. Μαθηματική Ελπίδα τ.μ. Χ Η έννοια της Μαθηματικής Ελπίδας ή αναμενόμενης τιμής συνδέεται με την μέση τιμή μίας σειράς μετρήσεων και από μία άποψη είναι η επικρατέστερη τιμή της τ.μ. Χ ( ) x x f f ( x), ( x), av av διακριτή συνεχής

43 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Α. Μαθηματική Ελπίδα συνάρτησης h(χ) [ h( )] h( x) h( x) f f ( x), ( x), av av διακριτή συνεχής

44 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Ιδιότητες Μαθηματικής Ελπίδας,,, ) ( η και τότε υπάρχει ) ( η Αν υπάρχει 6. ) ( )] ( [ 5. )] ( [ )] ( [ τότε ) ( ) ( 0, ) ( 0 τότεκαι Αν 4. )] ( [ ) ( )], ( [ )] ( [ )] ( ) ( [ 3. )] ( [ ) ) ( (, ) ( ) (. ) (. k i k i n m E h h E h E h E h h h E c h c E h E h E h h E b h ae b ah E b ae b a E c c E m n i i i i

45 Β. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Διακύμανση (διασπορά) τ.μ. Χ Η μέση τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής μας δίνει την θέση ή το «κέντρο βάρους» της κατανομής και έτσι είναι γνωστή ως μέτρο θέσης. f /00 τ.μ. Χ f τ.μ. Χ x Όπως προκύπτει από την παραπάνω μελέτη χρειαζόμαστε ένα μέτρο μεταβλητότητας ή διασποράς των τιμών της τ.μ. γύρω από την μέση τιμή. Επειδή οι αποκλίσεις από την μέση τιμή μπορεί να είναι είτε θετικές είτε αρνητικές, χρησιμοποιούμε τα τετράγωνα των αποκλίσεων. Το μέτρο αυτό ονομάζεται διακύμανση ή διασπορά

46 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Var() E( E) όπου μ ΕΧ E( μ) Β. Τυπική Απόκλιση τ.μ. Χ x ( x ) ( x ) f f ( x), ( x), αν Χ διακριτή αν Χ συνεχής Var() Β 3. Διασπορά και Τυπική Απόκλιση συνάρτησης h(χ) Var[ h( )] E[ h( ) Eh( )] h( ) Varh( )

47 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Ιδιότητες Διακύμανσης. Var( ) E( ) ( E), Var[ h( )] E( h ( )) [ Eh( )]. Var( c) 0 3. Var[ h() b] Var[ h( )] Παρατηρήσεις: Εάν η διακύμανση ή η διασπορά είναι 0 τότε η τ.μ. είναι σταθερή. Όσο πιο μικρή είναι η διακύμανση τόσο πιο μικρή είναι και η μεταβλητότητα της Χ. Συνήθως για να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου που περιγράφεται από μία τ.μ. Χ χρειαζόμαστε την κατανομή της.. Εάν όμως η κατανομή της δεν είναι γνωστή αλλά γνωρίζουμε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση, η παρακάτω ανισότητα που είναι γνωστή ως ανισότητα Chebychev μας επιτρέπει να υπολογίζουμε φράγματα που δεν εξαρτώνται από τη κατανομή της Χ, για τις πιθανότητες των ενδεχομένων της Χ της μορφής (μ kσ, μ + kσ) Pr{ } Var()

48 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ Η μέση τιμή και η διακύμανση μίας τυχαίας μεταβλητής δεν είναι τα μόνα μέτρα που περιγράφουν τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των κατανομών. Υπάρχουν και άλλα όπως οι ροπές, τα μέτρα λοξότητας και κύρτωσης, μίας κατανομής, η διάμεσος, η κορυφή, τα ποσοστιαία σημεία κλπ. Α. Απλές Ροπές ή Ροπές περί το 0 k E( k ) x - x x k k f ( x), f ( x), διακριτή συνεχής Λέγεται ροπή k-τάξης περί το μηδέν. Αν μ = μ τότε έχουμε την μέση τιμή της τ.μ.(k θετικός ακέραιος)

49 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ Β. Κεντρικές Ροπές ή Ροπές περί το μ k E( ) k x - x x Λέγεται κεντρική ροπή k-τάξης περί το μ. Παρατηρούμε ότι λ = 0 για κάθε κατανομή. Επίσης λ = σ δηλαδή είναι η διακύμανση. Οι κεντρικές ροπές συνδέονται με τις απλές ροπές σύμφωνα με τον γενικό τύπο : k k f ( x), f ( x), διακριτή συνεχής k k k k k k k k k k... ( )

50 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ Γ. Τυπικές ή Τυποποιημένες Ροπές k E k, k,,3, Όπου μ η μέση τιμή και σ η τυπική απόκλιση. Λέγεται τυπική ή τυποποιημένη ροπή k-τάξης.. Παρατηρούμε ότι α = 0 και α =. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι ροπές α 3 και α 4 α 3 : Μέτρο ή συντελεστής λοξότητας(ασυμμετρίας) Αν η κατανομή είναι συμμετρική τότε α 3 = 0. Αν α 3 > 0 τότε η καμπύλη είναι λοξή προς τα δεξιά ενώ αν α 3 < 0 προς τα αριστερά α 4 : Μέτρο ή συντελεστής κύρτωσης Μεγάλες τιμές του α 4 σημαίνουν πολύ κυρτή καμπύλη. Δ. Παραγοντικές Ροπές [ k] E ( )...( k ), k θετικός ακέραιος

51 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Τυπικές ή Τυποποιημένες Ροπές α 3 = 0 α 3 > 0 α 3 < 0 α 4 > 3 α 4 = 3 α 4 < 3

52 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ. B(n,p). Hg(N,n,p) 3. Geo(p) 4. NB(k,p) q q p q p 4 3 p 9, 9 ) (,, 4 3, ) ( ) ( ) ( ) (,, n N Npq N n N N p q N n N npq np npq npq p q npq np 6pq 3, ) (,, 4 3 kq q kq q p kq p k 6 p 9, ) (,, 4 3

53 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 5. P(λ) 6.U(α,β) 7. Exp(λ) 8. G(α,β) 3,,, ,, ) (, ,,, 4 3 9,,, 4 3

54 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 9. Be(α,β) 0.N(0,) 3) )( ( )] ( ) )[( 3(, ) ( ) (, ) )( (, ,,, 0 4 3

55 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ. Κορυφή Έστω Χ μία τ.μ.. Κάθε σημείο k για το οποίο ισχύει η σχέση f ή f ( k) max f ( k) max f ( x), ( x), διακριτή συνεχής λέγεται κορυφή ή επικρατούσα τιμή της τ.μ.. Ποσοστιαία Σημεία Έστω Χ μία τ.μ. με α.σ.κ. F(x). Κάθε σημείο x p οποίο ισχύει Pr( x ή Pr( x p p x x ) ) λέγεται p-ποσοστιαίο σημείο της Χ ή της κατανομής της Αν p = 0.5,,το σημείο λέγεται διάμεσος και συνήθως συμβολίζεται με m p και Pr( F( x p x ) ) p, συνεχής p 0 x, για το p p, διακριτή

56 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός Έστω Χ μία τ.μ. Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της Χ συμβολίζεται με m x (t) ή m(t) και ορίζεται ως ακολούθως : m ( t) E( e t ) x e e tx f ( x), f ( x), διακριτή συνεχής Όπου f η σ.π. της Χ και t είναι παράμετρος μεταβαλλόμενη στα διαστήματα για τα οποία το άθροισμα ή το ολοκλήρωμα συγκλίνουν απόλυτα. tx Η ροπογεννήτρια υπάρχει πάντα στο σημείο t = 0. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου υπάρχει μόνο για το 0 και για καμία άλλη τιμή του t. Αν η ροπογεννήτρια υπάρχει για μία περιοχή του t = 0 τότε έχει παραγώγους κάθε τάξης στην περιοχή αυτή.

57 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ισχύει m ( t) r r r t r!, t ( c, c) Ισχύει m ab bt ( t) e m ( at) Η πιο σημαντική ιδιότητα των ροπογεννητριών είναι το Θεώρημα του μονοσήμαντου : αν οι ροπογεννήτριες συναρτήσεις δύο τ.μ. είναι ίσες τότε οι τ.μ. έχουν την ίδια κατανομή. Το θεώρημα αυτό μας επιτρέπει τον προσδιορισμό των κατανομών τ.μ. με την βοήθεια των ροπογεννητριών συναρτήσεων.

58 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Κατανομή Διωνυμική-Β(n,p) Γεωμετρική-Geo(p) Pascal-NB(k,p) Poisson-P(λ) Ομοιόμορφη-U(α,β) Εκθετική-Exp(λ) Γάμμα-G(α,β) Κανονική-Ν(μ,σ ) Ροπογεννήτρια m ( t) ( pe q) pe m( t) qe m( t) p m( t) e k t e t tk t t ( qe ) t t ( e k ) t e e m( t) t ( ) m( t) t m( t) ( t) m( t) e t t n

59 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφική Στατιστική

60 Περιγραφική Στατιστική Δεν αποτελεί πια το κύριο ή το πιο σημαντικό θέμα της στατιστικής Ωστόσο, χρησιμοποιείται ευρύτατα σε πρωταρχική φάση κάθε ανάλυσης δεδομένων και τα τελευταία χρόνια γνωρίζει άνθηση χάρις στην ανάπτυξη των γραφικών μεθόδων και των ηλεκτρονικών υπολογιστών Περιλαμβάνει μεθόδους παρουσίασης, ταξινόμησης και συνόψισης ενός συνόλου δεδομένων Οι μέθοδοι αυτοί χρησιμοποιούν πίνακες κατανομής διαφόρων συχνοτήτων, γραφήματα όπως ιστογράμματα, πολύγωνα, ραβδογράμματα και άλλα

61 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Ομαδοποιημένα δεδομένα Τα βασικά χαρακτηριστικά ενός μεγάλου συνόλου δεδομένων μπορούν να εκτιμηθούν ευκολότερα με ομαδοποίηση των δεδομένων σε κατηγορίες ή ομάδες και μετά προσδιορίζοντας τον αριθμό των παρατηρήσεων που ανήκουν σε κάθε ομάδα Τέτοιου είδους πινακοποιήσεις καλούνται πίνακες κατανομής συχνοτήτων για ομαδοποιημένα δεδομένα Πώς κατασκευάζουμε ένα πίνακα κατανομής συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων:. Προσδιορίζουμε τον αριθμό k των ομάδων ή κλάσεων: η απόφαση είναι αυθαίρετη και εμπειρική. Συχνά χρησιμοποιούνται 5 έως και 5 ομάδες-κλάσεις ανάλογα με το μέγεθος του συνόλου των δεδομένων. Προσδιορίζουμε το εύρος R (range) των παρατηρήσεων: μέγιστη παρατήρηση ελάχιστη παρατήρηση R max x min i x i

62 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων 3. Προσδιορίζουμε το μήκος l των ομάδων: εύρος αριθμός ομάδων R k έχουμε έτσι ομάδες με ίσα μήκη και άρα μπορούμε να κάνουμε ομοιόμορφες συγκρίσεις (μπορεί να υπάρχουν και άνισα μήκη) 4. Προσδιορίζουμε τα όρια L και U των ομάδων: το κατώτερο όριο L της πρώτης ομάδας συνήθως υπολογίζεται από την ελάχιστη παρατήρηση μείον μισή μονάδα x 0 5 L i min. και στην συνέχεια προσθέτουμε σε αυτό το μήκος l: U L 5. Ταξινομούμε τις παρατηρήσεις στις ομάδες Μπορούμε λοιπόν με βάση τα παραπάνω να ορίσουμε:

63 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Έστω ότι οι παρατηρήσεις x, x,, x n αποτελούν ένα σύνολο δεδομένων μεγέθους n και ότι θέλουμε τις παρατηρήσεις αυτές να τις ταξινομήσουμε σε ένα πίνακα κατανομής συχνοτήτων, ο οποίος να έχει k ομάδες. Κάθε ομάδα j, j =,,, k έχει τα εξής χαρακτηριστικά: L j κατώτερο όριο U j ανώτερο όριο Lj U j m j μέσο σημείο ή τιμή ομάδας m j f j απόλυτη συχνότητα, συμβολίζει τον αριθμό των παρατηρήσεων που ανήκουν στην ομάδα j. Άθροισμα όλων των απολύτων συχνοτήτων = με το μέγεθος n k j f j f f... f i / n σχετική συχνότητα. Συμβολίζει τον αριθμό των παρατηρήσεων που ανήκουν στην ομάδα j υπό μορφή ποσοστού και αθροίζει στην μονάδα k f k j f j n n n n j j F j αθροιστική συχνότητα. Είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων από την πρώτη ομάδα έως και την j ομάδα αθροιστικά F f f... f j f j k n

64 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων. Η αθροιστική συχνότητα της τελευταίας ομάδας F k πρέπει να ίση με το μέγεθος n F k f f... f k n F i / n σχετική αθροιστική συχνότητα. Συμβολίζει τον αριθμό των παρατηρήσεων από την πρώτη ομάδα έως και την j αθροιστικά υπό μορφή ποσοστού F n j f... και η σχετική αθροιστική συχνότητα της τελευταίας ομάδας είναι ίση με 00% = f n f j

65 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Παράδειγμα Ένα τυχαίο δείγμα 50 ατόμων από το σύνολο των υπαλλήλων μιας εταιρίας έλαβαν μέρος σε μια έρευνα προσωπικών στοιχείων. Μεταξύ των διαφόρων ερωτήσεων ήταν και η ηλικία των υπαλλήλων με τιμές κατά αύξουσα σειρά Να κατασκευασθεί ένας πίνακας κατανομής συχνοτήτων που περιγράφει τις ηλικίες των υπαλλήλων του δείγματος.

66 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Μη-ομαδοποιημένα δεδομένα Μερικές φορές η ομαδοποίηση των δεδομένων δεν είναι επιθυμητή γιατί για παράδειγμα θα πρέπει να διατηρηθούν κάποια χαρακτηριστικά των παρατηρήσεων. Επίσης υπάρχουν περιπτώσεις όπου το σύνολο των δεδομένων δεν περιέχει πολλές διαφορετικές τιμές και άρα δεν ενδείκνυται η ομαδοποίηση Τότε στην κατασκευή πίνακα κατανομής συχνοτήτων δεν γίνεται ομαδοποίηση των δεδομένων αλλά απλά μια καταγραφή αυτών και των αντίστοιχων συχνοτήτων κάθε παρατήρησης Αν επιπλέον οι παρατηρήσεις διαταχθούν, τότε ο πίνακας λέγεται διατεταγμένος πίνακας συχνοτήτων Παρατηρήσεις x j Απόλυτες Συχνότητες f j Σχετικές Συχνότητες f j / n Αθροιστικές Συχνότητες F j ΣχετικέςΑθροιστικές Συχνότητες F j / n x f f / n F F / n x f f / n F F / n... x k f k f k / n F k = n F k / n = k f j n j k f j n j

67 Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Παράδειγμα Σε ένα τυχαίο δείγμα 0 εστιατορίων έγινε καταγραφή των ατόμων που εργάζονται σε αυτά. Να κατασκευασθεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων

68 Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων Οι κατανομές συχνοτήτων παρέχουν χρήσιμες πληροφορίες για ένα σύνολο δεδομένων με μορφή πινάκων. Το επόμενο βήμα είναι η απεικόνιση των πινάκων αυτών με γραφήματα. Τα γραφήματα προσδιορίζουν άμεσα και εύκολα την γενική εικόνα κατανομής ενός συνόλου δεδομένων Υπάρχουν πολλά είδη γραφημάτων για την απεικόνιση ενός συνόλου δεδομένων με κυριότερα τα εξής

69 Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Το ιστόγραμμα είναι περισσότερο κατάλληλο για την απεικόνιση ομαδοποιημένων ποσοτικών μεταβλητών που αντιπροσωπεύουν παρατηρήσεις της διαστημικής ή της αναλογικής κλίμακας μετρήσεων Ο τρόπος απεικόνισης του ιστογράμματος είναι ένα σύνολο από ορθογώνια παραλληλόγραμμα με βάσεις που αντιπροσωπεύουν τις ομάδες επί του άξονα x και ύψη που αντιπροσωπεύουν τις συχνότητες επί του άξονα y Αν στο άξονα y αντιστοιχίσουμε τις απόλυτες συχνότητες, τότε έχουμε το ιστόγραμμα απολύτων συχνοτήτων Ανάλογα για τις σχετικές συχνότητες

70 Σχετικές συχνότητες Περιγραφική Στατιστική Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Παράδειγμα 3 Να κατασκευασθεί το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων του πίνακα συχνοτήτων που προκύπτει από τα δεδομένα του παραδείγματος. y ομάδες

71 Σχετικές συχνότητες Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων ΠΟΛΥΓΩΝΟ Το πολύγωνο απόλυτων ή σχετικών συχνοτήτων κατασκευάζεται ενώνοντας διαδοχικά με ευθύγραμμα τμήματα τα μέσα των πάνω πλευρών των ορθογωνίων του ιστογράμματος τα οποία και αντιστοιχούν στο μέσο σημείο της κάθε ομάδας Παράδειγμα 4 y 0.36 Να κατασκευασθεί το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων του προηγούμενου πίνακα 4.5 Γ 3.5 Β Δ Α 6.5 Ε ομάδες

72 Σχετικές αθροιστικές συχνότητες Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων: Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα (L,0), (U,F ), (U,F ),, (U k,f k ) Πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων: Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα (L,0), (U, F / n ), (U,F / n ),, (U k,f k / n ) Παράδειγμα 5 Να κατασκευασθεί το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων του προηγούμενου πίνακα y ομάδες

73 Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ Είναι κατάλληλο για την απεικόνιση μεταβλητών που αντιπροσωπεύουν παρατηρήσεις της ονομαστική ή της τακτικής κλίμακας μετρήσεων Η κατασκευή ενός ραβδογράμματος είναι παρόμοια με αυτή του ιστογράμματος με την διαφορά ότι οι κατηγορίες στον άξονα των x δεν είναι συνεχόμενες λόγω της διαφορετικής κλίμακας των μετρήσεων Παράδειγμα 6 Σε μια έρευνα έλαβαν μέρος 000 άτομα, από τα οποίο οι 300 ήταν απόφοιτοι Δ.Ε., 550 απόφοιτοι Π.Ε. και 50 Α.Ε. Το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων για το επίπεδο εκπαίδευσης των ερωτηθέντων δίνεται παρακάτω:

74 Σχετικές συχνότητες Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων y Δ.Ε Π.Ε. Α.Ε.

75 Περιγραφική Στατιστική Γραφικές απεικονίσεις δεδομένων ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Απεικονίζει συνήθως τις σχετικές συχνότητες ως ανάλογα εμβαδά κυκλικών τομέων ενός κύκλου Παράδειγμα 7 Να κατασκευασθεί κυκλικό διάγραμμα του προηγούμενου παραδείγματος: ΠΕ Π.Ε. 0.5 ΑΕ 0.30 Μ.Ε Α.Ε ΔΕ

76 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων Εκτός από τους πίνακες συχνοτήτων και τα αντίστοιχα γραφήματα, η περιγραφική στατιστική χρησιμοποιεί και αριθμητικά μεγέθη που περιγράφουν το σύνολο των δεδομένων Τα αριθμητικά αυτά μεγέθη ή μέτρα, περιγράφουν βασικά χαρακτηριστικά της κατανομής ενός συνόλου δεδομένων, όπως η κεντρική θέση, τα ποσοστιαία σημεία, η μεταβλητότητα, η λοξότητα και η κύρτωση ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Είναι αριθμητικά μεγέθη τα οποία χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν το κέντρο γύρω από το οποίο τείνουν να συγκεντρώνονται οι παρατηρήσεις. Μέση τιμή (α) Μέση τιμή πληθυσμού-παράμετρος: Έστω ότι οι παρατηρήσεις x, x,, x Ν αποτελούν ένα σύνολο δεδομένων μεγέθους Ν N N i x i

77 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων (β) Μέση τιμή δείγματος: Έστω ότι οι παρατηρήσεις x, x,, x n αποτελούν ένα σύνολο δεδομένων μεγέθους n n n i x i (γ) Μέση τιμή ομαδοποιημένων δεδομένων : Έστω ότι οι παρατηρήσεις x, x,, x n αποτελούν ένα σύνολο δεδομένων μεγέθους n k j m j f j j (δ) Μέση τιμή με βάρη: Έστω ότι οι παρατηρήσεις x, x,, x n αποτελούν ένα σύνολο δεδομένων μεγέθους n και κάθε μια από τις παρατηρήσεις έχει διαφορετική σημασίασημαντικότητα w n i w x i i k n f i j w i

78 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων. Διάμεσος (α) Περιττός αριθμός παρατηρήσεων: Η μεσαία παρατήρηση (β) Άρτιος αριθμός παρατηρήσεων: το ημι-άθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων Είτε πρόκειται για τον πληθυσμό είτε για το δείγμα η θέση της διαμέσου προσδιορίζεται από την ίδια σχέση 3. Κορυφή (α) (β) M N M n Μη ομαδοποιημένα δεδομένα: Συμβολίζεται με Μ 0 και είναι η παρατήρηση με την μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης Ομαδοποιημένα δεδομένα: το μέσο σημείο της ομάδας με την μεγαλύτερη συχνότητα 4. Μέσο εύρος (α) Μη ομαδοποιημένα δεδομένα: (β) Ομαδοποιημένα δεδομένα: min L U k x max i x i

79 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ Είναι τιμές μέχρι τις οποίες βρίσκονται ορισμένα ποσοστά του αριθμού των παρατηρήσεων. Τεταρτημόρια Είναι τιμές κάτω από τις οποίες βρίσκονται αντίστοιχα το 5%, το 50% και το 75% των παρατηρήσεων. Το δεύτερο τεταρτημόριο ταυτίζεται με τη διάμεσο 5% 5% 5% 5% Q Q Q 3. Εκατοστιαία σημεία P, P,, P 99 είναι οι τιμές κάτω από τις οποίες βρίσκονται αντίστοιχα το %, το %,, το 99% των παρατηρήσεων

80 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων ΜΕΤΡΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ-ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Δίνουν πληροφορίες σχετικά με τον βαθμό μεταβλητότητας ενός συνόλου δεδομένων. Μαζί με τα μέτρα θέσης παρέχουν σαφέστερη περιγραφή των παρατηρήσεων. Τα κυριότερα είναι το εύρος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση, ο συντελεστής μεταβλητότητας, η λοξότητα και η κύρτωση. Εύρος. Διακύμανση Χρησιμοποιεί τα τετράγωνα των αποκλίσεων από την μέση τιμή (α) Πληθυσμού-παράμετρος: (β) Δείγματος στατιστικό: (γ) Ομαδ/να δεδομένα N i x i N i x i min x max R ή n n x x n x n S n i i n i i n i i n n m f m f n S n i j j n i j j

81 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων 3. Τυπική απόκλιση (α) Πληθυσμού-παράμετρος: (β) Δείγματος στατιστικό: S S 4. Συντελεστής Μεταβλητότητας Είναι καθαρός αριθμός και εκφράζει την σχετική μεταβλητότητα των παρατηρήσεων ως προς την μέση τιμή. Χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τις μεταβλητότητες διαφόρων πληθυσμών ή δειγμάτων που εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης, είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα αλλά έχουν διαφορετικές μέσες τιμές (α) Πληθυσμού-παράμετρος: CV 00% (β) Δείγματος στατιστικό: S CV 00%

82 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων 5. Λοξότητα (i) Μη ομαδοποιημένα δεδομένα (α) Πληθυσμού-παράμετρος: (β) Δείγματος στατιστικό: (ii) Ομαδοποιημένα δεδομένα N i x i N a S x n a N i i S m f n a k j j j

83 Περιγραφική Στατιστική Αριθμητικά μέτρα Δεδομένων 6. Κύρτωση (i) Μη ομαδοποιημένα δεδομένα (α) Πληθυσμού-παράμετρος: (β) Δείγματος στατιστικό: (ii) Ομαδοποιημένα δεδομένα N i x i N a S x n a N i i S m f n a k j j j

84 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παραδείγματα Παράδειγμα Το 006 η συνολική κατανάλωση ελαφριάς μπύρας (light) στις ΗΠΑ έφτασε τα 3 εκατομμύρια γαλόνια. Σε μια τόσο μεγάλη αγορά, οι παραγωγοί ενδιαφέρονται να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά των πελατών, και έτσι μια έρευνα κατέγραψε τις προτιμήσεις μεταξύ των φοιτητών που πίνουν ελαφριά μπύρα. Το δείγμα αποτελείται από 85 τελειόφοιτους φοιτητές και οι μάρκες μπύρας ήταν: Bud Light, Busch Light, Coors Light, Michelob Light, Miller Light, Natural Light, Άλλη. Καταγράφεται ακόμα και το φύλο του ερωτηθέντος.

85 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα Κωδικοποίηση Brand Bud Light Busch Light 3 Coors Light 4 Michelob Light 5 Miller Light 6 Natural Light 7 Άλλη Gender Άνδρας Γυναίκα

86 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα Τι μπορεί να μας ενδιαφέρει; Πως κατανέμονται (μοιράζονται) οι προτιμήσεις των φοιτητών; Ποιά μέτρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να δούμε» την κατανομή αυτή; Brand Συχνότητα Σχετική Συχνότητα (%) Bud Light 90 3,6 Busch Light 9 6,7 3 Coors Light 6,8 4 Michelob Light 3 4,6 5 Miller Light 59 0,7 6 Natural Light 5 8,8 7 Άλλη 7 6,0 Σύνολο Άνδρες Brand Συχνότητα Σχετική Συχνότητα (%) Bud Light 4 8,6 Busch Light 0 6,8 3 Coors Light 38 5,9 4 Michelob Light 9 6, 5 Miller Light 3 5,6 6 Natural Light 8, 7 Άλλη 3 8,8 Σύνολο Γυναίκες Brand Συχνότητα Σχετική Συχνότητα (%) Bud Light 48 34,8 Busch Light 9 6,5 3 Coors Light 4 7,4 4 Michelob Light 4,9 5 Miller Light 36 6, 6 Natural Light 3 9,4 7 Άλλη 4,9 Σύνολο 38 00

87 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα Τι μπορεί να μας ενδιαφέρει; Μπορούμε να απεικονίσουμε γραφικά την κατανομή για να δώσουμε σε κάποιον μια εικόνα που να μπορεί να καταλάβει αντί για πίνακες με αριθμούς; Bud Light Busch Light Συχνότητα Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 35,0 30,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Bud Light Σχετική Συχνότητα (%) Busch Light Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 00,0 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 0,0 0,0 0,0 Σχετική Αθροιστική Συχνότητα (%) Bud Light Busch Light Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη Bud Light Busch Light Συχνότητα-Άνδρες Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 35,0 30,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Bud Light Σχετική Συχνότητα (%)-Άνδρες Busch Light Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 00,0 80,0 60,0 40,0 0,0 0,0 Σχετική Αθροιστική Συχνότητα (%)- Άνδρες Bud Light Busch Light Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη Bud Light Busch Light Συχνότητα-Γυναίκες Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 35,0 30,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Σχετική Συχνότητα (%)-Γυναίκες Bud Light Busch Light Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 00,0 80,0 60,0 40,0 0,0 0,0 Σχετική Αθροιστική Συχνότητα (%)- Γυναίκες Bud Light Busch Light Coors Light Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη

88 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα Τι μπορεί να μας ενδιαφέρει; Μπορούμε να απεικονίσουμε γραφικά την κατανομή για να δώσουμε σε κάποιον μια εικόνα που να μπορεί να καταλάβει αντί για πίνακες με αριθμούς; Σχετική Συχνότητα (%) Σχετική Συχνότητα (%)-Άνδρες Σχετική Συχνότητα (%)-Γυναίκες 8,8 6,0 3,6 Bud Light Busch Light Coors Light 8, 8,8 8,6 Bud Light Busch Light Coors Light 9,4,9 34,8 Bud Light Busch Light Coors Light 0,7 4,6,8 6,7 Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 5,6 6, 5,9 6,8 Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη 6,,9 7,4 6,5 Michelob Light Miller Light Natural Light Άλλη

89 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παραδείγματα Παράδειγμα Με την απελευθέρωση των τηλεπικοινωνιών εμφανίστηκαν πολλές νέες εταιρίες τηλεφωνίας που ανταγωνίζονται για την προσέλκυση πελατών. Το πεδίο του ανταγωνισμού είναι σχεδόν οι φθηνότερες τιμές, επειδή οι παρεχόμενες υπηρεσίες δεν έχουν διαφοροποίηση. Ο καθορισμός της τιμής ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας απέναντι στον τόσο σκληρό ανταγωνισμό είναι μια εξαιρετικά δύσκολή υπόθεση, που εξαρτάται από παράγοντες όπως η προσφορά και ζήτηση, η ελαστικότητα των τιμών και οι προσφορές των ανταγωνιστών. Η χρέωση των υπηρεσιών τηλεφωνίας μπορεί να γίνει με ένα σταθερό μηνιαίο πάγιο ή με χρονοχρέωση ή με συνδυασμό και των δυο. Η επιλογή της καταλληλότερης στρατηγικής διευκολύνεται από τη γνώση της συμπεριφοράς των καταναλωτών, και ιδιαίτερα από το ύψος των μηνιαίων λογαριασμών. Στα πλαίσια μιας ευρύτερης έρευνας, μια εταιρία τηλεφωνίας θέλησε να μάθει για το ύψος των μηνιαίων λογαριασμών νέων συνδρομητών κατά τον πρώτο μήνα μετά την εγγραφή τους. Το Τμήμα Πωλήσεων κατέγραψε τα ποσά του πρώτου μηνιαίου λογαριασμού ενός δείγματος 00 νέων συνδρομητών. Με ποιόν τρόπο πρέπει να παρουσιαστούν τα δεδομένα στην διοίκηση της εταιρίας έτσι ώστε να μπορούν να βγουν χρήσιμα συμπεράσματα;

90 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα Πως μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τα δεδομένα; Min 0,00 Max 9,63 Class x<=5 5<x<=30 30<x<=45 45<x<=60 60<x<=75 75<x<=90 90<x<=05 05<x<=0 Class Συχνότητα x<=5 7 5<x<= <x<= <x<= <x<= <x<= <x<= <x<=0 4

91 Συχνότητα Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα Μπορούμε να απεικονίσουμε γραφικά την κατανομή για να δώσουμε στη διοίκηση μια εικόνα που να μπορεί να καταλάβει αντί για πίνακες με αριθμούς; x<=5 5<x<= <x<=45 45<x<= <x<=75 75<x<=90 90<x<=05 05<x<=0 0 Bills

92 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παραδείγματα Παράδειγμα 3 Ας υποθέσουμε ότι ένα επενδυτής έχει δυο επιλογές μεταξύ των οποίων μπορεί να επιλέξει για να κάνει μια επένδυση ενός ποσού που έχει συγκεντρώσει. Για να επιλέξει μια από αυτές, ο επενδυτής βρίσκει όλες τις προηγούμενες αποδόσεις (%) των δυο επενδύσεων Επένδυση Α Επένδυση Β 30,00-5,83 8,47,9-5,9 30,33 8,9 39,04,53-0,0 -,3 0,63 36,08 0,95-7,04-30,37 6,00 4,76 7,6 35,4 4,30 38,00 -,95 43,7 -, -5,6-0,44 5,8,0 40,70 5,00 6,93 0,33 -,83,89 9,00-34,75 34, 9,94,8,89-3,4,68 0,5 63,00-6,0 54,9 5,00-33,39 3,4-0,4-8,95 3,09 6,00-9,7 0,46 44,00-3,7 58,67 5,0,0 9,43 3,77 -,96-9,,07-0,3 30,3 0,5-4,4 -,59,,4,94-7,00 9,44 4,6 6,06 5,3-38,47 33,00 3,76 34,40 8,45 7,30,00 0,03 4,73 66,00 3,44 4,6,07 49,87-8,55 5,00-5,93 0,5 36,3 4,30 68,00 Από τα δεδομένα ο επενδυτής θέλει να μάθει ποιο είναι το αναμενόμενο ύψος της απόδοσης και ποιος είναι ο κίνδυνος για κάθε επένδυση

93 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα 3 Πως μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τα δεδομένα; A B min -,95-38,47 max 63,00 68,00 Classes -45<x<=-30-30<x<=-5-5<x<=0 0<x<=5 5<x<=30 30<x<=45 45<x<=60 60<x<=75 Classes A B -45<x<= <x<= <x<=0 0 0<x<= <x<= <x<= <x<= <x<=75 3

94 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα 3 Μπορούμε να απεικονίσουμε γραφικά την κατανομή αντί για πίνακες με αριθμούς έτσι ώστε να μπορούν να βγουν χρήσιμα συμπεράσματα για το αναμενόμενο ύψος της απόδοσης αλλά και το ρίσκο; Οι κορυφές βρίσκονται στην ίδια κλάση αποδόσεων Η Β παρουσιάζει μεγαλύτερες αποδόσεις (μεγαλύτερη κατανομή στις μεγαλύτερες τιμές Η Β παρουσιάζει μεγαλύτερο ρίσκο (μεγαλύτερη κατανομή στις αρνητικές αποδόσεις) Return A Return B

95 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παραδείγματα Παράδειγμα (επιστροφή) Με την απελευθέρωση των τηλεπικοινωνιών εμφανίστηκαν πολλές νέες εταιρίες τηλεφωνίας που ανταγωνίζονται για την προσέλκυση πελατών. Το πεδίο του ανταγωνισμού είναι σχεδόν οι φθηνότερες τιμές, επειδή οι παρεχόμενες υπηρεσίες δεν έχουν διαφοροποίηση. Ο καθορισμός της τιμής ενός προϊόντος ή μιας υπηρεσίας απέναντι στον τόσο σκληρό ανταγωνισμό είναι μια εξαιρετικά δύσκολή υπόθεση, που εξαρτάται από παράγοντες όπως η προσφορά και ζήτηση, η ελαστικότητα των τιμών και οι προσφορές των ανταγωνιστών. Η χρέωση των υπηρεσιών τηλεφωνίας μπορεί να γίνει με ένα σταθερό μηνιαίο πάγιο ή με χρονοχρέωση ή με συνδυασμό και των δυο. Η επιλογή της καταλληλότερης στρατηγικής διευκολύνεται από τη γνώση της συμπεριφοράς των καταναλωτών, και ιδιαίτερα από το ύψος των μηνιαίων λογαριασμών. Στα πλαίσια μιας ευρύτερης έρευνας, μια εταιρία τηλεφωνίας θέλησε να μάθει για το ύψος των μηνιαίων λογαριασμών νέων συνδρομητών κατά τον πρώτο μήνα μετά την εγγραφή τους. Το Τμήμα Πωλήσεων κατέγραψε τα ποσά του πρώτου μηνιαίου λογαριασμού ενός δείγματος 00 νέων συνδρομητών. Με ποιόν τρόπο μπορεί να μελετηθεί η «συμπεριφορά» των δεδομένων;

96 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα (επ) Χρειαζόμαστε αριθμητικά μέτρα για το πώς κατανέμονται τα δεδομένα που έχουμε στη διάθεση μας Μέσος 43,59 Διάμεσος 6,9 Επικρατούσα Τιμή 0,00 Τυπική Απόκλιση 38,97 Διακύμανση 58,64 Κύρτωση -,9 Ασυμμετρία 0,54 Ελάχιστο 0,00 Μέγιστο 9,63 Εύρος 9,63 Άθροισμα 877,5 Πλήθος 00,00 ο Τεταρτημόριο 9,39 ο Τεταρτημόριο 6,9 3ο Τεταρτημόριο 84,83 8-εκατοστημόριο 0,83

97 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παραδείγματα Παράδειγμα 4 Σε μια μεγάλη πόλη υπάρχουν 4 μεγάλες εφημερίδες που ανταγωνίζονται μεταξύ τους: Επικαιρότητα, Νέα της Ημέρας, Ενημέρωση, Ημερήσιος Τύπος. Για να σχεδιάσουν τη διαφημιστική τους πολιτική, τα Τμήματα Διαφήμισης κάθε εφημερίδας πρέπει να γνωρίζουν ποια τμήματα της αγοράς διαβάζουν την εφημερίδα τους. Για το λόγο αυτό πραγματοποιήθηκε μια έρευνα που θα εξετάσει τη σχέση μεταξύ επαγγέλματος και ανάγνωσης εφημερίδων. Ένα δείγμα αναγνωστών απάντησε το σχετικό ερωτηματολόγιο. Τα επαγγέλματα των ερωτηθέντων κατατάσσονται σε 3 μεγάλες κατηγορίες: Χειρονακτική Εργασία, Εργασία Γραφείου, Ελεύθερος Επαγγελματίας. Συνδέεται το επάγγελμα με την εφημερίδα που διαβάζουν οι ερωτηθέντες;

98 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα 4 Κωδικοποίηση Επεξεργασία Occupation Χειρονακτική Εργασία Εργασία Γραφείου Ελέυθερος Επαγγελαμτίας 3 Newspaper Επικαιρότητα Νέα της Ημέρας Ενημέρωση 3 Ημερήσιος Τύπος 4 Πλήθος από Reader Newspaper Occupation 3 4Γενικό άθροισμα Γενικό άθροισμα Πλήθος από Reader Newspaper Occupation 3 4Γενικό άθροισμα,50% 5,00% 3,67% 30,83% 00,00% 6,85% 39,8% 9,44% 3,89% 00,00% 3 6,9% 40,48% 7,46% 5,87% 00,00% Γενικό άθροισμα 5,4% 3,64%,88% 0,34% 00,00% Παρόμοιες μεταξύ τους συχνότητες. Άρα οι υπάλληλοι γραφείου και οι ελεύθεροι επαγγελματίες διαβάζουν παρόμοιες εφημερίδες

99 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα 4 Απεικόνιση Αν δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών, τότε θα πρέπει τα ραβδογράμματα να είναι κατά προσέγγιση όμοια. Όμως εδώ, τα ραβδογράμματα για τους υπαλλήλους γραφείου και τους ελεύθερους επαγγελματίες είναι παρόμοια και διαφέρουν σημαντικά από το ραβδόγραμμα αυτών που κάνουν χειρονακτική εργασία 60 45,00% 50 40,00% 35,00% ,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% ,00% 3

100 Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παραδείγματα Παράδειγμα 5 Ένα κτηματομεσιτικό γραφείο ενδιαφέρεται να μάθει σε ποιο βαθμό η τιμή πώλησης ενός σπιτιού εξαρτάται από το μέγεθός του. Για να αποκτήσει την πληροφορία αυτή χρησιμοποίησε ως δείγμα τα δεδομένα από τις τελευταίες πωλήσεις που πραγματοποίησε. Size Price Μπορούμε να περιγράψουμε τη σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών

101 Price Αρχική Επεξεργασία Δεδομένων Παράδειγμα 5 Απεικόνιση Size