ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 1. ΘΕΜΑ α. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {ΑΑ, ΑΒ, ΒΑ, ΒΒ} ενός πειράµατος τύχης µε τα ενδεχόµενα Α, Β τέτοια ώστε Α Β = Ω και Α Β = Φ. Να ορισθεί µια τυχαία µεταβλητή Χ και να προσδιορισθεί το σύνολο των τιµών της. β. ίδεται µια τυχαία µεταβλητή Χ που παίρνει τις τιµές x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x = 3. Αν ρ (x ) = 0,2, ρ(x ) = 3 ρ(x ), ρ(x ) = 2 ρ(x ) τότε να βρεθεί το 4 ρ(x ). 3 1 2 3 4 2 γ. Έστω η τυχαία µεταβλητή Χ µε τις τιµές x = 2, x = 4, x = 6. Αν Ε[Χ] = 0,8 1 2 3 και ρ(x ) = ρ(x ), ρ(x ) = 2 ρ (x ) τότε να υπολογισθεί το ρ(x ). 1 2 3 1 3 δ. Τι εκφράζει η Var[X] µιας τυχαίας διακριτής µεταβλητής Χ. Έστω η τυχαία διακριτή µεταβλητή Χ µε τιµές x = 1, x = 2, x = 3. 1 2 3 Αν ρ(x 1 ) = ρ(x ) = ρ(x ) να δειχθεί ότι Var[X] = 2 3 1 Ε[Χ]. 3 2. ΘΕΜΑ α. Γιατί σε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Χ έχουµε ρ(χ= x ) = 0. 0 β. Έστω µια συνάρτηση f(x) µε f(x) 0 και f ( x) dx = 0,9. Μπορεί η f(x) να αποτελέσει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. γ. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µιας τυχαίας συνεχούς µεταβλητής είναι: kx 2 + m, x [ 0,1] f(x) = { 0, x [ 0,1] και Ε[Χ] = 5 1. Να βρεθούν οι σταθερές k, m. Να προσδιορισθεί η F(x) και να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ[0,5 3. ΘΕΜΑ Χ 2], Ρ[Χ 0,6]. α. Έχουµε την κατανοµή Β(5, 0,4). Τι ασυµµετρία παρουσιάζει η κατανοµή των συχνοτήτων της Χ ;
β. Σε τι οµοιάζουν και σε τι διαφέρουν οι κατανοµές: ιωνυµική, Γεωµετρική και Αρνητική ιωνυµική ; γ. Σε µια κατανοµή Poisson ένα φαινόµενο πραγµατοποιείται 10 φορές σε χρόνο 5 λεπτών. Ποιος θα είναι ο µέσος χρόνος εµφάνισης του φαινοµένου σε χρόνο 3 λεπτών; δ. Έχουµε ότι ο µέσος µ ενός πληθυσµού ως προς µια συνεχή µεταβλητή του Χ είναι το 90 και η σ = 8. Να βρεθεί η κανονικοποιηµένη τιµή της x = 105. ε. Σε µια παραγωγή κονσερβών το βάρος τους ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ = 10,3 και σ = 0,96. Να βρεθεί το βάρος κονσέρβας πέραν του οποίου βρίσκεται το 4,35 % του πληθυσµού των κονσερβών. ζ. Η άφιξη πελατών σε µια θυρίδα εµπορικής τράπεζας ακολουθεί κατανοµή Poisson. Αν κατά µέσο όρο χρειάζονται 4 λεπτά για να εξυπηρετηθεί ο πελάτης, ποια η πιθανότητα ένας πελάτης να εξυπηρετηθεί σε λιγότερο από 3 λεπτά, µεταξύ 3 και 4 λεπτών. Αν ένας πελάτης έχει στην διάθεσή του 20 λεπτά να περιµένει στην θυρίδα και διέθεσε τα 17 να περιµένει στην σειρά ποια η πιθανότητα να εξυπηρετηθεί; 4. ΘΕΜΑ α. Από ένα κανονικό πληθυσµό που έχει άγνωστη µέση τιµή µ και σ 2 = 1 ως προς µια µεταβλητή Χ, πήραµε το δείγµα των τιµών : 0,36, 0,07, 1,32, 1,07. Να εκτιµηθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης µε πιθανότητα 0,95 του µέσου µ του πληθυσµού. β. Από το τµήµα Α µιας επιχείρησης παίρνουµε δείγµα 40 εργαζοµένων που έχουν µέσο ηµεροµίσθιο 40 ευρω και τυπική απόκλιση του ηµεροµισθίου τους 4 ευρω. Από το τµήµα Β της επιχείρησης παίρνουµε ένα άλλο δείγµα 60 εργαζοµένων που έχουν µέσο ηµεροµίσθιο 25 ευρω και τυπική απόκλιση του ηµεροµισθίου τους 3 ευρω. Αν οι πληθυσµοί από όπου προέρχονται τα δείγµατα έχουν ίσες αλλά άγνωστες διακυµάνσεις, να βρεθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,05 το επίπεδο εµπιστοσύνης της διαφοράς των µέσων ηµεροµισθίων των δύο πληθυσµών. γ. Σε τυχαίο δείγµα 40 δοχείων υπολογίζεται η δειγµατική διακύµανση του βάρους τους s 2 = 0,81 (kg) 2. Να εκτιµηθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης της διακύµανσης του συνόλου των παραγοµένων δοχείων σε πιθανότητα 0,99, όταν τα βάρη των δοχείων ακολουθούν κανονική κατανοµή. 5. ΘΕΜΑ Ο ποιοτικός έλεγχος προϊόντος σε µια επιχείρηση πραγµατοποιείται ανά 10 ώρες σε δείγµα 100 προϊόντων. Ο κάτωθι πίνακας δίνει τα αποτελέσµατα 150 ελέγχων: Αριθµός κακής ποιότητας Αριθµός ελέγχων προϊόντος 0 64 1 36 2 22
3 18 4 10 Να γίνει ο έλεγχος Χ 2 της προσαρµοστικότητας της διωνυµικής κατανοµής, µε πιθανότητα ρ = 0,05 να πετύχουµε κακής ποιότητας προϊόν, σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,01. 6. ΘΕΜΑ α. Τις ακόλουθες µεταβλητές : φύλο εργαζοµένων, επάγγελµα εργαζοµένων, υγεία εργαζοµένων, θρήσκευµα εργαζοµένων, εκπαιδευτικό επίπεδο εργαζοµένων, να τις κατατάξετε στις βασικές κατηγορίες των ποιοτικών µεταβλητών. β. Να αναφέρετε για µια επιχείρηση µερικά από τα εσωτερικά και τα εξωτερικά στατιστικά δεδοµένα που θα µπορούσαν να την ενδιαφέρουν. γ. Όταν θέλουµε να ελέγξουµε την ποιότητα ενός προϊόντος ποιο στατιστικό τρόπο συλλογής στοιχείων επιλέγουµε ; Να δώσετε ένα παράδειγµα δ. Τι θα πρέπει να προσέχουµε στην κατασκευή ενός ερωτηµατολογίου ε. Πότε κάνουµε συστηµατική δειγµατοληψία; 7. ΘΕΜΑ Η απόδοση σε κιλά ενός φυτού, σε µια συγκεκριµένη χρονική περίοδο είναι: 3,1 6 4,9 5,2 3,1 2,3 1,7 6,9 4,5 5,2 5,1 5,2 2,8 2,8 4,5 6 5,2 2,3 3,1 4,5 6 2,3 α. Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων β. Να οµαδοποιηθούν τα δεδοµένα σε κλάσεις ίσου πλάτους και να βρεθεί επίσης ο πίνακας συχνοτήτων γ. Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση στις δύο περιπτώσεις και να εξηγηθεί γιατί υπάρχει διαφορά µεταξύ των δύο τυπικών αποκλίσεων; δ. Να βρεθεί το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος Q γραφικά στις µη οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις. ε. Να γίνει το θηκόγραµµα του δείγµατος όπως δίδεται, τι συµµετρία παρουσιάζει η κατανοµή των τιµών; 8. ΘΕΜΑ α. Μια οµάδα ελληνικών αγροτικών νοικοκυριών έχει µέσο ετήσιο εισόδηµα 10.000 ευρω µε τυπική απόκλιση 1000 ευρω. Μια οµάδα αγροτικών νοικοκυριών στις ΗΠΑ έχει µέσο ετήσιο εισόδηµα 22.000 δολάρια µε τυπική απόκλιση 4000 δολάρια. Ποια οµάδα παρουσιάζει µεγαλύτερη µεταβλητότητα ( διασπορά ) ;
β. Έχουµε 7 καλλιεργητές που καλλιεργούν το φυτό Α και το φυτό Β. Μια χρονιά είχαν στρεµµατική απόδοση την ακόλουθη: Γεωργοί Απόδοση στο φυτό Α Απόδοση στο φυτό Β ( κιλά ανά στρ) ( κιλά ανά στρ) 1 130 830 2 140 860 3 170 965 4 174 840 5 186 1100 6 200 990 7 210 750 Να βρεθεί η σχετική θέση του 5 ου δύο αναφερόµενες καλλιέργειες. γεωργού ως προς τους υπόλοιπους γεωργούς στις 9. ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Χ ότι είναι : α. Να υπολογισθεί η παράµετρος m. m ( x 2 1), x [ 3, 8 ] f( x ) = { 0, x [ 3, 8 ] β. Να υπολογισθεί η µέση τιµή και η διακύµανση της Χ. γ. Να βρεθεί η πιθανότητα P[0,2 X 4,3]. 10.. ΘΕΜΑ α. Να περιγραφούν εν συντοµία οι κλάδοι της Στατιστικής. β. Σε ποια είδη ανήκουν οι µεταβλητές: Αµοιβή εργαζοµένων, Αριθµός εργαζοµένων, επάγγελµα εργαζοµένων, υγεία εργαζοµένων, επίπεδο σπουδών εργαζοµένων, θρήσκευµα εργαζοµένων, αριθµός µελών οικογενείας, τιµή προϊόντος, παραγόµενη ποσότητα χύµα προϊόντος. γ. Που χρησιµοποιείται το φύλλο ποιοτικού ελέγχου; δ. Σε ποιες περιπτώσεις καταφεύγουµε σε συστηµατική δειγµατοληψία; ε. Τι ονοµάζουµε απογραφή πληθυσµού. Να αναφερθούν περιπτώσεις ειδών απογραφής. 11. ΘΕΜΑ `Η απόδοση σε κιλά ανά φυτό µιας ποικιλίας φασολιών είναι:
3 6 4 6 4 6 5 5 2 5 7 3 6 3 2 4 7 5 4 3 α. Να υπολογισθούν η µέση τιµή, η δειγµατική διακύµανση και η τυπική απόκλιση. β. Να υπολογισθούν τα Q 1, Q 2, Q 3 και το Q. Τι µορφή παρουσιάζει η κατανοµή των συχνοτήτων των εν λόγω τιµών; γ. Να οµαδοποιηθούν τα δεδοµένα και να βρεθούν η µέση τιµή, η δειγµατική διακύµανση και η τυπική απόκλιση. Υπάρχει διαφορά µεταξύ των αποτελεσµάτων των α και γ ερωτηµάτων και αν ναι γιατί; 12. ΘΕΜΑ ίνονται τα παρακάτω δεδοµένα: Κλάσεις Συχνότητα Να γίνει ο πίνακας όλων των συχνοτήτων και να 7 10 1 σχεδιασθούν όλα τα διαγράµµατα συχνοτήτων µε 10 13 3 τις αντίστοιχες πολυγωνικές γραµµές. 13 16 5 16 19 2 19 22 4 22-25 1 13. ΘΕΜΑ 1. ίνεται η τ. µ Χ µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που ορίζεται από τα παρακάτω δεδοµένα: Χ 2 3 5 7 8 Ρ(x) 3/15 2/15 7/15 1/15 2/15 Να βρεθούν η µέση αναµενόµενη τιµή, η διακύµανση και η τυπική απόκλιση. 2. Η τ. µ Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας i. Να βρεθεί η σταθερά a. ii. Να βρεθεί η F(x). 0,3 για -a x a f(x) = { 0 για τα άλλα x. iii. Να η σταθερά β ώστε: P(x β) = 0,7 iv. Να βρεθεί η P(-1 x 1)
14. ΘΕΜΑ 1. Ένας εντοµολόγος µελετά τον αριθµό των ζωυφίων στα φύλλα ενός δένδρου. Ο αριθµός αυτός ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε λ = 2. α. Ποια η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο µε τουλάχιστον 4 ζωύφια; β. Ποια η πιθανότητα να πάρει 5 φύλλα από τα οποία τα 2 να έχουν τουλάχιστον 4 ζωύφια; 2. Οι µηνιαίοι µισθοί των υπαλλήλων µιας επιχείρησης ακολουθούν κανονική κατανοµή Ν(1000, 14 2 ). α. Ποια η πιθανότητα ένας υπάλληλος να έχει µηνιαίο µισθό µεταξύ 980 και 1010 ευρώ; β. Ποια η πιθανότητα ένας υπάλληλος να έχει µηνιαίο µισθό πάνω από 1030 ευρώ; 3. ίνεται ο πίνακας επιδόσεων 5 αθλητριών σε δύο αγωνίσµατα : Αθλήτριες Ύψος Άλµα εις µήκος 1 1,80 5,30 2 1,70 5,90 3 1,90 6,30 4 2,10 6,40 5 1,70 6,70 Να συγκριθούν οι σχετικές θέσεις της 4 ης αθλήτριας στα δύο αγωνίσµατα. 15. ΘΕΜΑ 1. Ποιες οι ιδιότητες των εκτιµητών θ για τα µικρά δείγµατα ; (να αναφερθούν η κάθε µια αναλυτικά). Πότε ένας εκτιµητής θ ονοµάζεται BLUE ; 2. Σε ένα δείγµα 80 κονσερβών γάλακτος, από µια ηµερήσια παρτίδα παραγωγής, το µέσο βάρος είναι 300 γραµµάρια και κατανέµεται κανονικά. Από µετρήσεις που έγιναν είναι γνωστή η διακύµανση που παρατηρείται στο µέσο βάρος και είναι ίση µε 40 γραµµάρια 2. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης στο οποίο βρίσκεται το µέσο βάρος του συνόλου των κονσερβών γάλακτος που παράγονται ηµερησίως µε πιθανότητα 99,6 %. 3. Ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων, µιας µεταποιητικής βιοµηχανίας αγροτικών προϊόντων, που εντοπίσθηκαν στα 400 προϊόντα ήταν 13. Να βρεθούν τα όρια µέσα στα οποία βρίσκεται το πραγµατικό ποσοστό ρ των ελαττωµατικών προϊόντων της συνολικής παραγωγής µε πιθανότητα 98%. 4. Παίρνουµε δυο µικρά δείγµατα 11 και 10 στοιχείων αντίστοιχα από κανονικούς πληθυσµούς που εκφράζουν την µέση ετήσια παραγωγή ενός αγροτικού προϊόντος. Έστω οι µέσες ετήσιες τιµές παραγωγής (σε τόνους) είναι µ 1, µ 2 µε διακυµάνσεις σ 1 2, σ 2 2 και επιπλέον σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 (άγνωστη). Να βρεθεί το 95 % διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς (µ 1 - µ 2 )των µ 1, µ 2.
16. ΘΕΜΑ 1. Έχουµε ένα δείγµα µικρό 11 στοιχείων, που εκφράζει το βάρος σε χιλιόγραµµα ενός αγροτικού προϊόντος, µε µέση τιµή 7,3 και διακύµανση 3,4. Να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση Η Ο : σ 2 2 0 = 3 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η Ε: σ 0 3 σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. Θεωρούµε ότι το δείγµα προέρχεται από κανονικό πληθυσµό Ν(µ, σ 2 ). 2. Θεωρούµε δυο µικρά δείγµατα που εκφράζουν το βάρος σε χιλιόγραµµα ενός αγροτικού προϊόντος, µε στοιχεία αντίστοιχα 11 και 10. Οι µέσες τιµές τους είναι αντίστοιχα 7,3 και 8,1, ενώ οι διακυµάνσεις τους είναι επίσης αντίστοιχα 3,4 και 9,3. Θεωρούµε ότι προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς. Να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση Η Ο : σ 2 1 = σ 2 2 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η Ε : σ 2 1 σ 2 2 σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. (όπου σ 2 1, σ 2 2 οι πραγµατικές διακυµάνσεις των κανονικών πληθυσµών). 17. ΘΕΜΑ 1. Εφαρµόσθηκαν τέσσερα εµβόλια Α,Β,Γ, σε χοιρίδια για να µην αρρωστήσουν από µια συγκεκριµένη ασθένεια και είχαµε τα ακόλουθα αποτελέσµατα: Εµβόλια Α Β Γ Ασθένησαν ή όχι ------------------------------------------------------------------------------------------ εν ασθένησαν 120 110 105 108 Ασθένησαν ελαφρά 19 21 18 15 Ασθένησαν σοβαρά 11 13 16 15 Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 5 % αν τα εµβόλια Α, Β, Γ, είναι τα ίδια. 2. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι τιµές της αθροιστικής συχνότητας F(x) µιας θεωρητικής κατανοµής που εφαρµόσθηκε σε ένα δείγµα 10 στοιχείων. κ F(x) -------------------------- Να ελεγχθεί η προσαρµοστικότητα της θεωρητικής 1 0,08 κατανοµής στα δεδοµένα µε τον έλεγχο Kolmogorov 2 0,15 - Smirnov (K - S) σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,01 3 0,22 4 0,31 5 0,48 6 0,56 7 0,68 8 0,79 9 0,89 10 1
18. ΘΕΜΑ 1. ίνονται οι ετήσιες πωλήσεις σε χιλιάδες τόνους µιας επιχείρησης τροφίµων Έτη Πωλήσεις 1993 110 1994 130 Να υπολογισθεί η γραµµή τάσης της χρονολογικής 1995 125 σειράς µε την µέθοδο των κινητών µέσων όρων 1996 117 4 - ετιών. 1997 105 Να γίνει η γραφική παράσταση της γραµµής τάσης 1998 98 µαζί µε την γραφική παράσταση της χρονολογικής 1999 103 σειράς. 2000 128 2001 110 2002 119 2. Μια επιχείρηση κονσερβοποιίας χυµών είχε τις ακόλουθες µηνιαίες πωλήσεις σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρω. Έτος Ιαν. Φεβρ. Μαρτ. Απριλ. Μάιος Ιούν. Ιούλ. Αυγ. Σεπτ. Οκτ. Νοε. εκ 1999 1,2 1,7 2,1 2,2 2,5 4,3 5,1 4,9 4,2 3,5 2,9 1,5 2000 1,8 1,6 2,3 2 2,3 4,5 4,8 5,1 4,1 3,2 2,5 1,4 2001 1,9 1,4 2 2,3 3,1 4,7 5,2 5,3 4,3 3,1 2,4 1,3 2002 1,5 1,9 2,1 1,9 4,2 4,9 5 4,8 4 3 2,3 1,2 Να υπολογισθούν οι δείκτες εποχικότητας µε τη µέθοδο των ποσοστών ως προς το µηνιαίο µέσο. Να γίνει απαλοιφή της εποχικότητας στα δεδοµένα µε βάση τους δείκτες εποχικότητας (εφαρµόζεται το πολλαπλασιαστικό υπόδειγµα). Πόσο είναι ο δείκτης εποχικότητας τον Φεβρουάριο και τι σηµαίνει; 19. ΘΕΜΑ 1. Τι ονοµάζουµε τυχαία µεταβλητή. Να δοθεί ένα παράδειγµα διακριτής τυχαίας µεταβλητής. 2. Τι ονοµάζουµε συνάρτηση πιθανότητας της συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ ; Να δοθεί ένα παράδειγµα. 3. Να προσδιορισθεί η τιµή της σταθεράς β ώστε η συνάρτηση f(x) µε την µορφή f(x) = 2βx για x = 1, 2, 3, 4 και f(x) = 0 για τις άλλες τιµές του x να είναι συνάρτηση πιθανότητας της Χ.
4. Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας F(3) στη προηγούµενη συνάρτηση πιθανότητας f(x) του 3 ερωτήµατος, όταν οι τιµές x = 1, 2, 3, 4 και να γίνει το γράφηµα της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας F ( x ) για x = 1, 2, 3, 4. Να βρεθεί η πιθανότητα P (2 X 4). 20. ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f(x) = µx για 1< x <5 και f(x) = 0 για τις άλλες τιµές του x. 1. Να βρεθεί η σταθερά µ ώστε η συνάρτηση f(x) να είναι συνάρτηση πιθανότητας της Χ. 2. Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F(x). 3. Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(1 X 4). 4. Να βρεθεί ο µέσος και η διακύµανση της Χ. 21. ΘΕΜΑ Έχουµε τις παρακάτω παρατηρήσεις για τη µεταβλητή Χ: «παραγωγή πατάτας σε χιλιόγραµµα» που συγκέντρωσαν 30 παραγωγοί. 730 547 326 532 720 350 428 560 728 391 810 428 634 728 710 570 660 730 425 730 640 665 728 396 810 280 490 650 520 430 1. Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων (συχνότητα, αθροιστική συχνότητα, σχετική συχνότητα, αθροιστική σχετική συχνότητα) εφόσον οµαδοποιηθούν πρώτα τα δεδοµένα. 2. Να γίνουν τα διαγράµµατα και οι πολυγωνικές γραµµές των συχνοτήτων, των αθροιστικών συχνοτήτων, των σχετικών συχνοτήτων, των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων 22. ΘΕΜΑ 1. α. Ποιες είναι οι διαφορές µεταξύ της διωνυµικής κατανοµής και της γεωµετρικής κατανοµής µιας τυχαίας διακριτής µεταβλητής; β. Τι ονοµάζουµε διαδικασίες Poisson; Τι µετρά η τυχαία µεταβλητή στην κατανοµή Poisson; γ. Σε τι διαφέρει η Αρνητική ιωνυµική κατανοµή από την Γεωµετρική κατανοµή; 2. Από ορισµένη παραγωγική διαδικασία παράγονται µαζικώς προϊόντα όπου η πιθανότητα ελαττωµατικού είναι 0,09. Ποια η πιθανότητα σε τυχαίο δείγµα 15 προϊόντων να πάρουµε περισσότερα από 2 ελαττωµατικά προϊόντα.
3. Η πιθανότητα να πετύχουµε ένα ελαττωµατικό προϊόν είναι 3 στα 100. Ποια η πιθανότητα να πετύχουµε ελαττωµατικό προϊόν όταν λάβουµε τυχαίως ένα την πέµπτη φορά; 4. Μια εταιρεία έχει 100 ασφαλισµένους και η πιθανότητα ότι ένας από αυτούς θα αρρωστήσει σε µια δεδοµένη χρονική περίοδο είναι 0,01. Ποια είναι η πιθανότητα ότι 4 ασφαλισµένοι θα αρρωστήσουν κατά την διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου (Να υπολογισθεί η πιθανότητα προσεγγιστικά µε την κατανοµή Poisson) 23. ΘΕΜΑ Α. Σε µια µελέτη µετρήθηκαν οι σπόροι σε άνθη τριφυλλιού και για το λόγο αυτό διαλέχθηκαν 8 υγιή φυτά µε άνθη ελεύθερα εκτεθειµένα στην κορυφή κα 10 υγιή φυτά µε άνθη όσο το δυνατό κρυµµένα στο κάτω µέρος του φυτού. Τα αποτελέσµατα ήσαν: Τριφύλλι 1 2 3 4 5 6 7 8 Σπόροι Άνθη Ελεύθερα 4 5 3 4 3 4 3 5 Άνθη Κρυµµένα 5 2 2 2 4 5 2 4 Να συγκριθούν οι µέσοι όροι σε επίπεδο σηµαντικότητας10%. Β. Σε µια µελέτη που σύγκρινε αριθµό παρασίτων στα ψάρια είχαµε τα εξής αποτελέσµατα. Στην θαλάσσια περιοχή Ι από τα 537 ψάρια που πιάστηκαν τα 239 βρέθηκαν µε παράσιτα, ενώ στην θαλάσσια περιοχή ΙΙ από τα 256 που πιάστηκαν τα 72 βρέθηκαν µε παράσιτα. Να συγκριθεί η αναλογία των παρασίτων στις δύο θαλάσσιες περιοχές χρησιµοποιώντας ένα διάστηµα 90% εµπιστοσύνης. 24. ΘΕΜΑ Α. Η διακύµανση των βαρών 51 φυτών µιας ποικιλίας ρεβυθιού είναι 2,1 γρ 2.Να εξετασθεί αν η διακύµανση αυτή διαφέρει στατιστικώς σηµαντικά του αριθµού 2,35 σε επίπεδο σφάλµατος 5%. Β. Ενός δείγµατος 21 φυτών φασολιού η διακύµανση των υψών τους είναι 7 εκ. 2, ενώ ενός άλλου δείγµατος 16 φυτών φασολιού η διακύµανση των υψών τους είναι 4 εκ. 2. Να συγκριθούν οι διακυµάνσεις αν διαφέρουν στατιστικώς σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας 2%. 25. ΘΕΜΑ 1. Ποιες οι ιδιότητες των εκτιµητών θ για τα µικρά δείγµατα ; (να αναφερθούν η κάθε µια αναλυτικά). Πότε ένας εκτιµητής θ ονοµάζεται BLUE ; 2. Σε ένα δείγµα 80 κονσερβών γάλακτος, από µια ηµερήσια παρτίδα παραγωγής, το µέσο βάρος είναι 300 γραµµάρια και κατανέµεται κανονικά. Από µετρήσεις που έγιναν είναι γνωστή η διακύµανση που παρατηρείται στο µέσο βάρος και είναι ίση µε
40 γραµµάρια 2. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης στο οποίο βρίσκεται το µέσο βάρος του συνόλου των κονσερβών γάλακτος που παράγονται ηµερησίως µε πιθανότητα 99,6 %. 3. Ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων, µιας µεταποιητικής βιοµηχανίας αγροτικών προϊόντων, που εντοπίσθηκαν στα 400 προϊόντα ήταν 13. Να βρεθούν τα όρια µέσα στα οποία βρίσκεται το πραγµατικό ποσοστό ρ των ελαττωµατικών προϊόντων της συνολικής παραγωγής µε πιθανότητα 98%. 4. Παίρνουµε δυο µικρά δείγµατα 11 και 10 στοιχείων αντίστοιχα από κανονικούς πληθυσµούς που εκφράζουν την µέση ετήσια παραγωγή ενός αγροτικού προϊόντος. Έστω οι µέσες ετήσιες τιµές παραγωγής (σε τόνους) είναι µ 1, µ 2 µε διακυµάνσεις σ 1 2, σ 2 2 και επιπλέον σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 (άγνωστη). Να βρεθεί το 95 % διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς (µ 1 - µ 2 )των µ 1, µ 2. 26. ΘΕΜΑ 1. Έχουµε ένα δείγµα µικρό 11 στοιχείων, που εκφράζει το βάρος σε χιλιόγραµµα ενός αγροτικού προϊόντος, µε µέση τιµή 7,3 και διακύµανση 3,4. Να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση Η Ο : σ 2 2 0 = 3 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η Ε: σ 0 3 σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. Θεωρούµε ότι το δείγµα προέρχεται από κανονικό 2 πληθυσµό Ν( µ, σ ). 27. ΘΕΜΑ Θεωρούµε δυο µικρά δείγµατα που εκφράζουν το βάρος σε χιλιόγραµµα ενός αγροτικού προϊόντος, µε στοιχεία αντίστοιχα 11 και 10. Οι µέσες τιµές τους είναι αντίστοιχα 7,3 και 8,1, ενώ οι διακυµάνσεις τους είναι επίσης αντίστοιχα 3,4 και 9,3. Θεωρούµε ότι προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς. Να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση Η Ο : σ 2 1 = σ 2 2 2 2 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η Ε : σ 1 σ 2 σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. (όπου σ 2 1, σ 2 2 οι πραγµατικές διακυµάνσεις των κανονικών πληθυσµών ). 28. ΘΕΜΑ Μετρήθηκαν 10 φυτά, µιας κάποιας ηλικίας, στο βάρος τους Ψ (σε γραµµάρια) και στο ύψος τους Χ (σε εκατοστά). Η γραµµική σχέση που προσδιορίσθηκε (παλινδρόµηση του Χ πάνω στο Ψ) έδωσε συντελεστή συσχέτισης 0,9. Να εξετασθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 5 % αν όντως υφίσταται γραµµική εξάρτηση µεταξύ των Χ και Ψ. 29. ΘΕΜΑ 1. Ένα δείγµα από 35 κόκκους καλαµποκιού ελέγχεται αν η διακύµανση του µεγέθους των κόκκων του διαφέρει στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05, από την τιµή σ 2 0 = 33,2. Η δειγµατική διακύµανση είναι σ 2 = 42,4. Να εξετασθεί αν 2 οι σ 0 = 33,2 και σ 2 = 42,4 διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05.
2. Τα ύψη σε 12 φυτά µιας ποικιλίας σόγιας είναι τα ακόλουθα: 78 75 88 100 96 82 85 93 111 92 84 93 Θεωρούµε ότι το δείγµα πάρθηκε από πληθυσµό όπου τα ύψη ακολουθούν κανονική κατανοµή. Να βρεθούν τα όρια εµπιστοσύνης του µέσου του πληθυσµού της ποικιλίας µε σφάλµα α = 0,05. 30. ΘΕΜΑ 1. ύο µικρά δείγµατα που εκφράζουν το βάρος (σε γραµ.) δύο διαφορετικών ποικιλιών ενός φυτού και προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς έχουν δειγµατικές διακυµάνσεις S 1 2 = 1,39 και S 2 2 = 2,15. Τα µεγέθη των δειγµάτων είναι αντίστοιχα n 1 = 12 και n 2 = 15. Έχουν οι δύο ποικιλίες την ίδια διακύµανση, ως προς το βάρος, µε α = 0,02. 2. Aνήκει η τιµή Χ= 2 στον πληθυσµό του οποίου η µέση τιµή είναι µ = 1,76 και η τυπική απόκλιση σ = 0,35. Να εφαρµοσθεί η ελαχίστη σηµαντική διαφορά (ΕΣ ).α = 0,05. 31. ΘΕΜΑ 1. Έχουµε δύο δείγµατα που εκφράζουν στρεµµατική απόδοση (κιλά/ στρ.) σίτου: Να συγκριθούν οι µέσοι X 1 =182 n 1 = 17 Σ( Χ 1 - X 1 ) 2 = 1260 X 2 =176 n 2 = 13 Σ( Χ 2 - X 2 ) 2 = 1310 X 1 και X 2 µε σφάλµα α = 0,05. 2. Θεωρούµε δύο δείγµατα µοσχευµάτων n 1 = 42 και n 2 = 48. Τα δείγµατα εµβαπτίστηκαν σε δύο ορµόνες Ι, ΙΙ για να εκτιµηθεί η ικανότητα των ορµονών να προκαλούν αύξηση της ριζοβολίας. Από το πρώτο δείγµα ριζοβόλησαν 23 και από το δεύτερο 25. Να ελεγχθεί µε α = 0,01 αν οι ορµόνες είναι το ίδιο αποτελεσµατικές. 32. ΘΕΜΑ Έχουµε Χ: το βάρος φυτού (σε µονάδες βάρους) και Ψ: το ύψος του ιδίου φυτού. (σε µονάδες ύψους) Χ: 20 40 60 80 100 Ψ: 19 38 59 79 89 1. Να προσαρµοσθεί στα δεδοµένα η απλή ευθύγραµµη συµµεταβολή Ψ= α + β Χ 2. Σε µια απλή γραµµική συµµεταβολή Ψ = α + βχ που προήλθε από 20 παρατηρήσεις έχουµε r 2 = 0,96. Να ελεγχθεί αν υπάρχει γραµµική συσχέτιση µεταξύ των Χ, Ψ. α= 0,05.
33. ΘΕΜΑ 1. Τι ονοµάζουµε τυχαία µεταβλητή. Να δοθεί ένα παράδειγµα διακριτής τυχαίας µεταβλητής. 2.Τι ονοµάζουµε συνάρτηση πιθανότητας της συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ ; Να δοθεί ένα παράδειγµα. 3.Να προσδιορισθεί η τιµή της σταθεράς β ώστε η συνάρτηση f(x) µε την µορφή f(x) = 2βx για x = 1, 2, 3, 4 και f(x) = 0 για τις άλλες τιµές του x να είναι συνάρτηση πιθανότητας της Χ. 4. Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας F(3) στη προηγούµενη συνάρτηση πιθανότητας f(x) του 3 ερωτήµατος, όταν οι τιµές x = 1, 2, 3, 4 και να γίνει το γράφηµα της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας F (x) για x = 1, 2, 3, 4. Να βρεθεί η πιθανότητα P(2 X 4). 34. ΘΕΜΑ Έχουµε τις παρακάτω παρατηρήσεις για τη µεταβλητή Χ: «παραγωγή πατάτας σε χιλιόγραµµα» που συγκέντρωσαν 30 παραγωγοί. 730 547 326 532 720 350 428 560 728 391 810 428 634 728 710 570 660 730 425 730 640 665 728 396 810 280 490 650 520 430 1. Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων (συχνότητα, αθροιστική συχνότητα, σχετική συχνότητα, αθροιστική σχετική συχνότητα) εφόσον οµαδοποιηθούν πρώτα τα δεδοµένα. 2. Να γίνουν τα διαγράµµατα και οι πολυγωνικές γραµµές των συχνοτήτων, των αθροιστικών συχνοτήτων, των σχετικών συχνοτήτων, των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων 35. ΘΕΜΑ 1. α. Ποιες είναι οι διαφορές µεταξύ της διωνυµικής κατανοµής και της γεωµετρικής κατανοµής µιας τυχαίας διακριτής µεταβλητής; β. Τι ονοµάζουµε διαδικασίες Poisson; Τι µετρά η τυχαία µεταβλητή στην κατανοµή Poisson; γ. Σε τι διαφέρει η Αρνητική ιωνυµική κατανοµή από την Γεωµετρική κατανοµή; 2. Από ορισµένη παραγωγική διαδικασία παράγονται µαζικώς προϊόντα όπου η πιθανότητα ελαττωµατικού είναι 0,09. Ποια η πιθανότητα σε τυχαίο δείγµα 15 προϊόντων να πάρουµε περισσότερα από 2 ελαττωµατικά προϊόντα.
36. ΘΕΜΑ 1. Η πιθανότητα να πετύχουµε ένα ελαττωµατικό προϊόν είναι 3 στα 100. Ποια η πιθανότητα να πετύχουµε ελαττωµατικό προϊόν όταν λάβουµε τυχαίως ένα την πέµπτη φορά; 2. Μια εταιρεία έχει 100 υπαλλήλους. Σε διάστηµα µισού χρόνου ασθένησαν 5 εξ αυτών. Ποια είναι η πιθανότητα ότι 2 ασφαλισµένοι θα αρρωστήσουν κατά την διάρκεια του επόµενου µήνα; (Θεωρούµε ότι η εµφάνιση της ασθένειας ακολουθεί την διαδικασία Poisson) 37. ΘΕΜΑ Σε µια µελέτη µετρήθηκαν οι σπόροι σε άνθη τριφυλλιού και για το λόγο αυτό διαλέχτηκαν 8 υγιή φυτά µε άνθη ελεύθερα εκτεθειµένα στην κορυφή και 10 υγιή φυτά µε άνθη όσο το δυνατό κρυµµένα στο κάτω µέρος του φυτού. Τα αποτελέσµατα ήσαν: Τριφύλλι 1 2 3 4 5 6 7 8 Σπόροι Άνθη Ελεύθερα 7 5 3 4 3 4 3 5 Άνθη Κρυµµένα 5 2 2 2 4 5 2 4 Να συγκριθούν οι µέσοι όροι σε επίπεδο σηµαντικότητας 10%. Τι συµπεραίνετε; ( Να εφαρµοσθεί η µέθοδος των ζευγών) 38. ΘΕΜΑ Σε µια µελέτη που σύγκρινε αριθµό παρασίτων στα ψάρια είχαµε τα εξής αποτελέσµατα. Στην θαλάσσια περιοχή Ι από τα 537 ψάρια που πιάστηκαν τα 239 βρέθηκαν µε παράσιτα, ενώ στην θαλάσσια περιοχή ΙΙ από τα 256 που πιάστηκαν τα 72 βρέθηκαν µε παράσιτα. Να συγκριθεί η αναλογία των παρασίτων στις δύο θαλάσσιες περιοχές χρησιµοποιώντας ένα διάστηµα 90% εµπιστοσύνης. Ερµηνεύστε το διάστηµα. 39. ΘΕΜΑ Η διακύµανση των βαρών 21 φυτών µιας ποικιλίας ρεβυθιού είναι 2,1 γρ 2.Να εξετασθεί αν η διακύµανση αυτή είναι µεγαλύτερη του αριθµού 2,35 σε επίπεδο σφάλµατος 5%. 40. ΘΕΜΑ ίνεται ότι: Χ : 1 2 3 4 5 6 Ψ : 2 4 5 7 9 10 Α. Να βρεθεί η ευθεία παλινδρόµησης του Ψ πάνω στο Χ.
Β. Να βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης r των Χ και Ψ και ο συντελεστής προσδιορισµού. Γ. Τι ερµηνεύει ο συντελεστής συσχέτισης r των Χ και Ψ και τι ερµηνεύει ο συντελεστής προσδιορισµού; Ποια η διαφορά τους;. Να εξετασθεί αν ισχύει η υπόθεση ότι οι µεταβλητές Χ και Ψ είναι ανεξάρτητες σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 41. ΘΕΜΑ 1. Ένα δείγµα από 32 κόκκους καλαµποκιού ελέγχεται ώστε η διακύµανση του µεγέθους των κόκκων να µην υπερβαίνει την τιµή σ 2 ο = 23,18. Η δειγµατική διακύµανση είναι σ 2 = 33,15. Είναι η σ 2 µεγαλύτερη από την καθορισµένη σ 2 ο µε πιθανότητα σφάλµατος 10%; 2. Τα ύψη σε εκατοστά 13 φυτών µιας ποικιλίας σιταριού είναι τα ακόλουθα: 82 73 85 110 105 81 93 95 84 92 116 90 83 Να βρεθούν τα όρια εµπιστοσύνης του µέσου όρου της ποικιλίας µε πιθανότητα σφάλµατος 5%;. 3. Ανήκει η τιµή Χ = 5 στον πληθυσµό µε πιθανότητα 95% του οποίου η µέση τιµή είναι µ = 4,3 και η τυπική απόκλιση σ = 0,7; 42. ΘΕΜΑ 1. ύο µικρά δείγµατα που εκφράζουν το βάρος σε γραµµάρια δυο διαφορετικών ποικιλιών ενός φυτού προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς έχουν S 1 2 = 2,32 S 2 2 = 2,16. Τα µεγέθη των µικρών δειγµάτων αντίστοιχα είναι n 1 =13, n 2 = 15. Έχουν οι δύο ποικιλίες την ίδια διακύµανση µε α = 0,05; 2. Σε ένα δείγµα µικρό n = 15 που εκφράζει το βάρος σε γραµµάρια των εµβρύων µιας ποικιλίας βρέθηκε ότι η µέση τιµή είναι 125,16 και η διακύµανση 110,3. Να ελεγχθεί αν το µέσο βάρος των εµβρύων της εν λόγω ποικιλίας διαφέρει µε πιθανότητα σφάλµατος 5% του βάρους 112,53. 3. Να συγκριθούν αν διαφέρουν δυο ποικιλίες µε α = 5%,όταν έχουµε πάρει δύο µεγάλα δείγµατα από τις δύο ποικιλίες που εκφράζουν το ύψος ενός φυτού, µε 41 και 55 στοιχεία αντίστοιχα, µε δειγµατικές µέσες τιµές 86,1 και 79,3 και µε δειγµατικές διακυµάνσεις 68,3 και 76,5. α. Να βρεθούν τα όρια εµπιστοσύνης της διαφοράς των δειγµατικών µέσων τιµών και επιβεβαιώσετε το συµπέρασµα από την σύγκριση των δυο ποικιλιών β.το ίδιο να γίνει και µε την εύρεση της ελαχίστης σηµαντικής διαφοράς ΕΣ
4. Σε µια γραµµική ευθύγραµµη συµµεταβολή των Χ: βάρος του φυτού και Ψ: ύψος του φυτού, που προέκυψε από δείγµα 12 στοιχείων, να ελεγχθεί αν υφίσταται όντως η γραµµική ευθύγραµµη συµµεταβολή των Χ και Ψ µε α= 5%. 43. ΘΕΜΑ Τα δεδοµένα που ακολουθούν είναι τελικά βάρη ινδικών χοιριδίων σε ένα πείραµα συγκρίσεως τριών σιτηρεσίων που διέφεραν ως προς την περιεκτικότητα σε λίπος. Τα ζώα είχαν χωριστεί σε έξι οµάδες µε βάση το αρχικό τους βάρος. Τα βάρη σε γραµµάρια είναι τα εξής: Οµάδα Σιτηρέσιο 1 2 3 4 5 6 1 96 96 94 99 99 106 2 103 101 103 105 101 107 3 103 104 106 108 109 110 Υπήρχε σηµαντική διαφορά µεταξύ των σιτηρεσίων; Αν ναι ποιο σιτηρέσιο έδωσε το µεγαλύτερο βάρος; 44. ΘΕΜΑ Τα παρακάτω δεδοµένα είναι αποδόσεις (κιλά σύσπορου βαµβακιού/ πειραµατικό τεµάχιο) τεσσάρων ποικιλιών βαµβακιού. Το πειραµατικό σχέδιο που χρησιµοποιήθηκε για τη σύγκριση των ποικιλιών ήταν το τελείως τυχαιοποιηµένο µε τέσσερις επαναλήψεις. Οι αποδόσεις είναι οι εξής: Επαναλήψεις Ποικιλίες 1 2 3 4 1 13,1 12,4 12,85 12,45 2 13,65 13,42 13,8 13,67 3 15,2 14,8 15,62 14,75 4 19,1 10,08 19,65 18,5 Να συγκριθεί η απόδοση των τεσσάρων ποικιλιών. 45. ΘΕΜΑ Α. Σε µια µελέτη µετρήθηκαν οι σπόροι σε άνθη τριφυλλιού και για το λόγο αυτό επελέγησαν 9 υγιή φυτά µε άνθη ελεύθερα εκτεθειµένα στην κορυφή και µε άνθη όσο το δυνατό κρυµµένα στο κάτω µέρος του φυτού. Τα αποτελέσµατα ήσαν: Τριφύλλι: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σπόροι: Άνθη Ελεύθερα 4 5 4 5 4 3 4 5 4 Άνθη Κρυµµένα 6 3 2 3 4 5 3 4 3
Να βρεθεί ένα 90% διάστηµα εµπιστοσύνης για την πραγµατική διαφορά των µέσων όρων των αριθµών των σπόρων του τριφυλλιού που προέρχονται από λουλούδια στο πάνω και στο κάτω µέρος του φυτού. Β. Σε µια µελέτη που σύγκρινε αριθµό παρασίτων στα ψάρια είχαµε τα εξής αποτελέσµατα. Στην θαλάσσια περιοχή Ι από τα 528 ψάρια που πιάστηκαν τα 225 βρέθηκαν µε παράσιτα, ενώ στην θαλάσσια περιοχή ΙΙ από τα 232 που πιάστηκαν τα 58 βρέθηκαν µε παράσιτα. Να συγκριθεί η αναλογία των παρασίτων στις δύο θαλάσσιες περιοχές χρησιµοποιώντας ένα διάστηµα 90% εµπιστοσύνης. Να ερµηνευθεί το αποτέλεσµα. 46. ΘΕΜΑ Α. Η διακύµανση των βαρών 21 φυτών µιας ποικιλίας ρεβιθιού είναι 2,41 γρ 2. Να εξετασθεί αν η διακύµανση αυτή διαφέρει στατιστικώς σηµαντικά του αριθµού 2,56 σε επίπεδο σφάλµατος 5%. Ο πληθυσµός απ όπου πάρθηκε το δείγµα είναι κανονικός Β. Ενός δείγµατος 25 φυτών φασολιού η διακύµανση των υψών τους είναι 8 εκ. 2, ενώ ενός άλλου δείγµατος 17 φυτών φασολιού η διακύµανση των υψών τους είναι 5 εκ. 2. Να βρεθεί αν οι δύο διακυµάνσεις διαφέρουν σηµαντικά για πιθανότητα 2%. Οι πληθυσµοί είναι κανονικοί και τα δείγµατα ανεξάρτητα. Γ. ίνεται ότι: Χ : 1 2 3 4 5 6 7 Ψ : 2 3 5 8 9 10 11 1. Να βρεθεί η ευθεία παλινδρόµησης του Ψ πάνω στο Χ. 2. Να βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης r των Χ και Ψ. 3. Να βρεθεί ο συντελεστής προσδιορισµού. 4. Τι ερµηνεύει ο συντελεστής συσχέτισης r των Χ και Ψ και τι ερµηνεύει ο συντελεστής προσδιορισµού; Ποια η διαφορά τους; 5. Να εξετασθεί αν ισχύει η υπόθεση ότι οι µεταβλητές Χ και Ψ είναι ανεξάρτητες σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 47. ΘΕΜΑ 1. Τι ονοµάζουµε σφάλµα δειγµατοληψίας; 2. Τι είναι η κατανοµή δειγµατοληψίας ενός στατιστικού και τι είναι το τυπικό σφάλµα του στατιστικού;
3. Πότε η σηµειακή εκτιµήτρια µιας παραµέτρου του πληθυσµού είναι αµερόληπτη; 4. Σε ένα δείγµα 12 αγροτικών οικογενειών από ένα χωριό µετράµε τα µέλη που εργάζονται στον αγροτικό τοµέα και βρίσκουµε : 3, 4, 2, 3, 5, 2, 4, 3, 2, 3, 4, 3 Αν ο αριθµός των µελών που εργάζονται ανά οικογένεια στο χωριό είναι 3,5 µέλη. Να βρεθούν: Α. Το σφάλµα δειγµατοληψίας Β. Το σφάλµα µεροληψίας Γ. Η διακύµανση του µέσου του δείγµατος (µέσο σφάλµα τετραγώνου). Το τυπικό σφάλµα εκτίµησης του µέσου του δείγµατος 5. Θεωρούµε ότι η µέση ετήσια παραγωγή (σε τόνους) αγελαδινού γάλακτος αγελαδοτροφικών εκµεταλλεύσεων σε κάθε διοικητική περιφέρεια της χώρας ακολουθεί κανονική κατανοµή. Παίρνουµε ένα δείγµα από 31 αγελαδοτροφικές εκµεταλλεύσεις µιας διοικητικής πςεριφέρειας και το συγκρίνουµε µε ένα δείγµα από 31 αγελαδοτροφικές εκµεταλλεύσεις µιας άλλης διοικητικής περιφέρειας. Έστω ότι οι δειγµατικές µέσες τιµές είναι 4,65 και 4,12 και οι δειγµατικές διακυµάνσεις 0,56 και 0,67 αντίστοιχα.να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης για την διαφορά της µέσης ετήσιας παραγωγής γάλακτος στις δυο περιφέρειες σε επίπεδο εµπιστοσύνης 98%.Κατά µέση ετήσια παραγωγή ποια διοικητική περιφέρεια παράγει περισσότερο γάλα ; 6. Ποια η διαφορά µεταξύ του σφάλµατος τύπου Ι και ΙΙ στον έλεγχο υποθέσεων; 7. Θεωρούµε ότι η άγνωστος παράµετρος Θ του πληθυσµού έχει την τιµή Θ 0 = 3,1. Να διατυπωθεί ο έλεγχος υπόθεσης µε µονόπλευρο έλεγχο (δεξιά). Έστω Τ το στατιστικό µε το οποίο ελέγχουµε την µηδενική υπόθεση και Τ α η κριτήρια τιµή. Να ορισθεί γραφικά η περιοχή απόρριψης της µηδενικής υπόθεσης σε επίπεδο σηµαντικότητας α. 8. Έχουµε τέσσερις επιχειρήσεις Ε 1, Ε 2, Ε 3, Ε 4 που παράγουν κονσέρβες ντοµατοπολτού και παίρνουµε από κάθε επιχείρηση 57 κονσέρβες για να τις ελέγξουµε αν πληρούν τις προδιαγραφές που ετέθησαν. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι δεν πληρούν τις προδιαγραφές 8 από την επιχείρηση Ε 1, 13 από την Ε 2, 5 από την Ε 3 και 11 από την Ε 4. Μπορεί να ελεγχθεί αν υπάρχει διαφορά στην ποιότητα των προϊόντων στις 4 επιχειρήσεις (α = 0,05). Τι έλεγχος γίνεται; 9. Για την ύπαρξη γραµµικού µοντέλου στον πληθυσµό, στον έλεγχο υπόθεσης αν είναι στατιστικά σηµαντικός ο συντελεστής b, ευρέθη ότι το εκτιµώµενο b είναι ίσον µε 1,92 του τυπικού σφάλµατος εκτίµησής του, τι απαντάτε στην ερώτηση «υπάρχει η όχι γραµµικό µοντέλο στον πληθυσµό»; Να δικαιολογηθεί η απάντηση.(α = 0,05)
10. ίνεται ο ακόλουθος πίνακας δεδοµένων ενός δείγµατος: Τιµή προϊόντος Χ : 5 4 3 6 4,5 3,5 4,1 5,5 Ποσότητα προϊόντος Ψ : 7 11 18 6 13 22 16 9 Να προσδιορισθεί ο συντελεστής συσχέτισης και να εξετασθεί αν υφίσταται στον πληθυσµό γραµµική σχέση µεταξύ των Χ, Ψ, σε α = 0,05. 11. Ποια η ουσιώδης διαφορά µεταξύ της κυκλικής κύµανσης και της εποχικής κύµανσης σε µια χρονική σειρά; Που εµφανίζεται η κάθε µία ; ( 5 µονάδες ) 12. Έχουµε τα ακόλουθα δεδοµένα χρονικής σειράς, που δίνει την ετήσια παραγωγή (σε χιλιάδες τόνους) ενός αγροτικού προϊόντος : 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 221 278 210 201 231 256 245 276 263 277 235 1999 2000 2001 254 266 258 Να σχεδιασθεί η γραµµή τάσης των κινητών µέσων όρων τεσσάρων ετών. 13. Εφαρµόζοντας την µέθοδο των ποσοστών ως προς το µηνιαίο µέσο, για τον προσδιορισµό των δεικτών εποχικότητας σε µια χρονική σειρά, µε µηνιαίες καταναλώσεις σε ένα αγροτικό προϊόν, ευρέθη ότι ο δείκτης εποχικότητας του µηνός Αυγούστου είναι 78,9%, τι σηµαίνει αυτό για σας; 48. ΘΕΜΑ 1. Τι ονοµάζουµε απλό τυχαίο δείγµα; 2. Τι εκφράζει το τυπικό σφάλµα ενός στατιστικού που λαµβάνουµε για να εκτιµήσουµε µια άγνωστη παράµετρο ενός πληθυσµού και γιατί η κατανοµή δειγµατοληψίας ενός στατιστικού ουσιαστικά είναι θεωρητική κατανοµή; 3. Πότε η σηµειακή εκτιµήτρια µιας άγνωστης παραµέτρου Θ του πληθυσµού είναι συνεπής; 4. Τι ονοµάζουµε διάστηµα εµπιστοσύνης για µια άγνωστη παράµετρο Θ του πληθυσµού; Υπολογίζεται ένα 98% διάστηµα εµπιστοσύνης για µια άγνωστη παράµετρο Θ πληθυσµού και σας έχει ζητηθεί να απαντήσετε µε σφάλµα 5%. Έχετε δώσει ένα διάστηµα για τη Θ µεγαλύτερο από αυτό που σας ζητήθηκε και αν ναι γιατί; 5. Υποθέστε ότι η ετήσια αποταµίευση µιας κατηγορίας νοικοκυριών, µε ορισµένο επίπεδο εισοδήµατος και περιουσιακών στοιχείων, είναι µια τυχαία µεταβλητή Χ που ακολουθεί κανονική κατανοµή µε τυπική απόκλιση σ = 1.700 ευρω. Παίρνουµε ένα τυχαίο δείγµα 20 νοικοκυριών της κατηγορίας αυτής από όλη τη χώρα που έδωσε µέση ετήσια αποταµίευση 5.500 ευρω. Να κατασκευασθεί ένα
90% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη µέση ετήσια αποταµίευση όλων των νοικοκυριών της χώρας τα οποία ανήκουν στην κατηγορία αυτή. 6. Θεωρούµε δύο δείγµατα ίσου µεγέθους από 15 αγρότες που προέρχονται από δύο πληθυσµούς τους οποίους µελετάµε ως προς την µεταβλητή Χ, που µετρά την στρεµµατική απόδοση σε ένα αγροτικό προϊόν, και γνωρίζοντας ότι οι πληθυσµοί είναι κανονικοί ως προς στην κατανοµή της Χ µε άγνωστες διακυµάνσεις διαφορετικές µεταξύ τους. Οι µέσες δειγµατικές τιµές και οι δειγµατικές διακυµάνσεις είναι 380 (κιλά/ στρ.) 2, 150 (κιλά/ στρ.) 2 και 420κιλά/στρ., 170 (κιλά/ στρ.) 2. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς των αγνώστων µέσων όρων των δύο πληθυσµών µε πιθανότητα 90%. 7. Μια απόφαση των υπευθύνων της χάραξης της αγροτικής πολιτικής φαίνεται ότι παρουσιάζει µεγάλη διάσταση απόψεων στους αγρότες. Μια εφηµερίδα αποφάσισε να εκτιµήσει αυτή την διάσταση εκτιµώντας την τυπική απόκλιση σ του αγροτικού πληθυσµού. Για το σκοπό αυτό επέλεξε τυχαία 41 αγρότες και τους ζήτησε να βαθµολογήσουν την απόφαση. Αν η τυπική απόκλιση στο δείγµα είναι 6 και αν υποτεθεί ότι οι βαθµοί αυτοί ακολουθούν την κανονική κατανοµή, να προσδιορισθεί ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την παράµετρο σ 2. 8. Ποια η διαφορά µεταξύ του σφάλµατος τύπου Ι και ΙΙ στον έλεγχο υποθέσεων; 9. Θεωρούµε ότι η άγνωστος παράµετρος Θ του πληθυσµού έχει την τιµή Θ 0 = -1,3. Να διατυπωθεί ο έλεγχος µηδενικής υπόθεσης µε µονόπλευρο έλεγχο (αριστερά). Έστω Τ το στατιστικό µε το οποίο ελέγχουµε την µηδενική υπόθεση και Τ α η κριτήρια τιµή. Να ορισθεί γραφικά η περιοχή απόρριψης της µηδενικής υπόθεσης σε επίπεδο σηµαντικότητας α. 10. Ρωτήθηκαν 250 αγρότες, οι οποίοι χωρίσθηκαν σε τρεις ηλικιακές κατηγορίες νέοι, µεσήλικες, ηλικιωµένοι για να απαντήσουν αν χρησιµοποιούν τον συνεταιρισµό για να προµηθευθούν λιπάσµατα και έδωσαν τις ακόλουθες απαντήσεις Χρησιµοποιούν εν χρησιµοποιούν τον συνεταιρισµό τον συνεταιρισµό Ηλικιωµένοι 37 13 Μεσήλικες 40 60 Νέοι 68 38 Να εξετασθεί αν το σύνολο των αγροτών συµπεριφέρεται κατά τον ίδιο τρόπο όσον αφορά την χρησιµοποίηση του συνεταιρισµού για την προµήθεια λιπασµάτων. ( α=5%). Τι έλεγχος γίνεται; 11. Ποια η ουσιώδης διαφορά µεταξύ της κυκλικής κύµανσης και της εποχικής κύµανσης σε µια χρονική σειρά; Που εµφανίζεται η κάθε µία; 12. Έχουµε τα ακόλουθα δεδοµένα χρονικής σειράς, που δίνει την στρεµµατική απόδοση (κιλά /στρ.) ενός αγροτικού προϊόντος στα έτη 1990-3003 : 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
232 258 230 241 239 266 259 272 268 287 274 2001 2002 2003 265 287 278 Να σχεδιασθεί η γραµµή τάσης των κινητών µέσων όρων πέντε ετών. 49. ΘΕΜΑ 1. Να προσδιορισθεί η τιµή της σταθεράς α ώστε η συνάρτηση f(x) µε την µορφή f(x) = 2αx για x = 2, 3, 4, 5 και f(x) = 0 για τις άλλες τιµές του x να είναι συνάρτηση πιθανότητας της Χ. 2. Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας F(4) στη προηγούµενη συνάρτηση πιθανότητας f(x) του 3 ερωτήµατος και να γίνει το γράφηµα της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας F(x) για x = 2, 3, 4, 5. Να βρεθεί η πιθανότητα P(3 X 5). 50. ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx για 1< x <7 και f(x) = 0 για τις άλλες τιµές του x. 1. Να βρεθεί η σταθερά λ ώστε η συνάρτηση f(x) να είναι συνάρτηση πιθανότητας της Χ. 2. Να βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F(x). 3. Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(1 X 5). 4.Να βρεθεί ο µέσος και η διακύµανση της Χ. 51. ΘΕΜΑ 1. Από ορισµένη παραγωγική διαδικασία παράγονται µαζικώς προϊόντα όπου η πιθανότητα ελαττωµατικού είναι 0,08. Ποια η πιθανότητα σε τυχαίο δείγµα 18 προϊόντων να πάρουµε περισσότερα από 3 ελαττωµατικά προϊόντα. 2. Η πιθανότητα να πετύχουµε ένα ελαττωµατικό προϊόν είναι 2 στα 100. Ποια η πιθανότητα να πετύχουµε ελαττωµατικό προϊόν όταν λάβουµε τυχαίως ένα την έκτη φορά; 3.Ο αριθµός των αγροτών που φθάνουν σε υποκατάστηµα της Αγροτικής τράπεζας για να διεκπεραιώσουν τις υποθέσεις τους ακολουθεί κατανοµή Poisson. Αν κατά µέσο όρο χρειάζονται 5 λεπτά για να εξυπηρετηθεί ένας αγρότης ποια η πιθανότητα ένας αγρότης να εξυπηρετηθεί σε λιγότερο από 3 λεπτά; 52. ΘΕΜΑ
Σε µια µελέτη µετρήθηκαν οι σπόροι σε άνθη τριφυλλιού και για το λόγο αυτό επελέγησαν 9 υγιή φυτά µε άνθη ελεύθερα εκτεθειµένα στην κορυφή και µε άνθη όσο το δυνατό κρυµµένα στο κάτω µέρος του φυτού. Τα αποτελέσµατα ήσαν: Τριφύλλι: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σπόροι: Άνθη Ελεύθερα 4 5 4 5 4 3 4 5 4 Άνθη Κρυµµένα 6 3 2 3 4 5 3 4 3 Να βρεθεί ένα 90% διάστηµα εµπιστοσύνης για την πραγµατική διαφορά των µέσων όρων των αριθµών των σπόρων του τριφυλλιού που προέρχονται από λουλούδια στο πάνω και στο κάτω µέρος του φυτού. 53. ΘΕΜΑ Σε µια µελέτη που σύγκρινε αριθµό παρασίτων στα ψάρια είχαµε τα εξής αποτελέσµατα. Στην θαλάσσια περιοχή Ι από τα 528 ψάρια που πιάστηκαν τα 225 βρέθηκαν µε παράσιτα, ενώ στην θαλάσσια περιοχή ΙΙ από τα 232 που πιάστηκαν τα 58 βρέθηκαν µε παράσιτα. Να συγκριθεί η αναλογία των παρασίτων στις δύο θαλάσσιες περιοχές χρησιµοποιώντας ένα διάστηµα 90% εµπιστοσύνης. Να ερµηνευθεί το αποτέλεσµα. 54. ΘΕΜΑ 1. Σε ένα δείγµα 90 κονσερβών γάλακτος, από µια ηµερήσια παρτίδα παραγωγής, το µέσο βάρος είναι 350 γραµµάρια και κατανέµεται κανονικά. Από µετρήσεις που έγιναν είναι γνωστή η διακύµανση που παρατηρείται στο µέσο βάρος και είναι ίση µε 42 γραµµάρια 2. Να βρεθεί το διάστηµα εµπιστοσύνης στο οποίο βρίσκεται το µέσο βάρος του συνόλου των κονσερβών γάλακτος που παράγονται ηµερησίως µε πιθανότητα 99 %. 2. Ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων, µιας µεταποιητικής βιοµηχανίας αγροτικών προϊόντων, που εντοπίσθηκαν στα 450 προϊόντα ήταν 10. Να βρεθούν τα όρια µέσα στα οποία βρίσκεται το πραγµατικό ποσοστό ρ των ελαττωµατικών προϊόντων της συνολικής παραγωγής µε πιθανότητα 98%. 55. ΘΕΜΑ Παίρνουµε δυο µικρά ανεξάρτητα δείγµατα 12 και 11 στοιχείων αντίστοιχα από κανονικούς πληθυσµούς που εκφράζουν την µέση ετήσια παραγωγή (σε τόνους) ενός αγροτικού προϊόντος µε δειγµατικές µέσες τιµές 4,2 και 3,8 αντίστοιχα και δειγµατικές διακυµάνσεις s 2 1 = 17, s 2 2 = 21. Έστω ότι οι µέσες ετήσιες τιµές παραγωγής (σε τόνους) είναι µ 1, µ 2 µε διακυµάνσεις σ 2 1, σ 2 2 και επιπλέον σ 2 2 1 = σ 2
= σ 2 (άγνωστη). Να βρεθεί το 95 % διάστηµα εµπιστοσύνης της διαφοράς (µ 1 - µ 2 ) των µ 1, µ 2. 56. ΘΕΜΑ 1. Έχουµε ένα δείγµα µικρό 10 στοιχείων, που εκφράζει το βάρος σε χιλιόγραµµα ενός αγροτικού προϊόντος, µε µέση τιµή 7,1 και διακύµανση 3,2. Να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση Η ο : σ 2 2 ο = 3 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η ε: σ 0 3 σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. Θεωρούµε ότι το δείγµα προέρχεται από κανονικό 2 πληθυσµό Ν(µ, σ ). 2. Θεωρούµε δυο µικρά ανεξάρτητα δείγµατα που εκφράζουν το βάρος σε χιλιόγραµµα ενός αγροτικού προϊόντος, µε στοιχεία αντίστοιχα 10 και 9. Οι µέσες τιµές τους είναι αντίστοιχα 7,2 και 8,3, ενώ οι διακυµάνσεις τους είναι επίσης αντίστοιχα 3,1 και 3,4. Θεωρούµε ότι προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς. Να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση Η ο : σ 2 1 = σ 2 2 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η ε :σ 2 2 1 σ 2 σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. (όπου σ 2 1, σ 2 2 οι πραγµατικές διακυµάνσεις των κανονικών πληθυσµών). 57. ΘΕΜΑ Ο αριθµός των άρρωστων πουλερικών κατά εβδοµάδα σε ένα πτηνοτροφείο µετρήθηκε για 50 εβδοµάδες και έδωσε: αριθµός αρρώστων 0 1 2 3 4 αριθµός εβδοµάδων 16 17 13 6 1 Να εξετασθεί αν ο αριθµός των αρρώστων πουλερικών ακολουθεί την κατανοµή Poisson σε επίπεδο σηµαντικότητας 1%. Έχουµε ικανοποιητικά αποτελέσµατα; 58. ΘΕΜΑ ίνονται οι ετήσιες πωλήσεις σε χιλιάδες τόνους µιας επιχείρησης τροφίµων Έτη Πωλήσεις 1994 117 1995 138 Να υπολογισθεί η γραµµή τάσης της χρονολογικής 1996 129 σειράς µε την µέθοδο των κινητών µέσων όρων 1997 118 4 - ετών. 1998 108 Να γίνει η γραφική παράσταση της γραµµής τάσης 1999 99 µαζί µε την γραφική παράσταση της χρονολογικής 2000 106 σειράς. 2001 124 2002 117 2003 115 59. ΘΕΜΑ
1. Ένα δείγµα από 35 κόκκους καλαµποκιού ελέγχεται αν η διακύµανση του µεγέθους των κόκκων του διαφέρει στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05, από την τιµή σ 2 0 = 33,2. Η δειγµατική διακύµανση είναι σ 2 = 42,4. Να εξετασθεί αν 2 οι σ 0 = 33,2 και σ 2 = 42,4 διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α = 0,05. 2. Τα ύψη σε 12 φυτά µιας ποικιλίας σόγιας είναι τα ακόλουθα: 78 75 88 100 96 82 85 93 111 92 84 93 Θεωρούµε ότι το δείγµα πάρθηκε από πληθυσµό όπου τα ύψη ακολουθούν κανονική κατανοµή. Να βρεθούν τα όρια εµπιστοσύνης του µέσου του πληθυσµού της ποικιλίας µε σφάλµα α = 0,05. 3. ύο µικρά δείγµατα που εκφράζουν το βάρος (σε γραµ.) δύο διαφορετικών ποικιλιών ενός φυτού και προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς έχουν δειγµατικές διακυµάνσεις S 1 2 = 1,39 και S 2 2 = 2,15. Τα µεγέθη των δειγµάτων είναι αντίστοιχα n 1 = 12 και n 2 = 15. Έχουν οι δύο ποικιλίες την ίδια διακύµανση, ως προς το βάρος, µε α = 0,02. 4. Aνήκει η τιµή Χ = 2 στον πληθυσµό του οποίου η µέση τιµή είναι µ = 1,76 και η τυπική απόκλιση σ = 0,35. Να εφαρµοσθεί η ελαχίστη σηµαντική διαφορά (ΕΣ ).α = 0,05. 60. ΘΕΜΑ 1. Έχουµε δύο δείγµατα που εκφράζουν στρεµµατική απόδοση (κιλά/ στρ.) σίτου: X 1 =182 n 1 = 17 Σ( Χ 1 - X 1 ) 2 = 1260 X 2 =176 n 2 = 13 Σ( Χ 2 - X 2 ) 2 = 1310 Να συγκριθούν οι µέσοι X 1 και X 2 µε σφάλµα α = 0,05. 2. Θεωρούµε δύο δείγµατα µοσχευµάτων n 1 = 42 και n 2 = 48. Τα δείγµατα εµβαπτίστηκαν σε δύο ορµόνες Ι, ΙΙ για να εκτιµηθεί η ικανότητα των ορµονών να προκαλούν αύξηση της ριζοβολίας. Από το πρώτο δείγµα ριζοβόλησαν 23 και από το δεύτερο 25. Να ελεγχθεί µε α = 0,01 αν οι ορµόνες είναι το ίδιο αποτελεσµατικές. 3. Έχουµε Χ: το βάρος φυτού (σε µονάδες βάρους) και Ψ: το ύψος του ιδίου φυτού. (σε µονάδες ύψους) Χ: 20 40 60 80 100 Ψ: 19 38 59 79 89 Ι. Να προσαρµοσθεί στα δεδοµένα η απλή ευθύγραµµη συµµεταβολή Ψ = α + β Χ
ΙΙ. Σε µια απλή γραµµική συµµεταβολή Ψ = α + β Χ που προήλθε από 20 παρατηρήσεις έχουµε r 2 = 0,96. Να ελεγχθεί αν υπάρχει γραµµική συσχέτιση µεταξύ των Χ, Ψ. α= 0,05. 61. ΘΕΜΑ 1. Ένα ινστιτούτο γεωργικών ερευνών για να εκτιµήσει την αποδοτικότητα δύο υβριδίων καλαµποκιού τα έδωσε σε 9 γεωργούς που τα χωράφια τους βρισκόταν σε διαφορετικές περιοχές και υπολόγισε τις αποδόσεις κατά στρέµµα που δίνονται πιο κάτω: Γεωργός Υβρίδιο Ι Υβρίδιο ΙΙ 1 358 296 2 352 313 3 310 321 4 298 286 5 369 311 6 381 323 7 285 285 8 322 310 9 305 296 Να ελεγχθεί αν διαφέρουν σε απόδοση τα υβρίδια µε α = 10%. 2. Ένα δείγµα από 32 κόκκους καλαµποκιού ελέγχεται ώστε η διακύµανση του µεγέθους των κόκκων να µην υπερβαίνει την τιµή σ 2 ο = 23,18. Η δειγµατική διακύµανση είναι σ 2 = 33,15. Είναι η σ 2 µεγαλύτερη από την καθορισµένη σ 2 ο µε πιθανότητα σφάλµατος 10%; 3. Τα ύψη σε εκατοστά 13 φυτών µιας ποικιλίας σιταριού είναι τα ακόλουθα: 82 73 85 110 105 81 93 95 84 92 116 90 83 Να βρεθούν τα όρια εµπιστοσύνης του µέσου όρου της ποικιλίας µε πιθανότητα σφάλµατος 5%;. 4. Ανήκει η τιµή Χ = 5 στον πληθυσµό µε πιθανότητα 95% του οποίου η µέση τιµή είναι µ = 4,3 και η τυπική απόκλιση σ = 0,7; 62. ΘΕΜΑ 1. ύο µικρά δείγµατα που εκφράζουν το βάρος σε γραµµάρια δυο διαφορετικών ποικιλιών ενός φυτού προέρχονται από κανονικούς πληθυσµούς έχουν S 1 2 = 2,32 S 2 2 = 2,16. Τα µεγέθη των µικρών δειγµάτων αντίστοιχα είναι n 1 = 13, n 2 = 15. Έχουν οι δύο ποικιλίες την ίδια διακύµανση µε α = 0,05; 2. Σε ένα δείγµα µικρό n = 15 που εκφράζει το βάρος σε γραµµάρια των εµβρύων µιας ποικιλίας βρέθηκε ότι η µέση τιµή είναι 125,16 και η διακύµανση 110,3. Να
ελεγχθεί αν το µέσο βάρος των εµβρύων της εν λόγω ποικιλίας διαφέρει µε πιθανότητα σφάλµατος 5% του βάρους 112,53. 3. Να συγκριθούν αν διαφέρουν δυο ποικιλίες µε α = 5%,όταν έχουµε πάρει δύο µεγάλα δείγµατα από τις δύο ποικιλίες που εκφράζουν το ύψος ενός φυτού, µε 41 και 55 στοιχεία αντίστοιχα, µε δειγµατικές µέσες τιµές 86,1 και 79,3 και µε δειγµατικές διακυµάνσεις 68,3 και 76,5. α. Να βρεθούν τα όρια εµπιστοσύνης της διαφοράς των δειγµατικών µέσων τιµών και επιβεβαιώσετε το συµπέρασµα από την σύγκριση των δυο ποικιλιών β. Το ίδιο να γίνει και µε την εύρεση της ελαχίστης σηµαντικής διαφοράς ΕΣ 4. Σε µια γραµµική ευθύγραµµη συµµεταβολή των Χ: βάρος του φυτού και Ψ: ύψος του φυτού, που προέκυψε από δείγµα 12 στοιχείων, να ελεγχθεί αν υφίσταται όντως η γραµµική ευθύγραµµη συµµεταβολή των Χ και Ψ µε α = 5%. 63. ΘΕΜΑ α. Ένας ερευνητής πήρε 24 φυτά φασολιού ηλικίας 3 εβδοµάδων. Στα 12 από τα φυτά χρησιµοποίησε µια ορµόνη για βελτίωση της βλάστησης του φυτού και στα υπόλοιπα 12 τα άφησε έτσι. Μετά από 2 εβδοµάδες πήρε τα ακόλουθα αποτελέσµατα. Μήκος βλάστησης Με ορµόνη Χωρίς ορµόνη 0-28 1 1 29-57 4 3 58 86 2 3 87 115 5 4 116 144 0 1 Ήταν η επίδραση της ορµόνης αποτελεσµατική; (α = 5%) 64. ΘΕΜΑ Θεωρούµε δύο δείγµατα n 1 = 130 και n 2 = 160 φυλλοφόρων µοσχευµάτων δύο ποικιλιών ελιάς που ριζοβόλησαν ή όχι κάτω από υδρονέφωση. Μετά από 90 ηµέρες τα αποτελέσµατα ήσαν: Ποικιλίες µοσχευµάτων Με ρίζες Χωρίς ρίζες Σύνολο Ι 100 30 130 ΙΙ 120 40 160 Να ελεγχθεί µε πιθανότητα σφάλµατος α=1% αν διαφέρουν τα ποσοστά ριζοβολίας των δύο ποικιλιών. 65. ΘΕΜΑ α. Το βάρος (σε κιλά) των χοιριδίων µιας φυλής που διατρέφονται επί 25 ηµέρες µε ένα σιτηρέσιο παρουσιάζει διακύµανση 16. Ένας ερευνητής πήρε τυχαία επτά χοιρίδια και τα διέθρεψε επί 25 ηµέρες µε ένα νέο σιτηρέσιο µε τα εξής αποτελέσµατα:
20 23 14 18 27 24 22 Επηρέασε το νέο σιτηρέσιο τη διακύµανση του σωµατικού βάρους των χοιριδίων; (α =5%) 66. ΘΕΜΑ 1.Η περιεκτικότητα σε σίδηρο (gr Fe/cm 3 ) του εδάφους δύο καλλιεργούµενων περιοχών Ι, ΙΙ παρουσιάζει κανονική κατανοµή. Παίρνουµε δύο δείγµατα από τις περιοχές αυτές (ένα δείγµα από κάθε περιοχή) και έχουµε: n 1 = 15 = x 1 = 68,3 S 1 2 = 2,1 n 2 = 21 = x 2 = 73,5 S 2 2 = 4,3 Να εξετασθεί αν οι διακυµάνσεις στις εν λόγω περιοχές είναι ίσες ή άνισες (α =10 %) 2. Ένα λίπασµα χρησιµοποιήθηκε στα ζαχαρότευτλα σε 6 διαφορετικές δόσεις και ελήφθησαν οι αντίστοιχες αποδόσεις κατά πειραµατικό τεµάχιο: Ποσότητα λιπάσµατος: 1 2 3 4 5 6 (Χ) Απόδοση σε χιλιόγραµµα: 10 15 17 20 22 25 (Y) i.να ορισθεί η ευθεία παλινδρόµησης της Y επί της X. ii. Να υπολογισθούν οι συντελεστές συσχέτισης και διασποράς. Τι ποσοστό ερµηνείας έχουµε της µεταβλητότητας της Y από την µεταβλητότητα της X. ii. Να εξετασθεί η ύπαρξη γραµµικής συσχέτισης µεταξύ των X και Y στο πληθυσµό ( α= 5%). ΘΕΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η Άσκηση Αν η κατανοµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που εκφράζει ένα ποσοτικό γνώρισµα ενός πληθυσµού, είναι κανονική µε µέσο όρο 43 και τυπική απόκλιση 3, να βρεθούν : Α. Το ποσοστό του πληθυσµού που έχει τιµή µεγαλύτερη από 49. Β. Το ποσοστό του πληθυσµού µε τιµή µεταξύ 47 και 57 Γ. Το ποσοστό του πληθυσµού που έχει τιµή µικρότερη από 39. 2 η Άσκηση Να εξετασθεί αν µια τιµή χ = 3 προέρχεται από ένα πληθυσµό του οποίου η µέση τιµή είναι 4,1 και η τυπική απόκλιση σ = 0,89 σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%.Να εφαρµοσθούν και οι τρεις µέθοδοι. 3 η Άσκηση Να εξετασθεί αν ο αριθµός 5 ανήκει στο 10% των µικρότερων τιµών Χ του πληθυσµού που έχει µέσο όρο 6,1 και τυπική απόκλιση 0,97.
4 η Άσκηση 2 2 Έστω 12 δείγµατα µεγέθους 14 για τα οποία γνωρίζουµε S 2 = 2,35, S 1 = 0,96. Να γίνει ο έλεγχος αν τα δείγµατα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσµό, σε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%. 5 η Άσκηση Έστω τα δεδοµένα. Αριθµός Πραγµατικές Θεωρητικές Συχνοτήτων Συχνότητες Συχνότητες Κανονικής κατανοµής 1 1 0,8 2 2 3,1 3 8 6,1 4 16 18,2 5 29 28,1 6 14 12,5 7 9 7,6 8 5 3,2 Να εξετασθεί αν η κανονική κατανοµή προσαρµόζεται καλά στα δεδοµένα σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 6 η Άσκηση Αν η κατανοµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που εκφράζει ένα ποσοτικό γνώρισµα ενός πληθυσµού, είναι κανονική µε µέσο όρο 56 και τυπική απόκλιση 5, να βρεθούν : Α. Το ποσοστό του πληθυσµού που έχει τιµή µεγαλύτερη από 52. Β. Το ποσοστό του πληθυσµού µε τιµή µεταξύ 57 και 62 Γ. Το ποσοστό του πληθυσµού που έχει τιµή µικρότερη από 49. 7 η Άσκηση Να εξετασθεί αν µια τιµή χ = 2 προέρχεται από ένα πληθυσµό του οποίου η µέση τιµή είναι 3,2 και η τυπική απόκλιση σ = 0,56 σε επίπεδο σηµαντικότητας 10%. Να εφαρµοσθούν και οι τρεις µέθοδοι. 8 η Άσκηση Να εξετασθεί αν ο αριθµός 6 ανήκει στο 1% των µικρότερων τιµών Χ του πληθυσµού που έχει µέσο όρο 8,2 και τυπική απόκλιση 0,83. 9 η Άσκηση 2 2 Έστω 19 δείγµατα µεγέθους 17 για τα οποία γνωρίζουµε S 2 = 3,42, S 1 = 1,37. Να γίνει ο έλεγχος αν τα δείγµατα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσµό, σε επίπεδο εµπιστοσύνης 99%. 10 η Άσκηση Έστω τα δεδοµένα. Αριθµός Πραγµατικές Θεωρητικές Συχνοτήτων Συχνότητες Συχνότητες Κανονικής κατανοµής
1 5 3,5 2 9 6,7 3 11 10,1 4 19 16,2 5 21 22,1 6 15 14,5 7 11 9,6 8 7 4,2 Να εξετασθεί αν η κανονική κατανοµή προσαρµόζεται καλά στα δεδοµένα σε επίπεδο σηµαντικότητας 1%. 11 η Άσκηση Αν η κατανοµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, που εκφράζει ένα ποσοτικό γνώρισµα ενός πληθυσµού, είναι κανονική µε µέσο όρο 79 και τυπική απόκλιση 8, να βρεθούν : Α. Το ποσοστό του πληθυσµού που έχει τιµή µεγαλύτερη από 68. Β. Το ποσοστό του πληθυσµού µε τιµή µεταξύ 73 και 81 Γ. Το ποσοστό του πληθυσµού που έχει τιµή µικρότερη από 69. 12 η Άσκηση Να εξετασθεί αν µια τιµή χ = 8 προέρχεται από ένα πληθυσµό του οποίου η µέση τιµή είναι 9,1 και η τυπική απόκλιση σ = 0,55 σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%.Να εφαρµοσθούν και οι τρεις µέθοδοι. 13 η Άσκηση Να εξετασθεί αν ο αριθµός 10 ανήκει στο 0,2% των µεγαλυτέρων τιµών Χ του πληθυσµού που έχει µέσο όρο 13,1 και τυπική απόκλιση 0,67. 14 η Άσκηση 2 2 Έστω 21 δείγµατα µεγέθους 22 για τα οποία γνωρίζουµε S 2 = 4,53, S 1 = 2,98. Να γίνει ο έλεγχος αν τα δείγµατα προέρχονται από τον ίδιο πληθυσµό σε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. 15 η Άσκηση Έστω τα δεδοµένα. Αριθµός Πραγµατικές Θεωρητικές Συχνοτήτων Συχνότητες Συχνότητες Κανονικής κατανοµής 1 2 0,9 2 6 5,1 3 9 8,1 4 15 13,2 5 22 24,1 6 18 14,6 7 11 9,8 8 7 4,9