ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (3 μονάδες) (i) Δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις: = ln(t+ 1), y= t + t. Να υπολογιστεί η παράγωγος του ως προς y, όταν t= 0. (ii) Δίνεται η συνάρτηση: f() = p+. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή ή κοίλη, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο διάστημα: 0 1. (iii) Να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ της καμπύλης: (y+ 1) = 1 και των θετικών ημιαξόνων. (iv) Δίνεται η διαφορική εξίσωση: y () = y 1. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν οι σταθερές τιμές της. (3 μονάδες) (i) Θεωρούμε τη σύνθεση συναρτήσεων: {w = w(z), z= z(, y), = (y)}. Να δοθεί το δέντρο εξάρτησης, και να διατυπωθεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. 1 (ii) Δίνεται η συνάρτηση f(, y) = y. Να βρεθεί ο ρυθμός υποκατάστασης στο σημείο: = 4,y = 1. Να γίνει το ίδιο για τη συνάρτηση: g= f (iii) Να βρεθεί το δεσμευμένο στάσιμο της συνάρτησης f(, y) = + y με τον περιορισμό: + y= 1, και να διερευνηθεί γραφικά αν είναι ακρότατο. Να υπολογιστεί και ο πολλαπλασιαστής Lagrange. 3 ( μονάδες) Σε μια επιχείρηση, ο πωλητής αμείβεται με 10% επί των εισπράξεων. Αν η ζήτηση του προιόντος ως συνάρτηση της τιμής είναι = 100 P, και το κόστος παραγωγής είναι C= 10+, να βρεθεί (i) Η τιμή P που μεγιστοποιεί το κέρδος για τον επιχειρηματία και για τον πωλητή αντίστοιχα. (ii) Θεωρώντας τα κέρδη ως συναρτήσεις της ποσότητας, να γίνουν τα γραφήματα του κέρδους, του οριακού κέρδους, και του μέσου κέρδους, για τον επιχειρηματία και για τον πωλητή στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων το καθένα. 4 ( μονάδες) Θεωρούμε μια αύξουσα συνάρτηση κόστους C(, y), με 0, y 0. (i) Να διερευνηθούν οι σχέσεις μεταξύ των παρακάτω εννοιών: (α) ομογενής γραμμική, (β) ομογενής βαθμού 1, (γ) σταθερής απόδοσης κλίμακας,(δ) σταθερού ρυθμού υποκατάστασης, (ε) με σταθερά οριακά κόστη. (ii) Να διερευνηθούν οι σχέσεις μεταξύ των παρακάτω εννοιών (α) με αύξοντα οριακά κόστη, (β) με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης, (γ) οιονεί κυρτή, (δ) κυρτή.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. Λύσεις 1. (4 μονάδες) (i) Δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις: = ln(t+ 1), y= t + t. Να υπολογιστεί η παράγωγος του ως προς y, όταν t= 0. (ii) Δίνεται η συνάρτηση: f() = p+. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή ή κοίλη, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της στο διάστημα: 0 1. (iii) Να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ της καμπύλης: (y+ 1) = 1 και των θετικών ημιαξόνων. (iv) Δίνεται η διαφορική εξίσωση: y () = y 1. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν οι σταθερές τιμές της. Λύση d ɺ 1 t+ (i) Η εξίσωση σχετιζόμενων ρυθμών μας δίνει: = = t= 0 = = 1 dy yɺ t+ (ii) f () = p+, f () = > 0. Η συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη. Το στάσιμο, αν υπάρχει, είναι ελάχιστο. Το μέγιστο βρίσκεται στα άκρα: 0 αν p+ 1 0 p 1 ma{f(0) = 0,f(1) = p+ 1} = p + 1 αν p + 1 0 p 1 1 (iii) (y+ 1) = 1. y= 1. Έχει άπειρη ασυνέχεια στο = 0, και κόβει τον άξονα στο = 1: 1 E = ( 1)d d 1d = = 0 0 0 Το εμβαδό δεν είναι φραγμένο (iv) f(y) = y 1 y= 1: σταθερή τιμή, με f (y) = 1 ασταθής (4 μονάδες) (i) Θεωρούμε τη σύνθεση συναρτήσεων: {w = w(z), z= z(, y), = (y)}. Να δοθεί το δέντρο εξάρτησης, και να διατυπωθεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. 1 (ii) Δίνεται η συνάρτηση f(, y) = y. Να βρεθεί ο ρυθμός υποκατάστασης στο σημείο: = 4,y = 1. Να γίνει το ίδιο για τη συνάρτηση: g= f (iii) Να βρεθεί το δεσμευμένο στάσιμο της συνάρτησης f(, y) = + y με τον περιορισμό: + y= 1, και να διερευνηθεί γραφικά αν είναι ακρότατο. Να υπολογιστεί και ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Λύση dw dw z dw z d (i) 1 1 4 dy f (1 ) y 1 y = + (ii) = = = y= 1 3 4 dy dz y dz dy d f (1 4) y Οι συναρτήσεις f και g έχουν τον ίδιο ρυθμό υποκατάστασης, ως εξαρτημένες. f = λg = λ = 1 (iii) fy = λgy 1= λ λ= 1 g= c + y= 1 y= 1 Είναι ολικό ελάχιστο y
3 (1 μονάδες) Σε μια επιχείρηση, ο πωλητής αμείβεται με 10% επί των εισπράξεων. Αν η ζήτηση του προιόντος ως συνάρτηση της τιμής είναι = 100 P, και το κόστος παραγωγής είναι C= 10+, να βρεθεί (i) Η τιμή P που μεγιστοποιεί το κέρδος για τον επιχειρηματία και για τον πωλητή αντίστοιχα. (ii) Θεωρώντας τα κέρδη ως συναρτήσεις της ποσότητας, να γίνουν τα γραφήματα του κέρδους, του οριακού κέρδους, και του μέσου κέρδους, για τον επιχειρηματία και για τον πωλητή. Λύση. εισπράξεις: R= P = (100 ), Η αμοιβή του πωλητή είναι μέγιστη όταν: A= R= 10, A = 10 = 0 = 50, P= 50 10 10 10 Το κέρδος του επιχειρηματία είναι μέγιστο όταν: 9 9 18 Π= R C= 10+ 89, Π = 89 = 0 = 49.44, P= 50.56 10 10 10 Η οριακή και η μέση αμοιβή του πωλητή είναι: A 1 A= R= 10, A = 10, = 10 10 10 10 10 Το οριακό και το μέσο κέρδος του επιχειρηματία είναι: 9 18 Π 10 9 Π= 10+ 89, Π = 89, = + 89 10 10 10 C R R 49.44 100 A 50 100 Π Π Π A A
4 ( μονάδες) Θεωρούμε μια αύξουσα συνάρτηση κόστους C(, y), με 0, y 0. (i) Να διερευνηθούν οι σχέσεις μεταξύ των παρακάτω εννοιών: (α) ομογενής γραμμική, (β) ομογενής βαθμού 1, (γ) ομογενής σταθερής απόδοσης κλίμακας,(δ) σταθερού ρυθμού υποκατάστασης, (ε) με σταθερά οριακά κόστη. (ii) Να διερευνηθούν οι σχέσεις μεταξύ των παρακάτω εννοιών: (α) με αύξοντα οριακά κόστη, (β) με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης, (γ) οιονεί κυρτή, (δ) κυρτή. Λύση. (i) (α) z= α+ βy. Είναι η ισχυρότερη. Συνεπάγεται όλα τα άλλα (β) και (γ) είναι το ίδιο (δ) οι ισοσταθμικές είναι ευθείες (ε) z= α+ βy+ γ (δ) (ii) (α): f 0 fyy 0 (β) (γ): είναι ισοδύναμα για αύξουσες συναρτήσεις. (δ) f 0, f yy 0, Δ= ffyy fy 0. Είναι η ισχυρότερη. Συνεπάγεται όλα τα άλλα