Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ µεταξύ της σφήνας και του οριζόντιου εδάφους ο συντελεστής τριβής είναι n. Eάν g είναι η επιτάχυνση της βαρύ τητας, να βρείτε την επιτάχυνση της σφήνας στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους. ΛΥΣΗ: O µικρός κύβος στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w και της δύναµης επαφής N από την κεκλι µένη έδρα της σφήνας, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην έδρα αυτή. Στο ίδιο σύστηµα αναφοράς η σφήνα δέχεται το βάρος της w, τη δύναµη επαφής από τον µικρό κύβο αντίθετη της N (τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T (αντίρροπη της επιτάχυνσης a της σφήνας) και στην κά θετη αντίδραση A που είναι κατακόρυφη. Ο κύβος δεν έχει σχετική κίνηση Σχήµα α. Σχήµα β. Σχήµα γ. ως προς τη σφήνα κατά την κάθετη προς την κεκλιµένη της έδρα διεύθυνση y, που σηµαίνει ότι κύβος και σφήνα έχουν την ίδια επιτάχυνση a y κατά τη διεύθυνση αυτή. Εφαρµόζοντας για τον κύβο το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά τη διέυθυνση y, παίρνουµε τη σχέση: w y - N = ma y mg"#$ - N = ma y () Ο ίδιος νόµος εφαρµοζόµενος για τη σφήνα κατά τη διεύθυνση y δίνει: N + w y - T y - A y = ma y N + mg"#$ - T%µ$ - A"#$ = ma y ()
Όµως για το µέτρο της τριβής T έχουµε τη σχέση: T = na = n(mg + N"#$) (3) οπότε η () γράφεται: N + mg"#$ - n(mg + N"#$)%µ$ - A"#$ = ma y N + mg("#$ - n%µ$) - nn"#$%µ$ - (mg + N"#$)"#$ = ma y N( - n"#$%µ$ - "# $) + mg("#$ - n%µ$) - mg"#$ = ma y N( - n"#$%µ$ - "# $) - nmg%µ$ = ma y (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: N( - n"#$%µ$ - "# $) - nmg%µ$ = mg"#$ - N N( - n"#$%µ$ - "# $) = mg("#$ + n%µ$) N = mg("#$ + n%µ$) - n"#$%µ$ - "# $ = mg( + n) / - n / - / = mg( + n) 3 - n (5) διότι φ=π/4. Εξάλλου ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για τη σφήνα, κατά τη διεύθυνση κίνησής της x, δίνει τη σχέση: (3) N x - T = ma Nµ" - n(mg + N#$%") = ma N(µ" - n#$%") - nmg = ma N ( - n) - nmg = ma (5) mg( - n) 3 - n g( - n) ( + n) - nmg = ma ( + n) - ng = a 3 - n g( - n - 3n + n ) 3 - n = a a = g - 3n $ # & (6) " 3 - n % P.M. fysikos Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα Σ έχει τη µορφή διπλού κεκλι µένου επιπέδου, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο έδαφος και οι γωνίες του κλίσεως ως προς τον ορίζον
τα είναι φ και φ. Τα µικρά σώµατα Σ και Σ έχουν µάζες m και m αντιστοίχως και συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτα τό νήµα το οποίο διέρχεται από το αυλάκι µιας µικρής τροχαλίας που βρίσκεται στην κορυφή του σώµατος Σ και µπορούν να ολισ θαίνουν χωρίς τριβή κατα µήκος των κεκλιµένων εδρών του σώµα τος. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελευθερό να κινηθεί. i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Nα δείξετε οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ και Σ στο σύστηµα αναφοράς του διπλού κεκλιµένου επιπέδου έχουν κοινό µέτρο, που ικανοποιεί τη σχέση: a " = m (a#$% + g&µ% ) + m (g&µ% - a#$% ) m + m όπου a η επιτάχυνση του Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) To σώµα Σ κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w, της τάσεως T του νήµατος και της δύναµής επαφής N από την κεκλιµένη έδρα γωνίας κλίσεως φ, η οποία έχει φορέα κάθετο επί την έδρα αυτή. Αντίστοιχες δυνάµεις w, T, N δέχεται το σώµα Σ, ενώ το διπλό κεκλιµέ νο επίπεδο Σ δέχεται το βάρος του W, την κατακόρυφη αντίδραση A του λείου οριζόντιου εδάφους και τις αντιδράσεις N ' και N ' των σωµάτων Σ και Σ αντιστοίχως, οι οποίες είναι αντίθετες των N και N (τρίτος νόµος του Νεύτωνα). Εφαρµόζοντας για το σώµα Σ τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της κίνησής του, παίρνουµε την σχέση: N' x - N' x = Ma N µ" - N µ" = Ma () όπου a η επιτάχυνση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Εξάλλου το σώµα Σ δεν έχει σχετική κίνηση ως προς το σώµα Σ κατά την διεύθυνση y, που είναι κάθετη προς την έδρα επί της οποίας κινείται, που σηµαίνει ότι οι επιταχύνσεις του Σ και του Σ κατά την διέυθυνση αυτή είναι ίδιες. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε τη σχέση: w y' - N = a m y' m g"#$ - N = a%µ$ m m g"#$ - N = m a%µ$ N = m g"#$ - m a%µ$ ()
Eργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο για το σώµα Σ κατα την διέυθυνση y που είναι κάθετη στην έδρα επί της οποίας κινείται παίρνουµε την σχέση: N = m g"#$ + m a%µ$ (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), () και (3) παίρνουµε: (m g"#$ - m a%µ$ )%µ$ - (m g"#$ + m a%µ$ )%µ$ = Ma m g"#$ %µ$ - m g"#$ %µ$ = a(m + m %µ $ + m %µ $ ) a = g m "#$ %µ$ - m "#$ %µ$ M + m %µ $ + m %µ $ (4) Eάν ισχύει m συνφ ηµφ >m συνφ ηµφ, τότε η φορά της επιτάχυνσης a εί ναι αυτή που δεχθήκαµε εξ αρχής, ενώ όταν m συνφ ηµφ <m συνφ ηµφ, τότε η φορά της a είναι αντίθετη αυτής που αρχικά δεχθήκαµε. Τέλος αν ισχύει m συνφ ηµφ =m συνφ ηµφ, τότε η επιτάχυνση a είναι µηδενική. ii) To σώµα Σ κατά την διεύθυνση x της κεκλιµένης έδρας επί της οποίας κινείται έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους επιτάχυνση a x' για την οποία ισχύει ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα, δηλαδή η σχέση: w x' - T = m a x' m gµ" - T = m a x' (5) Kατά την ίδια διεύθυνση το σώµα Σ έχει επιτάχυνση a x' µέτρου: a x' = a"#$ Το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης a (" ) του Σ ως προς το Σ είναι: a (" ) = a x' + a x' = a x' + a#$% a x' = a (" ) - a#$% (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: m gµ" - T = m (a (#$ ) - a#%&" ) (7) Εξάλλου το σώµα Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους έχει κατά τη
διεύθυνση x της κεκλιµένης έδρας επί της οποίας κινείται επιτάχυνση a x'' της οποίας το µέτρο, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα ικανοποιεί τη σχέση: T - w x'' = m a x'' T - m gµ" = m a x'' (8) Kατά την ίδια διεύθυνση το σώµα Σ έχει επιτάχυνση a x'' µέτρου: a x'' = a"#$ Το µέτρο της σχετικής επιτάχυνσης a (" ) του Σ ως προς το Σ είναι: a (" ) = a x'' + a x'' = a x'' + a#$% a x'' = a (" ) - a#$% (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: T - m gµ" = m (a (#$ ) - a#%&" ) (0) Eπειδή η τροχαλία θεωρείται µε αµελητέα µάζα και το νήµα µη εκτατό ισχύουν οι σχέσεις: a (σχ) =a σχ) = a σχ και Τ = Τ οπότε προσθέτοντας κατα µέλη τις σχέσεις (8) και (0) παίρνουµε: m gµ" - m gµ" = m (a #$ - a#%&" ) + m (a #$ - a#%&" ) m gµ" - m gµ" = m a #$ - m a#%&" + m a #$ - m a#%&" m (a"#$ + g%µ$ ) + m (a"#$ - g%µ$ ) = a & (m + m ) a " = m (a#$% + g&µ% ) + m (g&µ% - a#$% ) m + m P.M. fysikos Ένας µικρός κύβος µάζας m, φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο q και κρατείται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Ο χώρος στον οποίο βρίσκεται το κεκλιµένο επίπεδο αποτελεί οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση B είναι κάθετη στο κεκλιµένο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα. Κάποια στιγµή αφή νουµε τον κύβο ελεύθερο και αυτός αρχίζει να κινείται και τελι
κώς αποκτά κίνηση ευθύγραµµη οµαλή. Να βρεθεί το µέτρο και η διεύθυνση της τελικής ταχύτητας του κύβου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε τον κύβο όταν αυτός έχει αποκτήσει ευθύγραµµη οµα λή κίνηση µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία θ µε την διεύθυνση της µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου. Επί του κύβου ενεργεί το βάρος του w που αναλύεται στην συνιστώσα w κατά τη διεύ θυνση της µεγίστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου και στην συνιστώσα w κατά την κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο διεύθυνση, η δύναµη Laplace F L από το µαγνητικό πεδίο, η οποία είναι κάθετη στο επίπεδο των διανυσµάτων ( B, v ) έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού, δηλαδή η F L έχει φορέα παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο και κάθετο προς το διάνυσµα v (βλέπε σχήµα). Τέλος ο κύβος δέχεται τη δύνα µη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθή σεως T, αντίρροπη της v, και στην κάθετη αντίδραση N. Λόγω της ευθύγ ραµµης και ισοταχούς κίνησης του κύβου η συνισταµένη των δυνάµεων T και F L είναι αντίθετη της w, δηλαδή ισχύει: = w F L + T = wµ" F L + n N = wµ" () Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: F L = qbv και N = w"#$ οπότε η () γράφεται: q B v +n w "#$ = w%µ$ B v +n w "#$ = w %µ $ qbv = w µ " - n #$%" v = (mg/qb) µ " - n #$%" () Για να έχει νόηµα η σχέση () πρέπει: µ " - n #$%" > 0 µ " > n #$%" "" > n
Τέλος η διεύθυνση της v καθορίζεται από τη γωνία θ, για την οποία ισχύει: "#$ =T/% = nn/w =nw"#& / w'µ& =n(& (3) P.M. fysikos Oµογενής ράβδος AΓ µάζας m, βρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπε δο, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα και µπορεί να στρέφε ται περί σταθερό άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της A και είναι κάθετος στο κεκλιµένο επίπεδο. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της ράβδου και του κεκλιµένου επιπέδου είναι n και θ η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε τη γραµµή µεγίστης κλίσεως (ε) του κεκλιµένου επιπέδου, να βρείτε τη σχέση µεταξύ των n, φ, θ όταν επίκειται η περιστροφή της επί του επιπέδου και να καθορίσετε τη δύναµη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: H ξαπλωµένη στο κεκλιµένο επίπεδο ράβδος δέχεται το βάρος της w, τη δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή T που έχει φορέα παράλληλο προς το επίπεδο αυτό και στην κάθετη προς το επίπεδο αντίδραση N και τέλος την δύναµη δεσµού R από τον άξονα περιστροφής της. Το βάρος w αναλύεται στη συνιστώσα w που ενεργεί παράλληλα προς τη γραµµή µέγιστης κλίσεως* (ε) του κεκλιµένου επιπέδου και στην συνιστώσα w, η οποία είναι κάθετη στο κεκλιµένο επί πεδο και εξουδετερώνει την N. Όταν επίκειται η περιστροφή της ράβδου το κέντρο µάζας της C ισορροπεί οριακά, που σηµαίνει ότι οι φορείς των δυνά ---------------------------------------------- * H γραµµή µεγίστης κλίσεως (ε) του κεκλιµένου επιπέδου, είναι κάθετος στην τοµή του κεκλιµένου επιπέδου µε το ορίζόντιο επίπεδο.
µεων T, w και R διέρχονται από το κέντρο µάζας C και επί πλέον η επιτ ρόχια και η κεντροµόλος επιτάχυνσή του C είναι µηδενικές. Έτσι η συνι σταµένη των δυνάµεων που ενεργούν κατά την διεύθυνση της ράβδου αλλά και κατά την κάθετη προς τη ράβδο διέυθυνση είναι µηδενικές λίγο πριν την έναρξη της περιστροφής της, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: '' T = w ' " R = w # T = w µ" & ' R = w #$%" ( όπου w ', w '' oι συνιστώσες της w κατά τη διεύθυνση της ράβδου και κατά την κάθετη προς αυτή διεύθυνση αντιστοίχως. Όµως τη στιγµή αυτή η τριβή T είναι στατική τριβή που έχει λάβει την οριακή της τιµή nn, οπότε η πρώτη εκ των σχέσεων () γράφεται: nw"#$ = w%µ$%µ& n"#$ = %µ$%µ& µ" = n#$%& / µ& = n#'& () Εξάλλου η δεύτερη εκ των σχέσεων () γράφεται: () R = wµ"#$%& = mgµ" - µ & () R = mgµ" - n #$ " (3) Η σχέση (3) έχει νόηµα εφόσον ισχύει: - n " # > 0 > n " # "# > n Παρατήρηση: Για τη λύση του προβλήµατος σχεδιάσαµε την τριβή T, λίγο πρίν την έναρξη της περιστροφής, µε φορέα κάθετο προς τη ράβδο και φορά αντίθετη εκείνης εκείνης προς την οποία τείνει να κινηθεί. Αυτό είναι αληθές, διότι όλα τα σηµεία της ράβδου τείνουν να κινηθούν κάθετα προς αυτή και προς τα κάτω, οπότε η τριβή ως αντιτιθέµενη δύναµη κατευθύνε ται αντίθετα, δηλαδή κάθετα προς τα πάνω. P.M. fysikos Η τροχαλία του σχήµατος έχει µάζα m και ακτίνα R βρίσκεται δε µπροστά από ηµισφαιρικό εµπόδιο ακτίνας R/, το οποίο είναι στερεωµένο σε οριζόντιο έδαφος. Όταν η τροχαλία είναι σ επαφή µε το εµπόδιο εφαρµόζεται στο ανώτερο σηµείο της οριζόντια δύνα µη F.
i) Nα βρεθεί ο αναγκαίος συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ τροχαλίας και εµποδίου, ώστε η τροχαλία ν αρχίσει να κυλίεται επί του εµποδίου. Ποίο πρέπει τότε να είναι το µέτρο της F ; ii) Πόση ενέργεια πρέπει να προσφερθεί στην τροχαλία, µέσω του έργου της F, ώστε όταν φθάσει στην κορυφή του εµποδίου το κέν τρο µάζας της να έχει ταχύτητα v 0 ; Ποιά είναι τότε η στροφορµή της τροχαλίας ως πρός το κέντρο Ο του εµποδίου; Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της τροχαλίας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο της και κάθετο στην επιφάνειά της. ΛΥΣΗ: i) Όταν επίκειται η έναρξη της κύλισης της τροχαλίας επί του ηµισ φαιρικού εµποδίου αυτή χάνει της επαφή της µε το οριζόντιο έδαφος και οι δυνάµεις που δέχεται τη στιγµή αυτή είναι το βάρος της w, η δύναµη Q από το εµπόδιο και η οριζόντια δύναµη F. Επειδή η τροχαλία ισορροπεί οριακά πρέπει οι φορείς των τριών αυτών δυνάµεων να διέρχονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο στην περίπτωσής µας είναι το ανώτερο σηµείο Α της τροχαλίας. Η δύναµη Q αναλύεται στην τριβή T, η οποία είναι εφαπτοµενι κή της τροχαλίας και στην κάθετη αντίδραση N, η οποία έχει ακτινική διεύθυνση. Λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας επιτρέπεται να γράψουµε τις σχέσεις: " C = 0 FR - TR = 0 F = T () F x = 0 T x + F - N x = 0 Tµ" + F - N#$%"= 0 () F y = 0 T + N - w = 0 T + N = w (3) H () λόγω της () γράφεται: Tµ" + T = N#$%" T = N"#$ + %µ$ Όµως η τριβή T είναι στατική, οπότε πρέπει να ισχύει: (4) T nn N"#$ + %µ$ & nn "#$ + %µ$ & n (5)
Από τη γεωµετρία του σχήµατος έχουµε: και µ" = R R + r = R R + R/ = R 3R = 3 "#$ = - %µ $ = - (/3) = 5 / 3 Άρα η σχέση (5) γράφεται: 5 / 3 + /3 n n 5 5 (6) Εξάλλου η σχέση (3) γράφεται: () T"#$ + N%µ$ = w N = w - T"#$ %µ$ (7) Η σχέση Τ nν µε βάση την (7) δίνει: ' T n w - T"#$% * ), Tµ" # nw - nt$%&" ( &µ% + () T(µ" + n#$%") & nw F(µ" + n#$%") & nw F F nw "µ# + n$%&# F nw /3 + n 5 / 3 3nw + n 5 F 3w /n + 5 (8) Από τη σχέση (8) παρατηρούµε ότι για κάθε επιτρεπτή τιµή του συντελεστή οριακής τριβής υπάρχει µία µέγιστη τιµή του µέτρου της F, η οποία εξασ φαλίζει την έναρξη κύλισης της τροχαλίας επί του ηµισφαιρικού εµποδίου. Προφανώς όταν ο συντελεστής n λάβει την ελάχιστη επιτρεπτή τιµή του 5 /5, τότε η απαιτούµενη δύναµη F θα έχει µέτρο: F * = 3w 0/ 5 + 5 = 3w 3 5 = 5w 5 ii) Εφαρµόζοντας για την τροχαλία το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για την κύλισή της από την κατώτατη στην ανώτατη θέση της παίρνουµε τη σχέση: K "# - K $%& = W w +W mv 0 F + I 0 = -mg $ & 3R - 3R % "µ# ' ) + W ( F
mv 0 + mr 4 v 0 $ # & " R% = -mg 3R - $ # & + W " 3% F W = 3mv 0 F 4 + mgr = m ( 4 3v 0 + gr) (9) iii) Η στροφορµή L της τροχαλίας περί το κέντρο Ο του ηµισφαιρικού εµπο δίου, όταν αυτή βρίσκεται στην ανώτατη θέση της, είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή L C του κέντρου µάζας της, στο οποίο θεωρούµε συγ κεντρωµένη όλη τη µάζα της συν την ιδιοστροφορµή της L ', δηλαδή ισχύει: L = L C + L ' Επειδή τα διανύσµατα L C, L ' είναι οµόρροπα, το µέτρο της L είναι: L = L C + L ' = mv 0 R + R $ # & + I' " 0 = 3Rmv 0 % + mr v 0 R L = 3Rmv 0 + Rmv 0 = Rmv 0 P.M. fysikos Μια λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. i) Να βρεθεί σε ποιο σηµείο της ράβδου πρέπει να ενεργήσει µια δύναµη βραχείας διάρκειας, µε διεύθυνση κάθετη στη ράβδο, ώστε ο άξονας περιστροφής να µη δεχτεί αντίδραση από τη ράβδο.
ii) Ποιά πρέπει να είναι η ώθηση της δύναµης, ώστε η µέγιστη γωνιακή εκτροπή της ράβδου να είναι φ=π/3; iii) Να βρεθεί το µέτρο της δύναµης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της, όταν βρίσκεται στη θέση της µέγιστης γωνι ακής εκτροπής. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ροπή αδρά νειας Ι Ο =ml /3 ως προς άξονα διερχόµενο από το άκρο της Ο και κάθετο στη ράβδο, η δε τριβή στον άξονα θα θεωρηθεί αµελητέα. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρο χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί της ράβ δου η δύναµη κρούσεως F, η δύναµη που η ράβδος δέχεται ακόµη είναι το βάρος της w, διότι απαίτησή µας είναι η δύναµη από τον άξονα περιστροφής να είναι µήδενική. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C της ράβδου και κατά την οριζόντια διεύθυνση, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε τη σχέση: m v 0 = 0 + mv 0 = () Σχήµα α. όπου v 0 η ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την κρούση και η ώθηση της δύναµης F. Όµως κατά τον χρόνο Δt ισχύει για τη ράβδο ο νόµος µετα βολής της στροφορµής, που µας επιτρέπει να γράψουµε τη σχέση: L µ"#$% µ"& - L '()* +,(- = (& w + & F ).t I O 0-0 = ( 0 + " F )#t I O 0 = " F #t ml 0 / 3 = " F #t όπου F, w oι ροπές των δυνάµεων F και w αντιστοίχως, περί τον άξονα περιστροφής της Ο και Ι Ο η αντίστοιχη ροπή αδράνειας της ράβδου. Λαµ βάνοντας την αριστερόστροφη φορά ως θετική φορά περιστροφής της ράβ δου, η παραπάνω διανυσµατική σχέση µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει τη µορφή: ml 0 / 3 = " F #t ml 0 / 3 = Fx"t ml 0 = 3"x () όπου x η ζητούµενη απόσταση. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις () και () παίρνουµε:
mv 0 = " ml 0 3"x x = L 0 3v 0 Όµως ισχύει v 0 = ω 0 L/, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: x = L 0 3 0 L = L 3 Παρατήρηση: To σηµείο Ο της ράβδου στο οποίο αν δράσει η F κάθετα σ αυτή µηδενίζει την αντίδραση του άξονα περιστροφής, ονοµάζεται κέντρο κρούσεως της ράβδου. ii) Εφαρµόζοντας για τη ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας κάτα την περιστροφή της από την κατακόρυφη θέση στη θέση της µέγιστης εκτροπής, παίρνουµε: (3) Σχήµα β. I O 0 = mg L - "#$% 0 = 3g L 0 = 3g L ( ) ml 0 3 " = mgl - % $ ' # & (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) έχουµε: = ml 3g L = m 3gL (5) iii) Όταν η ράβδος βρίσκεται στη θέση της µέγιστης εκτροπής, δέχεται το βάρος της w, που αναλύεται στις συνιστώσες w και w κατά την διεύθυν ση της ράβδου και την κάθετη προς αυτήν διεύθυνση και τη δύναµη από τον άξονα περιστροφής, η οποία αναλύεται στις αντίστοιχες συνιστώσες Q και Q. Αναφερόµενοι τη στιγµή αυτή στην κίνηση του κέντρου µάζας C της ράβδου παρατηρούµε ότι η συνισταµένη των w και Q ενεργεί ως κεντ
ροµόλος δύναµη για το κέντρο µάζας, ένω η συνισταµένη των w και Q αποτελεί την επιτρόχια δύναµη αυτού. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε τις σχέσεις: και Q - w Q - w = mv C L/ = 0 Q = w = mg"#$ Q = mg/ (6) = m dv C dt Q - mgµ" = ml $ d# ' & ) (7) % dt ( όπου dω/dt ο ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή. Eφαρµόζοντας εξάλλου τη στιγµή αυτή για τη ράβδο τον νόµο µεταβολής της στροφορµής παίρνουµε τη σχέση: d L dt = w dl dt = I d w O dt = -mg L "µ# ml " d % $ ' = -mg L 3 # dt & d (µ) dt = - 3g 3g "µ# = - L L 3 = - 3 3g 4L (8) Συνδυάζοντες τις σχέσεις (7) και (8) έχουµε: Q - 3mg = - ml 3 3g 4L Q = 3mg 8 Το µέτρο της δύναµης Q που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής στη θέση της µέγιστης εκτροπής της, είναι: (9) Q = Q + Q (6),(9) Q = mg$ # & " % + # " 3mg$ 8 & % = mg 8 9 P.M. fysikos Οµογενής ράβδος AB, µήκους L και µάζας m, εφάπτεται µε το άκρο της Α σε κατακόρυφο λείο τοίχο, ενώ το άλλο της άκρο ακουµπάει σε λείο οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα. i) Να βρείτε τη διαφορική εξίσωση από την οποία µπορεί να προκύ ψει η γωνία θ, ως συνάρτηση του χρόνου t.
ii) Εάν τη χρονική στιγµή t=0 που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη είναι θ=θ 0, να προσδιορίσετε τη θέση της ράβδου, όπου αυτή χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για τη ράβδο την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεώς της κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, που η γωνία µεταξύ της ράβδου και του οριζόντιου εδάφους είναι θ, παίρνουµε τη σχέση: K "# + U "# = K t + U t 0+mg L µ" 0= mv C+ I C# +mg L µ" mv C + I C = mgl("µ# 0 - "µ#) () όπου v C η ταχύτητα του κέντρου µάζας C της ράβδου κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t, η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ως προς το κέντρο µάζας της και Ι C η ροπή αδράνειας αυτής ως προς άξονα που διέρχε ται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο. Εξάλλου οι συντε ταγµένες του κέντρου µάζας κατά τη στιγµή t είναι: x C = L"#$ / & ' y C = L%µ$ / ( dx C /dt = -(Lµ" / )d" / dt & ' dy C /dt = (L#$%" / )d" / dt( Άρα v Cx = -L"µ# / v Cy = L$%&# / v C = v Cx + v C () ' ( ) v C = L ("µ # + $%& #)/ 4 = L / 4 (3) () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) έχουµε: ml 4 + ml = mgl("µ# 0 - "µ#) L 3 = g("µ# 0- "µ#) = 3g L ("µ# 0- "µ#) (4) Διαφορίζοντας τη σχέση (4) παίρνουµε:
d = - 3g L "#$%d% d dt = - 3g L "#$% d% dt d " dt = - 3g#$%" L d dt + 3g "#$ = 0 (5) L Η σχέση (5) αποτελεί τη ζητούµενη διαφορική εξίσωση, η ολοκλήρωση της οποίας θα δώσει την σύνάρτηση θ(t) που καθορίζει τη θέση της ράβδου ΑΒ στο σύστηµα αναφοράς Οxψ. ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα κατά τη διεύθυνση του άξονα Οx, παίρνουµε τη σχέση: m dv Cx dt = R B (6) όπου R B η δύναµη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Β από τον λείο κατα κόρυφο τοίχο. Διαφορίζοντας την πρώτη εκ των εξισώσεων () έχουµε: dv Cx = - L "#$%d% - L &µ%d dv Cx dt = - L d% "#$% dt - L d &µ% dt m dv Cx dt = - ml ' "#$% + d % dt &µ% * ), ( + (5),(6) R B = - ml ' ) "#$% - 3g ( L &µ%"#$% * (4), + R B = - ml & ( ' 3g L (µ" 3g 0- µ")#$%" - L µ"#$%" ) + * R B = - 3mg 4 "#$(%µ$ 0- %µ$ - %µ$) = 3mg 4 "#$(3%µ$ - %µ$ 0) (7) H ράβδος χάνει την επαφή της µε τον κατακόρυφο τοίχο στη θέση εκείνη για την οποία µηδενίζεται η δύναµη R B, οπότε µε βάση την (7) θα ισχύει: "#$(3%µ$ - %µ$ 0 ) = 0 "#$ = 0 ή 3µ" - µ" 0 = 0 Η περίπτωση συνθ=0 απορρίπτεται και η ζητούµενη θέση καθορίζεται από τη γωνία θ, για την οποία ισχύει: µ" = µ" 0 /3 P.M. fysikos