ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ενότητας Συστήματα πρώτης τάξης. Συστήματα δεύτερης τάξης. 4
Σκοποί Ενότητας Μελέτη συστημάτων πρώτης και δεύτερης τάξης καθώς και των χαρακτηριστικών τους. 5
Χρονική απόκριση συστημάτων 1 ης τάξης 6
Συστήματα 1ης τάξης (1) Έστω το ΓΧΑ σύστημα του οποίου η σχέση εισόδου εξόδου διέπεται από τη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης dy t dx t + ay t = b dt 1 + b dt 0 x t, 1 Ο μετασχηματισμός Laplace της (1) δίνει sy s y 0 + ay s = b 1 sx s x 0 + b 0 X s Αν x(t) δεν είναι συνεχής στο t = 0, αν δηλαδή x 0 x 0 + x(0 ) 0 1 x(0 ) x( t) u( t) t 7
Συστήματα 1ης τάξης () γράφουμε sy s y 0 + ay s = b 1 sx s x 0 + b 0 X s Αν x 0 = 0 sy s y 0 + ay s = b 1 sx s + b 0 X s s + a Y s = y 0 + b 1 s + b 0 X s Y s = y 0 s + a + b 1s + b 0 X s s + a Όρος που εξαρτάται από την αρχική συνθήκη y 0 Όρος που εξαρτάται από το μετασχηματισμό Laplace X(s) της εισόδου x(t) 8
Συστήματα 1ης τάξης (3) Αν η αρχική συνθήκη y 0 = 0 Y s = b 1s + b 0 Y s X s s + a X s = b 1s + b 0 s + a H s : συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος H s (λόγος του μετασχηματισμού Laplace Y(s) της εξόδου δια του μετασχηματισμού Laplace X(s) της εισόδου, όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν) και άρα H s = b 1s + b 0 s + a = b 1 + b 0 ab 1 s + a 9
Συστήματα 1ης τάξης (4) Y s = b 1s + b 0 s + a X s = b 1 + b 0 ab 1 s + a X s = b 1 X s + b 0 ab 1 s + a X s 10
Κρουστική απόκριση Για x t = δ τ X s = 1 Y s = H s 1 = H s y t = L 1 Y s = L 1 H s = Άρα = L 1 b 1 + b 0 ab 1 s + a h t = b 1 δ t + b 0 ab 1 e at, t 0 11
Ελεύθερη απόκριση - Δυναμική απόκριση Αν η αρχική συνθήκη y 0 0 και η είσοδος είναι το σήμα x(t) = 0, t < 0 και x t 0, t 0 Y s = y 0 + H s X s s + a y t = y 0 e at + h τ x t τ dτ y ελ t ελεύθερη απόκριση. y δυν t δυναμική απόκριση. 0 t = y ελ t + y δυν t 1
Βηματική απόκριση 1 G s = a s + a Πόλοι της G(s): s = a Βηματική απόκριση (step response) είναι η έξοδος για είσοδο: u t = 1 U s = 1 s Y s = G s U s = a 1 = c 0 + c 1 Y s = 1 1 s+a s s s+a s a c 0 = lim s s 0 s s + a = lim s 0 c 1 = lim (s + a) a s a s s + a y t a s + a = 1 = lim s a a s = 1 = 1 e at s+a 13
Σταθερά χρόνου y t = 1 e at Σταθερά χρόνου (time constant): 1/a Ο χρόνος που κάνει το σύστημα για να φτάσει στο 63.1% της τελικής του τιμής (δηλ. το 1). 0,6311 = 63,1% = 1 e 1 = 1 e at e 1 = e at 1 = at t = 1 a 14
1. Χρόνος ανόδου T r (Rising Time T r ) y t = 1 e at Χρόνος ανόδου (rise time) Ο χρόνος που κάνει το σύστημα για να φτάσει από το 10% στο 90% της τελικής του τιμής (δηλ. το 1). 0.9 = 1 e at 0.1 = 1 e at 0.1 = e at 1 0.9 = e at 1.3059 = at 0.105361 = at 1 t =.3059 a t 1 = 0.105361 a t r = t t 1 =. a 15
1. Χρόνος αποκατάστασης T s (Settling Time T s ) y t = 1 e at Χρόνος αποκατάστασης (settling time) Το χρονικό διάστημα στο οποίο η βηματική απόκριση θα φθάσει και θα παραμείνει σε κάποια συγκεκριμένα ποσοστιαία όρια τιμών επί τοις εκατό (για παράδειγμα %) της τελικής τιμής (δηλ. το 1). 0.98 = 1 e at s 0.0 = e at s 3.91 = at s t s = 3.91 a 16
Παράδειγμα 1 Υπολογίστε τον χρόνο ανόδου και τον χρόνο αποκατάστασης για τη συνάρτηση μεταφοράς: G s = K s + a Υπολογίστε το Κ και a βάσει της εξόδου του συστήματος πρώτης τάξης που δίνεται παρακάτω: 17
Παράδειγμα Υπολογίστε την σταθερά χρόνου, τον χρόνο ανόδου και τον χρόνο αποκατάστασης για τη συνάρτηση μεταφοράς: G s = s + 18
Παράδειγμα 3 - Κύκλωμα RC (1) dy t RC + y t = x t dt dy t + 1 1 y t = x t dt RC RC Y s = y 0 s + 1/RC + 1/RC X s s + 1/RC Για x t = u t X s = 1 s R xt () C yt () 19
Παράδειγμα 3 - Κύκλωμα RC () Αν y 0 = 0, Y s = y 0 s + 1/RC + 1/RC s + 1 RC s = y 0 s + 1/RC + 1 s 1 s + 1 RC y t = y 0 e 1 RC t + u t e 1 RC t y t = u t e 1 RC t 0
Παράδειγμα 3 - Κύκλωμα RC (3) Συνάρτηση μεταφοράς H s = 1/RC s + 1/RC Πόλος της συνάρτησης μεταφοράς p 1 = 1/RC Μιγαδικό επίπεδο 1 0.8 j 0.6 s j 0.4 0. 1 0 0 4 t 6 y t = u t e 1 RC t 1 RC 8 = 0., 0.5, 1, 1
Χρονική απόκριση συστημάτων ης τάξης
Γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα δεύτερης τάξης (1) d y t dy t d x t dt + a 1 + a dt 0 y t = b dt Ο μετασχηματισμός Laplace της () δίνει + b 1 dx t dt s Y s sy 0 y 0 + a 1 sy s y 0 + a 0 Y s + b 0, () = b s X s sx 0 x 0 + b 1 sx s x 0 + b 0 X s Για x 0 = 0, x 0 = 0 s Y s sy 0 y 0 + a 1 sy s y 0 + a 0 Y s = b s X s + b 1 sx s + b 0 X s 3
Γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα δεύτερης τάξης () Y s = sy 0 + y 0 + a 1y 0 s + a 1 s + a 0 + b s + b 1 s + b 0 s + a 1 s + a 0 X s Όρος που εξαρτάται Όρος που εξαρτάται από από τις αρχικές το μετασχηματισμό Laplace συνθήκη y 0, y 0 X(s) της εισόδου x(t) Αν οι αρχικές συνθήκες y 0 = 0, y 0 = 0 Y s = b s + b 1 s + b 0 s X s H s = b s + b 1 s + b 0 + a 1 s + a 0 s + a 1 s + a 0 Το σύστημα είναι αιτιατό αν και μόνο αν deg (b s + b 1 s + b 0 ) deg s + a 1 s + a 0 4
Χρονική απόκριση συστημάτων ης τάξης Την συνάρτηση μεταφοράς G s = a 0 s +a 1 s+a 0 με α 0 = ω n, a 1 = ζω n (ζ damping ratio ω n natural frequency) γράφουμε Πόλοι της G s G s = ω n s + ζω n s + ω n p 1, = ζω n ± 4ζ ω n 4ω n = ζω n ± ω n ζ 1 p 1 = ζω n + ω n ζ 1 p = ζω n ω n ζ 1 5
Βηματική απόκριση (1) G s U s = c 0 = lim s 0 s u t = 1 U s = 1 s ω n s s + ζω n s + ω = c 0 n s + c 1 + c s p 1 s p ω n ω = n = 1 p 1 p ζω n ω n ζ 1 s s p 1 s p = ω n ω c 1 = lim s p n 1 s p1 ω n s s p 1 s p = ζω n +ω n ζ 1 ω n ζ 1 = 1 ζ ω n p 1 p 1 p = 1 ζ 1 + ζ 1 6
Βηματική απόκριση () G s U s = ω c = lim s p n s p = u t = 1 U s = 1 s ω n s s + ζω n s + ω = c 0 n s + c 1 + c s p 1 s p s s p 1 s p = ω n p p p 1 = ω n ζω n ω n ζ 1 ω n ζ 1 = = 1 1 ζ ζ 1 + ζ 1 7
Βηματική απόκριση (3) Συστήματα μεγάλης απόσβεσης (overdumped) 1. Αν ζ > 1: δύο πραγματικοί και διαφορετικοί πόλοι p 1 = ζω n + ω n p = ζω n ω n ζ 1 R ζ 1 R Βηματική απόκριση y t = 1 + c 1 e p1t + c e p t Συστήματα κρίσιμης απόσβεσης (criticallydumped). Αν ζ = 1: δύο πραγματικοί και ίσοι πόλοι (ή ένας πόλος με πολλαπλότητα ) p 1 = ω n R p = ω n R 8
Βηματική απόκριση (4) G s U s = c 0 = lim s 0 s c 1 = d lim s ω n ds ω n s s + ω n = c 0 s + c 1 s + ω n + ω n s s+ω n = ω n ω n = 1 s + ω n ω n s s+ω n = lim s ω n c s + ω n ω n s ω c = lim s + ω n n = ω n s ω n s s+ω = ω n ω n n Y s = G s U s = 1 s 1 ω n s + ω n s + ω n y t = 1 1 + ω n t e ωnt, t 0 L 1 = 1 9
Βηματική απόκριση (5) Συστήματα μικρής απόσβεσης (under-dumped) 3. Αν 0 < ζ < 1: δύο καθαρά μιγαδικοί και συζυγείς πόλοι p 1 = ζω n + jω d p = p1 = ζω n jω d όπου ω d = ω n 1 ζ. Βηματική απόκριση: G s U s = ω n s s + ζω n s + ω n = c 0 s + c 1 s p 1 + c s p 30
Βηματική απόκριση (6) c 0 = lim s 0 s ω n = ω n = s s p 1 s p p 1 p ω c 1 = lim s p n 1 s p1 = s s p 1 s p = ω n ζω n + jω d jω d = 1 ω n ζω n +ω n 1 ζ = 1 ω n p 1 p 1 p ω n ω d jζω n ω d = 1 ω d ω n + jζω n 3 ω d ω d + ζω n ω d = c 1R + jc 1I 31
Βηματική απόκριση (7) ω c = lim s p n s p = = 1 ω n p p p 1 = ω n ω d jζω n ω d s s p 1 s p ω n ζω n + jω d jω d = 1 ω d ω n jζω n 3 ω d ω d + ζω n ω d = c 1R jc 1I 3
Βηματική απόκριση (8) c 1R c 1I = 1 1 ω d ω n ω d + ζω n ω d ζω n 3 ω d ω d + ζω n ω d = ω d ζω n = = ω n 1 ζ = 1 ζ ζω n ζ 33
Βηματική απόκριση (9) c 1R + c 1I ω d ω n ζω n 3 ω d = 1 ω d + ζω n ω d + 1 ω d + ζω n ω d = 1 ω d ω n + ζω n 3 ω d ω d + ζω n ω d = 1 ω n 4 ω d + ζω n ω d = ω n 1 ω n 1 ζ + ζ ω n 1 ζ ω n = 1 1 ζ 34
Βηματική απόκριση (10) e jθ = cos θ y t + jsin θ = 1 + c 1R + jc 1I e ζω n+jω d t + c 1R jc 1I e ζω n jω d t = 1 + c 1R + jc 1I e ζω n t cos ω d t + jsin ω d t + c 1R jc 1I e ζω n t cos ω d t jsin ω d t = 1 + c 1R cos ω d t c 1I sin ω d t e ζω n t c 1R = tan θ c 1I c 1R = 1 + c 1I cos ω c d t sin ω d t e ζω n t = 1I cos θ = c 1R c 1I + c 1I 35
Βηματική απόκριση (11) = 1 + c 1I sin θ cos θ cos ω dt sin ω d t e ζω n t = 1 c 1I cos θ sin θ cos ω dt + cos θ sin ω d t e ζω n t = 1 c 1I cos θ sin ω dt θ e ζω n tcos θ = = 1 c 1R + c 1I sin ω d t θ e ζω n t = c 1I c 1R + c 1I 36
Βηματική απόκριση (1) 1 = 1 1 ζ sin ω dt θ e ζω n t = 1 1 1 ζ sin ω n 1 ζ t tan 1 1 ζ ζ 1 = 1 1 ζ sin ω n 1 ζ t + tan 1 1 ζ ζ = 1 ω n sin ω ω d t + θ e ζω n t, d θ = tan 1 ζ = tan 1 ζω n 1 ζ ω d e ζω n t e ζω n t 37
Λόγος απόσβεσης (damping ratio) Εξάρτηση της απόκρισης του συστήματος σε σχέση με τον λόγο απόσβεσης (damping ratio) ζ. 38
Χρόνος πρώτου μεγίστου (Peak time) (1) Peak time: t p = π ω d = ω n d dt 1 1 1 ζ sin ω n 1 ζ t + tan 1 1 ζ ζ ω n cos ω n 1 ζ t + tan 1 1 ζ π (χρόνος πρώτου μεγίστου) 1 ζ ζ e ζω n t + ζω n 1 ζ sin ω n 1 ζ t + tan 1 1 ζ ζ e ζω n t = 0 e ζω n t = 0 ω n e ζω n t cos ω d t + tan 1 θ +θ 1 sin ω d t + tan 1 θ = 0 39
Χρόνος πρώτου μεγίστου (Peak time) () sin ω d t + tan 1 θ θcos ω d t + tan 1 θ = 0 tan ω d t + tan 1 θ = θ ω d t + tan 1 θ = tan 1 θ + kπ ω d t = kπ t = kπ ω d, k = 1,, y max t = 1 1 1 ζ sin ω n 1 ζ π + tan 1 1 ζ ω d ζ e ζω n π ω d = 1 e ζπ 1 ζ 1 ζ sin π + 1 ζ tan 1 ζ 40
Χρόνος πρώτου μεγίστου (Peak time) (3) π + tan 1 1 ζ ζ ζ = cos θ π + tan 1 tan θ = π + θ = sin 1 sin π + θ = sin 1 sin θ = sin 1 1 ζ 41
Χρόνος πρώτου μεγίστου (Peak time) (4) y max t = 1 e ζπ 1 ζ 1 ζ sin π + 1 ζ tan 1 ζ = 1 e ζπ 1 ζ = 1 + e ζπ 1 ζ 1 ζ sin sin 1 1 ζ 4
Μέγιστο Ποσοστό Υπερύψωσης M p (Maximum Overshoot M p ) M p = 100 y max 1 1 ζ = y final = 1 ln M p 100 π +ln M p 100 = 100e ζπ 1 ζ 43
. Χρόνος αποκατάστασης T s (Settling Time T s ) (1) y t y t = 1 ω n ω d sin ω d t + θ e ζω n t ω d = ω n 1 ζ 1 = 1 1 ζ sin ω dt + θ e ζω nt 1 1 ζ sin ω dt + θ e ζω nt 0.0 1 1 ζ e ζω nt 0.0 44
. Χρόνος αποκατάστασης T s (Settling Time T s ) () ln 0.0 T s = 1 ζ ζω n Ο αριθμητής κυμαίνεται από 3.91 έως 4.74 καθώς το ζ παίρνει τιμές από το 0 έως το 0.9. T s 4 ζω n 45
. Χρόνος ανόδου T r (Rising Time T r ) T r.16ζ + 0.60 ω n, 0.3 ζ 0.8 46
Άσκηση 1(1) G s = 5 s + 6s + 5 = 5 s + 3, ζ = 3 5 5s + 5, ω n = 5 5 p 1, = ζω n ± ω n 1 ζ = 3 5 5 ± j5 1 3 5 M p = 100e ζπ 1 ζ = 100e 3 5 π 1 3 5 = 100e 3π 4 = 9.478% T s 4 = 4 3 = 4 = 1.333, ζω n 5 5 3 T r.16ζ+0.60 =.16 5 +0.60 ω n 5 3 = 0.379 3 = 100e 5 π 4 5 = = 3 ± j4 47
Amplitude Άσκηση 1() 1.4 Step Response 1. System: sys Peak amplitude: 1.09 Overshoot (%): 9.47 At time (sec): 0.777 System: sys Settling Time (sec): 1.19 1 System: sys Rise Time (sec): 0.37 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 Time (sec) 48
Άσκηση 1(3) Αν θέλαμε Mp=5% και Ts=1 τότε θα έπρεπε να έχουμε ζπ 1 ζ M p = 100e = 5 e = 0.05 ζπ 1 ζ = ln 0.05 =.9957 ζ 1 ζ =.9957 ζ>0 = 0.9535 3.14 ζ 1 ζ ζπ 1 ζ = 0.90916 ζ 1 ζ = 0.90916 ζ 1 ζ + ζ = 0.90916 1 + 0.90916 ζ = 0.476 ζ = 0.476 0.69 49
Άσκηση 1(4) T s 4 ζω n = 1 ω n = 4 ζ ω n = 4 0.69 = 5.7971 p 1, = ζω n ± jω n 1 ζ = G s = 0.69 5.7971 ± j5.7971 1 0.69 = 4 ± j4.196 ω n s + ζω n s + ω n = = 5.7971 s + 0.69 5.7971s + 5.7971 33.6064 s + 8s + 33.6064 50
Amplitude Άσκηση 1(5) 1.4 Step Response 1. 1 System: sys Peak amplitude: 1.05 Overshoot (%): 5 At time (sec): 0.74 System: sys Settling Time (sec): 1.03 System: sys Rise Time (sec): 0.36 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0.5 1 1.5 Time (sec) 51
Γενικά M p = 100 y max 1 1 = 100e ζπ 1 ζ ζω n + ω n 1 ζ = ω n, cosθ = ζω n ω n Settling time T s = 4 T p = ω n π ζω n 1 ζ = π ω d Peak response = ζ 5
Χρόνος αποκατάστασης T s T s = 4 ζω n 53
Μέγιστη απόκριση T p T p = ω n π 1 ζ = π ω d 54
Μέγιστη Υπερύψωση M p M p = 100 y max 1 1 = 100e ζπ 1 ζ ζω n + ω n 1 ζ = ω n, cosθ = ζω n ω n = ζ 55
Γραφικές παραστάσεις Γραφικές παραστάσεις σταθερή T p, T s, και υπερύψωση %OS. Note: T s < T s1 ; T p < T p1 ; %OS 1 < %OS 56
Παράδειγμα 4 Να υπολογιστούν τα ζ, ω n, T p, M p, T s. T p ή T s 4 4 1.333sec 3 0.394 n n 3 7 58 7.616 3 cos 0.394 7.616 cos tan 0.394 3 1 7 3.14 0.449sec d 1 7.1616 1 0.394 n M p 1 e 100 6% 57
Επιπλέον πόλοι (1) C s = A s + B s + ζω n + Cω d s + ζω n + ω d + D s + a r c t = Au t + e ζω nt Bcosω d t + Csinω d t + De a rt 58
Επιπλέον πόλοι () 59
Επιπλέον πόλοι (3) C s = bc s s + as + b s + c = A Bs + C + s s + as + b + D s + c ca c A = 1; B = c + b ca C = ca c a bc ca c c ; D = + b ca c + b ca c A = 1; B = 1; C = a; D = 0 60
Επιπλέον πόλοι (4) T 1 s = T s = T 3 s = 4.54 s +4s+4.45 45.4 s+10 (s +4s+4.45) 73.66 s+3 (s +4s+4.45) c t c 3 t c 1 t = 1 1.09e t cos 4.53t 3. 8 o = 1 0.9e 10t 1.189e t cos 4.53t 53. 34 o = 1 1.14e 3t + 0.707e t cos 4.53t 78. 63 o 61
Επιπλέον μηδενικά (1) T s a s + a T s = s + b s + c = A s + b + B s + c b + a c + a = b + c + c + b s + b s + c 1 b + c s + b + a b, a c 1 c + b s + c = s + b a s + c 1 b + c 6
Επιπλέον μηδενικά () 63
Επιπλέον μηδενικά (3) Παράγωγος s + a C s = sc s + ac s Μεγάλο a (θετικό) δεν επηρεάζει η παράγωγος. Μικρό a (θετικό) επηρεάζει η παράγωγος με επιπρόσθετο overshoot. a (αρνητικό) nonninimum-phase. 64
Επιπλέον μηδενικά (4) T s = C s = K s + z s + p 3 s + as + b 6.5 s + a s s + 4.01 s + 5 s + 6 C s = 0.87 5.3 s s + 5 + 4.4 s + 6 + 0.033 s + 4.01 C s 0.87 5.3 s s + 5 + 4.4 s + 6 c t 0.87 5.3e 5t + 4.4e 6t 65
Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α: Κλασική Θεωρία Ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Πουλιέζος Αναστάσιος, 013, Περί Συστημάτων Ελέγχου. Εισαγωγικό Εγχειρίδιο της Σύγχρονης Θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Norman Nise, 011, Control Systems Engineering, 6th Edition, John Willey. 66
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs43/ 67
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ 68
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 69
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο 014-015