Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ

2

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται στο σηµείο που µας ενδιαφέρει, δηλαδή στο (0,0). Αυτό όµως δεν αποτελεί εµπόδιο. ψάχνουµε το όριο της συνάρτησης στο (0,0), όχι την τιµή της εκεί. Θεωρούµε λοιπόν την ακολουθία σηµείων (x n,0), x n n 0. Το όριο γίνεται: x n +0 lim n x n 0 = 1. Εάν ϑεωρήσουµε ακόµα την ακολουθία σηµείων (0,x n ), x n n 0, το όριο ϑα γίνει: 0+x n lim = 1. n 0 x n Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το όριο δεν υπάρχει, διότι αν υπήρχε ϑα ήταν µοναδικό. Παράδειγµα 1.2. Να υπολογίσετε το x 3 +y 4 lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2. Απάντηση: Κάνοντας την αλλαγή µεταβλητών (x, y) = (ρcosφ, ρsinφ), και ενθυµούµενοι ότι για να πλησιάσουµε την αρχή των αξόνων αρκεί ρ 0, αντιλαµβανόµαστε πως το όριο γίνεται: ρ 3 cos 3 φ+ρ 4 sin 4 φ lim ρ 0 ρ 2 = 0. Εποµένως, το Ϲητούµενο όριο υπάρχει, και είναι το 0. 3

1.1 Ορια. Κεφάλαιο 1. Παράδειγµα 1.3. Να υπολογίσετε το y 2 lim (x,y) (0,0) xyx2 x 2 +y 2. Απάντηση: Κάνοντας την αλλαγή µεταβλητών (x, y) = (ρcosφ, ρsinφ), και ενθυµούµενοι ότι για να πλησιάσουµε την αρχή των αξόνων αρκεί ρ 0, αντιλαµβανόµαστε πως το όριο γίνεται: y 2 lim (x,y) (0,0) xyx2 x 2 +y 2 = lim ρ 2 cosφsinφ ρ2 cos 2 φ ρ 2 sin 2 φ ρ 0 ρ 2 cos 2 φ+ρ 2 sin 2 φ = lim ρ 0 ρ 2 cosφsinφ ρ2 (cos 2 φ sin 2 φ) ρ 2 (cos 2 φ+sin 2 φ) = lim ρ 0 ρ 2 cosφsinφ(cos 2 φ sin 2 φ) = 0 Ασκηση: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια. x 2 y 2 1. lim (x,y) (0,0) x+y 2x 2 y 2. lim (x,y) (0,0) x 4 +y 2 x 2 y 2 3. lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 x 4 +x 3 y +3x 2 y 2 4. lim (x,y) (0,0) (x 2 +y 2 ) 2 x 3 y 5. lim (x,y) (0,0) x 6 +y 2 y 4 6. lim (x,y) (0,0) x 3 +y 3 2x 2 y 7. lim (x,y) (0,0) x 4 +y 2 2xy 8. lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 9. lim (x,y) (0,0) lim x3 y x 6 +y 2 x 3 +y 3 10. lim (x,y) (0,0) x 2 xy +y 2 (1 x 2 )sin(x 2 +y 2 ) 11. lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 x 2 y 4 12. lim (x,y) (0,0) (x 2 +y 4 ) 5. 4

Κεφάλαιο 1. 1.2 Συνέχεια Βαθµωτών Συναρτήσεων. 1.2 Συνέχεια Βαθµωτών Συναρτήσεων Ασκηση 1.1. Να επεκταθούν κατά τρόπο συνεχή, στην αρχή των αξονών, οι παρακάτω συναρτήσεις. 1. f(x,y) = 2x x2 y 2 x 2 +y 2 2. f(x,y) = xy 2x3 y 3 4xy 2 x 4 +y 4 3. f(x,y) = x2 5y 2 x 4y 1 4. f(x,y) = 1 x 2 +y 2 Ασκηση 1.2. Να εξεταστούν ως προς τη συνέχεια, στην αρχή των αξόνων, οι παρακάτω συναρτήσεις. 1. 2. f(x,y) = f(x,y) = { x 2 +y αν (x,y) (0,0) 2 αν (x,y) = (0,0). { 2x+1 x 2 +y αν (x,y) (0,0) 0 αν (x,y) = (0,0). Ασκηση 1.3. Να εξεταστεί η συνέχεια της f : R 2 R που ορίζεται ως: f(x,y) = { x 2 y 3 2x 2 +y 2 αν 2x 2 +y 2 0 0 αν 2x 2 +y 2 = 0. 5

1.2 Συνέχεια Βαθµωτών Συναρτήσεων. Κεφάλαιο 1. 6

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 Παραγωγισιµότητα και ιαφορισιµότητα 2.1 ιαφορισιµότητα Παράδειγµα 2.1. Αν f : R 3 R, f(x,y,z) = xyz +y 2 z, τότε: Απάντηση: f f (x,y,z) = yz, x f (x,y,z) = xz +2yz, y (x,y,z) = xy +y2 z 2.2 ιαφορικό Συνάρτησης και Ιακωβιανός Πίνακας Παράδειγµα 2.2. Εστω f : R 3 R 2, µε τύπο f(x,y,z) = (e xy + z,2x 2 y + cosz). Να υπολογίσετε το διαφορικό της συνάρτησης στο σηµείο (1, 2,π). Απάντηση: Ο Ιακωβιανός πίνακας της f είναι ο: [ ye xy xe J(x,y,z) = xy ] 1 4xy 2x 2. sinz Στο σηµείο (1, 2, π) γίνεται: J(1, 2,π) = οπότε, d (1, 2,π) f : R 3 R 2 µε τύπο: [ 2e 2 e 2 ] 1 8 2 0 df (1, 2,π) = ( 2e 2 x+e 2 y +z, 8x+2y). 7

2.3 εύτερο ιαφορικό και Εσσιανός Πίνακας. Κεφάλαιο 2. Ασκηση 2.1. Να υπολογιστούν τα διαφορικά, στην αρχή των αξόνων, των παρακάτω συναρτήσεων: 1. f : R 2 R,f(x,y) = x 3 +2x+y 2. f : R R 2,f(x) = (x 3 +2x,cosx 5x) 3. f : R 3 R 4,f(x,y,z) = (x 3 +2x y,xy +z,x 4 y +2z,x+y +z) 2.3 εύτερο ιαφορικό και Εσσιανός Πίνακας Παράδειγµα 2.3. Εστω f : R 3 R, που ορίζεται ως: f(x,y,z) = x 2 y +2yz. Να υπολογίσετε, στο σηµείο (1,0,0), το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης αυτής. Απάντηση: Ο Εσσιανός πίνακας της συνάρτησης αυτής είναι: 2y 2x 0 H(x,y,z) = 2x 0 2 0 2 0 και στο σηµείο (1, 0, 0) γίνεται: 0 2 0 H(1,0,0) = 2 0 2 0 2 0 συνεπώς, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά και από δεξιά των πίνακα αυτόν µε το (x, y, z), έχουµε ότι d 2 f (1,0,0) : R 3 R, µε τύπο: f(x,y,z) = 4xy +4yz. Ασκηση 2.2. Να υπολογίσετε, στα αντίστοιχα σηµεία, τα δεύτερα διαφορικά των παρακάτω συναρτήσεων. 1. f : R 2 R, f(x,y) = 2x 2 y +cos(xy) στο (1,π). 2. f : R 2 R, f(x,y) = e x2y +xy στο (1,0). 3. f : R 3 R, f(x,y,z) = x 2 +y 2 +x 2 στο (0,0,0). 4. f : R 3 R, f(x,y,z) = xy +yz +2e z στο (1,0,1). 8

Κεφάλαιο 2. 2.4 Παράγωγος Κατά Κατεύθυνση. Ασκηση 2.3. Να υπολογίσετε τον Εσσιανό πίνακα της f(x,y) = (x + y) 2 στο (0,0). Είναι αυτός ϑετικώς ορισµένος; 2.4 Παράγωγος Κατά Κατεύθυνση Παράδειγµα 2.4. Εστω f : R 3 R, f(x,y,z) = x 2 y + z. Να υπολογιστεί, στο σηµείο (1,1,1), η παράγωγος της f κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος (1,0,0). Απάντηση: Εχουµε f(x,y,z) = ( ) f f f (x,y,z), (x,y,z), x y z (x,y,z) = (2xy,x 2,1) έχουµε: f (1,1,1) (1,0,0) = (2,1,1) (1,0,0) = 2. Ασκηση 2.4. 1. Να υπολογιστεί η παράγωγος της f(x,y,z) = y 2 x 2 +cosz 2 στο σηµείο (1,1,0) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος (2,2,0). 2. Να υπολογιστεί, η παράγωγος της f : R 2 R, µε τύπο f(x,y) = e x +cosy, κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος 2 ( ), στο σηµείο (1,0). 2, 2 2 3. Η ϑερµοκρασία σε κάθε σηµείο ορθογώνιας πλάκας στο επίπεδο x y δίνεται από την T(x,y) = x 2 + y 2. Βρείτε, στο σηµείο P = (1,5) την κλίση και την παράγωγο της T κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος εκείνου που σχηµατίζει γωνία 30 µε τον άξονα των x. 2.5 Κλίση, Απόκλιση, Στροβιλισµός Παράδειγµα 2.5. Εστω f : R 4 R, f(x,y,z,w) = x 2 y +zw 3. Να υπολογίσετε την κλίση της f. Απάντηση: Υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης. Είναι: f x (x,y,z,w) = 2xy, f y (x,y,z,w) = x2, f z (x,y,z,w) = w3 f, w (x,y,z,w) = 3zw2. Άρα, η κλίση της f είναι το διανυσµατικό πεδίο f : R 4 R 4, µε τύπο f(x,y,z,w) = (2xy,x 2,w 3,3zw 2 ). 9

2.5 Κλίση, Απόκλιση, Στροβιλισµός. Κεφάλαιο 2. Ασκηση 2.5. Να ϐρείτε τις κλίσεις των συναρτήσεων f : R 3 R, f(x,y,z) = e xyz και g : R 2 R, g(x,y) = cos(xy) 2xy. 2.5.1 Απόκλιση ιανυσµατικού Πεδίου Παράδειγµα 2.6. Εστω f : R 4 R 4, µε τύπο: f(x,y,z,w) = (x 2 y +z,y 2 z +w,z 2 w +x,w 2 x+y) Να υπολογιστεί η απόκλισή του. Απάντηση: Υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους: x (x2 y +z) = 2xy, y (y2 z +w) = 2yz z (z2 w +x) = 2zw, w (w2 x+y) = 2wx Ετσι, η απόκλιση του διανυσµατικού αυτού πεδίου είναι η ϐαθµωτή συνάρτηση f : R 4 R, µε τύπο f(x,y,z,w) = 2xy +2yz +2zw +2wx. Ασκηση 2.6. Να υπολογίσετε τις αποκλίσεις των παρακάτω διανυσµατικών πεδίων. f : R 2 R 2, f(x,y) = (2xy +e x,cos(xy)+y), g : R 3 R 3, g(x,y,z) = (xyz +ln(xy)+ z,x+y +z,z 2 x+2). Ποιο από αυτά είναι σωληνοειδές; 2.5.2 Στροβιλισµός ιανυσµατικού Πεδίου Παράδειγµα 2.7. Να υπολογίσετε τον στροβιλισµό του f : R 3 R 3, µε τύπο f(x,y,z) = (x 2 y,xy +z,z 2 ). Απάντηση: Πρέπει να υπολογίσουµε την, συµβολική, ορίζουσα: i j k f(x,y,z) = x y z x 2 y xy +z z 2. Την αναπτύσσουµε, κανονικά, ως προς την πρώτη σειρά: f(x,y,z) = i y z xy +z z 2 j x z x 2 y z 2 +k x y x 2 y xy +z = ( 1,0,y x2 ) οπότε, ο στροβιλισµός του διανυσµατικού αυτού πεδίου είναι το διανυσµατικό πεδίο f : R 3 R 3, µε τύπο f(x,y,z) = ( 1,0,y x 2 ). 10

Κεφάλαιο 2. 2.5 Κλίση, Απόκλιση, Στροβιλισµός. Παράδειγµα 2.8. Εξετάστε αν το f : R 3 R 3, f(x,y,z) = (2xy,x 2 +z,y +1) µπορεί να γραφεί ως κλίση ϐαθµωτής συνάρτησης. Εάν ναι, να ϐρεθεί η συνάρτηση αυτή. Απάντηση: Μπορούµε να επιβεβαιώσουµε ότι το διανυσµατικό αυτό πεδίο είναι αστρόβιλο, και εποµένως µπορεί να γραφεί ως η κλίση µιας ϐαθµωτής συνάρτησης. Υπάρχει δηλαδή V : R 3 R τέτοια, ώστε V(x,y,z) = f(x,y,z). Η τελευταία εξίσωση γίνεται: V (x,y,z) = 2xy x V y (x,y,z) = x2 +z V (x,y,z) = y +1 z το οποίο σύστηµα µας δίνει τη λύση V(x,y,z) = x 2 y + yz + z + c, c R. Πράγµατι, η τελευταία συνάρτηση επαληθεύει την εξίσωση f = V. Ασκηση 2.7. Να υπολογίσετε τους στροβιλισµούς των παρακάτω διανυσµατικών πεδίων. f : R 2 R 2, f(x,y) = (2xy +e x,cos(xy)+y), g : R 3 R, g(x,y,z) = (xyz +ln(xy)+ z,x+y +z,z 2 x+2). Ποιο από αυτά είναι σωληνοειδές; Ασκηση 2.8. Βρείτε, αν υπάρχουν, συναρτήσεις δυναµικού για τα διανυσµατικά πεδία f(x,y) = (2y 2,4xy +e y ), g(x,y,z) = (2y +yze xyz,2x+xze xyz,3z 2 +xye xyz ). 11

2.5 Κλίση, Απόκλιση, Στροβιλισµός. Κεφάλαιο 2. 12

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 Εφαρµογές των Παραγώγων 3.1 Συναρτησιακή Εξάρτηση Παράδειγµα 3.1. Θεωρούµε τις συναρτήσεις f,g : R 2 R, που ορίζονται ως: Είναι: (f, g) (x,y) = f(x,y) = x y, g(x,y) = x 2 2xy +y 2. f x (x,y) f y (x,y) [ g x (x,y) g = y (x,y) 1 1 2x 2y 2x+2y η ορίζουσα του οποίου είναι παντού η µηδενική. Συνεπώς, οι συναρτήσεις f, g είναι συναρτησιακώς εξαρτηµένες. ], Ασκηση 3.1. 1. ίνονται οι συναρτήσεις f,g,h : R 3 R, µε τύπο: f(x,y,z) = y +z, g(x,y,z) = x+2z 2, h(x,y,z) = x 4yz 2y 2 Να εξετάσετε αν είναι συναρτησιακώς εξαρτηµένες. 2. ίνονται οι συναρτήσεις f,g,h : R 3 R, µε τύπο: f(x,y,z) = x+2y z 2, g(x,y,z) = x y +2z 2, h(x,y,z) = 2x+y +z 2. Να εξετάσετε αν είναι συναρτησιακώς εξαρτηµένες. 13

3.2 Ακρότατα Βαθµωτών Συναρτήσεων ύο Μεταβλητών. Κεφάλαιο 3. 3. ίνονται οι συναρτήσεις f,g,h : R 3 R, µε τύπο: f(x,y,z) = xy +yz +zx, g(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2, h(x,y,z) = x+y +z. Να εξετάσετε αν είναι συναρτησιακώς εξαρτηµένες. 3.2 Ακρότατα Βαθµωτών Συναρτήσεων ύο Μεταβλητών Παράδειγµα 3.2. Εστωf : R 2 R, συνάρτηση κλάσηςc 2, τα ακρότατα της οποίας ϑέλουµε να υπολογίσουµε. Ακολουθούµε τα παρακάτω ϐήµατα. Λύνουµε την εξίσωση f(x, y) = (0, 0). Τα σηµεία αυτά ονοµάζονται κρίσιµα σηµεία, ή υποψήφια ακρότατα. Υπολογίζουµε όλες τις µερικές παραγώγους της f, δεύτερης τάξης. Εστω (x 0,y 0 ) R 2 υποψήφιο ακρότατο. Ονοµάζουµε: A = 2 f x 2 (x 0,y 0 ), B = 2 f y 2 (x 0,y 0 ), Γ = 2 f x y (x 0,y 0 ), = AB Γ 2. Εάν > 0, A > 0, το (x 0,y 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο. Εάν > 0, A < 0, το (x 0,y 0 ) είναι τοπικό µέγιστο. Εάν < 0, το (x 0,y 0 ) ονοµάζεται σαγµατικό σηµείο. Εάν = 0, το (x 0,y 0 ) ονοµάζεται εκφυλισµένο κρίσιµο σηµείο. Εάν υπάρχουν και άλλα κρίσιµα σηµεία, επαναλαµβάνουµε τα δύο προηγούµενα ϐήµατα. Ασκηση 3.2. Να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα κρίσιµα σηµεία των παρακάτω συναρτήσεων. 1. f(x,y) = xy(x 2 +y 2 1) 2. f(x,y) = 4xy x 2 3y 2 +3x+10 3. f(x,y) = 1 3 x3 1 2 y2 4. f(x,y) = x 4 +y 4 4xy +5 5. f(x,y) = (y x 2 )(y 2x 2 ) 6. f(x,y) = 3xy x 3 y 3 7. f(x,y) = x 3 +y 3 9xy +1 8. f(x,y) = x 1+y +y 1+x 14

Κεφάλαιο 3. 3.3 Ακρότατα υπό Συνθήκη. 3.3 Ακρότατα υπό Συνθήκη Ασκηση 3.3. 1. Να ϐρεθούν τα ακρότατα της f(x,y) = 2x 2 +y 2, υπό τον περιορισµό x 2 +y 2 = 1. 2. Να ϐρεθούν τα ακρότατα της f(x,y) = x 3 +y 3, υπό τον περιορισµό x+y = 2. 3. Να ϐρεθούν τα ακρότατα της f(x,y,z) = xyz, υπό τον περιορισµό 1 x + 1 y + 1 z =1. Ασκηση 3.4. 1. Να ϐρεθούν και να χαρακτηριστούν τα ακρότατα της f(x,y) = y 2 4x, υπό τη συνθήκη x 2 +y 2 = 9. 2. Να ϐρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y) = x υπό τη συνθήκη x 2 +2y 2 = 3. 3. Βρείτε τα ολικά µέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης f(x,y) = x 2 +2y 2 x, στο χωρίο C = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1}. 3.4 Ο Κανόνας της Αλυσίδας Ο κανόνας της αλυσίδας αποτελεί γενίκευση, στις περισσότερες διαστάσεις, του κανόνα πα- ϱαγώγισης σύνθετης συνάρτησης µιας µεταβλητής, δηλαδή του: [f(g(x))] = f (g(x))g (x), όπου f, g : R R. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι f : R 2 R, f = f(x,y), και ότι x, y : R R, x = x(t), y = y(t). Τότε, η σύνθεση f(x(t), y(t)) αποτελεί συνάρτηση µιας µεταβλητής, του t, και µπορούµε να ϐρούµε την παράγωγο γενικεύοντας τον προηγούµενο κανόνα. Είναι δηλαδή: df dt = f dx x dt + f dy y dt. Συνεχίζοντας, µπορούµε να υπολογίσουµε τις παραγώγους ανώτερης τάξης της συνάρτησης αυτής, δηλαδή d 2 f dt 2 = d dt ( f dx x dt + f dy y = d dt ( f x )dx dt + f x dx dt )+ d dt ( f dy y dt ) dt ) = d dt ( f x d dt (dx dt )+ d dt ( f y )dy dt + f y d dt (dy dt ) Επειδή όµως: d f dt x = f dx xx dt +f dy xy dt και d f dt y = f dx yx dt +f dy yy dt 15

3.4 Ο Κανόνας της Αλυσίδας. Κεφάλαιο 3. d 2 f dt 2 = (f dx xx dt +f dy xy dt )dx dt +f d 2 x x dt 2 +(f dx yx dt +f dy yy dt )dy dt +f d 2 y y dt 2 Οµοίως, µπορούµε να παραγωγίσουµε σύνθετες συναρτήσεις περισσότερων µεταβλητών. Ε- άν, επί παραδείγµατι, f : R 2 R, f = f(x,y), και x,y : R 2 R,x = x(u,v), y = y(u,v), τότε, η f είναι στην ουσία συνάρτηση των µεταβλητών u, v. Σύµφωνα µε τον κανόνα της αλυσίδας: Ασκηση 3.5. f u = f x x u + f y y u και f v = f x x v + f y y v 1. Να ϐρεθεί η f uu, αν f = f(x,y), όπου x = u 2 v 2, y = uv. 2. Να γράψετε τη διαφορική εξίσωσηz x +z y = 0 στις νέες συντεταγµένες(u,v) που δίνονται από τις σχέσεις x = u+v, y = u v, και έπειτα να ϐρεθεί η γενική λύση z(x,y). 3. Αν z = z(u,v) µία συνάρτηση και u = xcosa ysina, v = xsina+ycosa, να δείξετε ότι: z 2 x +z 2 y = z 2 u +z 2 v. 4. Θεωρούµε την εξίσωση κύµατος: u yy = a 2 u xx, a 0, και τους µετασχηµατισµούς z = x+ay, w = x ay. (α) Να εκφράσετε την εξίσωση κύµατος στη µορφή u zw = 0 (ϐ) Να ϐρείτε την γενική λύση u(x,y) της εξίσωσης κύµατος. 16