Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Transcript

1 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών παραγώγων και των εφαρµογών τους. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 ιαφορίσιµη Συνάρτηση 3 3 Αλυσιδωτή Παραγώγιση 3 4 Ολικό ιαφορικό, Τέλειο ιαφορικό 4 5 Οµογενής Συνάρτηση 4 6 Πεπλεγµένες Συναρτήσεις 5 7 Παράγωγος κατά Κατεύθυνση, Κλίση 5 8 Εφαρµογές στη Γεωµετρία Εφαπτόµενο Επίπεδο Κάθετη Ευθεία Εφαπτοµένη Καµπύλης Κάθετο Επίπεδο Καµπύλης Περιβάλλουσα Ακρότατα 7 10 εσµευµένα Ακρότατα 7 11 Ανάπτυγµα Taylor 8

3 Κ. Κυρίτσης 3 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές 1 Ορισµός Θεωρούµε την συνάρτηση δύο µεταβλητών f(x, y). Η µερική παράγωγος στο σηµείο (x 0, y 0 ) ορίζεται να είναι = d x dx f(x, y 0) f(x 0 + ǫ, y 0 ) f ( x 0, y 0 ) = lim. (1) ǫ 0 x=x0 ǫ Η µερική παράγωγος ως προς x είναι ο ϱυθµός µεταβολής της συνάρτησης όταν αλλάζει µόνο το x. Αντίστοιχα ορίζεται και η µερική παράγωγος ως προς y. Η γενίκευση για συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών, καθώς και για ανώτερης τάξης παραγώγους είναι προφανής. Θεώρηµα 1 Αν οι f(x, y), / x, / y, 2 f/ x y, 2 f/ y x ορίζονται σε µια ανοιχτή περιοχή του (x 0, y 0 ) και είναι συνεχείς, τότε 2 f = 2 f. (2) x y y x 2 ιαφορίσιµη Συνάρτηση Θα λέµε ότι η συνάρτηση z = f(x, y) είναι διαφορίσιµη στο σηµείο (x 0, y 0 ) αν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι στο σηµείο και επιπλέον είναι z = x + x y y + ǫ 1 x + ǫ 2 y, (3) µε ǫ 1, ǫ 2 0 καθώς x, y 0. Αν οι / x, / y είναι συνεχείς, η συνάρτηση είναι διαφορίσιµη. Και αντίστροφα, αν είναι διαφορίσιµη, ϑα είναι και συνεχής. 3 Αλυσιδωτή Παραγώγιση Εστω ότι w = f(x, y, z) και x = x(t), y = y(t), z = z(t). Τότε είναι dw dt = df dt = dx x dt + dy y dt + dz z dt. (4) Αν επιπλέον w = f(x, y, z, t) και x = x(t), y = y(t), z = z(t), τότε ϑα είναι dw dt = df dt = dx x dt + dy y dt + dz z dt + t. (5)

4 Κ. Κυρίτσης 4 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές Εστω τώρα ότι w = f(x, y, z) και x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v). Σ αυτή την περίπτωση ϑα είναι και w u = u = x x u + y y u + z z u w v = v = x x v + y y v + z z v. (7) Η γενίκευση για περισσότερες µεταβλητές είναι προφανής. 4 Ολικό ιαφορικό, Τέλειο ιαφορικό Το ολικό διαφορικό µιας συνάρτησης f(x, y, z) ορίζεται να είναι df = dx + dy + x y z dz. Η παράσταση P(x, y)dx + Q(x, y)dy ϑα είναι διαφορικό κάποιας συνάρτησης f(x, y) και ϑα λέγεται τέλειο διαφορικό αν (6) P y = Q x. (8) Αντίστοιχα για την P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ϑα πρέπει 5 Οµογενής Συνάρτηση P y = Q x, Q z = R y, R x = P z. (9) Η συνάστηση f(x 1, x 2,...,x n ) ϑα λέγεται οµογενής ϐαθµού m αν ισχύει f(λx 1, λx 2,...,λx n ) = λ m f(x 1, x 2,...,x n ) Για µια τέτοια συνάρτηση ισχύει ότι x 1 x 1 + x 2 x x n x n = m f.

5 Κ. Κυρίτσης 5 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές 6 Πεπλεγµένες Συναρτήσεις Εστω ότι η συνάρτηση z = f(x, y) δίνεται από τον τύπο F(x, y, z) = 0. Σ αυτή τη περίπτωση είναι F z x = x = x, F z F z y = y = y. F z 7 Παράγωγος κατά Κατεύθυνση, Κλίση Η παράγωγος της f(x, y, z) στο σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) κατά την κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος û = u 1 i + u 2 j + u 3 k είναι ( ) df f(x 0 + su 1, y 0 + su 2, z 0 + su 3 ) f(x 0, y 0, z 0 ) := (Dûf) ds = lim. s 0 û,p 0 s (10) Η κλίση µιας συνάρτησης f(x, y, z) ορίζεται να είναι f = x i + y j + k. (11) z Η παράγωγος κατά κατεύθυνση µπορεί να γραφτεί σαν Ιδιότητες της κλίσης είναι D u f = f u = f cosθ. (λf) = λ f, (f ± g) = f ± g, (f g) = f g + f g, ( ) f = g f g f g g 2.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές 8 Εφαρµογές στη Γεωµετρία 8.1 Εφαπτόµενο Επίπεδο Θεωρούµε την επιφάνεια f(x, y, z) = c και ένα σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) αυτής. Το εφαπτόµενο επίπεδο ορίζεται να είναι το επίπεδο που περνάει από το P 0 και είναι κάθετο στο f, ή αλλιώς (r r 0 ) f = 0 x (x x 0 ) + y (y y 0 ) + z (z z 0 ) = 0. (12) 8.2 Κάθετη Ευθεία Η κάθετη ευθεία ορίζεται να είναι η ευθεία που περνάει από το P 0 και είναι παράλληλη στο f, (r r 0 ) f = 0 ή αλλιώς 8.3 Εφαπτοµένη Καµπύλης x x 0 y y = 0 = z z 0. (13) x y z Η εφαπτοµένη στην καµπύλη r(t) = f(t)i+g(t)j+h(t)k στο σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) είναι (r r 0 ) dr dt = 0, ή αλλιώς 8.4 Κάθετο Επίπεδο Καµπύλης x x 0 = y y 0 = z z 0 f (t) g (t) h (t). (14) ίνεται από την σχέση (r r 0 ) dr dt = 0, ή αλλιώς f (t)(x x 0 ) + g (t)(y y 0 ) + h (t)(z z 0 ) = 0. (15)

7 Κ. Κυρίτσης 7 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές 8.5 Περιβάλλουσα Για µια οικογένεια καµπυλών f(x, y, λ) = 0 στο επίπεδο η περιβάλλουσα καµπύλη ορίζεται να είναι εκείνη που είναι εφαπτοµένη σε κάθε µέλος. ίνεται από τις συνθήκες f(x, y, λ) = 0, λ = 0. Για την οικογένεια επιφανειών στο χώρο f(x, y, z, λ) = 0 ορίζεται να ε- ίναι η επιφάνεια που είναι εφαπτόµενη σε κάθε µέλος της οικογένειας και υπολογίζεται από τις συνθήκες 9 Ακρότατα f(x, y, z, λ) = 0, λ = 0. Τα κρίσιµα σηµεία µιας συνάρτησης δύο µεταβλητών είναι τα σηµεία που δεν ορίζονται οι πρώτες µερικές παράγωγοι, τα άκρα του πεδίου ορισµού και τα σηµεία που µηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι (στάσιµα σηµεία), x = 0 = y. (16) Για την µελέτη τους πρώτα υπολογίζουµε την ορίζουσα 2 f 2 f D = x 2 x y 2 f 2 f y x y 2 (17) σε κάθε κρίσιµο σηµείο. Αν D > 0 και 2 f/ x 2 > 0 είναι Τοπικό Ελάχιστο. Αν D > 0 και 2 f/ x 2 < 0 είναι Τοπικό Μέγιστο. Αν είναι D < 0 είναι σαγµατικό. Στην περίπτωση που D = 0 το κριτήριο δεν εφαρµόζεται. 10 εσµευµένα Ακρότατα Για την εύρεση των ακροτάτων µιας συνάρτηση υποκείµενης σε κάποιους δεσµούς έχουµε δύο επιλογές. Η πρώτη είναι να λύσουµε τους δεσµούς και να περιορίσουµε το πλήθος των ανεξαρτήτων µεταβλητών.

8 Κ. Κυρίτσης 8 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές Η δεύτερη (µέθοδος Lagrange) είναι να ϐρούµε τα ακρότατα της F(x, y, z; λ) = f(x, y, z) + λφ(x, y, z). Το λ λέγεται πολλαπλασιαστής Lagrange και χρεια- Ϲόµαστε τόσους πολλαπλασιαστές όσους και το πλήθος των δεσµών. Η διερεύνηση γίνεται µε χρήση της ορίζουσας (περίπτωση δύο µεταβλητών και ενός δεσµού) 2 F 2 F φ x 2 x y x D 1 = 2 F 2 F φ. (18) y x 2 y y φ φ 0 x y Αν D > 0 έχουµε δεσµευµένο τοπικό µέγιστο, αν D < 0 έχουµε δεσµευµένο τοπικό ελάχιστο. 11 Ανάπτυγµα Taylor Είναι f(x, y) = ( 1 (x x 0 ) n! x + (y y 0) ) n f(x, y) y n=0.

9 Κ. Κυρίτσης 9 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

10 Κ. Κυρίτσης 10 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

11 Κ. Κυρίτσης 11 Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ