ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2. x = rx, y a2 x 2 y2 z da = x = a a2 x 2 y 2. az a2 x 2 y dxdy = a 2 dxdy = a εμβ = πa. 2 7.5.5 Θα βρούμε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει τα σημεία,,,, 2,,,. Ένας τρόπος είναι να βρούμε συντελεστές a, b, c, d ώστε τα τρία σημεία να ικανοποιούν την ax + by + cz = d. Καταλήγουμε στις a = d, 2b = d, b + c = d, παίρνουμε a = d = 2 b = c = βρίσκουμε την εξίσωση 2x + y + z = 2. Ένας δεύτερος τρόπος είναι να βρούμε ένα κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο. Το διάνυσμα αυτό θα είναι κάθετο στα διανύσματα,,,, =,,,,, 2, =,,. Ένα τέτοιο διάνυσμα είναι το εξωτερικό γινόμενο,,,, = 2,,. η εξίσωση του επιπέδου είναι 2x+y +z = d βρίσκουμε d = 2 χρησιμοποιώντας ένα από τα τρία σημεία που ανήκουν στο επίπεδο. Τώρα η παραμετρική αναπαράσταση γράφεται rx, y = x, y, 2 2x y. Το παραμετρικό χωρίο είναι η κατακόρυφη προβολή της τριγωνικής επιφάνειας στο xy-επίπεδο. Αυτή είναι η τριγωνική επιφάνεια στο xy-επίπεδο με κορυφές τις προβολές των κορυφών της, δηλαδή τα σημεία,,, 2,. Έχουμε x = 2,, x = 6. xyz da = 6 xy2 2x y dxdy. Τώρα, το χωρίο στο xy-επίπεδο μπορεί να περιγραφεί από τις ανισότητες: x x y 2 2x. xyz da = 2 2x xy2 2x y dy dx =. x

7.5.7 Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, x 2 + y 2 με παραμετρικό χωρίο τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 + y 2. Έχουμε x = 2x, 2y, x = 4x 2 + 4y 2 +. z da = x 2 +y 2 4x 2 + 4y 2 + dxdy = 2π r 4r 2 + dr dθ = 25 5 π. 6 4 7.6. Χωρίζουμε την σε δυο επιφάνειες, το ημισφαίριο με παραμετρική αναπαράσταση r x, y = x, y, x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 + y 2, το επίπεδο μέρος της, το 2 με παραμετρική αναπαράσταση r 2 x, y = x, y,, όπου πάλι το x, y διατρέχει τον ίδιο δίσκο. x = x = rx, y x2 y2 x2 y 2. Το έχει θετική z-συντεταγμένη, κατευθύνεται προς το εξωτερικό της. x E d = 2x, 2y, 2z x, y, z z dxdy = 2 x2 y 2 dxdy = 2π2, όπου για τον υπολογισμό του τελευταίου διπλού ολοκληρώματος κάνουμε αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες. Ομοίως, 2 x 2 =,, 2 x 2 =. Το 2 2 έχει θετική z-συντεταγμένη, κατευθύνεται προς το εσωτερικό της x. Επομένως, θεωρούμε η =,, ώστε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα να κατευθύνεται προς το εξωτερικό της. E d = 2x, 2y, 2z,, dxdy = 2 z dxdy = 2 2

διότι είναι z = στην 2. E d = E d + E d = 2π 2. 2 5 7.6.5 Υπολογίζουμε Η έχει παραμετρική αναπαράσταση F = 2zx, zx 2 y 2, 2. rx, y = x, y, x2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 + y 2. x = x x 2 y, y 2 x 2 y, 2 x = Το έχει θετική z-συντεταγμένη. x 9 8x2 8y 2 x 2 y 2. x η = 9 8x2 8y, y 2 9 8x2 8y, x 2 y 2 2 9 8x2 8y 2 6 7.6.6 Ομοίως. F η da = 9 2x 4 x 2 y 8 dxdy = 2 8 π. 7 7.6.9 Παραμετρικοποιούμε την σφαίρα με σφαιρικές συντεταγμένες: rθ, φ = cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ, όπου θ, φ = [, 2π] [, π]. θ = sin φ rθ, φ θ = sin φ. Το έχει κατεύθυνση προς το εσωτερικό της, θεωρούμε η = rθ, φ. Φ η da = 6 cos 2 θ sin 2 θ sin 5 φ + cos 4 φ sin φ dθdφ = 2 5 π.

8 7.6. Χωρίζουμε την επιφάνεια σε τρία μέρη. Το πρώτο είναι η κάτω πλευρά με παραμετρική αναπαράσταση r x, y = x, y,, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 + y 2. x =,, x =. Θέλουμε το η να κατευθύνεται προς το εξωτερικό της, διότι είναι z = στην. F η da = η =,,. zx 2 + y 2 2 dxdy =, Το δεύτερο μέρος είναι η πάνω πλευρά 2 με παραμετρική αναπαράσταση r 2 x, y = x, y,, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 + y 2. 2 x 2 =,, 2 x 2 =. Θέλουμε το η να κατευθύνεται προς το εξωτερικό της, η =,,. F η da = 2 zx 2 + y 2 2 dxdy = zx 2 + y 2 2 dxdy = π, όπου χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες στο τελευταίο ολοκλήρωμα. Το τρίτο μέρος είναι η κυλινδρική επιφάνεια με παραμετρική αναπαράσταση όπου θ, z [, 2π] [, ]. r θ, z = cos θ, sin θ, z, θ z = cos θ, sin θ, θ =. z Θέλουμε το η να κατευθύνεται προς το εξωτερικό της, η = cos θ, sin θ,. 4

F η da = 2π cos θ + sin θ dθ dz =. Οι ασκήσεις από το βιβλίο του Apostol. α Υπολογίζουμε θ = sin φ rθ, φ θ = sin φ. Επειδή sin φ, το έχει κατεύθυνση προς την εσωτερική μεριά της σφαίρας, ηθ, φ = = rθ, φ. Αυτό, βέβαια, μπορούμε να το δούμε ανεξάρτητα από τον παραπάνω υπολογισμό. Τώρα, επειδή η = rθ, φ = x, y, z για κάθε x, y, z, β Τώρα f η = x, y, x, y, z = x 2 + y 2 = sin 2 φ, f η da = 2π π 2 sin 2 φ sin φ dφdθ = 4π. x = rx, y x2 y2 x = x2 y 2. Το έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική μεριά της σφαίρας, x Πάλι f η da = ηx, y = x x = rx, y. f η = x, y, x, y, z = x 2 + y 2, x 2 +y 2 x 2 + y 2 x2 y dxdy = 4π 2. 2 α Η συνάρτηση r : R 2 R με τύπο ru, v = u + v, u v, 2u είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, επομένως, απεικονίζει γραμμικά σχήματα σε γραμμικά σχήματα. Εύκολα βρίσκουμε ότι r, =,,, r, =,, 2 2 2 2 r, =,,. η τριγωνική επιφάνεια στον R 2 με κορυφές,,, 2 2 2 2, απεικονίζεται μέσω της r στην τριγωνική επιφάνεια στον R. 5

Κατόπιν, Το u v Επίσης, u = 2, 2, 2 v u = 2. v έχει αρνητική z-συντεταγμένη, ηu, v = u v u =,,. v f η = x + y + z = για κάθε x, y, z, f η da = 2 dudv = 2 εμβ = 2. β Εύκολα βλέπουμε, όπως σε μια από τις προηγούμενες ασκήσεις, ότι το επίπεδο που περιέχει τα σημεία,,,,,,, έχει εξίσωση x + y + z =. Ο πρώτος τρόπος είναι να βρούμε συντελεστές a, b, c, d ώστε τα τρία σημεία να ικανοποιούν την ax + by + cz = d. Καταλήγουμε στις a = d, b = d, c = d, παίρνουμε a = b = c = d =. Ο δεύτερος τρόπος είναι να βρούμε ένα κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο. Το διάνυσμα αυτό θα είναι κάθετο στα διανύσματα,,,, =,,,,,, =,,. Ένα τέτοιο διάνυσμα είναι το εξωτερικό γινόμενο,,,, =,,. η εξίσωση του επιπέδου είναι x + y + z = d βρίσκουμε d = χρησιμοποιώντας ένα από τα τρία σημεία που ανήκουν στο επίπεδο. Τώρα η παραμετρική αναπαράσταση γράφεται συγκεκριμένα rx, y = x, y, x y. Το παραμετρικό χωρίο είναι η κατακόρυφη προβολή της στο xy-επίπεδο. Αυτή είναι η τριγωνική επιφάνεια στο xy-επίπεδο με κορυφές τις προβολές των κορυφών της, δηλαδή τα σημεία,,,,. Έχουμε Το x Όπως στο α, x =,, x =. έχει θετική z-συντεταγμένη, ηx, y = x x =,,. f η = x + y + z = για κάθε x, y, z, f η da = dudv = εμβ = 2. 6

Η παραμετρική αναπαράσταση είναι βρίσκουμε Το x Τώρα rx, y = x, y, fx, y, x = f x, f, x = + f x 2 f 2 +. έχει μη αρνητική z-συντεταγμένη, η = + f x 2 + f 2 f η = + f x 2 + f 2 da = x dxdy = + f η da = f x, f,. P f x Q f + R f x 2 f 2 + dxdy, P f x Q f + R dxdy. 4 Η πρώτη ισότητα είναι προφανής. Για την δεύτερη υπολογίζουμε dxdy = y, z dy dz = x, y dxdy = z x = f x dxdy φx, y, z dy dz = z x Η τρίτη ισότητα αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο. f f x φx, y, fx, y f x dxdy. dxdy 5 Επειδή η παραμετρικοποίηση με σφαιρικές συντεταγμένες καταλήγει σε κάθετα διανύσματα με κατεύθυνση προς το εσωτερικό της σφαίρας, θεωρούμε την παραλλαγή rθ, φ = r cos θ sin φ, r sin θ sin φ, r cos φ με θ, φ [, 2π] [, π]. Έχουμε αλλάξει την z-συντεταγμένη των σφαιρικών συντεταγμένων: έχουμε κάνει μια ανάκλαση της σφαίρας ως προς το xy-επίπεδο. θ = r sin φ rθ, φ θ = r 2 sin φ. 7

Επειδή sin φ, το έχει κατεύθυνση προς την εξωτερική μεριά της σφαίρας, ηθ, φ = rθ, φ. = r Τώρα, με x = r cos θ sin φ, y = r sin θ sin φ z = r cos φ υπολογίζουμε τις Ιακωβιανές ορίζουσες x, y θ, φ = r2 sin φ cos φ, y, z θ, φ = r2 cos θ sin 2 φ, z, x θ, φ = r2 sin θ sin 2 φ. Τέλος, βρίσκουμε ότι το επιφανειακό ολοκλήρωμα που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι ίσο με r 4 2π π 6 Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση sin φ cos φ + cos 2 θ dφdθ =. rx, y = x, y, x 2 + y 2. Ο κύλινδρος x 2 + y 2 = 2x είναι κάθετος προς το xy-επίπεδο, το παραμετρικό χωρίο, δηλαδή η κατακόρυφη προβολή της στο xy-επίπεδο, είναι ο δίσκος του xyεπιπέδου με την ίδια εξίσωση. Η εξίσωση γράφεται x 2 + y 2 =, το είναι ο δίσκος με κέντρο το, ακτίνα. Έχουμε x = x x2 + y, y 2 x2 + y, 2 x = 2. Για κάθε x, y, z ισχύει x 4 y 4 + y 2 z 2 z 2 x 2 + = x 4 y 4 + y 2 x 2 z 2 + = x 4 y 4 + y 2 x 2 x 2 + y 2 + =, x 4 y 4 + y 2 z 2 z 2 x 2 + da = 2 dxdy = 2 εμβ = 2 π. 8