HY 673 - Ιατική Απεικόνιση Στέλιος Οφανουδάκης Κώστας Μαιάς Σημειώσεις IV: Μαηματικά Υπολογιστικής Τομογαφίας Σεπτέμβιος 2003-Φεβουάιος 2004
Αχές Υπολογιστικής Τομογαφίας 1. Η ανάγκη απεικόνισης στις 3-Διαστάσεις Οι μέοδοι 2-διάστατης απεικόνισης όπως για παάδειγμα με ακτίνες Χ παουσιάζουν πολλά πλεονεκτήματα. Συγκεκιμένα για τη μέοδο της ακτινογαφίας αυτά είναι το χαμηλό κόστος της συσκευής φιλμ, ταχύτητα και υψηλή διακιτική ανάλυση που δίνει στη μέοδο τη δυνατότητα να χησιμοποιείται στη διάγνωση πολλών παολογιών (όπως του κακίνου του μαστού. Το βασικό πόβλημα είναι ότι η εικόνα είναι μια ποβολή της 3-Διάστατης ανατομικής παγματικότητας στις 2 διαστάσεις με αποτέλεσμα να είναι δύσκολο για τον γιατό να κατανοήσει επ ακιβώς π.χ. το σχήμα και την έκταση μιας παολογίας. Μια πιο μαηματική εξήγηση του ποβλήματος φαίνεται στο ακόλουο σχήμα: 10cm µ2=0.2 1cm µ1=0.1 3Δ I2 I1 2Δ Σχήμα 1: Η ποβολή 3-διάστατων οντοτήτων σε εικόνα δύο διαστάσεων Στις 3-Διαστάσεις το κοντάστ μποεί να υπολογιστεί βάσει τον συντελεστών εξασένισης µ 1 και µ 2 : C 1 = (µ 2 - µ 1 / µ 1 =(0.2-0.1/0.1=1 Στην πείπτωση τώα που η απεικόνιση γίνεται με ακτίνες Χ, το κοντάστ που παατηείται στην εικόνα είναι ανάλογο της διαφοάς των εντάσεων Ι 1 και Ι 2, όπου το Ι 2 οφείλεται στην αυξημένη αποόφηση μέσα στον κύβο 1cm: C 2= ( Ι 1 Ι 2 / Ι 1 =(e -1 - e -1.1 /e -1 =0.1 Όπου για τον υπολογισμό της έντασης χησιμοποιήηκε ο νόμος του Beers: = µ ( d I I e y 0 (1
Για την απεικόνιση σε 3 διαστάσεις απαιτείται συνήως η ανακατασκευή του 3- διάστατου χώου από 2-διάστατα δεδομένα, όπως γίνεται στην υπολογιστική τομογαφία. 2. Ανακατασκευή αντικειμένου από ποβολές Η τεχνική της τομογαφίας χησιμοποιείται κυίως στην αξονική τομογαφία αλλά και σε καινούιες τεχνικές 3-διάστατης απεικόνισης με υπεήχους όπως επίσης και μέχι πόσφατα στη μαγνητική τομογαφία. Όπως φαίνεται στα Σχήματα 2 και 3, για να απεικονίσουμε μια τομή π.χ. του εγκεφάλου, το σύστημα πηγής - ανιχνευτή πειστέφεται στο επίπεδο της τομής έτσι ώστε να λαμβάνονται ποβολές του αντικειμένου από διαφοετικές γωνίες. Η πόβλημα λοιπόν έγκειται στην όσο το δυνατό ακιβέστεη ανακατασκευή του αντικειμένου από τις ποβολές αυτές. Παακάτω αναλύουμε το έμα της ανακατασκευής παουσιάζοντας τις βασικές εξισώσεις και τεχνικές ανακατασκευής. X-ray source detector I0 R μ (, collimator μ (, y, z Σχήμα 2: Ο τόπος απεικόνισης μιας τομής του εγκεφάλου Χησιμοποιώντας την εξίσωση (1 μποούμε να οίσουμε για την αξονική τομογαφία την ποβολή του απεικονιζόμενου αντικειμένου υπό γωνία, g, ως: det ector I ( g ( = ln = µ (, d y (2 I o Όπου µ(, είναι ο συντελεστής εξασένισης μέσα στη τομή του αντικείμενου. Το πόβλημα της ανακατασκευής μποεί να τεεί ως η ποσπάεια υπολογισμού της συνάτησης µ(, από ποβολές. Χησιμοποιώντας την ιδιότητα επιλογής της συνάτησης Dirac-δ, f ( δ ( d = f (, και αντικαιστώντας τις μεταβλητές source με αυτές του ποβλήματός μας, έχουμε διαδοχικά: f ( δ ( R d = f ( R και µ (, δ ( R d = µ ( R, Με αντικατάσταση της τελευταίας στην εξίσωση (2, παίνουμε:
= g ( R = µ (, δ ( R dyd µ ( R, dy (3 y Όπου = R είναι μια ευεία γαμμή κατά τη διεύυνση σάωσης. g y 0 1 i detector µ (, y source Σχήμα 3: Συνεχής πειστοφή του συστήματος πηγής-ανιχνευτή για την πόσκτηση ποβολών από διαφοετικές γωνίες. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 3, η σάωση γίνεται με συνεχή πειστοφή του συστήματος πηγής-ανιχνευτή, οπότε για μια τυχαία γωνία η ευεία R δίνεται από την εξίσωση: R = cos + ysin (4 Όπου (, είναι οι συντεταγμένες του αντικειμένου ως πος το αχικό σύστημα αναφοάς (0º πειστοφή. Πάνω στο πειστεφόμενο σύστημα αναφοάς η εξίσωση (3 γίνεται: g ( R = µ (, δ ( cos + ysin R dyd (5 y Το οποίο είναι επίσης γνωστό ως μετασχηματισμός Radon του μ(,. Αν χησιμοποιήσουμε Μ ποβολές για την ανακατασκευή, η γωνιακή ποσαύξηση είναι ίση με π/μ. Για την ανακατασκευή του αντικειμένου από τις Μ αυτές ποβολές χησιμοποιούμε το εώημα της κεντικής τομής, το οποίο αναλύεται στο επόμενο εδάφιο.
3. Θεώημα κεντικής τομής Το σχήμα 4 είναι μια αναπαάσταση του εωήματος κεντικής τομής, σύμφωνα με το οποίο ο 1-Δ μετασχηματισμός Fourier της ποβολής g (R, ισούται με τον 2-Δ μετασχηματισμό Fourier του µ(, υπολογισμένο για τη γωνία. Στο ποηγούμενο εδάφιο είδαμε ότι η μαηματική εξίσωση για την ποβολή του αντικειμένου υπό γωνία δίνεται από την εξίσωση (5: g ( R = µ (, δ ( cos + ysin R dyd y Παίνοντας τον 1-Δ μετασχηματισμό Fourier της ποβολής ως πος R: j2π pr G ( = I1 D[ g ( R] = g ( R e dr G( =I1 D[ g( R] = µ (, δ( cos + ysin R e R y R j2πpr Χησιμοποιώντας πάλι την ιδιότητα επιλογής της συνάτησης δ, έχουμε: dyddr j2π pr e δ ( cos + ysin R dr = R e j2π p( cos + y sin Αν επιπλέον κάνουμε την ακόλουη αντικατάσταση μεταβλητών: Καταλήγουμε στη σχέση: u=pcos v=psin j2π( u + vy G ( = I1 D [ g ( R] = µ (, e ddy = I2 D[ µ (, ] = M ( u, v u= p cos = M (, y v= psin Όπως φαίνεται στο σχήμα 4, το Μ(, είναι ο 2-Δ μετασχηματισμός Fourier της συνάτησης µ(, σε πολικές συντεταγμένες p και. Αυτό το εώημα αποτελεί βασικό στοιχείο πολλών μεόδων τομογαφικής ανακατασκευής, αφού δίνει τη δυνατότητα μετάβασης πος και από το πεδίο συχνοτήτων του µ(,. Για παάδειγμα αν με κάποιο τόπο υπολογίζαμε πολλές διαμετικές τομές στο πεδίο συχνοτήτων Μ(, (για πολλές γωνίες, α μποούσαμε να ανακατασκευάσουμε το µ(, με αντίστοφο μετασχηματισμό Fourier 2-Δ! Όμως η παγματικότητα είναι πιο πολύπλοκη και στο επόμενο εδάφιο αναλύεται το πόβλημα της ανακατασκευής από τομές.
y y µ (, y R= cos + y sin v F1D Πεδίο συχνοτήτων u M (, =F2D {µ (, } g (R R g0(r R0 Σχήμα 4: Σχηματική αναπαάσταση του εωήματος κεντικής τομής: Ο 1-Δ μετασχηματισμός Fourier της ποβολής g (R ισούται με τον 2-Δ μετασχηματισμό Fourier της συνάτησης µ (, σε πολικές συντεταγμένες p και. 4. Μέοδος απλής επαναποβολής (simple backprojection H μέοδος της απλής επαναποβολής στηίζεται στην απλή άοιση της επιοής κάε σημείου της ανακατασκευαζόμενης εικόνας από όλες τις ποβολές. Για μία ποβολή, η ανακατασκευή είναι: µ ˆ (, = g ( R δ ( cos + y sin R dr µ ˆ(, R g (R Σχήμα 5: Η επαναποβολή από μια γωνία Για την ανακατασκευή της εικόνας πέπει σε κάε σημείο να αοίσουμε την μεική ανακατασκευή από κάε ποβολή (0-π: µ ˆ (, = π 0 µ ˆ (, d = π 0 g ( R δ ( cos + ysin R drd
όπου µ ˆ(, είναι ο υπολογισμένος πίνακας των συντελεστών εξασένισης (σχηματιζόμενη εικόνα. Μποεί να αποδειχεί (ως άσκηση J ότι η απλή επαναποβολή µ ˆ(, ισούται με τη συνέλιξη της παγματικής συνάτησης μ(, με τη συνάτηση 1/R: µ ˆ(, = μ(, {1/R} Το αποτέλεσμα είναι η οδηγεί στη δημιουγία τεχνημάτων (artefacts στην δημιουγούμενη εικόνα και πιο συγκεκιμένα το όλωμα της αχικής εικόνας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. 1/R Σχήμα 6: Η ανακατασκευή με απλή επαναποβολή δίνει ως αποτέλεσμα την επιυμητή συνάτηση μ(, ολωμένη όμως από τη συνάτηση 1/R, για μια συνετική εικόνα (τετάγωνο στο χώο καώς και για μια τομή του εγκεφάλου. 5. Ανακατασκευή με χήση φίλτων Για να ανακατασκευάσουμε πλήως την αχική εικόνα από τις Μ ποβολές, είναι να υπολογίσουμε τον αντίστοφο μετασχηματισμό Fourier 2-Δ του Μ(, (σε πολικές συντεταγμένες: µ (, = 2π 0 M (, e j 2πp( cos + y sin λόγω της συμμετίας του μετασχηματισμού Fourier, έχουμε: d d
π 0 j 2πp ( cos + y sin µ (, = M (, e p dd (6 Από αυτή την τελευταία εξίσωση ποκύπτουν και τα δύο σενάια για την ανακατασκευή με χήση φίλτου: 1. Με χήση του αντίστοφου μετασχηματισμού Fourier μποούμε να αντικαταστήσουμε μέος της ποηγούμενης εξίσωσης: { M (, } = g ( R c( R g '( R j2πp( cos + y sin 1 M (, e d = I 1D = (7 η εξίσωση (6 ισοδυναμεί τώα με: π µ (, = g '( R d 0 Αυτό σημαίνει ότι η αχική συνάτηση μποεί να ανακατασκευαστεί με επαναποβολή της συνάτησης g (R. Με άλλα λόγια κάε ποβολή πέπει να φιλτάεται με τη συνάτηση c(r πιν την επαναποβολή της. 2. Η ίδια πείπου διαδικασία μποεί να επιτευχεί αν αντί της συνάτησης g (R, φιλτάουμε τη G ( στο πεδίο συχνοτήτων. Αυτό ποκύπτει από την (7 χησιμοποιώντας: G ( = I1D [ g ( R] = M (, (εώημα κεντικής τομής: g { ( } 1 '( R = g ( R c( R = I1 D G Με τον τόπο που πειγάψαμε αποφεύγουμε το όλωμα (1/R που ποκαλεί η απλή επαναποβολή. Το πόβλημα που απομένει όμως εδώ για την πεάτωση της 1 ανακατασκευής είναι ο υπολογισμός του φίλτου c(r = I1 D { }, το οποίο δυστυχώς δεν μποεί να φτιαχτεί (άπειη ενίσχυση, οπότε ποσεγγίζεται με διάφοα άλλα φίλτα στο πεδίο συχνοτήτων : C( C( C( 0-0 0-0 (a (b (c Σχήμα 6 Συνατήσεις φίλτων. (a Αχική συνάτηση (. (b φίλτο Ram-Lak. (c φίλτο Shepp-Logan. Για παάδειγμα οι εξισώσεις για το φίλτο Ram-Lak είναι:
C ( = sinc rect στο πεδίο συχνοτήτων και: 0 0 c( = 2 0 (2sinc(2 0 R- sinc 2 ( 0 R στο πεδίο του χώου. Συμπλήωμα: Fourier Domain Spatial Domain G ( g (R G ( g (R c(r? Πίνακας 1: Πείληψη αντιστοιχιών Μετασχηματισμός Fourier και αντίστοφος (1Δ: F( s = f ( e f ( = F( s e j 2πs j2πs d ds Μετασχηματισμός Fourier και αντίστοφος (2Δ: F( u, v f (, j 2π ( u+ v = f (, e ddy j 2π ( u+ v = F( u, v e dudv