ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f ( ) = Μονάδες A. ίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο. Πότε η ευθεία y=λ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z = β) Μια συνάρτηση f:a λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( ) f( ) γ) Για κάθε = { συν=} ισχύει: ( εφ ) = συν ημ δ) Ισχύει ότι: lim = + ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y= που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. ΘΕΜΑ Β Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z + 3i = και w = z 3i + Μονάδες z 3i, οι οποίοι z 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B. Να αποδείξετε ότι z + 3i = z 3i Μονάδες 7 Μονάδες 4 B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B4. Να αποδείξετε ότι: z w = z Μονάδες 8 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιμη στο f = f () =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:, με ( ) για κάθε. ( f () + f () ) = f () + f () ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι: f () = ln( ), Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3 Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( ) = συν έχει π ακριβώς μία λύση στο διάστημα, ΘΕΜΑ Μονάδες 7 ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :, οι οποίες για κάθε ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f()> και g()> ii) iii) f () g() = = t dt g( + t) t dt f ( + t). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο και ότι f() = g() για κάθε.. Να αποδείξετε ότι: f() =, Μονάδες 9 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 3. Να υπολογίσετε το όριο: lim ln f () f Μονάδες 5 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F() = f (t τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση =. )dt Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Α3. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. B. z - 3i + z + 3i = z - 3i + z - 3i = z - 3i = z - 3i = άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = z - 3i z - 3i = z - 3i = (z - 3i)(z + 3i) = z + 3i = z - 3i B3. z + 3i z + 3i w = z - 3i + = z - 3i + = z - 3i + z - 3i (z - 3i)(z + 3i) z - 3i = z - 3i + z + 3i = z + z = R(z) IR ος τρόπος Από το γ.τ. των εικόνων του z προκύπτει ότι - R(z) - R(z) - w ος τρόπος Από το γ.τ. των εικόνων του z έχουμε : + (y - 3) = άρα - - - R(z) - w B4. z = + yi z - w = + yi - = - + yi = -( - yi) = -z = z w = - K O A
ΘΕΜΑ Γ Γ. f () + f () - = f () + f () f () + f () - = f () + f () f () - = f () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () - = f () + c Για = προκύπτει c = -, άρα f () - = f () - f () - f () = - ( - )f () = - Θεωρούμε συνάρτηση g, με g () = -, g () = - IR - + g () - + g () H g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = την τιμή g () =, άρα g () > - > - > - ( - )f () = - f () = f () = n( - ) - από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = n Για = προκύπτει c =, άρα ( - ) + c f () = n( - ), IR Γ. - f () = - - + f () - + f () H f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, ], ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [, +). Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = την τιμή f () =
Γ3. f () = = = - ( - ) ( - ) Οι ρίζες και το πρόσημο της f ταυτίζονται με - ( - ) - ( - ) - - τις ρίζες και το πρόσημο του αριθμητή. Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () = - -, IR h () = - = ( - ) - + h () + - h () Δ = (-, ) Η h είναι συνεχής και γν. αύξουσα στο Δ im h () = im ( - - ) = im ( - ) - - - - im - = im - = -, - - - - διότι im = im = im - - DL'H - - - - h συνεχής h () = h () = - άρα h (Δ ) = (-, - ) h (Δ ), άρα η h () = έχει ακριβώς μια ρίζα ρ στο Δ. Δ = [, +) Η h είναι συνεχής και γν. φθίνουσα στο Δ h () = - = im h () = im ( - - ) = im ( - ) - = - + + + διότι im ( - ) = - και im = + + + άρα h (Δ ) = (-, - ] h (Δ ), άρα η h () = έχει ακριβώς μια ρίζα ρ στο Δ. Επομένως η h () = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο IR.
h στο (-, ) < ρ h () < h (ρ ) h () < f () < h στο (-, ) ρ < < h () > h (ρ ) h () > f () > h στο (, + ) < < ρ h () > h (ρ ) h () > f () > h στο (, + ) > ρ h () < h (ρ ) h () < f () < - ρ ρ + f () - + - f () σ.κ. σ.κ. Άρα η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ακριβώς δύο σημεία καμπής. π Γ4. Θεωρούμε συνάρτηση φ, με φ () = f () - συν,, π Η φ είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών φ () = f () - = - < π π φ = f > f () = Από Θ. Bolzano η φ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, π π φ () = f () + ημ >, για, π π διότι f () > στο, και ημ > στο, Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα και το είναι μοναδικό Επομένως η εξίσωση n( - ) = συν έχει ακριβώς μια λύση π στο διάστημα,.
ΘΕΜΑ Δ t - f () - Δ. = dt g ( + t) - f () - f () = du = du (u - ) u - g (u) g (u) - f () = f () = + u du g (u) u du g (u) u - f () = - du g (u) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g, g, με g () = και g () = g (t) dt. g () θέτουμε + t = u Eίναι t = u - dt = du t = H g είναι συνεχής στο IR, ως πράξεις συνεχών. άρα η g είναι παρ/μη στο IR με g () = g () = g () u = t = - u = H συνάρτηση f, με f () = + g () είναι παρ/μη στο IR ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. f () = + g () = g () = f () g () = g () () Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι η g είναι παραγωγίσιμη και u g () = + du και f () g () = f (u) ος τρόπο ς Από τις () και () με αφαίρεση προκύπτει f () g () - f () g () f () g () - f () g () = = () g () συνέπειες f () Θ.Μ.Τ. f () = g () = c g () f () Για = προκύπτει = c = c = c g () άρα f () = g (), για κάθε IR.
ος τρόπος Από τις () και () με προκύπτει f () > f () g () f () g () = f () g () = g () > f () g () συνέπειες Θ.Μ.Τ. nf () = ng () nf () = ng () + c Για = προκύπτει nf () = ng () + c = c άρα nf () = ng () f () = g (), για κάθε IR. Δ. Aπό τη σχέση () προκύπτει f () f () = f () f () = f () = από συνέπειες Θ.Μ.Τ. προκύπτει f () = + c Για =, έχουμε f () = + Άρα f () = f () = και επειδή f () > θα είναι f () =, για κάθε ΙR. c = c n f () n Δ3. im = im = im - - - θέτουμε f -u -u - = im u = im = im = - u- u u- u DL'H u- t Δ4. F () = f (t ) dt = dt t F () = dt = >, άρα F γνησίως αύξουσα στο ΙR Αναζητούμε το πρόσημο της F F στο [, ] F () F () F () F () Ε = - F () d = - () F () d = - F () + F () d = d = d = = u - Όταν τότε u - - = τ.μ.