ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 7//- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ KAI ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ A A Σχολικό σελ. 6 Α Σχολικό σελ. 6 Α 3 Σχολικό σελ. 69 Α Σ, β Λ, γ Λ, δ Σ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β. 3 + ( + 3i)( 3+ i) 3 + ( ) z + i 3i i z 6 z 6 z + i z 3i 3i 6+ i + 9i 6 6 3i 3 z 6 6 i 3i 3+ 3i z z z Άρ i ( ) + z 8 7 [( + i) ] ( 8 i z + i ) 7 7 7 i i 3 i i 8 8 ( i) i Β. Άρ ό την δεύτερη σχέση έχω: z + iz ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
z ( + i) + i z + i Ο γεωµετρικός τόος ( z) M είν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ( i) z z + νι κύκλος K(, ) 5 ( i) 5 C : ρ, ( ) ( ) + ( ψ+ ) 5 Β3. w+ w+ w+ Έχω ότι R w i w i w i w+ w+ w i w+ i ww+ iw + w + i ww + w iw i i i ( w+ w) i yi + i + w w+ i ( y + ) y + Άρ ο γεωµετρικός τόος της Ν (w) είνι η ευθεί ε ό την οοί εξιρείτι το σηµείο Α(,) λόγω εριορισµού. Β. Αφού w νήκει στον γεωµετρικό τόο του (Β 3 ) κι R(w ) 3 τότε ( ) ( ) Im w 3 + 6+ εοµένως w 3 i κι Α (-3,) η εικόν του w τότε ( AK) ( 3 ) + ( + ) 6 + 9 5 Άρ µέγιστη τιµή : z w ( AΚ ) + ρ 5+ 5 ελάχιστη τιµή : z w ( ) AΚ ρ 5 5 Εοµένως 5 5 z w 5+ 5 ΘΕΜΑ Γ Γ.. f'() f() + συν f'() f() συν f'() + ( )'f( ( ) ( ) ) συν f() ' ηµ ' Εοµένως f() ηµ + c, c R Γι, έχουµε f + + ηµ c c + c c ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Άρ f() ηµ f() ηµ, [,] Γ.. i) H f είνι ργωγίσιµη στο [,] ως γινόµενο ργωγίσιµων συνρτήσεων µε f'() ηµ + συν (ηµ + συν), [,] Η f' είνι ργωγίσιµη στο [,] ως γινόµενο ργωγίσιµ µων συνρτήσεων µε: f''() (ηµ + συν + ν) (συν ηµ) συν γι [,] f() συν, γι [,]. Είσης, γι,, συν >, άρ f''() > κί γι,, Το ρόσηµο της f'' συν <, άρ f''() < φίνετι στον ρκάτω ίνκ f ( ) + ο - f Η f είνι κυρτή στο Σ.Κ., κι κοίλη,. Η C έχει σηµείο κµής το f A,f. ii) Γι κάθε,, είνι f''() >, άρ η f' είνι γνησίως ύξουσ στο,. Εοµένως γι < < f'() < f'() < f' f'() f' f'( < < ) > ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
Γι κάθε,., ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ είνι f''() <, άρ η f' είνι γνησίως φθίνουσ στο 3 Πρτηρώ ότι η εξίσωση f'() έχει ρίζ τον ριθµό. Γι 3 3 < < f' f'() f' f'() > > > > Γι 3 < < 3 f' > f'() > f'() > f'() > Το ρόσηµο της f' ' κι η µονοτονί της f φίνοντι στον ρκάτω ίνκ f ( ) 3 f Ο.Μ. Ο.Ε. Ο.Ε. Η f είνι γνησίως ύξουσ στο 3, κι γνησίως φθίνουσ στο 3,. 3 + ο - Προυσιάζει ολικό µέγιστο το 3 γι 3 κι ολικό ελάχιστο το γι κι. Γ.3. i) H g είνι ργωγίσιµη στο [,] µε g'() συν ηµ Άρ g'() f'(). Είσης f() g(). Εοµένως οι C,C έχουν f g στο σηµείο τους µε τετµηµένη εφτοµένη των (ε): y ( ) y., κοινή ii) Εειδή η f '()είνι γνησίως ύξουσ στο,, η C f στρέφει τ κοίλ άνω στο,. Εοµένως f( () () γι κάθε,. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Εοµένως f() () γι κάθε Το «ίσον» ισχύει γι.,. Η g' είνι ργωγίσιµ µη στο, µε g''() ηµ (ηµ + συν) ηµ συν < γι,. Άρ η C στρέφει τ κοίλ κάτω στο g,. Εοµένως g() () γι,. Το «ίσον» ισχύει γι. Αό τις σχέσεις () κι () συµερίνουµε ότι f() g() γι,. Γ.. i) Eειδή η f'() (ηµ + συν) >,, η f είνι γνησίως ύξουσ στο,, άρ κι στο διάστηµ υτό. Εοµένως ορίζετι η f Η f είνι συνεχής στο, µε σύνολο τιµών το f, f(),f, Άρ το εδίο ορισµ µού της f είνι το,. ii) Η f είνι ρ γωγίσιµη στο,. Σύµφων µε το θεώρηµ µέσης τιµής, υάρχει έν τουλάχιστον ξ, ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
τέτοιο, ώστε (f )'(ξ Θεωρούµε τη συνάρτηση ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f ( ) f () ξ) h(), R.. Η h είνι ργωγίσιµη στο R, µε h'() ( ( ) h'() ( > ) > < Το ρόσηµο της h' κι η µονοτονί της hφίνοντι στον ρκάτω ίνκ h ( ) 3 + + ο - h Η hείνι γνησίως φθίνουσ στο,+. Άρ < h 3 > > 3 h 3 3 - Εοµένως, ( f ) ( ξ < 3 ( ) 3 ΘΕΜΑ :. f (t)ln( ) dt t f (t)(ln ln t)dt (f (t)ln f (t)ln t)dt f (t)ln dt f (t)ln tdt ln f (t)dt f (t)ln tdt f ( t) u t t u t dt du ( t) dt dt f ( t) u t ( dt) t u t u - f (u) f (u) du du u Αρ η δοθείσ σχέση γίνετι: : t t ln f (t)dt f (t)ln tdt ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ f (u 3 f (t) dt f (t) dt +, > 8 3 u t u) du f (t) dt
ln 3 f (t)dt f (t)ln tdt, > 8 3 Oι συνρτήσεις: f(t) συνεχής στο (, + ), f (t)ln t συνεχής (ως γινόµενο συνεχών) στο 3 (, + ), h () ργωγίσιµη στο (, + ) ως ολυωνυµική κι οι 8 3 κ () f (t)dt, κ () f (t)ln tdt κι κ () ln 3 ργωγίσιµες ως ράγουσες οι (), κ κ () κι η κ () 3 ως λογριθµική Πργωγίζοντς την ροηγούµ µενη σχέση έχω: 3 f (t)dt+ ln f () f ()ln 3, > 8 3 3 f (t)dt, > 3 f (t)dt, > ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3 Πργωγίζοντς έχω: f () 3, > g( ) g( β) ( ) g ( β ) tdt g ( )tdt) <<β, g( ) g( β Οι συνρτήσεις ϕ (t) ( ) g ( β))t, t R κι κ (t) g ( )t, t R R g( ) g( ) είνι συνεχείς στο R κι οι w () β ( g ( β ))tdt, w () g ( )tdt συνεχείς κι ργωγίσιµες ως ράγουσες Πργωγίζοντς την σχέση έχω : g( ) g( ) g( β) ( ) (g( ) g( β)) ( g ( β )) g ( ) g ( β ) g ( ) g ( β ) g ( ) g( β) g ( ) g ( β) g () Έστω λ () g( ) g( β) g() λ () συνεχής ως ηλίκο κι σύνθεση συνεχών στο [,β] λ () ργωγίσιµη ως ηλίκο κι σύνθεση ργωγίσιµων στο (,β) g ( ) g ( β) λ( ) λ( β ) g( ) g( β) ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Αό το θεώρηµ του ROLLE έχω ότι θ υάρχει έν τουλάχιστον (, β) : λ ( ). g () (g ()) ( ) '' g() g() ' ' λ () g() Αρ θ υάρχει g () (g ()) g() '' ' [ ] έν τουλάχιστον (, β ) : g ( ) g ( ) 3 f () f () g(t) g(t) g(t) g( f ()) ) g (t) dt ( ) dt λ λ ( ) ( g(f ()) g( λ) g f () g 3 f () 3, > f () 6 6 6(), f f () > 6( ) > < f () ) g ր 3 f () 3 g: λ λ λ f () 6( ) ή ή > λ ( ορ.) g( g λ ) f ( ) + _ + f γνησ.φθίνουσ O.E γνησ.ύξουσ (,] [, ) + ( ] f συνεχής, f f (,] (( ]) ) [ ), f (), lim f (), + 3 f (), lim f () lim ( 3 ) + + ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
f ή (, f ր (, + ) συνεχ ς + f ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ( ) ( ) (, + ) lim f (), lim f () (, + ) + + 3 3 lim( 3 ), lim ( 3 ) + + + + λ < λ λ f ( ), f ( ) άρ η f () λ Α ΥΝΑΤΗ 3 3 λ λ f ( ) 3 3 +, p(ρίζ) -3 III - - - - ( )( ) διλή Eοµένως η f()λ κι λόγω µονοτονίς θ έχει µονδική διλή ρίζ την <λ< λ f ( ), λ f ( κι λόγω µονοτονίς δύο κριβώς ρίζες θετικές. λ λ, f ( ) ορ ( > ) ) άρ η εξίσωση f()λ έχει δύο τουλάχιστον 3 3 ( 3) ( ορ > ) η 3 3 Άρ η f () λ έχει µονδική λύση την 3 λ > λ f ( ) άρ η f() λ έχει τουλάχιστον κι λόγω µονοτονίς κριβώς ρίζ θετική β) g ր t. > t t t lnβ g(ln ) < g(t) < g(ln β) g(ln ) < g(t) < g(ln β) t lnβ lnβ t t g(ln ) dt g(t)dtt < lnβ t g(ln ) dt < β ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
g(ln ) lnβ ln t dt β t g(t)dt < < g(ln β) g(ln ) ln lnβ t β t < g(t)dt ln ln lnβ β t ln ln g(ln )( + ) < g(t)dt g(ln )( β < β + ) ln ln lnβ t g(ln )( β ) ln β + < g(t)dt < g(ln β) + lnβ t g(ln ) < g(t)dt < β g(ln β) β ( β) lnβ t g(ln ) ( ) < g(t)dt < g β g(ln β) β β β > β g(ln ) β lnβ t < g(t)dt < β η [ ] ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ lnβ t g συνεχής ln,lnβ ΘΕΤ g(ln ) g(ln β)( λόγωότιg ր) θ υάρχει έν τουλάχιστον ξ (ln,ln β) : g( ξ ) η () g(ln ) <η< g(ln β) ln t Άρ θ υάρχει έν του ά (ln,ln ) : β β υλ χιστον ξ β g(t)d β dt g( ξ ) Άρ θ υάρχει έν τουλά χιστον ξ (ln,ln β) : ( β)g( ξ ) β dt t t < g(ln β) g(ln β ) () lnβ ln β lnβ t g(t)dt ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ