1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οοία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)χ 2 +1,χ 0 και ερνάει αό την αρχή των αξόνων. f x f x x + 1 (1) x 0 H f(x) ερνάει αό το (0, 0) f(0) 0 (2) (1) x Άρα οι συναρτήσεις διαφέρουν κατά μία σταθερά c οότε : x + c 0 + c c 0 Άρα f x) x + 3x f(x) x 3x 2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύουν: fx 9, fx ολοκληρώματα: 11, fx 13 να υολογίσετε τα i) fx ii) fx iii) fx iv) fx fx fx fx fx 11 + fx + fx + fx 9 + 13 4 9 11 2 + fx 3.1Να υολογιστούν τα αρακάτω ολοκληρώματα : α) x x 4 β) 11 9 + 13 15 ' $%& γ) "µ δ) 2 συν2 1
α) x x 4 x x 4 2 θέτω x 4 u 2x du Αντικαθιστώντας τα άκρα 0 και 1 στην x 4 u έχω: 0 4 u u 4 1 4 u u 5 Άρα / u du β) / u 0 du 12 3 / (/ 4 ) θέτω lnx u du και αντικαθιστώντας τα 1 και e στο lnx έχω ln1 0, lne 1 Άρα u du 5 2 6 ' $%& γ) "µ ' "µ "µ $%& ' $%& "µ $%& θέτω συνx u 4ημx du και αντικαθιστώντας έχω x 0 συν0 u 1 u x συν u 41 u Άρα 2 2 du 2 4 2 2 du 4u 2 du ln u 45 2 6 ln14 ln14 ( 4 ) 0
δ) 2 συν2 1 2 ln2 συν2 1 θέτω 2 1 u 2 ln2du και αντικαθιστώντας έχω x 0 2 1 u u 2 x 1 2 1 u u 3 Άρα συνu du ηµu (ηµ34 ηµ2) 3. Να υολογιστούν τα αρακάτω ολοκληρώματα : α) lnx β) συνlnx α) lnx < x lnx xlnx 4 xlnx 4 x e e + 1 1 β)έστω I συνlnx x συνlnx xσυνlnx> 4 x4ημlnx> eσυν1 1 + eημ1 συνlnx Άρα Ι eσυν1 1 + eημ1 Ι Ι συν?ημ 4. Να υολογιστούν τα αρακάτω ολοκληρώματα : α) β)????? γ) eσυν1 1 + ημlnx
α)? Θέτω x 43x2 u 2x 3 du 2 β) I du 0?? Εφόσον ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος αό το βαθμό του αρονομαστή έχουμε: Έστω? Α + @ 3x2 A(x42) + Bx41) 3x2 Ax 4 2A+ Bx B 3x2 (A+B)x 4 2A B 3 A + B A 3 B 2 4 2A B 2 4 2(3 B) B 2 46 + 2B B Β8 και Α-5 Άρα? / + (1) I? 1 A / + / + 45 + 8 Θέτοντας x41 u x 0 u 41 Ι 45 2 du x 3 u 2 x42 κ x 0 κ 42 dκ x 3 κ 1 du + 8 dκ 45ln u κ + 8ln κ 45(ln2 ln1) + 8(ln1 ln2) 45 ln2 4 8 ln2 413 ln2
?? γ) Ι. Εειδή ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος αό το βαθμό του αρονομαστή κάνουμε τη διαίρεση: x 0x 42x + 0 x 3x2 4x 4 3x 2x x 3 4 3x 4x + 0 + 3x + 9x + 6 5x + 6 Και αό την Ευκλείδια διαίρεση: Δ(x) δ(x) (x) + υ(x) x 42x (x 3x2) (x 3) + 5x + 6???/? C???????? /? C?? x 3 + /? C?? Παίρνοντας τώρα το /? C /? C D @?????? 5x + 6 A(x + 2) + B (x + 1) Α1 και Β4 Άρα Ι x43? +? + Θέτοντας x + 1 u du Ι 5 43x6 x + 2 κ dκ + 2 / du + κ dκ E 494 6ln44ln34ln544ln4
5. Να υολογιστούν τα αρακάτω ολοκληρώματα : α) Ι 2 x 43 x1 β) max Jx 2,3xL α) Ι 2 x 43 x1 Διασώντας κατάλληλα το ολοκλήρωμα : I 24x3x1 + 2x43x1 42x3x3 x3 + 45x43 + 24x43x1 + 42x43x43 + 4x43 + + 2x43x43 5 3x6 / + 5 43x6 + 5 43x6 + 4 C 4 β) Ι max Jx 2,3xL. Έστω x 2 > 3x x 43x2 > 0 x < 1 ή x > 2 Άρα Ι x 2 + 3x + x 2 5 2x6 + 5 6 + 5 2x6 E C
6.Να υολογισθεί το ολοκλήρωμα /?. Ι /? θέτω x εφu συν 2 du και x εφu u C και x 0 0 εφu u 0 Άρα Ι /C εφ 2? συν 2 du ημ u + συν u 1 ημ 2 + συν 2 συν 2 συν 2 συν 2 εφ u + 1 συν 2 Άρα Ι /C εφ 2? εφ u 1 du x /C C.Αν f (χ) συνεχής να δείξετε ότι: Nfxf xo συν fxημx f x συνx 2 [ f ( x) + f ( x)] συνx f( 2) f (0) 0 x fxσυνx f xσυνx fxημx 4 f xημx + f xσυνx + f x ημx f( )ημ f(0)ημ0 + f ( )συν f (0)συν0 f( ) f (0).
8.Να βρεθεί το εδίο ορισμού των αρακάτω συναρτήσεων. α) F(x) t 41 β) F(x) dt Q γ) F(x) dt Q dt δ) F(x) t 41 α) F(x) t 41 Έστω f(x) t 41 dt dt t 41 0 t R [41, 1].Άρα A : [41, 1], f(x) συνεχής και άρα A T : [41, 1] αφού ανήκει σε αυτό το κάτω άκρο 1. β) F(x) dt Q Έστω f(x) Q t U 0 A : (4, 0) V (0, + ), f(x) συνεχής και άρα A T : (4, 0) αφού ανήκει σε αυτό το κάτω άκρο 41 γ) F(x) dt Q Έστω f(x) Q, A : (4, 0) V (0, + ) οότε εειδή το 41 ανήκει στο (4, 0), το εδίο ορισμού της dt Q είναι το (4, 0). Αν τώρα (x) 3x η F((x)) έχει εδίο ορισμού το εξής : x R A W x R X (x) R A T 3x R (4, 0) 3x < 0 x < 0 Άρα A T : (4, 0).
δ) F(x) t 41dt Έστω f(x) t 41 t 41 0 t R [41, 1].Άρα A : [41, 1], f(x) συνεχής Όμως F(x) t 41 4 t 41 Το 4 t 41 W έστω G((x)) 4 t 41 dt + t 41 + t 41 dt είναι σύνθετη συνάρτηση dt dt με (x) x 41 οότε ρέει : x R A W x R X (x) R A Y x 41 R [41, 1] x 41 R [41, 1] 41 Z x 41 Z 1 [ 0 Z x Z 2 [ x Z 2 [ x R [4 2, 2] Άρα το A Y είναι το [4 2, 2] Το t 41 \ Η(h(x)) t 41 dt είναι σύνθετη συνάρτηση έστω dt, h(x) 2x43 οότε ρέει x R A \ x R X (x) R A ] 2x43 R [41, 1] 41 Z 2x43 Z 1 [ 1 Z x Z 2 Άρα A ] :[1, 2] Τώρα το A T είναι το [4 2, 2] ^ [1, 2] [1, 2]
9.Να βρεθεί η αράγωγος των συναρτήσεων: Α) f(x) t συνt dt Q Β) F(t) xηµx Q _?Q Γ) f(x) 5 dt6dy "µq aq c Δ) f(x) ηµt dt Ε) f(x) ημ( ηµ t dt) ΣΤ) f(x) xt x t1dt Α) f(x) t συνt dt f x x 43x συν(x 43x) x 43x x 43x συν(x 43x) (2x 43) Q Β) F(t) xηµx Q Q 4 xηµx xηµx Q Q + xηµx F t 4[( t41 + ημ(t41)] + (t + ημt ) 2t Q + xηµx _?Q Γ) f(x) 5 dt6dy dt?q f x
"µq aq c Δ) f(x) ηµt dt f x ημ( ηµt dt) ηµt dt ημ ηµt dt) ημx Ε) f(x) ημ( ηµ t dt) f x συν( ηµ t dt) ηµ t dt συν( ηµ t dt) ηµ x ΣΤ) f(x) xt x t1dt x t dt f x t dt t dt + x t dt + 1 dt + x x + 2x t dt + x + 2x t dt + x + 1 xt dt + x x + 1 + x t dt + 1 dt 10.Να βρεθούν τα τοικά ακρότατα της συνάρτησης 2 ) f ( x) ( t t) dt x 0 α) f(x) t 4tdt f x x 4x x 4x 0 x(x41) 0 x 0 ή x 1
f(0) t 4tdt 0 f(1) t 4tdt 5 Q 4 Q 6 4 4 C Άρα η f αρουσιάζει στο x 0 τοικό μέγιστο το 0 και στο x 1 τοικό ελάχιστο το 4 C. 11. Να βρεθεί η αραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) στις αρακάτω εριτώσεις. α) f(x) x + ftdt β) f(x) 2 5 xft6dt4 x α) f(x) x + ftdt (1) f(t) συνεχής και άρα ftdt σχέση (1) έχουμε : αραγωγίσιμη, οότε αραγωγίζοντας τη f x 1 + f(x) f x f(x) 1 e f x e f(x) e fxe 4e fxe 4e + c (2) H (1) για x 0 δίνει f(0) 0 + 0 f(0) 0
Άρα η (2) για x 0 δίνει f(0) e e + c 0 1 + c c 41 Άρα f(x) e 4e 41 f(x) f f β) f(x) 2 5 xft6dt4 x f(x) 2 ft5 x6dt4 x 2 ft5 ftdt x (1) Αφού f(x) συνεχής άρα ftdt έχουμε: 6 dt 4 x 2 ft dt x αραγωγίσιμη οότε αραγωγίζοντας f x f(x) 1 f x f(x) 1 e f x e f(x) e fxe e + c Στην (1) για x 1 έχουμε f(1) ftdt41 41. Άρα f(1) e e + c 4e e + c c. Οότε f(x) e e 4 f(x) 14 cf. 12.Έστω f: X X συνεχής και ftdt Z 1 4 x. Να βρείτε το f(1). Έστω (x) ftdt41x Z0 (x) Z (1) και (x) ftdt411 A0
Άρα στο x 1 η (x) έχει ελάχιστο και αφού το 1 είναι εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού και υάρχει η 1 τότε αό Θ. Fermat 1 0 (1). xa1 Όμως x 4f(x) + 4x 1 1 4f(1) + 4 0 4f(1) + 4 f(1) 4 13. Έστω η συνάρτηση f(x): X X με f(x) 1ημ2x /, x U 0 i) Δείξτε ότι η f(x) είναι συνεχής στο X. ii) Βρείτε το lim ftdt. e, x 0 i) Η f(x) συνεχής στο X j ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Στο x 0 έχουμε: 1 + ημ2x 0 ημ2x 41 2x x. Αν εριοριστούμε στο διάστημα (4, 0) V (0, ) τότε 1 + ημ2x > 0 1ημ2x / e?ημc/ e c?ημ klcmημ e Οότε limf(x) lime klcmημ (1)?ημ lim Οότε (1) e 0 DLH A 0 lim 2?ημ συν Άρα lim f(x) f(0) e άρα η f(x) συνεχής σε όλο το X. QaQ q ii) lim 0 DLH fxσυνεχής A lim f(x) A f(0) e. 0
14. Έστω f(x): XX συνεχής συνάρτηση με f(0) 0, f (0) 1. Να βρεθεί το lim QaQ q ημ. lim q QaQ ημ QaQ q ημ lim 0 DLH A 0 lim q QaQ? συν QaQ q lim l lim + lim l συν συν l (1) QaQ q συν 0 A 0 lim lim ημ r ημ f0a0 A lim rfrq fq ημ 1 (2) l lim lim συν?συν συν r?συν lim lim?συν ημ ημ f0a0 A lim rfrq?συν fq ημ 2 (3) 2 Άρα (1) 3 lim q QaQ ημ 1 + 2 3 15.Έστω f(x), (x) συνεχείς στο [α, β]. β Να δείξετε ότι υάρχει ξ R (α, β): f(ξ) x ξ ξ (ξ) fx α Θεωρούμε συνάρτηση h(x): [α, β] X με h(x) ftdt α tdt β.
Άρα h(x) συνεχής στο [α, β] ως γινόμενο συνεχών και h(x) αραγωγίσιμη στο (α, β) με h x f(x) tdt x ftdt, ενώ h(α) 0 h(β). Άρα αό το Θ. Rolle: β ξ υάρχει ξ R (α, β): h ξ 0 f(ξ) tdt β α ξ ξ ftdt α 0. 16.Να δεχτεί ότι η συνάρτηση f(x) x + x + 1 αντιστρέφεται. Κατόιν να υολογίσετε το ολοκλήρωμα : I f x. f(x) x + x + 1 f x 3x + 1 > 0 f(x) γνησίως αύξουσα Άρα f(x) αντιστρέφεται. Όμως ο τύος της δε μορεί να βρεθεί γιατί η y x + x + 1 δεν λύνεται ως ρος x. Άρα I f x Άρα Ι uf udu 0 + f(41) 4 u u 1 du. Θέτω f x u x f(u) f udu tut> 4 fudu f(41) 5 2v 2 u6 41 + ( 41) 41 4 4/
1.Να αοδειχθεί η αρακάτω ανίσωση: 3( e 1) e Θεωρώ? v Z 0 f(x) f (x)? v? v v Αφού για x R [1, e] x > 0 και lnx 0 αρα f(x) γνησίως φθίνουσα. Έχουμε τώρα: 1 Z x Z e f(1) f(x) f(e) e 1? 1+ 2lηχ e 2 χ 2 1 1. 1? x? e41? x 18. Έστω Ι ν ημ ν x α) Δείξτε ότι Ι ν ν ν β) Βρείτε το Ι. α) Ι ν ημ ν x 4συνx ημ ν x 4συνx ημ ν x Ι ν., ν 2, ν R Ν. ημx ημ ν x + συνx ημ ν x συνx + (ν41) συν x ημ ν x 4συνx ημ ν x
4συνx ημ ν x 4συνx ημ ν x 0 + (v41) Ι ν 4 (ν41) Ι ν + (ν41 14ημ x ημ ν x + (ν41) ημ ν x 4 (ν41) ημ ν x Άρα Ι ν (v41) Ι ν 4 (ν41) Ι ν Ι ν + (ν41) Ι ν (v41) Ι ν Ι ν ν ν Ι ν β) Ι Ι Ι όου Ι ημ x ημx 4συνx 0 + 14ημ x 4 ημ x 4ημx συνx x 4Ι + συν x Άρα Ι 4 0 4 Ι Ι Άρα Ι Ι C 19.Να υολογίσετε τον αναγωγικό τύο του ολοκληρώματος Ι ν v εφ ν x για v2, v R Ν. Ι ν v εφ ν x v εφ ν x εφx41 v εφ ν x εφ x v εφ ν x v εφ ν x εφx συν 41 4 v εφ ν x Θέτοντας εφx u εφx du οότε εειδή εφ0 0, εφ 1. Άρα Ι ν ν 4 Ι ν
20.Να υολογισθούν τα εμβαδά των αρακάτω χωρίων. 1 f ( x) lηχ, x, x e, xx e α) x+ 2, x p 0 β) f(x){ 2,xx 2, x 0 x γ) yx-1+lηx, y0, xe δ) f(x) x41, (x) x 3 και x 3. ε) f(x) x, (x) e, x 0, y e α) f(x) lnx, x > 0 x, x e, xx lnx 0 x 1 E c lnx w c 4lnx w xlnx4x / + xlnx4x ln 4 + lnx c w lnx + lnx (1 ln14 1) + e lne e (1 ln1 1) + 2 > 0
x+ 2, x p 0 β) f(x){ 2,xx 2, x 0 x Για να βρω τα άκρα του ολοκληρώματος αίρνω f(x) 0 οότε x + 2 0 x 42 24 x 0 x 2 x 2 ή x 4 2 ου αορρίτεται Άρα Ε fx E x2 + 2 4 x Κάνουμε ίνακα τιμών για το ρόσημο των αραστάσεων μέσα στα αόλυτα οότε: E x2 25 6 04 42 + 4 + 2 2 4 + 2 4 x + 2(0 + 2) + 2( 2 0) ( 0) 2 + 2 24 2 + > 0 5 6 + 2x + 2x 4 γ) y x 1 + lnx δηλαδή f(x) x 1 + lnx y 0 δηλαδή xx x e
Εξισώνουμε τις συναρτήσεις για να βρούμε τα άκρα της ολοκλήρωσης x 1 + lnx 0 Το x 1 είναι ροφανής ρίζα. Τώρα f(x) x 1 + lnx Άρα Ε x 1 lnx Όμως για x > 1 x 1 > 0 και lnx > 0 οότε x 1 lnx > 0. Άρα Ε x 1 lnx x lnx 5 4x6 + lnx 4e + 41 + xlnx 4 + e e + 1? > 0 5 4x6 + + e 4 x δ) f(x) x41, (x) x 3 και x 3. Για να βρω τα άκρα του ολοκληρώματος εξισώνω f(x) (x) x41 x 3 (1) x41 x 46x9 x 4x46x10 0 x 4x10 0 Δ 49 4 10 9 x, yz { xa5 ΔΕΚΤΗ xa2 ΑΠΟΡΡ. γιατί η (1) για x 2 241 2 3 1 4 1
/ Άρα Ε x434 x41.έστω x43 > x41 x43 > x41 x 46x9 > x41 x 4x10 > 0. Άρα το x43 4 x41 είναι ομόσημο του x 4x10 ου για x R (2, 5) είναι αρνητικό. Άρα x43 4 x41 < 0. / Οότε:E 4x3 x41 θέτω x41 u 1 du 45 6 / + 3x / / + x41 για x 5 5 1 4 u και για x 3 3 1 2 u Άρα : E / + E + 15 9 + udu C + 6 + 12 c mc c 3? 48 + 6 + 1 2 3 42 + / 4 / 42 + / 4 + 4 > 0 4 ε) f(x) x, (x) e, x 0, y e Η γραφική αράσταση των συναρτήσεων y x και y e είναι γνωστή οότε έχουμε:
Φέρουμε τις κατακόρυφες ευθείες στις κορυφές του σχήματος ου χωρίζουν το σχήμα σε δύο τμήματα. Για να βρούμε οιες είναι λύνουμε τα συστήματα των γραμμών ου δημιουργούν τις κορυφές. Δηλαδή : α) e e x 1 β) e x Άρα οι κατακόρυφες ευθείες είναι οι x 0, x 1, x e. To εμβαδόν κάθε χωρίου ου έχει σχηματιστεί βρίσκεται αό το ολοκλήρωμα της μεγαλύτερης συνάρτησης μείον την μικρότερη. Ε e 4x + e4x 5e 4 e 4 1 + e 4 e + 1 > 0 6 + 5ex4 6
21.Έστω η f ορισμένη και συνεχής στο [0, α], α > 0 τέτοια ώστε για κάθε x [ 0, a] να ισχύουν f ( x) 0 και f ( x) + f ( a x) β, β>0. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό την C f τον άξονα x x και τις ευθείες με εξισώσεις x0 και xa. f(x) συνεχής [0, α], α > 0 f(x) 0 (1) f(x) + f(α4x) β (2), β > 0 1 2 ˆ ˆ α Ε fx A fx A β4fα4x α β α 4 fα4x θέτω α4x u 4 du για x α 0 u για x 0 α u E βx ˆ + fudu ˆ ˆ βx ˆ4 fudu Ε βx ˆ4 Ε Ε Šˆ