Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007

(ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος ιεθνής Μαθηµατικός ιαγωνισµός "Καγκουρό" Περιεχόµενα Θέµατα διαγωνισµού "Καγκουρό 007" Επίπεδο (Γ και ηµοτικού) 7 6 Επίπεδο (Ε και ΣΤ ηµοτικού) 7 Επίπεδο (Α και Β Γυµνασίου) 7 90 Επίπεδο (Γ Γυµνασίου και Α Λυκείου) 9 Επίπεδο (Β και Γ Λυκείου) 7 9 Μαθηµατικά ηµοτικού Γ ηµοτικού Τετράγωνα και Ορθογώνια. 9 Πόσα λουλούδια έχει ο κήπος; 9 Λαβύρινθος. 9 ηµοτικού Σπηλιά µε σεντούκια και δράκους. 6 99 Ζώα. 7 99 Στερεά σώµατα. 99 Ε ηµοτικού Πρόβληµα. 9 00 Πολλαπλάσια. 0 00 ιαδροµές σε κάστρο. 00 ΣΤ ηµοτικού Βάψιµο τοίχου. 0 Κριτήρια διαιρετότητας. 0 Εµβαδά σχηµάτων. 0 Μαθηµατικά Γυµνασίου Α Γυµνασίου Αθροίσµατα αριθµών µε όµοια ψηφία. 6 0 Β Γυµνασίου Κριτήριο διαιρετότητας δια του. 9 0 Γ Γυµνασίου ιεθνής αριθµός βιβλίου (ISBN). 0

Μαθηµατικά Λυκείου Α Λυκείου Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. 0 Β Λυκείου Λογαριθµικοί κανόνες. Γ Λυκείου Συνεχείς συναρτήσεις σε ένα σηµείο µόνο. 6 0 Ιστορία των Μαθηµατικών Ένα αρχαίο Ελληνικό σύστηµα αρίθµησης. 66 0 ιασκεδαστικά Μαθηµατικά Γρίφοι Περίεργοι αριθµοί 6 Περίεργοι αριθµοί 69 Άπειρο 70 Χωρίς λόγια 7 Γρήγορες πράξεις 7 µαθηµαγικά 7 µαθηµαγικά 7 0 µαθηµαγικά 7 Αριθµόλεξα, και 76 06 Γρίφος - γινόµενο αριθµών 77 0 Γρίφος - αριθµοί σε κύκλους 7 0 Γρίφος - εµβαδά 79 09 Γρίφος - πολλά γινόµενα 0 0 Γρίφος - ζυγαριά 0 Γρίφος 6 - τετράγωνο µε αθροίσµατα 0 Γρίφος 7 - τετραγωνισµός Λύσεις στις Ασκήσεις του βιβλίου Σύντοµες απαντήσεις στα θέµατα του διαγωνισµού "Καγκουρό 007". Αναλυτικές απαντήσεις στα θέµατα του διαγωνισµού "Καγκουρό 007". 6 Απαντήσεις στα Μαθηµατικά ηµοτικού. 9 Απαντήσεις στα Μαθηµατικά Γυµνασίου. 0 Απαντήσεις στα Μαθηµατικά Λυκείου. 0 Απαντήσεις στο άρθρο της Ιστορίας των Μαθηµατικών. 0 Απαντήσεις στα ιασκεδαστικά Μαθηµατικά. 0 Απαντήσεις στους Γρίφους. 0 6

Α' Γυμνασίου Προαπαιτούμενα: Πρόσθεση - Αφαίρεση φυσικών αριθμών. Επιμεριστική ιδιότητα Πράξεις μεταξύ αριθμών με όμοια ψηφία Σε αυτό το άρθρο θα μελετήσουμε αθροίσματα φυσικών αριθμών με μεγάλο πλήθος όμοιων ψηφίων (συνήθως εκατό ή παραπάνω). Σε όλο το άρθρο οι τρεις τελείες (...) υποκαθιστούν κατάλληλο πλήθος ψηφίων όμοιων με τα διπλανά τους, εκτός αν από τα συμφραζόμενα φαίνεται κάτι διαφορετικό. Άσκηση: Να βρείτε το άθροισμα +. Απάντηση: Το βρίσκουμε με το γνωστό τρόπο. Φαίνεται στο πίνακα δίπλα. + Άσκηση: Όλα τα ψηφία δυο φυσικών αριθμών είναι. Ο ένας έχει 00 ψηφία (δηλαδή είναι ο... ) και ο άλλος 0 (δηλαδή είναι ο 00 ψηφία... ). Ποιο είναι το άθροισμά τους; 0 ψηφία Απάντηση: Είναι Ασκήσεις για λύση: 0 ψηφία...+... =.... 00 ψηφία 0 ψηφία 0 ψηφία 00 ψηφία. Να βρείτε τα αθροίσματα: α)...+..., β)...+.... 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία. Να βρείτε τη διαφορά:....... 00 ψηφία 60 ψηφία. Να βρείτε το άθροισμα... +.... 00 ψηφία 0 ψηφία Άσκηση: Να βρείτε το άθροισμα +. Απάντηση: ος τρόπος: Ο γνωστός. Είναι + = 60. ος τρόπος: Έχουμε (με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας) + = + = + = = 60. ( ) + 60 Άσκηση: Να βρείτε το άθροισμα Απάντηση: Είναι... +.... 00 ψηφία 0 ψηφία 6

... +... =...+... =...+... 00 ψηφία 0 ψηφία 00 ψηφία 0 ψηφία 00 ψηφία 0 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία Ασκήσεις για λύση: =... 6...0. 9 ψηφία 69 ψηφία =... 70 ψηφία 0 ψηφία. Να βρείτε τα αθροίσματα α)... +..., β) 666...666 + 666...666, γ) 777...777 + 777...777. 00 ψηφία 00 ψηφία 0 ψηφία 0 ψηφία 70 ψηφία 0 ψηφία Άσκηση: Είναι σωστό ότι...+ 999...999 = 000...000 ; 00 ψηφία 00 ψηφία 0ψηφία Απάντηση: Όχι. Είναι...+ 999...999 =...+ 9... 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία Άσκηση: Να βρείτε το άθροισμα 99999 + 999. 0ψηφία = ( + 9)... = 0... =...0. 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία Απάντηση: ος τρόπος: Ο γνωστός (και λίγο κουραστικός). ος τρόπος: Είναι 99999 + 999 = 9 + 9. Η συνέχεια αφήνεται ως άσκηση. ος τρόπος: Είναι 99999 + 999 =00000 -+ 999 =00000 + 99 =0099. Άσκηση: Ονομάζουμε A τον αριθμό + 999...999. Οι επόμενες ερωτήσεις 00 ψηφία 0 ψηφία αναφέρονται στον Α. α) Πόσα ψηφία έχει; β) Να βρείτε πιο ψηφίο είναι το i) πρώτο, ii) ο, iii) ο, iv) 0ό, v) 0ό, vi) 00ό, vii) 0ο. Απάντηση: Εφαρμόζοντας την ιδέα που περιέχεται στο τρίτο τρόπο της προηγούμενης άσκησης έχουμε 0ψηφία 999...999 + 999...999 = 000...000 -+ 999...999 00 ψηφία 0 ψηφία 00 ψηφία 0 ψηφία 0ψηφία 0 ψηφία Τώρα μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα: α) 0, β) i), ii) 0, iii) 9, iv) 9, v) 9, vi) 9, vii). 0ψηφία = 000...000 + 999...999 =00...000 999...999 00 ψηφία 79 ψηφία 0 ψηφία 79 ψηφία 7

Ασκήσεις για λύση:. Να βρείτε τα αθροίσματα α) + + + +... +, β) + + + +... +, γ) 9 + 99 + 999 + 9999 +... + 999999999. Άσκηση: Να βρείτε το άθροισμα των εννέα αριθμών που εμφανίζονται στο διπλανό πίνακα. Όλοι οι αριθμοί 00 ψηφία έχουν από εκατό ψηφία ο καθένας.... Απάντηση: ος τρόπος: Το άθροισμα των ψηφίων... των μονάδων είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων... των δεκάδων, εκατοντάδων κλπ, ίσο με... + + + + + 6+ 7+ + 9=.... Επομένως κάνοντας την πρόσθεση με το συνηθισμένο 666...666 τρόπο, 777...777... το ψηφίο των μονάδων του αποτελέσματος είναι. + 999...999 το άθροισμα των ψηφίων των δεκάδων συν το κρατούμενο είναι + = 9, άρα το ψηφίο των δεκάδων του αποτελέσματος είναι 9. όμοια όλα τα επόμενα ψηφία είναι 9, εκτός από το πρώτο που είναι. 0ψηφία Επομένως το ζητούμενο άθροισμα είναι ο αριθμός = 999...999. 99 ψηφία ος τρόπος: Ονομάζουμε Β το ζητούμενο άθροισμα. Είναι B =...+... +... +... +... + 66...66 + 77...77 +... + 99...99 =...+...+...+... +...+ 6...+ 7...+...+ 9... = + + + + + 6 + 7 + + 9... ( ) =... Στο πίνακα δίπλα φαίνεται ο υπολογισμός του τελευταίου γινομένου. +...... 999...99 Ασκήσεις για λύση: 6. Να βρείτε τα αθροίσματα 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία α) Σ =... +... +... β) 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία 00 ψηφία Τ =... +... +... +.... 7. Να βρείτε τις διαφορές 00 ψηφία 00 ψηφία α)......, β) 00 ψηφία 00 ψηφία....... (Οι απαντήσεις στη σελίδα 0)

Καθένας από τους αριθμούς 0,,, είναι το γινόμενο του αθροίσματος των ψηφίων του επί το γινόμενο των ψηφίων του. Δηλαδή 0 = 0 0 = = + + ( ) ( ) = ( + + ) ( ) Έχει αποδειχθεί ότι αυτοί είναι οι μόνοι αριθμοί με αυτή την ιδιότητα. Βιβλιογραφία: David W. Wilson. A069 στην "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." (http://www.research.att.com/~njas/sequences/a069) Ένα κανονικό πολύγωνο με 67 πλευρές μπορεί να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη. Ο 79 είναι ο μικρότερος αριθμός που γράφεται ως άθροισμα δύο κύβων με δυο διαφορετικούς τρόπους: 79 = + = 9 + 0 Ο αριθμός είναι πρώτος. το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9. το άθροισμα των ψηφίων του τετραγώνου του = 0 είναι 9. το άθροισμα των ψηφίων του κύβου του = 00000 είναι 9. είναι ο μοναδικός αριθμός που έχει όλες μαζί τις προηγούμενες ιδιότητες. Βιβλιογραφία: Lekraj Beedassy (http://primes.utm.edu/curios/byone. php?submitter=beedassy) Ο αριθμός + είναι πρώτος. Βιβλιογραφία: Andrey Kulsha (http://primes.utm. edu/curios/byone. php?submitter=kul sha) 6

9 6 Μαντεύουμε ένα άθροισμα Γράφουμε κρυφά τον αριθμό 7 σε ένα χαρτάκι και το δίνουμε σε έναν φίλο να το φυλάξει, χωρίς να δει τον αριθμό. Ρωτάμε τώρα τον φίλο να επιλέξει έναν αριθμό από το διπλανό x πίνακα, να τον κυκλώσει και μετά να διαγράψει όλους τους υπόλοιπους αριθμούς στην ίδια γραμμή ή στήλη του πίνακα. Αν για παράδειγμα επιλέξει το στην τρίτη γραμμή, θα έχουμε την κατάσταση που δείχνει το Σχήμα. Με τους αριθμούς που μένουν ζητάμε από τον φίλο να επαναλάβει την διαδικασία άλλες τέσσερις φορές: Να κυκλώσει δηλαδή έναν αριθμό και μετά να διαγράψει κάθε φορά όλους τους υπόλοιπους αριθμούς στην ίδια γραμμή ή στήλη του πίνακα. Στο τέλος θα καταλήξει σε μία κατάσταση όπως, για παράδειγμα, στο Σχήμα. Του ζητάμε τώρα να προσθέσει όλους τους κυκλωμένους αριθμούς. Στο παράδειγμα 0 6 9 0 6 7 9 7 9 6 7 0 είναι 0 + + + + = 7. Ως δια μαγείας, ο αριθμός αυτός είναι ο ίδιος με τον αριθμό που είχαμε γράψει στο χαρτάκι πριν ξεκινήσει η διαδικασία. 0 7 0 6 7 6 9 9 7 9 6 0 Σχήμα 0 7 0 6 7 6 9 9 7 9 6 0 Σχήμα Ερμηνεία: Το άθροισμα βγαίνει πάντα 7. Το σημαντικό όμως ερώτημα είναι το γιατί. Πριν διαβάσει τα παρακάτω ο αναγνώστης, καλό είναι να απαντήσει στα ερωτήματα 6 9 α) Πώς κατασκευάστηκε ο παραπάνω πίνακας; Ποιο είναι το μυστικό του; 0 7 β) Μπορούν να κατασκευαστούν άλλοι παρόμοιοι πίνακες, με διαφορετικό τελικό άθροισμα ή με διαφορετικό μέγεθος 0 6 7 (π.χ. 6x6, 7x7, 00x00); Η απάντηση και στο δεύτερο ερώτημα είναι καταφατική, μόλις ερμηνεύσουμε την κατασκευή του πρώτου πίνακα. Πρόκειται για πίνακα πρόσθεσης: Γράφουμε αριθμούς στην εξωτερική περιφέρεια του πίνακα, όπως δείχνει το παράδειγμα στο Σχήμα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι οι 6,,, 9, οριζόντια και οι,, 0,, 7 κάθετα. Κατόπιν, στο εσωτερικό του πίνακα, γράφουμε το άθροισμα 0 7 6 9 9 7 9 6 0 Σχήμα 7

των δύο αριθμών στην κορυφή της εκάστοτε γραμμής και στήλης. Τώρα, η επιλογή ενός αριθμού που κυκλώνεται, στην παραπάνω διαδικασία, είναι ισοδύναμη με την επιλογή ενός ζεύγους αριθμών της περιφέρειας (ενός από τους οριζόντιους και ενός από τους κάθετους). Για παράδειγμα η επιλογή του που κάναμε στο πρώτο βήμα, είναι ισοδύναμη με την επιλογή + 0. Το γεγονός ότι σε κάθε βήμα διαγράφουμε όλους τους υπόλοιπους αριθμούς στην ίδια γραμμή ή στήλη του πίνακα, σημαίνει ότι ποτέ δεν θα επιλέξουμε δύο φορές έναν από τους οριζόντιους ή κάθετους αριθμούς. Είναι σαφές ότι το άθροισμα των κυκλωμένων αριθμών ισούται με το άθροισμα όλων των αριθμών στην εξωτερική περιφέρεια του πίνακα. Εδώ είναι 6+++9++++0++7 = 7, το ίδιο για όλες τις δυνατές επιλογές ζευγών από τους οριζόντιους με τους κάθετους. Ακολούθησε τα επόμενα βήματα: Βήματα Παράδειγμα ο Σημείωσε έναν οποιοδήποτε φυσικό αριθμό. 7 ο Πολλαπλασίασε τον επί 6. 7 6 = 6 ο Άνοιξε ένα βιβλίο σε μια τυχαία σελίδα. Σημείωσε τον αριθμό της σελίδας. Πρόσθεσε τα ψηφία του. Επανέλαβε το ίδιο για την επόμενη και τη μεθεπόμενη σελίδα. σελ.. άθρ. ψηφ. : σελ.. άθρ. ψηφ. : σελ. 6. άθρ. ψηφ. : ο Πολλαπλασίασε τους τρεις αριθμούς που βρήκες στο ο βήμα. = 76 ο Πρόσθεσε τα ψηφία του αριθμού του ου βήματος + 7+ + 6= 6ο Πρόσθεσε τους αριθμούς του ου και ου βήματος. 6 + = 77 7ο Πρόσθεσε τα ψηφία του αριθμού του 6ου βήματος + + 7+ 7= ο Κοίτα πόσα χαρτονομίσματα του ευρώ έχεις στη τσέπη σου. Μέτρησε την αξία τους σε ευρώ. Αν δεν έχεις καθόλου χαρτονομίσματα, υπολόγισε ευρώ. 9ο Πολλαπλασίασε τους αριθμούς του 7ου και ου βήματος. = 9 0ο Πρόσθεσε 6 στον αριθμό του 9ου βήματος. 9 + 6 = 9 Διαίρεσε τον αριθμό του 0ου βήματος διά του. 9: ο Σημείωσε το πηλίκο και το υπόλοιπο. πηλίκο: 90 υπόλοιπο: ο Αφαίρεσε το υπόλοιπο από το πηλίκο που βρήκες στο ο βήμα. 90 = 9 ο Πρόσθεσε τα ψηφία του αριθμού του ου βήματος. + + 9= ο Άλλαξε τα ψηφία του αριθμού του ου βήματος με όποιο τρόπο θέλεις. ο Πολλαπλασίασε τον αριθμό του ου βήματος επί τον εαυτό του. = 66 6ο Πρόσθεσε τα ψηφία του αριθμού του ου βήματος. 6+ + 6+ = Επανέλαβε το ίδιο στον αριθμό που βρήκες και ξανά + = 9 μέχρι να βρεις μονοψήφιο. Βρήκες 9.! Μπορείς να το εξηγήσεις; 7 (Η απάντηση στη σελίδα 0)

Γρίφος Να συμπληρωθεί το σχήμα δεξιά, έτσι ώστε σε κάθε τομέα, σε κάθε δακτυλίδι και στον εσωτερικό μικρό κύκλο να βρίσκονται τα ψηφία έως, από μία φορά το καθένα. Θ= Η= Ι= A= Β= Ζ= Γ= Ε= Δ= Λύση: Το Α είναι ή, λόγω του μέσα κύκλου. Δεν μπορεί να είναι, λόγω τομέα, άρα Α=. Οπότε Β= (κύκλος), Γ= (τομέας), Δ= (δαχτυλίδι). Το Ε από τον τομέα είναι ή. Δεν είναι, από το δαχτυλίδι. Άρα Ε=. Έτσι Ζ= (τομέας), Η= (δαχτυλίδι), Θ= (τομέας) και Ι= (δαχτυλίδι). Γρίφοι για λύση: Να συμπληρωθούν τα ακόλουθα σχήματα έτσι ώστε σε κάθε τομέα, σε κάθε δακτυλίδι και στον εσωτερικό μικρό κύκλο να βρίσκονται από μία φορά το καθένα τα ψηφία έως, για τα σχήματα α), β), γ), έως 6, για το σχήμα δ), και γ) έως, για το σχήμα ε). β) α) 7 δ) 6 6 ε) 7 6 7 (Οι απαντήσεις στη σελίδα 0) 6

Γρίφος 6 Κάθε τετραγωνάκι έχει μικρούς (πράσινους) αριθμούς και μεγάλους (κόκκινους) αριθμούς. Ο κάθε μικρός αριθμός είναι το άθροισμα των μεγάλων αριθμών του τετραγώνου στο οποίο βρίσκεται μαζί με τους αριθμούς στα γειτονικά τετράγωνα (δηλαδή εκείνα που έχουν με αυτό κοινή πλευρά, οριζόντια, κάθετα αλλά όχι διαγώνια). Τοποθετήστε τους μεγάλους αριθμούς έως 9 στις σωστές θέσεις. Δύο από αυτούς έχουν ήδη τοποθετηθεί. Λύση: 6 9 6 α β 6 9 δ ε ζ 6 θ ι Είναι + + +... + 9=. Επίσης α+ β+ δ= και ζ θ ι 6 α+ β+ δ + ζ + θ+ ι + ε+ + =, απ όπου ε = 7. Αφαιρώντας τις ισότητες α+ δ+ + ε = 6 και α+ β+ δ = κατά μέλη έχουμε + ε β=, οπότε β = 9. Επίσης από την β + ζ + = έχουμε ζ =. Μέχρι στιγμής έχουμε συμπληρώσει τις θέσεις που φαίνονται δίπλα. + + =. Έτσι ( ) ( ) Είναι + + ι + 7=, άρα ι =. Επίσης θ+ ι+ = 6, οπότε θ = 6. Ακόμη δ + + θ =, που δίνει δ =. Τέλος, 9 + α+ δ =, έτσι α =. Ο πίνακας συμπληρωμένος φαίνεται δίπλα. Παρατήρηση: Ο αριθμός που βρίσκεται στο κέντρο μπορεί να υπολογιστεί αμέσως, αν δίνονται όλοι οι μικροί αριθμοί, χωρίς να χρειαστεί κανένας από 6 τους μεγάλους. Πραγματικά, αν γ και η είναι οι μεγάλοι αριθμοί στις προφανείς θέσεις, τότε η παράσταση A = ( δ+ α+ β) + ( β+ γ+ ζ) + ( ζ + ι+ θ) + ( θ+ η+ δ) ( β+ δ+ ε+ ζ+ θ) μπορεί να υπολογιστεί. Όμως A = δ+ α+ β+ β + γ+ ζ + ζ + ι+ θ+ θ + η+ δ β δ ε ζ θ = α+ β+ γ+ δ+ ζ + η+ θ+ ι ε = ( α+ β+ γ+ δ+ ε+ ζ+ η+ θ+ ι) ε. Στη παρένθεση του τελευταίου μέλους εμφανίζεται το άθροισμα όλων των μεγάλων αριθμών. Αυτό όμως ισούται με + + +... + 9 =, αφού έχει γίνει ενδεχομένως αναδιάταξη της σειράς των προσθετέων. Επομένως A = ε. Αφού το Α είναι γνωστό, το ε μπορεί να υπολογιστεί. Γρίφοι για λύση: Με τις ίδιες υποθέσεις να λύσετε τους παρακάτω γρίφους. α 9 6 9 δ 7 6 θ ι 9 6 9 7 6 α) 7 β) 0 γ) 6 9 7 0 0 6 (Οι απαντήσεις στη σελίδα 0)