ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ως συνε- χής απεικόνιση που σε κάθε σημείο προσαρτά ένα διάνυσμα με φυσική υπόσταση δύναμης: όπου F : F(x) = F (x),f (x),f (x) ( ), F i :, i =,,. Τα πεδία δυνάμεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα με την ύπαρξη ή όχι συνάρτησης δυναμικού, δηλαδή συνάρτησης: τέτοιας ώστε: που σημαίνει ότι: U : F(x) = U(x), x, F i (x) = i (x), x, i =,,. Η συνάρτηση δυναμικού καθορίζεται με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς αποδίδοντας σε κάθε σημείο του χώρου την αντίστοιχη τιμή δυναμικής ενέργειας και συνακόλουθα τον διαμερίζει σε ισο- δυναμικές επιφάνειες: Σ c (U) = { x / U(x) = c}, c. Διαμέσου του εσωτερικού γινομένου του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου, κάθε πεδίο δυνάμεων εκφράζεται ισομορφικά στο δυικό χώρο ως διαφορική μορφή και η ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού σηµαίνει ότι η διαφορική αυτή µορφή είναι ακριβής, δηαδή αποτελεί το διαφορικό µιας συνάρτησης: F ( x) F( x) dx i i, du( x) = ( x) dxi i=,, i,, = i =. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
F(x) = 0, 0, ( ) F(x) = ( x, x, x ) F(x) = x, x, 0 ( ) U (x) = x U (x) = x + x + x ( ) U (x) = x ( + x ) Παραδείγματα πεδίων δυνάμεων κα αντίστοιχων ισοδυναμικών επιφανειών. Κάθε πεδίο δυνάμεων είναι κάθετο στις αντίστοιχες ισοδυναμικές επιφάνειες. Το κριτήριο του στροβιλισμού και η κατασκευή των συναρτήσεων δυναμικού. Αν ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται και δέχεται συνεχείς μερικές παραγώγους σε όλο τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, η ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού ισοδυναμεί με τον μηδενισμό του στροβιλισμού: curl F(x) = F(x) = 0, x. curl F(x) = F (x) F (x), F (x) F (x), F (x) F (x). Η απόδειξη αυτού του κριτηρίου στροβιλισμού είναι απλή. Αν ο στροβιλισμός του πεδίου δυνάμεων είναι παντού μηδενικός, θέτοντας u i = t x i, t [0,], και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα: d F i (x) = ( t F dt i (u,u,u ))dt = F 0 i (u,u,u )dt + 0 προκύπτει η συνάρτηση δυναμικού: ( F u i (u,u,u ))u k dt, i =,,, 0 k k=,, U :, U(x) = F i (t x,t x,t x ) x i dt. i=,, 0 Όταν το πεδίο δυνάμεων εκφραστεί ως διαφορική μορφή στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο: τότε ο στροβιλισμός εκφράζεται ως εξωτερικό διαφορικό: F ( x) = F( x) dx i i i=,, df = F F dx dx + F F dx dx + F F dx dx. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
Αντίστροφα, αν το πεδίο δυνάμεων ορίζεται από συνάρτηση δυναμικού, με την προϋπόθεση ύπαρ- ξης και συνέχειας των μερικών παραγώγων, ισχύει: =, =, = άρα F(x) = U(x) = 0, x. F(x) = ( x, x, 0) F(x) = (x, x, 0) Πεδία δυνάμεων μηδενικού στροβιλισμού. F(x) = ( x,x,0) F(x) = (x, x,0) Πεδία δυνάμεων μη μηδενικού στροβιλισμού. Η κατασκευή της συνάρτησης δυναμικού βασίζεται σε ένα κλασικό θεώρημα σύμφωνα με το οποίο ο μηδενισμός του στροβιλισμού, άρα η ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού, ισοδυναμεί με το ότι το παραγόμενο έργο από το πεδίο δυνάμεων σε κάθε δρόμο στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από τα άκρα του δρόμου. Ο όρος δρόμος, αρχής a και πέρα- τος b, δηλώνει μια συνεχή απεικόνιση ορισμένη σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα που η ει- κόνα της δίνει μια προσανατολισμένη καμπύλη στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο: γ :[t,t ], γ ( t ) = a, γ ( t) = b. Σε κάθε σημείο αυτής της διαδρομής προσαρτάται το αντίστοιχο διάνυσμα του πεδίου δυνάμεων: F(γ(t)) = F (γ(t)),f (γ(t)),f (γ(t)) ( ). Το πεδίο δυνάμεων προσαρτά την αντίστοιχη δύναμη στα σημεία της καμπύλης. Οι δρόμοι υποτίθενται τουλάχιστο κατά τμήματα C - διαφορίσιμοι ώστε να μπορούν να οριστούν σε αυτούς επικαμπύλια ολοκληρώματα. Αυτό σημαίνει ότι, με εξαίρεση ίσως ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων της καμπύλης, κάθε άλλο σημείο της δέχεται εφαπτομένη μεταβαλλόμενη κατά τρόπο συνεχή. Ενδεχόμενη αλλαγή της παραμετροποίησης του δρόμου δεν επηρε- άζει την τιμή των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
Όταν ένα σωματίδιο διανύει αυτή την διαδρομή, με ενδεχόμενη επίδραση άλλων γνωστών ή άγνω- στων δυνάμεων, τότε ορίζεται το παραγόμενο έργο από το πεδίο δυνάμεων: t W γ ( F) < F(γ(t)), γ(t) > dt. t Αν το παραγόμενο έργο είναι θετικό ή αρνητικό τότε αντίστοιχα το πεδίο δυνάμεων συνεισφέρει ή ανθίσταται στην κίνηση του σωματιδίου που διανύει αυτή τη διαδρομή και στην περίπτωση μηδενι- κού έργου το πεδίο δυνάμεων ούτε συνεισφέρει ούτε ανθίσταται στην κίνηση. Αν μεταβούμε από το αρχικό σημείο της διαδρομής σε ένα οποιοδήοτε σημείο της ακολουθώντας τρεις διαδοχικούς ευθύ- γραμμους δρόμους αντίστοιχα παράλληλους προς τους ευκλείδειους άξονες, τότε θέτουμε: x x x a a a U( x) = F ( u, x, x ) du F ( a, u, x ) du F ( a, a, u ) du. Η συνάρτηση αυτή, με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, ορίζει τη συνάρτηση δυναμικού: U :, F(x) = U(x), x. Μετάβαση από ένα αρχικό σημείο a= x( t o) στο σημείο xt () διαμέσου τριών διαδοχικών ευθύγραμμων δρόμων παράλληλων αντίστοιχα στους άξονες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς. Προσοχή στα πεδία δυνάμεων που δεν ορίζονται σε όλο τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο γιατί τότε ο μηδενισμός του στροβιλισμού τους δεν διασφαλίζει παρά μόνο τοπικά 4 την ύπαρξη συνάρτη- σης δυναμικού με μέγιστο χωρίο ορισμού της ένα απλά συνεκτικό χωρίο του τρισδιάστατου ευκλεί- δειου χώρου. Πρις στιγμή θα δούμε τη διαδικασία της τοπικής κατασκευής της συνάρτησης δυναμι- κού και αργότερα θα δοθεί η πλήρης απάντηση από το περίφημο Λήμμα του Poincaré. ΘΕΩΡΗΜΑ. Τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού. Όταν ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται και δέχεται συνεχείς μερικές παραγώγους σε ένα χωρίο του τρισ- διάστατου ευκλείδειου χώρου τότε ο μηδενισμός του στροβιλισμού διασφαλίζει την τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού στην περιοχή κάθε σημείου του χωρίου ορισμού του. Απόδειξη. Θεωρούμε ένα πεδίο δυνάμεων F(x) = F (x),f (x),f (x) ( ), 4 Ο όρος τοπική ύπαρξη σημαίνει ότι κάθε σημείο του χωρίου ορισμού του πεδίου δυνάμεων διαθέτει ανοιχτή περιοχή στην οποία υφίσταται συνάρτηση δυναμικού. Το θεώρημα αυτό δεν παρέχει καμία πληροφορία για το εύρος της περιοχής στην οποία ορίζεται η συνάρτηση δυναμικού όμως υποδεικνύει τη διαδικασία τοπικής κατασκευής της συνάρτησης δυναμικού. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 4
ορισμένο σε ένα χωρίο του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και, υποθέτοντας το στροβιλισμό του μηδενικό σε κάθε σημείο αυτού του χωρίου, αναζητούμε τη συνάρτηση που πληροί τις συνθήκες: i (x) = F i (x), i =,,. Η εξίσωση i = δηλώνει ότι, στην περιοχή ενός σημείου a = ( a, a, a ) του χωρίου ορισμού του πεδί- ου δυνάμεων, η συνάρτηση δυναμικού οφείλει να έχει τη μορφή: x U(x,x ) = F (u,x )du + C(x ). a Η συνέχεια των μερικών παραγώγων επιτρέπει την παραγώγιση μέσα στο ολοκλήρωμα, άρα: (x)= x a F (u,x )du + C (x ), (x) = x a F (u,x )du + C (x ), και ο μηδενισμός του στροβιλισμού οδηγεί στις εκφράσεις: (x) = (x) = x a x a F (u u,x )du + C (x ) = F (x,x ) + F (a,x ) + C (x ), F (u u,x )du + C (x ) = F (x,x ) + F (a,x ) + C (x ). Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις i =, προκύπτει: Η η από αυτές τις εξισώσεις υποδεικνύει ότι: C i (x ) = F i (a,x ), i =,. x C(x ) = F (a,u )du + c(x ), a C x F (x ) = (a,u )du a + c (x ), και ο μηδενισμός του στροβιλισμού οδηγεί στην έκφραση: C x F (x ) = (a u,u )du a + c (x ) = F (a,x ) + F (a,a ) + c (x ). Η η από αυτές τις εξισώσεις, λαμβάνοντας υπόψη το προηγούμενο αποτέλεσμα, δείχνει ότι: c (x ) = F (a,a ), c(x ) = F (a,a,u )du + c, c. Άρα, με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς που καθορίζεται από την στο σημείο 0, προκύπτει η τοπι- κή έκφραση της συνάρτησης δυναμικού: x U(x) = F (u,x )du F (a,u )du F (a,a,u )du. a x a x a x a ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 5
Στα πεδία δυνάμεων που διαθέτουν συνάρτηση δυναμικού ορισμένη στον τρισδιάστατο ευκλεί- δειο χώρο η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως εξής: m d x dt + U(x) = 0. Στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας που η τιμή της προκύπτει από το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας: E :, E(x, x) = U(x) + K( x). Ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων διαµερίζεται έτσι σε ισοενεργεακές υπερεπιφάνειες: Σ Eo (E) = {(x, x) / E(x, x) = E o }, E o. Στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως σύστηµα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: m dx i (t) dt = E(x, x), m dx (t) i E(x, x) =, i =,,. x i dt i Εφόσον η συνάρτηση ενέργειας πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικό- τητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων τότε από κάθε σημείο του χώρου των θέσεων και τα- χυτήτων διέρχεται μια μοναδική τροχιά η οποία ορίζεται από την αντίστοιχη λύση αυτού του συστή- ματος. Από την προβολή αυτών των τροχιών στον τρισδιάστατο χώρο των θέσεων προκύπτουν οι φυ- σικές παρατηρήσιμες τροχιές και από την προβολή τους στον τρισδιάστατο χώρο των ταχυτήτων υποδεικνύονται οι αντίστοιχες ταχύτητες με τις οποίες διανύονται οι φυσικές τροχιές. Στην Κλασική Μηχανική ισχύουν οι ακόλουθες τρεις θεμελιώδεις αρχές: ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. Όταν ένα σωματίδιο κινείται υπό υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων τότε το παραγόμενο έργο από το πεδίο δυνάμεων κατά μήκος της διανυθείσης τροχιάς μεταξύ δυο χρονικών στιγμών ισούται με την αντίστοιχη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας: W( F) = K( x(t )) K( x(t )). Απόδειξη. Το παραγόμενο έργο κατά μήκος της τροχιάς υπολογίζεται ως εξής: W( F) t = < F(x(t)), t x(t) > dt = < m x(t), x(t) > dt t = m t t ( ) ( ) = K x(t ) = m d x(t) = m t x(t ) x(t ) ( ) d < x(t), x(t) > = t t ( ) K( x(t )). ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 6
ΠΟΡΙΣΜΑ 5. Όταν ένα σύστημα υλικών σημείων κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων τότε η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας μεταξύ δυο χρονικών στιγμών ισούται με το άθροισμα των παραγόμενων έργων από το πεδίο δυνάμεων κατά μήκος των τροχιών των υλικών σημείων. ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή μεταβολής της Δυναμικής Ενέργειας. Στα πεδία δυνάμεων που διαθέτουν συνάρτηση δυναμικού, το παραγόμενο έργο κατά μήκος οποιου- δήποτε δρόμου ισούται με τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας μεταξύ των άκρων του: W( F) = U(a) U(b). Απόδειξη. Σε οποιουδήποτε δρόμο αρχής a =γ( t ) και πέρατος b=γ( t ) προκύπτει: t W γ ( F) = < U(γ(t)), γ(t) > dt = d U = U(a) U(b). t b a ΠΟΡΙΣΜΑ 6. Όταν ένα πεδίο δυνάμεων διαθέτει συνάρτηση δυναμικού τότε το έργο που παράγει κα- τά μήκος κάθε δρόμου του οποίου τα άκρα ανήκουν στην ίδια ισοδυναμική επιφάνεια είναι μηδενικό και, ειδικότερα, μηδενικό είναι το έργο κατά μήκος κάθε κλειστού δρόμου. ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή διατήρησης της Ενέργειας. Όταν ένα σωματίδιο κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων που διαθέτει συνάρτηση δυναμικού τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του διατηρεί σταθερή τιμή. Απόδειξη. Ένας απλός υπολογισμός της χρονικής παραγώγου της συνάρτησης ενέργειας στα σημεία της τροχιάς του σωματιδίου είναι αρκετός για την απόδειξη του θεωρήματος: de(x(t), x(t)) dt = = d U(x(t)) dk( x(t)) + = dt dt d ( U(x(t)) + K( x(t)) ) = dt i= dx i i dt + i= K x i d x i dt = = < U (x), x(t) > + < m x(t), x(t) >= < m x(t), x(t) > + < m x(t), x(t) >= 0. ΠΟΡΙΣΜΑ. Όταν ένα σωματίδιο κινείται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων που διαθέτει συνάρτηση δυναμικού τότε η τροχιά του στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων εξελίσσεται στην ίδια ισοενεργειακή υπερεπιφάνεια: Σ Eo (E) = {(x, x) / E(x, x) = E o }. 5 Το πόρισμα αυτό φαίνεται εξαιρετικά απλό αλλά δεν είναι τόσο εύχρηστο. Ακόμη και αν το σύστημα είναι απομονωμένο οι εσωτερικές δυνάμεις έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου με συνέπεια τη μη διατήρηση της συνολικής κινητικής ενέργειας. 6 Το πόρισμα αυτό προσφέρεται ως κριτήριο μη ύπαρξης συνάρτησης δυναμικού αφού όταν το παραγόμενο έργο από ένα πεδίο δυνάμεων κατά μήκος ενός κλειστού δρόμου δεν είναι μηδενικό τότε δεν υφίσταται συνάρτηση δυναμικού. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 7
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Κινήσεις ενός βαθμού ελευθερίας. Όταν η κίνηση μιας σημειακής μάζας διέπεται από τη μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα: m d x = F(x), x, dt τότε η δύναμη που προκαλεί αυτή την κίνηση διαθέτει πάντα συνάρτηση δυναμικού: και η εξίσωση του Νεύτωνα διατυπώνεται ως εξής: x U :, U( x) = F( u) du, o m d x dt + du (x) = 0, x, dx Συνεπώς, στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: x E :, E(x, x) = U(x) + m x. και, σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας, σε κάθε τροχιά διατηρεί σταθερή τιμή: U(x(t)) + m x(t) = E o. Η ενεργειακή αυτή τιμή καθορίζεται από την αρχική θέση και την αρχική ταχύτητα: E o = U(x o ) + mv. o Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι οι τροχιές δεδομένης ενεργειακής τιμής εξελίσσο- νται σε μια περιοχή επιτρεπτής κίνησης που ορίζεται από την ανισωτική σχέση: U(x) E o. Άρα, κάθε τροχιά δεδομένης αρχικής θέσης και ταχύτητας προσδιορίζεται με μια ολοκλήρωση: x x o dx E o U(x) = ( t t o ) / m. Γράφημα συνάρτησης δυναμικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης με δεδομένη ενεργειακή τιμή. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 8
Τα ισοενεργειακά σύνολα ορίζονται από την ενεργειακή σχέση: U(x) + m x = E o, E o. Πρόκειται για καμπύλες που, σύμφωνα με το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων, είναι λείες στην περιοχή κάθε σημείου στο οποίο δεν μηδενίζεται η δύναμη. Οι καμπύλες αυτές ίσως εμφανίζουν αυτοτομές, όμως το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων δηλώνει ότι από κάθε σημείο του επιπέδου θέσεων και ταχυτήτων διέρχεται μόνο μια τροχιά, άρα κάθε ισοενεργειακή καμπύλη αποτελείται από μια ή ενδεχομένως περισσότερες τροχιές ίδιας ενερ- γειακής τιμής. Οι σημειακές τροχιές καλούνται καταστάσεις ισορροπίας: ( x(t) x o, x(t) 0). Στις καταστάσεις ισορροπίας μηδενίζεται η δύναμη, άρα στις αντίστοιχες θέσεις η συνάρτηση δυνα- μικού εμφανίζει ακρότατες τιμές ή ενδεχομένως πρόκειται για σημείο καμπής: xo = και o U( ) 0 U( x ) > 0 ή U( x o) < 0 ή U( x o) = 0. Στην περίπτωση τοπικού ελάχιστου της συνάρτησης δυναμικού η αντίστοιχη κατάσταση ισορροπίας είναι ευσταθής και αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές αρχικές συνθήκες ορίζουν τροχιές που δεν δια- φεύγουν από την περιοχή της. Στην περίπτωση τοπικού μέγιστου της συνάρτησης δυναμικού η αντί- στοιχη κατάσταση ισορροπίας είναι ασταθής και αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές στο αρχικές συνθή- κες ορίζουν τροχιές που απομακρύνονται από την περιοχή της. Στην περίπτωση σημείου καμπής εμ- φανίζεται μια ιδιάζουσα κατάσταση ισορροπίας και αυτό σημαίνει ότι οι γειτονικές αρχικές συνθή- κες ορίζουν τροχιές που από τη μια πλευρά της κατάστασης ισορροπίας παραμένουν στην περιοχή της και από την άλλη πλευρά διαφεύγουν έξω από αυτήν. Η αναγνώριση της φύσης των καταστάσε- ων ισορροπίας οδηγεί στην άμεση αντίληψη της τοπικής συμπεριφοράς των τροχιών στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων. Η τοπική συμπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων γίνεται άμεσα αντιληπτή από το γράφημα της συνάρτησης δυναμικού. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 9
Το Λήμμα του Morse προσφέρει τη δυνατότητα τοπικής αναγωγής των συναρτήσεων δυναμικού σε τοπικά τετραγωνικά πρότυπα που προκύπτουν με κατάλληλη αμφιδιαφορική αλλαγή συντεταγμέ- νων στην περιοχή των κρίσιμων μη εκφυλισμένων σημείων του χωρίου ορισμού τους και στη μονο- διάστατη περίπτωση εμφανίζονται δυο εκδοχές: U(x) = k x ή U(x) = k x. Γραφήματα των τοπικών τετραγωνικών προτύπων των συναρτήσεων δυναμικού ενός βαθμού ελευθερίας και συμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή των καταστάσεων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων. Οι συναρτήσεις ενέργειας που απορρέουν από τα δυο τοπικά πρότυπα των συναρτήσεων δυναμικού εκφράζονται στην περιοχή των αντίστοιχων καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ως εξής: E(x, x) = k x + m x ή E(x, x) = k x + m x. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι οι τροχιές στο επίπεδο των θέσεωνκαι ταχυτήτων εξελίσσονται μέσα στις ισοενεργειακές καμπύλες: Σ(E) = {(x, x) / E(x, x) = E o }, E o. Γραφήματα των τοπικών τετραγωνικών προτύπων των συναρτήσεων ενέργειας ενός βαθμού ελευθερίας στην περιοχή των καταστάσεων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 0