ΤΕΠΑΚ, Τμήμα Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής Μάθημα 6ου Εξαμήνου: Δορυφορική Γεωδαισία (Ακαδ. Έτος 211-12) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ενδιάμεσο Διαγώνισμα Διάρκεια 11 Επιλέξτε και απαντήστε σε δύο από τα ακόλουθα θέματα τα οποία είναι ισοδύναμα. ΘΕΜΑ 1 1. Υποθέστε ότι καλείστε να σχεδιάσετε την τροχιά ενός δορυφόρου που πρόκειται να μεταφέρει μια σειρά από παθητικούς αισθητήρες λήψης εικόνων που θα εξαρτώνται από τις συνθήκες αντανάκλασης του φωτός από αντικείμενα στη γήινη επιφάνεια και συνεπώς προκειμένου να είναι συγκρίσιμες οι δορυφορικές εικόνες τους, θα πρέπει οι συνθήκες φωτισμού να είναι παρόμοιες για λήψεις στην ίδια τοπική ώρα της ημέρας. Εξηγήστε ποιος τύπος δορυφορικής τροχιάς και με τι τεχνικά χαρακτηριστικά αρμόζει καλύτερα για μια τέτοια αποστολή; Πολικές τροχιές o o i 9 ο, h 7-85 km, T 1 min Συνήθως ήλιο-σύγχρονες τροχιές συνδυάζουν ύψος και κλίση κατά τέτοιο τρόπο ώστε η διάβαση από τον ισημερινό και από την ίδια τοποθεσία γίνεται την ίδια ώρα κάθε ημέρα (σε ίδιο τοπικό ηλιακό χρόνο) Τυπικό παράδειγμα οι δορυφόροι LANDSAT 2. Εάν ένας δορυφόροι τηλεπικοινωνιών τοποθετηθεί σε υψόμετρο περίπου 36 km πάνω από τη γήινη επιφάνεια και η μάζα του είναι 25 kg ποια είναι η ελκτική δύναμη που ασκείται σε αυτόν από τη Γη; Σύμφωνα με τον νόμο του Νεύτωνα F G M E m sat / (R E +H sat ) 2, όπου M E είναι η μάζα της Γης, m sat 25 kg, R E είναι η ακτίνα της Γης και H sat 36 km. 3. Κατά τη διαδικασία απόπειρας μιας μικρής διόρθωσης της τροχιάς του δορυφόρου JASON, μια στιγμιαία ανωμαλία των Η/Υ του δορυφόρου δημιούργησε απώλεια των τιμών για τα στοιχεία της κλίσης i, του ορίσματος του περίγειου ω και της ορθής αναφοράς Ω της τροχιάς. Ο τελευταίος μετασχηματισμός που καταγράφηκε για τη μετατροπή από τις συντεταγμένες στο τροχιακό επίπεδο x -43534.615 και y 774196.11 (σε m) προς το ουράνιο σύστημα συντεταγμένων Χ 7619855.613, Υ -1217292.812, Ζ 1251.18 (σε m) ήταν
X -118195333. Y. 98237389 Z -144815614. 39165213-1813229. 92329516 91251395 4994533. 4599351 x y ενώ οι τελευταίες τιμές των Κεπλέριων στοιχείων που καταγράφηκαν ήταν a 7716151.857 m, e.7785, και Μ 93.1451 deg. Περιγράψτε συνοπτικά τη διαδικασία υπολογισμού από τα εν λόγω δεδομένα των στοιχείων i, ω και Ω, καθώς και της έκκεντρης ανωμαλίας της τροχιάς για την συγκεκριμένη χρονική στιγμή. ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ - Θυμηθείτε τη σύνδεση των συντεταγμένων στο σύστημα της τροχιάς και των συντεταγμένων στο ουράνιο σύστημα αναφοράς μέσω των κατάλληλων πινάκων στροφής συναρτήσει των Κεπλέριων στοιχείων της κλίσης i, της ορθής αναφοράς Ω, και του ορίσματος του περίγειου ω. Ο 3x3 πίνακας που δίνεται ουσιαστικά απεικονίζει τους πίνακες στροφής cos Ω sin Ω 1 cosω sin ω R 3 ( Ω ) R1 ( i) R3 ( ω) sin Ω cos Ω cos i sin i sin ω cosω 1 sin i cos i 1 cos Ω sin Ω sin Ω cos Ω 1 cosω cos i sin ω sin i sin ω sin ω cos i cosω sin i cosω sin i cos i cos Ω cosω sin Ω cos i sin ω sin Ω cosω + cos Ω cos i sin ω sin i sin ω cos Ω sin ω sin Ω cos i sin Ω sin ω + cos Ω cos i sin i cosω cosω cosω sin Ω sin i cos Ω sin i cos i Από την τρίτη γραμμή και την τρίτη στήλη, και τις δεδομένες τιμές, προκύπτουν τα ζητούμενα τροχιακά στοιχεία της κλίσης της τροχιάς (από τον όρο cosi), και το όρισμα του περίγειου ω και η ορθή αναφορά των οποίων το κατάλληλο τεταρτημόριο συνάγεται από τα πρόσημα των αντιστοίχων όρων που περιέχουν τα συνημίτονα και ημίτονα τους. Η έκκεντρη ανωμαλία προκύπτει (με επαναληπτική διαδικασία) από την εξίσωση του Kepler και τη δεδομένη τιμή της μέσης ανωμαλίας.
ΘΕΜΑ 2 (α) Στο παρακάτω διάγραμμα περιγράφονται οι χαρακτηριστικές φάσεις της επιστροφής ενός διαστημικού σκάφους από μια αποστολή στη Σελήνη. Οι αποστάσεις που δίνονται αναφέρονται από το κέντρο της Γης, και τα διαθέσιμα δεδομένα είναι R E 6371 km, GM Γη και msat 2 kg. Απαντήστε με συντομία στις ακόλουθες ερωτήσεις: radius at E 2 km Earth Moon E 38 km (Earth to Moon) A B 3¼ D C v 1 6 m s Š1 1. Στο σημείο Α το διαστημικό σκάφος έχει επιτάχυνση μηδέν όταν οι προωθητές κίνησης του παύουν να λειτουργούν. Πως το εξηγείτε αυτό; Η ελκτική δύναμη που ασκείται από τη Γη στο δορυφόρο είναι ίση και αντίθετης φοράς από εκείνη που ασκεί η Σελήνη στο δορυφόρο μηδενική συνισταμένη δύναμη, δηλαδή καμία επιτάχυνση 2. Περί το σημείο Β, το διαστημικό σκάφος έχει σταθερή σε μέγεθος ταχύτητα της οποίας η διεύθυνση παραμένει κάθετη στη γραμμή προς το κέντρο της Σελήνης. Στο μικρό αυτό τμήμα της τροχιάς ασκείται επιτάχυνση στο διαστημόπλοιο; Εξηγήστε το συλλογισμό σας. Η ελκτική δύναμη είναι κάθετη στη διεύθυνση της κίνησης δεν υπάρχει αλλαγή στο μέγεθος της ταχύτητας (κυκλική κίνηση). Ωστόσο αλλάζει η κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας, ώστε η ασκούμενη ελκτική δύναμη να παραμένει στη διεύθυνση από το δορυφόρο προς το κέντρο της Σελήνης εφόσον υπάρχει αλλαγή στη διεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας, υπάρχει επιτάχυνση. 3. Στο σημείο Γ, όταν η ταχύτητα έχει την τιμή 6 m/sec, απαιτείται μια μικρή αλλαγή στην κατεύθυνση της πορείας του διαστημοπλοίου κατά μια γωνία ίση με.1 rad χωρίς όμως να αλλάξει η τιμή της ταχύτητας. Σε ποια κατεύθυνση θα πρέπει να ασκηθεί μια προωθητική δύναμη 12 Ν στο διαστημόπλοιο και για τι χρονικό διάστημα θα πρέπει να διαρκέσει αυτή; v θ Δv v Η αλλαγή Δv στη ταχύτητα είναι ίση με v θ (για μικρές γωνίες θ) F (m Δv)/t (2 kg x 6 m/s x (1/1 rad) / 12 N t 1 s. 4. Στο σημείο D, σε ποια κατεύθυνση επιταχύνεται το διαστημόπλοιο εάν δεν λειτουργούν οι προωθητές κίνησης και αγνοηθούν οι οποιεσδήποτε επιδράσεις της έλξης της Σελήνης; Εξηγήστε το συλλογισμό σας. Εφόσον δεν λειτουργούν οι προωθητές, η μόνη δύναμη που ασκείται είναι η ελκτική δύναμη της Γης στο δορυφόρο, η οποία ενεργεί προς το κέντρο της Γης. 5. Θεωρείστε ότι στο σημείο D η απόσταση του διαστημοπλοίου από το κέντρο της Σελήνης είναι τρεις φορές την απόσταση του διαστημοπλοίου από το κέντρο της Γης. Κάντε ένα
πρόχειρο υπολογισμό της ελκτικής δύναμης που ασκεί η Σελήνη στο διαστημόπλοιο και δικαιολογείστε εάν αγνοήθηκε σωστά αυτή η επίδραση στο προηγούμενο βήμα. Εφόσον η απόσταση D-Σελήνης είναι 3 x απόσταση D-Γης η ελκτική δύναμη που ασκεί η Σελήνη τα είναι το 1/9 εκείνης που ασκεί η Γη - εάν η Γη και η Σελήνη είχαν την ίδια μάζα αλλά η μάζα της Σελήνης είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα της Γης, άρα είναι λογικό να αγνοήσουμε την επίδραση της Σελήνης στο προηγούμενο ε ρωτημα. 6. Εάν μεταξύ του σημείου C και E δεν ενεργούν οι προωθητές κίνησης του δορυφόρου, υπολογίστε την αλλαγή στην δυναμική ενέργεια του δορυφόρου. GMm GMm 1 1 GMm x 14 N m 2 kg 1 1 1 4 1 x 2 kg 3.6 x1 1 J R2 R 1 R1 R2 8 7 2x1 2x1 Επειδή το βαρυτικό δυναμικό είναι μηδέν στο άπειρο και απαιτείται να επιτελεστεί έργο για να φθάσει ο δορυφόρος στο άπειρο, η δυναμική ενέργεια είναι μικρότερη σε απόσταση κοντύτερα στο κέντρο του βαρυτικού πεδίου, δηλαδή στο σημείο Ε. Επειδή η δυναμική ενέργεια είναι ένα μονόμετρο μέγεθος και δεν εξαρτάται από την πορεία του δορυφόρου, η τιμή της είναι ίδια σαν να λειτουργούσαν οι προωθητήρες για να μεταφέρουν τον δορυφόρο από το C στο Ε. 7. Στο σημείο C, ποιά είναι η κινητική ενέργεια του δορυφόρου; και λαμβάνοντας υπόψη το προηγούμενο ερώτημα, τι συνάγεται για την τιμή της κινητικής ενέργειας του δορυφόρου στο σημείο Ε; Επειδή η μηχανική ενέργεια (δυναμική + κινητική) πρέπει να παραμένει σταθερή ελάττωση της δυναμικής ενέργειας αύξηση της κινητικής κατά 3.6 x 1 1 J. Στο σημείο C, η κινητική ενέργεια ήταν ήδη.5 x 2 kg x (6 m/s) 2 3.6 x 1 1 J η συνολική κινητική ενέργεια είναι 7.2 x 1 1 J. 8. Τι κινητική ενέργεια θα είχε ο δορυφόρος στο σημείο Ε εάν δεν έφθανε εκεί ταξιδεύοντας από τη Σελήνη, αλλά ήταν εκεί σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη; Για κυκλική τροχιά θα ήταν F (GMm/R 2 ) (m v 2 )/R v 2 GM/R KE.5 m v 2 (GMm/2R) [ 2 kg x (4. x 1 14 N m 2 Kg -1 ) ] / [ 2 x (2 x 1 7 m) ] 2 x 1 1 J. Για τα ερωτήματα 6 έως 8 αγνοήστε τυχόν επιδράσεις της έλξης της Σελήνης στο δορυφόρο. (β) Η βασική αρχή πίσω από την κυκλική τροχιά κάθε ουράνιου σώματος είναι ότι η κεντρομόλος δύναμη ισορροπείται από την ελκτική δύναμη του κεντρικού σώματος γύρω από το οποίο επιτελείται η τροχιακή κίνηση. Το ίδιο ισχύει και για τον γαλαξία μας, του οποίου η τυπική ταχύτητα είναι 22 km/s και η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του είναι περίπου 5 έτη φωτός. Από αυτά τα δεδομένα υπολογίστε τη μάζα του γαλαξία, αποδίδοντας την σε πολλαπλάσια της μάζας του Ήλιου (όπου Μ Ήλιου 2 1 3 kg). Θεωρείστε ότι η ταχύτητα του φωτός είναι 3x1 8 m/sec και η διάρκεια του έτους είναι 365.25 μέρες. Σημείωση: η υπολογισμένη με αυτό τον τρόπο τιμή της μάζας του Γαλαξία μας δίνει και τον πιθανολογούμενο αριθμό των αστέρων που περιέχονται στον Γαλαξία, εάν υποτεθεί ότι όλα τα αστέρια σε αυτόν έχουν περίπου ίδια μάζα με εκείνη του Ήλιου. m r v 2 / G
m 17 x 1 9 M sun (δηλ. 17 δις. αστέρια) ΘΕΜΑ 3 (α) Εξηγήστε σε τι ακριβώς συνίσταται μια μέτρηση της απόστασης δορυφόρου-δέκτη με το GPS και ποια είναι τα κύρια σφάλματα σε μια τέτοια μέτρηση. Περιγράψτε τα αναγκαία βήματα προσδιορισμού της θέσης ενός δέκτη με μετρήσεις αποστάσεων των δορυφόρων GPS. Αναφερθείτε στα τεχνικά χαρακτηριστικά και στο ρόλο του τμήματος ελέγχου του συστήματος GPS. Ποια είναι η τελευταία γενιά δορυφόρων που βρίσκονται σήμερα σε τροχιά στον σχηματισμό των δορυφόρων GPS; (β) Δείξτε ότι η Γη συνολικά, κατά τη διάρκεια της ετήσιας τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο, βρίσκεται σε απόσταση από τον Ήλιο μεγαλύτερη από μια Αστρονομική Μονάδα περίπου κατά 185 μέρες. (Σημείωση: 1 AU (Astronomical Unit, Αστρονομική Μονάδα) ορίζεται ως η μέση απόσταση της Γης από τον Ήλιο ή ως η μέση τιμή του μεγάλου ημιάξονα a της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο). Θεωρείστε ότι η εκκεντρότητα της τροχιάς είναι e.167 και η μέση κίνηση της Γης είναι n.9856 ο /ημέρα. Το κριτήριο είναι ότι για να είναι η Γη σε απόσταση μεγαλύτερη από μια Αστρονομική Μονάδα πρέπει να ισχύει r > a. Από την εξίσωση του Κεπλερ που συνδέει τη Μέση με την Έκκεντρη ανωμαλία ra (1-e cose) > a cose < που συνεπάγεται 9 ο < Ε < 27 ο και αντικαθιστώτας στην εξίσωση του Κεπλερ οι ακραίες τιμές για τη Μέση Ανωμαλία θα είναι Μ1 89.4 ο και Μ2 27.4 ο ΔΤ (Μ2 Μ1) / n (27.4 ο 89.4 ο ) /.9865 184.6 μέρες η Γη βρίσκεται σε απόσταση από τον Ήλιο μεγαλύτερη από 1 AU. (γ) Ποιες συχνότητες χρησιμοποιούνται στα σήματα των δορυφόρων GPS και πως συνδέονται μεταξύ τους, ώστε να δημιουργηθούν μετρήσεις κώδικα και φάσης του φέροντος κύματος από κάθε δορυφόρο; Τι ακριβώς είναι οι κώδικες ψευδοτυχαίου θορύβου; Εξηγήστε τι άλλες πληροφορίες μεταδίδονται στους δέκτες επιπλέον των κωδικών ψευδοτυχαίου θορύβου που εκπέμπονται από τους δορυφόρους GPS. (δ) Εξηγήστε πως θα λειτουργούσε η διαδικασία δημιουργίας των κωδικών Gold που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία κωδίκων ψευδοτυχαίου θορύβου στο GPS, σε μια μνήμη 1 στοιχείων του υποτιθέμενου κώδικα 1+x 3 +x 8 που αρχικά θα αποτελείτο από τις τιμές 111111. Ποια θα ήταν τα στοιχεία της συγκεκριμένης μνήμης μετά από 1 βήματα και ποιος θα ήταν ο κώδικας Gold που θα έχει σχηματιστεί στο τέλος των 1 βημάτων; (δ) Θεωρείστε το παρακάτω απόσπασμα από το αρχείο (σε μορφή RINEX) της τροχιακής εφημερίδας του δορυφόρου GPS-1. Απομονώστε τα αναγκαία Κεπλέρια στοιχεία της τροχιάς και απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα:
1. Tι χρονικό διάστημα απαιτείται ώστε ο δορυφόρος να διανύσει το 1/6 της τροχιάς του από τη στιγμή που πέρασε το περίγειο; Το 1/6 της τροχιάς θα έχει διανυθεί όταν η αληθής ανωμαλία f του δορυφόρου θα είναι 6 ο. Επειδή ισχύει cos E [cos f + e]/[1 + e cos f] αντικαθιστώντας f6 ο, cose E M E - e sin E εάν το ζητούμενο χρονικό διάστημα είναι Δt (εκφρασμένο ως μέρος της περιόδου T της τροχιάς δηλ. Δt t/t) Δt M/2π Δt 2. Σε ποια θέση στη τροχιά θα βρίσκεται ο δορυφόρος μετά από τη διάβαση του από το περίγειο και εφόσον θα έχει διανύσει το 1/6 της τροχιακής περιόδου του; Στην προκειμένη περίπτωση δίνεται ότι t/t1/6.16667 M 2π/6 π/3 από την εξίσωση του Kepler υπολογίζεται με επαναληπτική διαδικασία η έκκεντρη ανωμαλία Ε η θέση του δορυφόρου στη τροχιά θα δίνεται από την αληθή ανωμαλία f, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση cos f [cos E - e]/[1 - e cos E] f Navigation File: 1 12 2 14.-2.894317731261D-5-1.25555214938D-12.D+ 2.2D+1 1.1875D+2 4.85359287768D-9-2.41975253732D-1 5.388632416725D-6 1.118769973982D-2 8.42118719673D-6 5.15367697965D+3 1.728D+5 8.9374141693D-8 1.71987692114D+ 1.37835741431D-7 9.46362378422D-1 2.114625D+2 7.41281423594D-1-8.41427951294D-9 8.89322782828D-11 1.D+ 1.675D+3.D+ 2.D+.D+-2.32836436539D-9 2.2D+1 1.728D+5 Παράμετρος Τιμή G 6.67259 1 11 N m 2 /kg 2 Παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας T r Ε 365.25 x 24 x 36 s 1.4959787 1 11 m περίοδος περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο Ακτίνα της γήινης τροχιάς γύρω από τον Ήλιο M E 5.9742 1 24 kg Μάζα της Γης m s 1.9891 1 3 kg Μάζα του Ήλιου