Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ:

Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με περιοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x π < x < π, t >, u( π, t) = u(π, t), u x ( π, t) = u x (π, t), t. (ii) Να βρεθεί η θερμοκρασία ισορροπίας καθώς t. Απάντηση: α) u(x, ) = cos x, β) u(x, ) = sin x + sin x, π x π. i) Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = e λ t v(x). Εισάγοντας στην εξίσωση της θερμότητας, η τελευταία ανάγεται στην ακόλουθη ΣΔΕ κι από την επιβολή των συνοριακών συνθηκών έχουμε ότι θα πρέπει v (x) = λv(x), (1.1) v( π) = v(π), v ( π) = v (π). (1.) Οι σχέσεις (1.1), (1.), απαρτίζουν τo πρόβλημα ιδιοτιμών, μέσω του οποίου θα βρούμε τις αντίστοιχες ιδιολύσεις της ΜΔΕ και κατ επέκταση θα κατασκευάσουμε την λύση του προβλήματος στην μορφή μιας σειράς Fourier. λ =. Τότε η λύση της (1.1) είναι η v(x) = A x + B. Επιβάλλοντας την πρώτη συνοριακή συνθήκη παίρνουμε ότι Α ( π) + B = A π + B A =, ενώ η δεύτερη συνοριακή συνθήκη (με A = ) ικανοποιείται αυτόματα. Οπότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση v (x) = 1, κι ιδιολύση u (x, t) = 1, (η σταθερή παραλείπεται αφού θα την εισάγουμε στο τέλος παίρνοντας έναν άπειρο γραμμικό συνδυασμό των ιδιολύσεων). λ = ω >, (ω > ). Τότε η λύση της (1.1) είναι η v(x) = A e ω x + B e ω x. Επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις παραμέτρους A, B, (A B) sinh(ω π) =, (A + B) sinh(ω π) =. Αφού ω, τότε sinh(ω π), και συνεπώς A B = A + B = και συνακόλουθα A = B =, οπότε δεν υπάρχει μη τετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση, κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή κι αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση κι ιδιολύση.

λ = ω <, (ω > ). Τότε η λύση της (1.1) είναι η v(x) = A cos ω x + B sin ω x, Επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις παραμέτρους A, B, A sin ω π =, B sin ω π =. Αν sin ω π, τότε θα πρέπει A = B =, δηλαδή η τετριμμένη λύση. Οπότε θα πρέπει sin ω π = δηλαδή ω = k, k = 1,, 3 Δηλαδή έχουμε ιδιοτιμές λ k = k, κι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις v k (x) = A k cos k x + B k sin k x, k = 1,, 3, κι ιδιολύσεις u k (x, t) = A k e k t cos k x + B k e k t sin k x, k = 1,, 3, Λαμβάνοντας υπόψη και την ιδιοτιμή λ =, παριστάνουμε την λύση στην μορφή μιας άπειρης σειράς u(x, t) = A + ( A k t e k cos k x + B k e k t sin k x ), k=1 όπου οι σταθερές A k, B k, θα προσδιορισθούν από την αρχική συνθήκη. α) Αν u(x, ) = cos x, τότε θα πρέπει B k = (k 1), A =, A 1 = 1, A k = για k > 1, και η λύση του ΠΑΣΤ είναι η u(x, t) = e t cos x. β) Αν u(x, ) = sin x + sin x = 1 1 cos x + sin x, τότε θα πρέπει A = 1, A 1 =, A = 1, A k = για k >, B 1 =, B k = για k > 1, και η λύση του ΠΑΣΤ σε αυτή την περίπτωση είναι η u(x, t) = 1 + e t sin x 1 e 4 t cos x. ii) Σε κάθε περίπτωση η θερμοκρασία ισορροπίας καθώς t, είναι A αφού im u(x, t) = A t. Οπότε για τα αρχικά δοσμένα του α) μέρους του προβλήματος η θερμοκρασία ισορροπίας είναι, ενώ για τα αρχικά δοσμένα του β) μέρους είναι 1. Σχήμα 1: Η λύση για τα αρχικά δοσμένα α) Σχήμα : Η λύση για τα αρχικά δοσμένα β)

Πρόβλημα. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της θερμότητας με ομογενείς συνοριακές συνθήκες τύπου Neumann (μονωμένα άκρα) u t = u x x π < x < π, t >, u x ( π, t) = u x (π, t) =, t, και αρχική κατανομή θερμοκρασίας u(x, ) = 1, x π,, π < x π. αʹ) Να βρεθεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. βʹ) Να βρεθεί η θερμοκρασία ισορροπίας καθώς t. Απάντηση: α ) Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = e λ t v(x). Εισάγοντας στην εξίσωση της θερμότητας, η τελευταία ανάγεται στην ακόλουθη ΣΔΕ κι από την επιβολή των συνοριακών συνθηκών έχουμε ότι θα πρέπει v (x) = λv(x), (.1) v ( π) =, v (π) =. (.) Οι σχέσεις (.1), (.), απαρτίζουν τo πρόβλημα ιδιοτιμών, μέσω του οποίου θα βρούμε τις αντίστοιχες ιδιολύσεις της ΜΔΕ και κατ επέκταση θα κατασκευάσουμε την λύση του προβλήματος στην μορφή μιας σειράς Fourier. λ =. Τότε η λύση της (.1) είναι η v(x) = A x + B. Επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι A =. Οπότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση v (x) = 1, κι ιδιολύση u (x, t) = 1. λ = ω >, (ω > ). Τότε η λύση της (1.1) είναι η v(x) = A e ω x + B e ω x. Επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις παραμέτρους A, B, A ω e ω π B ωe ω π =, Aωe ω π B ωe ω π =, ή ισοδύναμα (αφού ω ) A e ω π B e ω π =, Ae ω π B e ω π =,

το οποίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα ως προς τις παραμέτρους A, B. Για να υπάρχουν μη-μηδενικές λύσεις αρκεί και πρέπει η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Όμως η ορίζουσα είναι Δ = e ω π e ω π, και είναι μηδέν αν και μόνο αν ω =. Άτοπο, γιατί υποθέσαμε ότι ω >, συνεπώς δεν υπάρχουν ιδιοτιμές σε αυτήν την περίπτωση και κατ επέκταση δεν υπάρχουν ιδιοσυναρτήσεις κι ιδιολύσεις. λ = ω <, (ω > ). Τότε η λύση της (.1) είναι η v(x) = A cos ω x + B sin ω x. Επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις παραμέτρους A, B, ή ισοδύναμα A ω sin( ωπ) + B ω cos( ω π) =, A ω sin(ωπ) + B ω cos(ω π) =, A sin(ωπ) + B cos(ω π) =, A sin(ωπ) + B cos(ω π) =. Το παραπάνω ομογενές γραμμικό σύστημα ως προς τις παραμέτρους A, B, έχει λύσεις μη-μηδενικές αν και μόνο αν η ορίζουσα Δ είναι μηδέν. Υπολογίζουμε την ορίζουσα και βρίσκουμε ότι Δ = sin(ω π) cos(ω π) = sin( ω π). Οπότε Δ = ω π = k π ω = k, k = 1,, 3, Δηλαδή έχουμε τις ιδιοτιμές λ k = k, k = 1,, 3, Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : 4 k = n, άρτιος. Τότε ω = n και η συνοριακή συνθήκη (οποιαδήποτε από τις δυο αφού είναι γραμμικώς εξαρτημένες) δίνει B =. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις - ιδιολύσεις n = 1,, 3, λ n = n, v n (x) = cos n x, u n (x, t) = e n t cos n x, k = n 1, περιττός. Τότε ω = n 1 και η συνοριακή συνθήκη (οποιαδήποτε από τις δυο αφού είναι γραμμικώς εξαρτημένες) δίνει A =. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις - ιδιολύσεις λ n = ( n 1 ), vn (x) = sin ( n 1 ) x, u n (x, t) = e (n 1/) t sin ( n 1 ) x, n = 1,, 3, Λαμβάνοντας υπόψη και την ιδιοτιμή λ =, γράφουμε την λύση σαν ένα άπειρο άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων κι έχουμε u(x, t) = A + [ A n e n t cos n x + B n e (n 1/) t sin ( n 1 ) x ],

όπου οι συντελεστές A n, B n θα προσδιορισθούν από την αρχική συνθήκη. Παρατηρούμε ότι η αρχική συνθήκη u(x, ) = f(x) είναι άρτια συνάρτηση, συνεπώς οι συντελεστές B n των ημιτόνων (περιττές συναρτήσεις) θα πρέπει να είναι μηδέν, B n =. Για τους συντελεστές A n έχουμε A n = π π A = π f(x) cos n x d x = π π/ π f(x)d x = π π/ d x = 1. cos n x d x = n π sin n π ( ) =, n = m, ( 1)m, n = m 1 π( m 1) m = 1,, 3, Οπότε η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier είναι u(x, t) = 1 + A n e n t cos n x. β ) Παρατηρούμε ότι u(x,t) 1 καθώς t, οπότε η θερμοκρασία ισορροπίας είναι 1. Σχήμα 3: Γραφική παράσταση της λύσης.

Πρόβλημα 3. Θεωρούμε το ακόλουθο ΠΑΣΤ για την κυματική εξίσωση u x x u t t =, < x < π, t >, u(x, ) = sin x, u t (x, ) =, x π, u x (, t) =, u x (π, t) =, t. αʹ) Να γραφεί η λύση του ΠΑΣΤ στην μορφή μιας σειράς Fourier. βʹ) Να δειχθεί ότι η h(t) = u( π /4, t) είναι περιοδική συνάρτηση και να βρεθεί η περίοδος. γʹ) Ποιά είναι η τιμή u( π /4, π /); (i), (ii) 1 /, (iii) 1 /, (iv). δʹ) Έχει η Απάντηση: u ασυνέχειες; Αν ναι, κατά μήκος ποιών καμπυλών διαδίδονται; x α ) Αναζητούμε λύσεις της κυματικής εξίσωσης που είναι χωριζομένων μεταβλητών, δηλαδή της μορφής u(x, t) = X(x) T (t). Εισάγουμε στην κυματική εξίσωση u x x = u t t και παίρνουμε X (x)t (t) = X(x)T (t). Αφού X(x) και T (t), διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με τον όρο X(x) T (t), έχουμε X(x) X(x) = T (t) T (t), όπου το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του x, ενώ το δεξί μέρος συνάρτηση μόνο του t. Για να μπορεί να συμβεί αυτό θα πρέπει και οι δυό όροι να είναι ίσοι με μια σταθερή ποσότητα που την ονομάζουμε λ R. Οπότε η ΜΔΕ ανάγεται στην επίλυση των ΣΔΕ X (x) = λx(x), T (t) = λt (t). Από την άλλη, οι συνοριακές συνθήκες u x (, t) =, u x (π, t) =, δίνουν ότι θα πρέπει X () =, X (π) =, αντίστοιχα. Οπότε έχουμε το πρόβλημα ιδιοτιμών X (x) = λx(x), X () = X (π) =. λ =. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X(x) = A x + B, κι οι συνοριακές συνθήκες ικανοποιούνται όταν A =. Οπότε έχουμε την ιδιοτιμή λ =, με ιδιοσυνάρτηση X (x) = 1. Από την άλλη, η ΣΔΕ για την συνάρτηση T (t) δίνει ότι οπότε συνολικά έχουμε τις ιδιολύσεις {1, t}. T (t) = Γ t + Δ, λ = ω >, (ω > ). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X(x) = A e ω x + B e ω x,

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει ή ισοδύναμα A ω B ω =, A ω e ωπ B ω ω π =, A = B, A sinh(ω π) =. Αφού ω, τότε sinh(ω π), συνεπώς παίρνουμε μόνο την τετριμμένη λύση A = B =, και δεν υπάρχουν ιδιοτιμές σε αυτήν την περίπτωση. λ = ω <, (ω > ). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X(x) = A cos ω x + B sin ω x, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει ή ισοδύναμα B =, A ω sin ωπ =, B =, sin ω π =. Οπότε έχουμε τις ιδιοτιμές λ = k, k = 1,, 3, με αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις X k (x) = cos k x. Από την άλλη η ΣΔΕ για την συνάρτηση T (t) για τις τιμές της λ που βρήκαμε δίνει ότι θα πρέπει T (t) = Γ cos k t + Δ sin k t, οπότε έχουμε τις ιδιολύσεις {cos k x cos k t, cos k x sin k t}. Λαμβάνοντας υπόψη και τις ιδιολύσεις της ιδιοτιμής λ =, γράφουμε την λύση σαν ένα άπειρo άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων κι έχουμε u(x, t) = A + B t + (A k cos k x cos k t + B k cos k x sin k t), (3.1) k=1 όπου οι συντελεστές A k, Β κ θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες u(x, ) = sin x, και u t (x, ) =. Για την πρώτη αρχική συνθήκη έχουμε u(x, ) = A + A k cos k x = sin x, k=1 ενώ παραγωγίζοντας την σχέση (3.1) ως προς t έχουμε για την δεύτερη αρχική συνθήκη Συνεπώς B k =, και A k = 1 π π u t (x, ) = B + kb k cos k x =. k=1 A = 1 π π sin x d x = π =, sin x cos k x d x = =, k περιττός, 4, π(1 k ) k άρτιος.

Συνεπώς η λύση στη μορφή μιας σειράς Fourier είναι u(x, t) = π + 4 π(1 4 n ) cos( n x) cos( n t). (3.) β ) Για x = π 4 έχουμε π h(t) = u ( 4, t ) = π + 4 π(1 4 n ) cos ( n π 4 ) cos( n t) = π + 4 π(1 4 n ) cos n π ( ) cos( n t). Παρατηρούμε ότι οι όροι με n περιττό θετικό ακέραιο δεν συνεισφέρουν στην h(t), αφού τότε cos( ) =, οπότε η συνάρτηση h(t) παίρνει την μορφή n π h(t) = π + m=1 4 ( 1) m π(1 16 m ) cos(4 m t), και αφού h(t + π ) = h(t), η h(t) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο π. γ ) Ο τύπος του d Aembert για την άπειρη χορδή ( < x < ) είναι u(x, t) = 1 ( f(x t) + f(x + t)) + 1 x t x+t g(s)d s, (3.3) όπου u(x, ) = f(x), u t (x, ) = g(x). Για το πρόβλημά μας γνωρίζουμε τις αρχικές τιμές f(x) = sin x και g(x) = μόνο για το διάστημα x π. Θα πρέπει λοιπόν να επεκτείνουμε τα αρχικά δοσμένα κατάλληλα σε όλο το άξονα των x, έτσι ώστε η λύση που δίνεται από τον τύπο του d Aembert να ικανοποιεί αυτόματα τις συνοριακές συνθήκες στα άκρα x =, x = π. Επειδή η λύση που δίνεται από την σχέση (3.) είναι άρτια συνάρτηση κάνοντας άρτια π-περιοδική επέκταση των συναρτήσεων f(x), g(x), παρατηρούμε ότι οι συνοριακές συνθήκες στην (3.3) ικανοποιούνται. Πράγματι, επεκτείνουμε τα αρχικά δοσμένα έτσι που f( x) = f(x), g( x) = g(x),, f( π + x) = f(x), g( π + x) = g(x). Παραγωγίζοντας την (3.3) ως προς x, παίρνουμε Στα άκρο x = έχουμε u x (x, t) = 1 ( f (x t) + f (x + t)) + 1 ( g(x + t) g(x t)). u x (, t) = 1 ( f ( t) + f (t)) + 1 ( g(t) g( t)) =, αφού g( t) = g(t) και αν f( t) = f(t), τότε f ( t) = f (t). Στο άκρο x = π έχουμε u x (π, t) = 1 ( f (π t) + f (π + t)) + 1 ( g(π + t) g(π t)) =, αφού ισχύει ότι g(π + t) = g( π π + t) = g( π + t) = g(π t), και ομοίως f(π + t) = f(π t) και παραγωγίζοντας ως προς t, ισχύει ότι f (π + t) = f (π t).

Εφαρμόζοντας λοιπόν τον τύπο του d Aembert παίρνουμε u( π 4, π ) = 1 [ f( π 4 ) + f( 3 π 4 )] = 1 [ f( π 4 ) + f( 3 π 4 )] = 1 ( sin π 4 3 π + sin 4 ) = 1. u δ ) Η (x, t), παρουσιάζει ασυνέχειες στα άκρα x = και x = π, οι οποίες διαδίδονται κατά x μήκος των χαρακτηριστικών καμπυλών. Πράγματι, παραγωγίζοντας την αρχική συνθήκη u(x, ) = sin x ως προς x έχουμε ότι οπότε για το άκρο x =, έχουμε ότι u x (x, ) = cos x, im u x (x, ) = cos = 1, x ενώ από την συνοριακή συνθήκη u x (, t) = για κάθε t, άρα για t =, έχουμε u x (, ) =. Ομοίως, για το άκρο x = π, έχουμε im u x(x, ) = cos π = 1, x π ενώ από την συνοριακή συνθήκη u x (π, t) = για κάθε t, άρα για t =, έχουμε u x (π, ) =. Σχήμα 4: Η λύση u(x, t) Σχήμα 5: Η παράγωγος u(x, t) x

Πρόβλημα 4. Έστω ότι η u είναι μια κλασική λύση της κυματικής εξίσωσης u x x = u t t στο διάστημα < x < και ικανοποιεί τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichet u(, t) = u(, t) =. Η ολική ενέργεια της u στο χρόνο t ορίζεται ως εξής 1 u E(t) = [( t ) u + ( x ) d x. ] Να επαληθευτεί η αρχή διατήρησης της ενέργειας δείχνοντας ότι η E(t) είναι σταθερή συνάρτηση. Απάντηση: Για να αποδείξουμε ότι η E(t) είναι σταθερή συνάρτηση, αρκεί να δείξουμε ότι E (t) =. Πράγματι, d d t E(t) = d d t 1 u [( t ) u + ( x ] ) d x = 1 u t [( t ) u + ( x ) d x ] = (u t u t t + u x u x t)d x = (u t u x x + u x u x t)d x = u t u x x d x + u t u x t d x = [u t u x] x= x= u t u t x d x + u t u x t d x = u t (, t)u x (, t) u t (, t)u x (, t), (4.1) όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι u t t = u x x και το γεγονός ότι η u(x, t) είναι μια κλασική λύση δηλαδή ότι η u και οι μερικές παράγωγοί της μέχρι τουλάχιστον δεύτερης τάξης είναι συνεχείς συναρτήσεις. Το τελευταίο το χρησιμοποιήσαμε για να περάσουμε την μερική παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα, για να εκτελέσουμε την ολοκλήρωση κατά παράγοντες και για να θεωρήσουμε ότι u x t = u t x. Από τις συνοριακές συνθήκες u(, t) = u(, t) =, έχουμε ότι u t (, t) = u t (, t) =, συνεπώς στην εξίσωση (4.1) έχουμε ότι το δεξί μέλος είναι μηδέν, άρα η E(t) είναι σταθερή συνάρτηση E(t) = E().

Πρόβλημα 5. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Lapace u x x + u y y =, 1 < x < 1, 1 < y < 1, u(x, 1) = f(x), u(x, 1) =, u( 1, y) =, u(1, y) =. αʹ) Σωστό ή λάθος; Αν f( x) = f(x) είναι περιττή, τότε u(, y) = για κάθε 1 y 1. βʹ) Σωστό ή λάθος; Αν f() =, τότε u(, y) = για κάθε 1 y 1. Απάντηση: Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(x, t) = X(x) Y (y). Εισάγουμε στην ΜΔΕ του Lapace u x x = u t t και παίρνουμε X (x)y (y) = X(x)Y (y). Αφού X(x) και Y (y), διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με τον όρο X(x) Y (y), έχουμε X(x) X(x) = Y (y) Y (y), όπου το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του x, ενώ το δεξί μέρος συνάρτηση μόνο του y. Για να μπορεί να συμβεί αυτό θα πρέπει και οι δυό όροι να είναι ίσοι με μια σταθερή ποσότητα που την ονομάζουμε λ R. Οπότε η ΜΔΕ ανάγεται στην επίλυση των ΣΔΕ X (x) λx(x) =, Y (t) + λy (y) =. Από την άλλη, οι συνοριακές συνθήκες u( 1, y) =, u(1, y) =, δίνουν ότι θα πρέπει X( 1) =, X(1) =, αντίστοιχα. Οπότε έχουμε το εξής πρόβλημα ιδιοτιμών X (x) λx(x) =, X( 1) = X(1) =. λ =. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X(x) = A x + B, και επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε A + B =, A + B =, συνεπώς A = Β =, οπότε δεν υπάρχει μη-τετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή και κατ επέκταση ιδιολύση. λ = ω >, (ω > ). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X(x) = A e ω x + B e ω x, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A e ω + B e ω =, Ae ω + B e ω =,

Το τελευταίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα για τις παραμέτρους A, B και για να έχει μήμηδενική λύση πρέπει και αρκεί η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Όμως Δ = e ω e ω και είναι μηδέν αν και μόνο αν ω =, άτοπο. Οπότε και σε αυτήν την περίπτωση παίρνουμε μόνο την τετριμμένη λύση A = B =, κι έτσι δεν υπάρχουν ιδιοτιμές κι ιδιολύσεις. λ = ω <, (ω > ). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X(x) = A cos ω x + B sin ω x, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A cos ω B sin ω =, A cos ω + B sin ω =. (5.1) Το τελευταίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα για τις παραμέτρους A, B και για να έχει μήμηδενική λύση πρέπει και αρκεί η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Έχουμε ότι Δ = cos ω sin ω = sin ω, άρα θα πρέπει ω = k π ή ισοδύναμα ω = k π και συνεπώς έχουμε τις ιδιοτιμές λ k = k π, k = 4 1,, 3, Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : k = n, άρτιος. Τότε ω = n π και οποιαδήποτε από τις σχέσεις (5.1) δίνει A =. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ n = n π, X n (x) = sin(n π x), n = 1,, 3, Από την άλλη η ΣΔΕ για την Y (y) για λ n = n π δίνει ότι Y (y) = Γ e n π y + Δe n π y. Η συνοριακή συνθήκη u(x, 1) = μας πληροφορεί ότι θα πρέπει Y (1) =, οπότε θα πρέπει οπότε Γ = Δ e n π, Y (y) = Γ e n π y + Δe n π y = Δe n π e n π y + Δe n π y = Δe n π (e n π(1 y) (e n π(1 y) ) = Δ 1 e n π (e n π(1 y) (e n π(1 y) ) = Δe n π sinh (n π(1 y)). Οπότε έχουμε τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις Y n (y) = sinh (n π(1 y)), n = 1,, 3, (η σταθερή παραλείπεται αφού θα εμφανισθούν στο τέλος όταν θα πάρουμε άπειρο άθροισμα από γραμμικούς συνδυασμούς των ιδιολύσεων). Συνεπώς, οι ιδιολύσεις του προβλήματός μας σε αυτήν την περίπτωση είναι u n (x, y) = X n (x)y n (y) = sin(n π x) sinh (n π(1 y)), n = 1,, 3, k = n 1, περιττός. Τότε ω = (n 1 )π και οποιαδήποτε από τις σχέσεις (5.1) δίνει B =. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ n = ( n 1 ) π, X n (x) = cos [( n 1 ) π x ], n = 1,, 3,

Με όμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση βρίσκουμε ότι οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις Y n (y) είναι Y n (y) = sinh [( n 1 ) π(1 y) ], n = 1,, 3, Συνεπώς οι ιδιολύσεις σε αυτήν την περίπτωση είναι u n (x, y) = cos [( n 1 ) π x ] sinh [( n 1 ) π(1 y) ], n = 1,, 3, Γράφουμε την λύση u(x, y) σαν ένα άπειρo άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων και των δυό περιπτώσεων κι έχουμε u(x, y) = { A n sin(n π x) sinh (n π(1 y)) + B n cos [( n 1 ) π x ] sinh [( n 1 ) π(1 y) ]} (5.) n = 1,, 3, όπου οι συντελεστές A n, B n προσδιορίζονται από την συνοριακή συνθήκη u(x, 1) = f(x). α ) Παρατηρούμε ότι άν f( x) = f(x) είναι περιττή συνάρτηση τότε στην παραπάνω σειρά θα πρέπει B n =, και η λύση παίρνει την μορφή u(x, y) = A n sin(n π x) sinh (n π(1 y)), n = 1,, 3, όπου προφανώς όταν x =, έχουμε ότι u(, y) =. Συνεπώς η πρόταση του α ) ερωτήματος είναι αληθής. β ) Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x) = x η οποία είναι άρτια και f() =. Τότε στην λύση (5.) θα πρέπει A n = και υπολογίζοντας τους συντελεστές B n στην σειρά Fourier (ο αναγνώστης καλείται να εκτελέσει τις απαιτούμενες πράξεις) βρίσκουμε ότι B n. Οπότε σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ότι u(, y) = B n sinh [( n 1 ) π(1 y) ], n = 1,, 3 η οποία συνάρτηση δεν είναι μηδέν για κάθε 1 y 1. Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της λύσης με συνορική τιμή u(x, 1) = x, και δίπλα της δίνεται η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης u(, y)..15 u, y.1.5 y 1..5.5 1. Σχήμα 6: Η λύση u(x, y) Σχήμα 7: Η συνάρτηση u(, y) Οπότε η πρόταση του ερωτήματος β ) είναι λανθασμένη.

Πρόβλημα 6. Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών τύπου Dirichet για την εξίσωση του Lapace u x x + u y y = στον κυκλικό τομέα T = { < θ < π /4, < r < 1} με u(r, ) = u(r, π /4) =, u(1, θ) = sin 4θ. y θ = π 4 r = 1 Απάντηση: θ = x Επειδή οι συνοριακές τιμές μας δίνονται πάνω σε κυκλικό τομέα ενδείκνυται να μετασχηματίσουμε την ΜΔΕ του Lapace u x x + u y y = από τις Καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) στις πολικές συντεταγμένες (r, θ) με x = r cos θ, y = r sin θ, ή r = x + y, θ = tan 1 y x, και να εφαρμόσουμε την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών στις (r, θ). Γνωρίζουμε ότι η ΜΔΕ του Lapace στις (r, θ) μεταβλητές είναι u r r + 1 r u r + 1 r u θ θ =. Αναζητούμε λύσεις της μορφής u(r, θ) = R(r) Θ(θ) και εισάγοντας στην παραπάνω ΜΔΕ βρίσκουμε ότι θα πρέπει r R (r) + rr (r) R(r) = Θ (θ) Θ(θ) = λ. Επιβάλλοντας και τις συνοριακές συνθήκες u(r, ) =, u(r, π ) = έχουμε το εξής πρόβλημα 4 ιδιοτιμών Θ (θ) + λθ(θ) =, Θ() = Θ( π 4 ) =. λ =. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι Θ(θ) = A θ + B, και επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι A = B =, οπότε δεν υπάρχει μητετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή και κατ επέκταση ιδιολύση. λ = ω <, (ω > ). Επειδή η συνάρτηση Θ(θ) είναι περιοδική, αφού η μεταβλητή θ είναι γωνία, κι επειδή σε αυτήν την περίπτωση έχουμε εκθετικές λύσεις οι οποίες δεν είναι περιοδικές συναρτήσεις, δεν μπορεί να αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις. λ = ω >, (ω > ). Σε αυτή την περίπτωση Θ(θ) = A cos ω θ + B sin ω θ, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A =, B sin ( ωπ 4 ) =. (6.1)

δηλαδή A =, και ω = 4 n, n = 1,, 3,. Άρα έχουμε τις ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ = 16 n, Θ n (θ) = sin(4 n θ), n = 1,, 3, Από την άλλη, για λ = 16 n, η ΣΔΕ τύπου Euer για την R(r) έχει την γενική λύση r R (r) + rr (r) 16n R(r) =, R(r) = Γ r 4 n + Δr 4 n. Από την συνοριακή συνθήκη u(r, ) = για r = έχουμε ότι θα πρέπει u(, ) =, οπότε ο όρος με r 4 n που απειρίζεται όταν r δεν πρέπει να υπάρχει και συνεπώς θα πρέπει Δ =. Οπότε έχουμε αντίστoιχες ιδιοσυναρτήσεις R n (r) = r 4 n. Συνολικά, οι ιδιολύσεις του προβλήματος είναι u n (r, θ) = R n (r)θ n (θ) = r 4 n sin(4nθ), n = 1,, 3, Γράφουμε την λύση σαν ένα άπειρο άθροισμα από γραμμικούς συνδυασμούς των ιδιολύσεων και έχουμε u(r, θ) = A n r 4 n sin(4nθ), n = 1,, 3, όπου οι συντελεστές A n θα προσδιορισθούν από την συνοριακή συνθήκη u(1, θ) = sin(4 θ), δηλαδή u(1, θ) = A n sin(4nθ) = sin(4 θ), n = 1,, 3, Η παραπάνω σειρά Fourier είναι ήδη αναπτυγμένη σε μια σειρά ημιτόνων όπου θα πρέπει A n = για n 4, n = 1,, 3,, και A 4 = 1. Οπότε u(r, θ) = r 4 sin(4 θ), η οποία χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα sin(4 θ) = 4 cos 3 θ sin θ 4 cos θ sin 3 θ, στις Καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) παίρνει την μορφή u(x, y) = 4 x 3 y 4xy 3. Σχήμα 8: Γραφική παράσταση της λύσης.