ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας : 3. Αντιµεταθετικοί νόµοι : 4. Προσεταιριστικοί νόµοι : 5. Επιµεριστικοί νόµοι : 6. Νόµος διπλής άρνησης : 7. Νόµοι του de Morgan: 8. Νόµος αντιθετοαντιστροφής : 9. Νόµοι αντικατάστασης : p p p p p p p p p q q p p q q p (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p r) (q r) p p (p q) p q (p q) p q (p q) ( q p) (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) (p q) (q p)
1.2 Ταυτολογίες Ο Προτασιακός Λογισµός µε τις µόνες τιµές των προτάσεων µε τις οποίες ασχολείται είναι οι τιµές αλήθειας Τ και F 1. Οταν δοθούν λογικές τιµές στις προτασιακές µεταβλητές ενός τύπου, η λογική τιµή του καθορίζεται µονοσήµαντα. Την διαδικασία απόδοσης λογικών τιµών σε έναν τύπο µπορούµε να την δούµε ως αντικατάσταση των µεταβλητών το τύπου µε τις τιµές Τ και F. Υπάρχει µια απλή και αποτελεσµατική µέθοδος εύρεσης λογικών τιµών των τύπων µε ϐάση τις τιµές των µεταβλητών τους. Είναι η λεγόµενη µέθοδος πινάκων λογικών τιµών (ή απλούστερα πίνακες αλήθειας). Για να ϐρούµε τις διάφορες λογικές τιµές ενός τύπου µε µεταβλητές ϕτιάχνουµε έναν πίνακα µε 2 n γραµµές. Στις πρώτες στήλες του πίνακα γράφουµε τις τιµές των µεταβλητών. Η τελευταία στήλη περιέχει τις λογικές τιµές του εξεταζόµενου τύπου. Ορισµός 1. Αποτίµηση των µεταβλητών λέµε κάθε αντιστοίχιση των λογικών τιµών ( Τ - F) στις προτασιακές µεταβλητές. ϕ ϕ T F F T ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ T T T T T T T F T F F F F T T F T F F F F F T T Ορισµός 2. Ενας τύπος του Προτασιακού Λογισµού, λέγεται λογικά αληθής ή ταυτολογία, αν είναι αληθής για οποιαδήποτε αποτίµηση των µεταβλητών του. Ορισµός 3. Ενας τύπος του Προτασιακού Λογισµού, λέγεται λογικά ψευδής ή αντίφαση, αν είναι ψευδής για οποιαδήποτε αποτίµηση των µεταβλητών του. Οι τύποι που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις λέγονται σχετικοί. Ορισµός 4. Οι τύποι που δεν είναι αντιφάσεις, δηλαδή οι τύποι που για µια τουλάχιστον αποτίµηση των µεταβλητών τους αληθεύουν, λέγονται ικανοποιήσιµοι. 1.3 Συνέπεια - Λογική Συνεπαγωγή - Ισοδυναµία Ορισµός 5. Ορίζουµε ως συνεπές το σύνολο το οποίο περιέχει προτάσεις οι οποίες για δεδοµένη αποτίµηση γίνονται ταυτόχρονα αληθείς. Στην περίπτωση όπου δεν µπορούµε να ϐρούµε µια τέτοια αποτίµηση το σύνολο λέγεται ασυνεπές. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι σε ένα συνεπές σύνολο οι προτάσεις δεν είναι πάντοτε αληθείς. π.χ. Το σύνολο S = {x, y, z R : x > y, y > z} είναι συνεπές παρότι µπορούµε να ϐρούµε αριθµούς που να µην ικανοποιούν τις προϋποθέσεις (x = 2, y = 1, z = 3). εδοµένου ενός συνόλου προτάσεων = {p 1, p 2,..., p n } µπορούµε να εξάγουµε ως συµπερασµα την πρόταση ψ, αν η ψ είναι συνέπεια των p 1, p 2,..., p n. Σε αυτή την περίπτωση χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό p 1, p 2,..., p n /ψ. 1 Στην ϐιβλιογραφία επίσης χρησιµοποιούνται ως τιµές αλήθειας οι τιµές (0-1) ή (Α - Ψ). 2
Ορισµός 6. Η εξαγωγή συµπεράσµατος p 1, p 2,..., p n /ψ είναι έγκυρη όταν δεν υπάρχει αποτίµηση κατά την οποία οι p 1, p 2,..., p n να είναι αληθείς και η ψ να είναι ψευδής. Στην περίπτωση όπου η εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη και κάθε µια από τις p 1, p 2,..., p n είναι αληθής λέγεται ορθή. Ορισµός 7. Λέµε ότι ο τύπος ψ είναι entailment 2 του, όταν για κάθε αποτίµηση των µεταβλητών, για την οποία όλοι οι τύποι της είναι αληθείς, ο τύπος ψ είναι αληθής. Οταν ο ψ είναι entailment του γράφουµε = ψ. Τα στοιχεία του τα λέµε υποθέσεις και τον ψ συµπέρασµα. Πρόταση 1. = ϕ αν και µόνο αν ϕ ταυτολογία. Απόδειξη. ( ) Για οποιαδήποτε αποτίµηση των µεταβλητών δεν υπάρχει υπόθεση που να µην ικανοποιείται. Καθώς = ϕ η ϕ ικανοποιείται όταν ικανοποιούνται και οι υποθέσεις, δηλαδή για οποιαδήποτε αποτίµηση. Συνεπώς η ϕ είναι ταυτολογία. ( ) Αν ϕ ταυτολογία τότε αληθεύει για κάθε αποτίµηση. Άρα αληθεύει και για οποιεσδήποτε αποτιµήσεις που ικανοποιούν το σύνολο των υποθέσεων. Συνεπώς = ϕ. Πρόταση 2. ϕ = ψ αν και µόνο αν = ϕ ψ Απόδειξη. ( ) Εστω ότι έχουµε µια αποτίµηση των µεταβλητών. Αν ο τύπος ϕ ψ έπαιρνε την τιµή F ϑα έπρεπε ο ϕ να έχει την τιµή T και ο ψ την τιµή F. Αυτό όµως είναι αδύνατον καθώς ϕ = ψ. Υποχρεωτικά συνεπώς ο τύπος ϕ ψ λαµβάνει την τιµή T για κάθε αποτίµηση. Αυτό σηµαίνει ότι ο τύπος ϕ ψ είναι ταυτολογία, άρα = ϕ ψ. ( ) Εστω ότι ϕ ψ ταυτολογία. Αν έχουµε οποιαδήποτε αποτίµηση κατά την οποία το ϕ παίρνει την τιµή T τότε, λόγω της ταυτολογίας του τύπου ϕ ψ, το ψ ϑα λαµβάνει την τιµή T. Εποµένως ϕ = ψ. Παρατήρηση. ϕ = ψ αν και µόνο αν = ϕ ψ. (Γενίκευση της πρότασης 2). Ορισµός 8. Ενα σύνολο τύπων του Προτασιακού Λογισµού λέγεται αντιφατικό όταν υπάρχει τύπος ψ, τέτοιος ώστε αυτός και η άρνηση του να είναι entailment του, δηλαδή = ψ και = ψ. Παρατήρηση. Ενα σύνολο τύπων του Προτασιακού Λογισµού είναι αντιφατικό τότε και µόνο τότε όταν κάθε τύπος του είναι entailment του. Παρατήρηση. Ενα σύνολο τύπων του Προτασιακού Λογισµού είναι entailed 3 (συνεπές) τότε και µόνο τότε όταν είναι ικανοποιήσιµο, δηλαδή υπάρχει αποτίµηση που ικανοποιεί το. Πρόταση 3. = ψ αν και µόνο αν το { ψ} είναι αντιφατικό. Απόδειξη. ( ) Ας υποθέσουµε ότι = ψ. Αν υπήρχε αποτίµηση που ικανοποιεί τόσο τα στοιχεία του όσο και τον τύπο ψ, ϑα παίρναµε την τιµή T ϕ και την τιµή F για τον ψ. Κάτι τέτοια όµως είναι αδύνατον καθώς = ψ. Άρα το { ψ} δεν είναι ικανοποιήσιµο, δηλαδη είναι αντιφατικό. ( ) Εστω αποτίµηση των µεταβλητών για την οποία κάθε στοιχείο ϕ έχει την τιµή T. Επειδή το σύνολο { ψ} δεν είναι ικανοποιήσιµο, έπεται ότι η τιµή του ψ είναι F. Άρα η τιµή του ψ είναι T. ηλαδή κάθε αποτίµηση που κάνει αληθινούς τους τύπους του δίνει και στον τύπο ψ την λογική τιµή T. Ορισµός 9. Αν ισχύει ότι A = B και B = A τότε λέµε ότι τα σχήµατα A και B είναι λογικά ισοδύναµα (equivalence) και γράφουµε A B. 2 Αντ αυτού στην ϐιβλιογραφία ϑα το ϐρείτε και ως λογική συνεπαγωγή, σηµασιολογική συνέπεια και συνέπεια. 3 ηλαδή ισχύει ο ορισµός 5 για κάθε τύπο του. 3
Εφόσον έχουµε εισάγει και την έννοια της λογικής ισοδυναµίας µπορούµε να την χρησιµοποιήσουµε στους Νόµους του Προτασιακού Λογισµού, λόγου χάρη ο νόµος της αυτοπάθειας p p p µπορεί να πάρει την µορφή A A A, όπου A είναι οποιαδήποτε πρόταση. 1.4 Κανονικές Μορφές Ορισµός 10. Ενας τύπος είναι στοιχειώδης διαζευτικός όταν είναι της µορφής ϕ 1 ϕ 2... ϕ n, όπου κάθε ϕ i, µε i = 1, 2,..., n και n N, είναι προτασιακής µεταβλητή ή άρνηση προτασιακής µεταβλητής. Ορισµός 11. Ενας τύπος είναι στοιχειώδης συζευτικός όταν είναι της µορφής ϕ 1 ϕ 2... ϕ n, όπου κάθε ϕ i, µε i = 1, 2,..., n και n N, είναι προτασιακής µεταβλητή ή άρνηση προτασιακής µεταβλητής. Ορισµός 12. Ενας τύπος είναι σε κανονική διαζευτική µορφή ( DNF) όταν είναι της µορφής ψ 1 ψ 2... ψ n, όπου κάθε ψ i, µε i = 1, 2,..., n και n N, είναι στοιχειώδης συζευτικός τύπος. Ορισµός 13. Ενας τύπος είναι σε κανονική συζευτική µορφή ( CNF) όταν είναι της µορφής ψ 1 ψ 2... ψ n, όπου κάθε ψ i, µε i = 1, 2,..., n και n N, είναι στοιχειώδης διαζευτικός τύπος. Παρατήρηση. Ενας τύπος ψ 1 ψ 2... ψ n σε κανονική διαζευτική µορφή είναι ταυτολογία αν και µόνο αν ο καθένας από τους τύπους ψ i, µε i = 1, 2,..., n και n N, περιέχει µια µεταβλητή και την άρνηση της. Ορισµός 14 (Ελάχιστος όρος). Προτασιακή µεταβλητή ή σύζευξη προτασιακών µεταβλητών από τις οποίες καµία δεν είναι άρνηση οποιασδήποτε άλλης ή ένα από τα σύµβολα Τ, F. π.χ. Οι A, A, A B, F, T είναι ελάχιστοι όροι όχι όµως και ο A B B. Ορισµός 15 (Μέγιστος όρος). Προτασιακή µεταβλητή ή διάζευξη προτασιακών µεταβλητών από τις οποίες καµία δεν είναι άρνηση οποιασδήποτε άλλης ή ένα από τα σύµβολα Τ, F. π.χ. Οι A, A, A B, F, T είναι µέγιστοι όροι όχι όµως και ο A B B. Συχνά στον Προτασιακό Λογισµό χρησιµοποιούµε τις διαδικασίες της απορρόφησης και της συνένωσης ώστε να απλοποιήσουµε τις προτάσεις µε τις οποίες δουλεύουµε. Ορισµός 16 (Απορρόφηση). Ενας ελάχιστος (µέγιστος) όρος M 1 απορροφά έναν ελάχιστο (µέγιστο) όρο M 2 αν κάθε γράµµα του M 1 είναι στον M 2. Κάθε ελάχιστος όρος απορροφά το F και απορροφάται από το T. π.χ Ο κάθε ένας από τους παρακάτω όρους απορροφά όλους τους επόµενους : T, A, A C, A B C, F. Ορισµός 17 (Συνένωση). Λέµε ότι δύο ελάχιστοι (µέγιστοι) όροι M 1, M 2 συνενώνονται όταν 1. Οι M 1, M 2 έχουνε ίδιες µεταβλητές πλην µιάς. 2. Η µεταβλητή που διαφοροποιεί τον M 1 από τον M 2 στον έναν όρο εµφανίζεται ως έχει ενώ στον άλλον η άρνηση της. Από την συνένωση προκύπτει ένας τρίτος ελάχιστος (µέγιστος) όρος, ο M 3, ο οποίος αποτελείται από τις κοινές µεταβλητές των M 1 και M 2. π.χ. Οι όροι A B C D και A B C D συνενώνονται στον A B D. Παραρτήρηση. Στην συνένωση χρησιµοποιούµε την ιδιότητα ότι µια µεταβλητή και η άρνηση της συνενώνονται στον όρο Τ. 4
1.4.1 Αλγόριθµος µεατροπής σε CNF/DNF Βήµα 1. Αντικαθιστούµε τους λογικούς συνδέσµους και µέσω των ακόλουθων ισοδυναµιών. α A B ( A B). ϐ A B (A B) ( A B) Βήµα 2. Ελαχιστοποιούµε το πεδίο (ή εύρος) των αρνήσεων χρησιµοποιώντας τις ισοδυναµίες. γ (A 1 A 2... A n ) A 1 A 2... A n. δ (A 1 A 2... A n ) A 1 A 2... A n. ε A A Βήµα 3. Χρησιµοποιούµε την επιµεριστικότητα της διάζευξης προς την σύζευξη, ώστε να µετατρέψουµε συζεύξεις που ϐρίσκονται µέσα στο πεδίο µιας διάζευξης σε σύζευξη διαζεύξεων. Βήµα 4. Αφαιρούµε διπλά γράµµατα από µέγιστους όρους, διπλούς µέγιστους όρους, αντικαθιστούµε ταυτολογίες µε το Τ και εφαρµόζουµε τους κανόνες απορρόφησης και συνένωσης, ει δυνατόν. Κανόνες απορρόφησης σε ταυτολογίες και αντινοµίες S Τ S S F F S Τ Τ S F S Ο αλγόριθµος µετατροπής σε DNF είναι ίδιος πέραν το 3ου ϐήµατος όπου χρησιµοποιούµε την επιµεριστικότητα της σύζευξης προς την διάζευξη, ώστε να µετατρέψουµε διαζεύξεις που ϐρίσκονται µέσα στο πεδίο µιας σύζευξης σε διαάζευξη συζεύξεων. 5
2 Ασκήσεις Ασκηση 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συµπερασµάτων στον Προτασιακό Λογισµό είναι έγκυρες. α) A B/A ϐ) A B/A γ) A (B C)/A C δ) A B, A B/A ε) A B, A/B α) Κάνουµε τον πίνακα αλήθειας A B A B A T T T T T F F T F T F F F F F F Οπως ϐλέπουµε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε καµία περίπτωση η A δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη. ϐ) Κάνουµε τον πίνακα αλήθειας A B A B A T T T T T F T T F T T F F F F F Οπως ϐλέπουµε, αν η πρόταση A είναι αληθής και η πρόταση B είναι αληθής, τότε η πρόταση A B είναι αληθής ενώ η πρόταση A είναι ψευδής. Άρα η εξαγωγή συµπεράσµατος δεν ειναι έγκυρη. γ) Κάνουµε τον πίνακα αλήθειας A B C B C A (B C) A C T T T T T T T T F F T T T F T F T T T F F F T T F T T T T T F T F F F F F F T F F T F F F F F F Οπως ϐλέπουµε, αν η πρόταση A (B C) είναι αληθής τότε σε καµία περίπτωση η A C δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη. δ) Κάνουµε τον πίνακα αλήθειας A B A B A B A T T T F T T F T T T F T T T F F F F F F 6
Οπως ϐλέπουµε αν οι προτάσεις A B, A B είναι αληθείς, τότε σε καµία περίπτωση η A δεν είναι ψευδής, οπότε η εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη. Παρατηρήστε ότι το σύνολο των προτάσεων από το οποίο προσπαθούµε να εξάγουµε συµπεράσµα είναι ασυνεπές δεν γίνεται και οι δύο προτάσεις ταυτόχρονα είναι αληθείς. Στην περίπτωση αυτή, οποιαδήποτε εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη. ε) Κάνουµε τον πίνακα αλήθειας A B A B B T T T T T F F F F T F T F F F F Οπως ϐλέπουµε αν οι προτάσεις A B, A είναι αληθείς τότε σε καµία περίπτωση η B δεν είναι ψευδής, επο- µένως η εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη. Σε αυτή την περίπτωση το σύνολο των προτάσεων από το οποίο προσπαθούµε να εξάγουµε συµπέρασµα είναι συνεπές. Ασκηση 2. Χρησιµοποιώντας τις ϐασικές προτάσεις του Προτασιακού Λογισµού αποδείξτε τις παρακάτω ισοδυναµίες α) (((A B) C) ((A C) (A B C))) B (A C) B ϐ) ((A B) (B (C A))) (A B) B (A C) γ) ((A B D) ((A C) (B D))) ((C D) B) (B D) (A B C) α) ϐ) γ) (((A B) C) ((A C) (A B C))) B [Μεταθετικότητα ] (((A B) C) (A C)) B [Απορρόφηση ] (((A C) (B C)) (A C)) B [Επιµερισµός στο ] (A C) B [Απορρόφηση ] ((A B) (B (C A))) (A B) [Επιµερισµός στο ] ((A B) B)) ((A B) (C A)) (A B) [Απορρόφηση ] B ((A B) (C A)) (A B) [Επιµερισµός στο ] B ((A C A) (B C A)) (A B) [Μεταθετικότητα ] [Αυτοπάθεια ] B ((A C) (B C A)) (A B) [Μεταθετικότητα ] [Απορρόφηση ) B (A C) (A B) [Μεταθετικότητα ] [Απορρόφηση ] B (A C) ((A B D) ((A C) (B D))) ((C D) B) [Μεταθετικότητα ] ((A B D) (B D) (A C)) ((C D) B) [Απορρόφηση ] ((B D) (A C)) ((C D) B) [Επιµερισµός στο ] [Μεταθετικότητα ] [Μεταθετικότητα ] ((B D) (A C)) ((B D) (C B)) [Επιµερισµός στο ] ((B D) (A C)) (C B)) [Αυτοπάθεια ] ((B D) (A B C) 7
Ασκηση 3. Μας δίνεται ο πίνακας αλήθειας A B C X T T T T T T F T T F T T T F F F F T T T F T F T F F T F F F F F Γράψτε µια πρόταση για την στήλη X του παραπάνω πινακα. Η πρόταση που εξάγεται από τον πίνακα αλήθειας είναι (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) [Συνένωση] (A B) (A B C) ( A B) [Συνένωση] B (A B C) Ασκηση 4. Γράψτε µια πρόταση για τη στήλη X του πίνακα αληθείας και επαληθεύστε την απάντηση σας. Η πρόταση που εξάγεται από τον πίνακα αλήθειας είναι A B C X T T T T T T F F T F T F T F F F F T T F F T F T F F T T F F F T (A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) [Συνένωση] (A B C) ( A B C) ( A B) [Επιµερισµός στο ] (A B C) (( A ( A B C)) ( B ( A B C))) [Επιµερισµός στο ] (A B C) (( A A) ( A B) ( A C) ( B A) ( B C)) [Αυτοπάθεια ] [Ταυτολογία] (A B C) ( A ( A B) ( A C) ( B A) T ( B C)) [Απορρόφηση] (A B C) ( A ( A C) ( B A) ( B C)) [Απορρόφηση] (A B C) ( A ( B A) ( B C)) [Απορρόφηση] (A B C) ( A ( B C)) [Νόµος De Morgan] (A B C) ( A (B C)) (A (B C)) ( A (B C)) A (B C) 8
Για να επαληθεύσουµε ότι η πρόταση είναι η Ϲητούµενη ϑα κάνουµε τον πίνακα αλήθειας και ϑα εξετάσουµε αν οι αποτιµήσεις για τις οποίες αληθεύει (αν αληθεύει) συµπίπτουν µε αυτές του πίνακα στην εκφώνηση. A B C B C A (B C) T T T T T T T F F F T F T F F T F F F F F T T T F F T F F T F F T F T F F F F T Παρατηρούµε ότι οι αποτιµήσεις για τις οποίες αληθεύει η πρόταση X συµπίπτουν µε αυτές της πρότασης A (B C). Συνεπώς η Ϲητούµενη πρόταση είναι η A (B C). Ασκηση 5. είξτε ότι το S : A ( A B) ( A B) είναι ταυτολογία. 1 ος Τρόπος. A ( A B) ( A B) [Επιµερισµός του στο ] A ( A (B B)) [Επιµερισµός του στο ] (A A) (A (B B)) [Ταυτολογία] T (A T ) [Ταυτολογία] T T [Ταυτολογία] T 2 ος Τρόπος. Χρησιµοποιώντας πίνακα αλήθειας. A B A B A B A B S T T F F F F T T F F T F F T F T T F T F T F F T T F T T Ασκηση 6. είξτε ότι το S : A B ( A B) είναι αντινοµία. Άρα το S είναι αντινοµία. A B ( A B) (A B) (A B) [Νόµος De Morgan] Ασκηση 7. Εξετάστε αν η παρακάτω εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη (Q R) P/(R Q) P 9
Q R P Q R (Q R) P R Q (R Q) P T T T T T T T T T F T F T T T F T T T T T T F F T F T T F T T T T F T F T F T F F F F F T F F T T F F F F T T T Παρατηρούµε ότι όταν η πρόταση (Q R) P είναι αληθής, τότε και πρότσαση (R Q) R είναι αληθής. Εποµένως η εξαγωγή συµπεράσµατος είναι έγκυρη. Ασκηση 8. είξτε την ισοδυναµία των ακόλουθων προτάσεων µε χρήση γνωστών ισοδυναµιών του Προτασιακού Λογισµού και χωρίς τη χρήση πινάκων αληθείας. Για την πρώτη πρόταση έχουµε, (((P Q) R) (R ( Q R))) R, (R (R P )) (((P Q) R) (R ( Q R))) R [Αντικατάσταση ] (((P Q) R) (R ( Q R))) R [Απαλοιφή διπλής άρνησης] (((P Q) R) (R (Q R))) R [Αντικατάσταση ] (((P Q) R) ( R (Q R))) R [Απαλοιφή παρένθεσης] (((P Q) R) ( R Q R)) R [Μεταθετικότητα της ] (((P Q) R) ( R R Q)) R [Ταυτολογία] (((P Q) R) (T Q)) R [Απορρόφηση] (((P Q) R) T) R [Απορρόφηση] T R [Αντικατάσταση ] T R F R R Για την δεύτερη πρόταση έχουµε, (R (R P )) [Αντικατάσταση ] ( R ( (R P ))) [Νόµος De Morgan] ( R ( R P ))) [Νόµος De Morgan] R (R P ) [Απορρόφηση] R Καταλήξαµε δηλαδή, ότι µε χρήση των κανόνων του Προτασιακού Λογισµόυ, οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναµες. Ασκηση 9. είξτε ότι η ακόλουθη πρόταση είναι ταυτολογία µε χρήση γνωστών ισοδυναµιών του Προτασιακού Λογισµού και χωρίς την χρήση πινάκων αληθείας. (R Q) (R ((R Q) P )) 10
(R Q) (R ((R Q) P )) [Αντικατάσταση ] (R Q) (R ((R Q) P )) [Νόµος De Morgan] R Q (R ((R Q) P )) [Απαλοιφή παρένθεσης] R Q R ((R Q) P ) [Μεταθετικότητα ] R R ((R Q) P ) Q [Ταυτολογία] T ((R Q) P ) Q [Απορρόφηση] T Συνεπώς η πρόταση (R Q) (R ((R Q) P )) είναι ταυτολογία. Ασκηση 10. Να µετατρέψετε την πρόταση (A B) ((B (C ((C D) A)))) C) σε CNF. 1. Αφαιρούµε τις µη απαραίτητες παρενθέσεις. Στην συγκερκιµένη περίπτωση δεν υπάρχουν. 2. Βρίσκουµε τη διάζευξη που ϐρίσκεται σε µεγαλύτερο ϐάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον µία σύζευξη. Κατόπιν εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα της διάζευξης και έχουµε 3. Επαναλαµβάνουµε το ϐήµα 2. (A B) ((B (C ((C D) A)))) C) (A B) ((B (C ((C A) (D A))))) C) (A B) ((B (C ((C A) (D A))))) C) (A B) ((B C) (B C A) (B D A)) C) 4. Επαναλαµβάνουµε το ϐήµα 2 (παρατηρούµε ότι πρόκειται για ολόκληρη την πρόταση). (A B) ((B C) (B C A) (B D A)) (A B C) (A B C A) (A B D A) (A C) (B B C) (B B C A) (B B D A) (B C) 5. Χρησιµοποιούµε τους κανόνες της αυτοπάθειας. (A B C) (A B C) (A B D) (A C) (B C) (B C A) (B D A) (B C) 6. Εξαλείφουµε επαναλαµβανόµενες προτάσεις. (A B C) (A B D) (A C) (B C) 7. Χρησιµοποιούµε τους κανόνες απορρόφησης (A B D) (A C) (B C) Συνεπώς καταλήγουµε ότι η πρόταση (A B D) (A C) (B C) είναι σε CNF. Ασκηση 11. Να µετατρέψετε την πρόταση (A B) (A (C B)) σε CNF και σε DNF. Θα µετατρέψουµε την δοσµένη πρόταση σε CNF. 11
1. Αφαιρούµε τις µη απαραίτητες παρενθέσεις. Στην συγκερκιµένη περίπτωση δεν υπάρχουν. 2. Βρίσκουµε τη διάζευξη που ϐρίσκεται σε µεγαλύτερο ϐάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον µία σύζευξη. Κατόπιν εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα της διάζευξης και έχουµε (A B) (A (C B)) (A B) ((A C) (A B)) 3. Αφαιρούµε τις περιττές παρενθέσεις και επιστρέφουµε στο ϐήµα 2. (A B) (A C) (A B) 4. Προσπαθούµε να ϐρούµε τη διάζευξη η οποία ϐρίσκεται σε µεγαλύτερο ϐάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον µία σύζευξη. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει τέτοια διάζευξη, άρα προχωράµε στο επόµενο ϐήµα. 5. Απλοποιούµε κάθε διάζευξη χρησιµοποιώντας τους κανόνες της αυτοπάθειας. Παρατηρούµε ότι δεν υ- πάρχουν διαζεύξεις όπου µπορούµε να εφαρµόσουµε αυτούς τους κανόνες, άρα προχωράµε στο επόµενο ϐήµα. 6. Εξαλείφουµε επαναλαµβανόµενες προτάσεις. (A B) (A C) Καταλήγουµε ότι η πρόταση (A B) (A C) είναι σε µορφή CNF. Θα µετατρέψουµε την δοσµένη πρόταση σε DNF. 1. Αφαιρούµε τις µη απαραίτητες παρενθέσεις. Στην συγκερκιµένη περίπτωση δεν υπάρχουν. 2. Βρίσκουµε τη σύζευξη που ϐρίσκεται σε µεγαλύτερο ϐάθος και η οποία περιέχει τουλάχιστον µία διάζευξη. Κατόπιν εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα της σύζευξης και έχουµε (A B) (A (C B)) (A (A (C B))) (B (A (C B))) 3. Επιστρέφουµε στο ϐήµα 2. Παρατηρούµε ότι έχουµε τόσο την (A (A (C B))) όσο και την (B (A (C B))), δεν έχει σηµασία µε ποια από τις δύο ϑα δουλέψουµε πρώτα. (A (A (C B))) (B (A (C B))) ((A A) (A (C B))) (B (A (C B))) ((A A) (A (C B))) ((B A) (B (C B))) 4. Αφαιρούµε περιττές παρενθέσεις. (A A) (A C B) (B A) (B C B) 5. Εφόσον δεν υπάρχει σύζευξη η οποία να περιέχει τουλάχιστον διάζευξη προχωράµε στο επόµενο ϐήµα. 6. Χρησιµοποιούµε τους κανόνες της αυτοπάθειας. A (A C B) (B A) (B C) 7. Χρησιµοποιούµε τους κανόνες απορρόφησης. Η πρόταση (B A) απορροφά την πρόταση (A C B) και µε την σειρά της η πρόταση A απορροφά την πρόταση (B A). Άρα έχουµε A (B C) 12
Καταλήγουµε ότι η πρόταση A (B C) είναι σε DNF. Ασκηση 12. Μετατρέψτε τις ακόλουθες προτάσεις σε CNF. είξτε όλα τα ϐήµατα µετατροπής 1) ((A B) C) (A C) 2) ( ((A B) ( A B)) C) 1) Για την πρόταση ((A B) C) (A C) έχουµε Βήµα 1 Αντικαθιστούµε τις συνεπαγωγές και τις ισοδυναµίες δουλέυοντας από µέσα προς τα έξω ((A B) C) (A C) (( A B) C) ( A C) ( ( A B) C) ( A C) (( ( A B) C) ( A C)) ( ( ( A B) C) ( A C)) Βήµα 2 Μειώνουµε το πεδίο των αρνήσεων (( ( A B) C) ( A C)) ( ( ( A B) C) ( A C)) ((( A B) C) ( A C)) ( ( A B) C) ( A C) Χρησιµοποιούµε τον κανόνα της απαλοιφής της διπλής άρνησης (((A B) C) ( A C)) (( A B) C A C) Βήµα 3 Χρησιµοποιούµε την επιµεριστικότητα της διάζευξης (((A C) ( B C)) ( A C)) (( A B) C A C) (A C A B) (A C C) (A C A) (A C C) ( B C A B) ( B C C) ( B C A) ( B C C) ( A C C B) ( A C C) ( A C A) ( A C C) Βήµα 4 Αφαιρούµε τα διπλά γράµµατα και τους διπλούς µέγιστους όρους (A C A B) (A C C) (A C) ( B C A B) ( B C C) ( B C A) ( A C C B) ( A C C) ( A C A) Αντικαθιστούµε τις ταυτολογίες µε Τ T T (A C) T T ( B C A) ( A C B) T T (A C) ( B C A) ( A C B) Τέλος το ( B C A) απορροφάται από το (A C), οπότε η τελική πρόταση σε CNF είναι (A C) ( A C B) 2) Για την πρόταση ( ((A B) ( A B)) C) έχουµε Βήµα 1 Αντικαθιστούµε τη συνεπαγωγή ( ((A B) ( A B)) C) ( ( ((A B) ( A B))) C) 13
Βήµα 2 Μειώνουµε το πεδίο των αρνήσεων Απαλείφουµε τις διπλές αρνήσεις ((A B) ( A B)) C ( (A B) ( A B)) C (( A B) ( A B)) C (( A B) (A B)) C Βήµα 3 Χρησιµοποιούµε την επιµεριστικότητα της διάζευξης Βήµα 4 Αντικαθιστούµε τις ταυτολογίες µε Τ ((( A B) A) (( A B) B)) C ( A A) ( B A) ( A B) ( B B) C T ( B A) ( A B) T C Από τους κανόνες απορρόφησης καταλήγουµε στην τελική πρόταση που είναι CNF ( B A) ( A B) C 14