Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις που δεν είναι εφικτή η αυθαίρετη λύση µε µηδενικές µεταβλητές απόφασης χρησιµοποιήσαµε την τεχνική των δύο ϕάσεων
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις που δεν είναι εφικτή η αυθαίρετη λύση µε µηδενικές µεταβλητές απόφασης χρησιµοποιήσαµε την τεχνική των δύο ϕάσεων Μπορούµε να αποφύγουµε την παραπάνω διαδικασία χρησιµοποιώντας την ϑεωρία του δυϊσµού χρησιµοποιώντας µόνο µια ϕορά τον αλγόριθµο της Simplex
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις που δεν είναι εφικτή η αυθαίρετη λύση µε µηδενικές µεταβλητές απόφασης χρησιµοποιήσαµε την τεχνική των δύο ϕάσεων Μπορούµε να αποφύγουµε την παραπάνω διαδικασία χρησιµοποιώντας την ϑεωρία του δυϊσµού χρησιµοποιώντας µόνο µια ϕορά τον αλγόριθµο της Simplex Σύµφωνα µε αυτή τη ϑεωρία για κάθε πρωταρχικό πρόβληµα P υπάρχει το δυϊκό του D
Αλγεβρική Μορφή υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P n max z = c j x j s.t. n a ij x j b i, 1 i m x j 0 1 j n
Αλγεβρική Μορφή υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P n max z = c j x j s.t. n a ij x j b i, 1 i m x j 0 1 j n υϊκό Πρόβληµα D m min w = b i y i s.t. m a ij y i c j, 1 j n y i 0 1 i m
Μορφή Πινάκων υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z =cx s.t. Ax b x 0
Μορφή Πινάκων υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z =cx s.t. Ax b x 0 υϊκό Πρόβληµα D min w =b T y s.t. A T y c T y 0
Παράδειγµα - Υπογραφή Συµβολαίων Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z = 8x 1 + 6x 2 = 2 (4x 1 + 3x 2 ) s.t. 5x 1 + 3x 2 30 2x 1 + 3x 2 24 x 1 + 3x 2 18 x 1, x 2 0
Παράδειγµα - Υπογραφή Συµβολαίων Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z = 8x 1 + 6x 2 = 2 (4x 1 + 3x 2 ) s.t. 5x 1 + 3x 2 30 2x 1 + 3x 2 24 x 1 + 3x 2 18 x 1, x 2 0 υϊκό Πρόβληµα D min w = 30y 1 + 24y 2 + 18y 3 s.t. 5y 1 + 2y 2 + y 3 4 3y 1 + 3y 2 + 3y 3 3 y 1, y 2, y 3 0
Παρατηρήσεις Παρατηρούµε µια σχέση ανάµεσα από κάθε περιορισµό i του πρωταρχικού προβλήµατος µε την µεταβλητή y i του δυϊκού προβλήµατος
Παρατηρήσεις Παρατηρούµε µια σχέση ανάµεσα από κάθε περιορισµό i του πρωταρχικού προβλήµατος µε την µεταβλητή y i του δυϊκού προβλήµατος Αντίστοιχα ανάµεσα από κάθε µεταβλητή x j του πρωταρχικού προβλήµατος µε τον περιορισµό j του δυϊκού προβλήµατος και την αντίστοιχη µεταβλητή απόκλισης y m+j
Παρατηρήσεις Παρατηρούµε µια σχέση ανάµεσα από κάθε περιορισµό i του πρωταρχικού προβλήµατος µε την µεταβλητή y i του δυϊκού προβλήµατος Αντίστοιχα ανάµεσα από κάθε µεταβλητή x j του πρωταρχικού προβλήµατος µε τον περιορισµό j του δυϊκού προβλήµατος και την αντίστοιχη µεταβλητή απόκλισης y m+j Οι σχέσεις αυτές δίνονται στους παρακάτω πίνακες
Πίνακες µετατροπής Πρωταρχικό υϊκό n Περιορισµός a ij x j b i Μεταβλητή y i 0 Περιορισµός Περιορισµός n a ij x j = b i Μεταβλητή y i R n a ij x j b i Μεταβλητή y i 0
Πίνακες µετατροπής Πρωταρχικό Μεταβλητή x j 0 Μεταβλητή x j R Μεταβλητή x j 0 υϊκό m Περιορισµός a ij y i c j Περιορισµός Περιορισµός m a ij y i = c j m a ij y i c j
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη max z =cx s.t. Ax b x 0
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 min w =b T y s.t. A T y c T y 0
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 min w =b T y s.t. A T y c T y 0 max w = b T y s.t. Ax c T y 0
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 D(D(P)) min w =b T y s.t. A T y c T y 0 max w = b T y s.t. Ax c T y 0 min z =(c T ) T x s.t. (A T ) T x (b T ) T x 0
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 D(D(P)) min w =b T y s.t. A T y c T y 0 max w = b T y s.t. Ax c T y 0 D(D(P)) min z =(c T ) T x s.t. (A T ) T x (b T ) T x 0 max z =cx s.t. Ax b x 0
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) µια εφικτή λύση για το P και (y 1,..., y m ) µια εφικτή n m λύση για το δυϊκό του D. Ισχύει πώς : c j x j b i y i
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) µια εφικτή λύση για το P και (y 1,..., y m ) µια εφικτή n m λύση για το δυϊκό του D. Ισχύει πώς : c j x j b i y i Απόδειξη n c j x j = n m ( a ij y i )x j m n ( a ij x j )y i m b i y i
Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i
Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i Αντίστοιχα κάθε λύση του πρωταρχικού αποτελεί ένα κάτω ϕράγµα n για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού w c j x j
Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i Αντίστοιχα κάθε λύση του πρωταρχικού αποτελεί ένα κάτω ϕράγµα n για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού w c j x j Αµεσο συµπέρασµα είναι πως εάν ένα πρόβληµα είναι εφικτό και µη ϕραγµένο το δυϊκό του είναι µη εφικτό (κενός χώρος εφικτών λύσεων)
Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i Αντίστοιχα κάθε λύση του πρωταρχικού αποτελεί ένα κάτω ϕράγµα n για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού w c j x j Αµεσο συµπέρασµα είναι πως εάν ένα πρόβληµα είναι εφικτό και µη ϕραγµένο το δυϊκό του είναι µη εφικτό (κενός χώρος εφικτών λύσεων) Ενα πολύ σηµαντικό ϑεώρηµα για τις ϐέλτιστες λύσεις του δυϊκού είναι το παρακάτω
Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο.
Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο. Εστω x η ϐέλτιστη λύση. Για τις µεταβλητές απόκλισης ισχύει : n x n+1 = b i a ij x j
Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο. Εστω x η ϐέλτιστη λύση. Για τις µεταβλητές απόκλισης ισχύει : n x n+1 = b i a ij x j n+m Επιπλέον για το τελικό λεξικό ισχύει : z = z η k x k k=1 (η k = 0 για µεταβλητές x k B ενώ η k 0 για x k EB)
Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο. Εστω x η ϐέλτιστη λύση. Για τις µεταβλητές απόκλισης ισχύει : n x n+1 = b i a ij x j n+m Επιπλέον για το τελικό λεξικό ισχύει : z = z η k x k k=1 (η k = 0 για µεταβλητές x k B ενώ η k 0 για x k EB) n m n z = z η j x j η n+i (b i a ij x j )
Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη(Συνέχεια) n z = z η j x j m η n+i b i + m n η n+i ( a ij x j )
Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη(Συνέχεια) n m m n z = z η j x j η n+i b i + η n+i ( a ij x j ) z = z m η n+i b i + n m ( η n+i a ij η j )x i
Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη(Συνέχεια) n z = z η j x j z = z m η n+i b i + m η n+i b i + m n η n+i ( a ij x j ) n m ( η n+i a ij η j )x i Χρησιµοποιώντας την ισότητα πολυωνύµων ϑέτοντας n z = c j x j καταλήγουµε στις σχέσεις z = m η n+i b i c j = ( m η n+ia ij ) η j για 1 j n
Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη (Συνέχεια) Αφού η j 0 m c j η n+i a ij
Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη (Συνέχεια) Αφού η j 0 m c j η n+i a ij Αρα ή (η n+1,..., η n+m ) είναι εφικτή λύση του δυϊκού προβλήµατος. Επιπλέον είναι η ελάχιστη αφού ταυτίζεται µε µία λύση του πρωταρχικού και σύµφωνα µε το πρώτο ϑεώρηµα οποιαδήποτε λύση του δυϊκού είναι άνω ϕράγµα για όλες τις λύσεις του πρωταρχικού
Συµπεράσµατα Μπορούµε µε τη Simplex να καθορίσουµε την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού προβλήµατος από την επίλυση του αρχικού
Συµπεράσµατα Μπορούµε µε τη Simplex να καθορίσουµε την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού προβλήµατος από την επίλυση του αρχικού Θέτουµε y i = η n+i για 1 i m όπου η n+i οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης των µεταβλητών απόκλισης στο τελευταίο λεξικό
Συµπεράσµατα Μπορούµε µε τη Simplex να καθορίσουµε την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού προβλήµατος από την επίλυση του αρχικού Θέτουµε y i = η n+i για 1 i m όπου η n+i οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης των µεταβλητών απόκλισης στο τελευταίο λεξικό Στη περίπτωση των πινάκων η ϐέλτιστη λύση του δυϊκού δίνεται από την κολόνα y του Βήµατος 3
Παράδειγµα Υπογραφή Συµβολαίων Λεξικό 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 3 = {3, 5} Βασική Εφικτή Λύση : ΒΕΛ 3 = {3, 5, 0, 3, 0} x 1 = 1 4 x 3 x 2 = x 4 = 1 12 x 3 1 4 x 3 + z = 3 4 x 3 1 4 x 5 + 3 5 12 x 5 + 5 3 4 x 5 + 3 1 4 x 5 + 27
Παράδειγµα Υπογραφή Συµβολαίων Λεξικό 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 3 = {3, 5} Βασική Εφικτή Λύση : ΒΕΛ 3 = {3, 5, 0, 3, 0} x 1 = 1 4 x 3 x 2 = x 4 = 1 12 x 3 1 4 x 3 + z = 3 4 x 3 1 4 x 5 + 3 5 12 x 5 + 5 3 4 x 5 + 3 1 4 x 5 + 27 Θέτουµε y 1 = η 2+1 = 3 4 και y 3 = η 2+3 = 1 4
Σχέση περιορισµών-µεταβλητών Πολλές ϕορές αφού λύσουµε ένα πρόβληµα καταγράφουµε µόνο τη ϐέλτιστη λύση και όχι την σκιαγράφηση του αλγορίθµου
Σχέση περιορισµών-µεταβλητών Πολλές ϕορές αφού λύσουµε ένα πρόβληµα καταγράφουµε µόνο τη ϐέλτιστη λύση και όχι την σκιαγράφηση του αλγορίθµου Ακόµη και σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει δυνατότητα προσδιορισµού της λύσης του δυϊκού µε ϐάση τα επόµενα ϑεωρήµατα
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) (y 1,..., y m) λύσεις για το πρωταρχικό P και το δυϊκό D αντίστοιχα. Οι δύο λύσεις είναι ϐέλτιστες αν και µόνο αν ισχύει : 1 x j = 0 ή y m+j = 0 για 1 j n 2 y i = 0 ή x n+i = 0 για 1 i m
Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) (y 1,..., y m) λύσεις για το πρωταρχικό P και το δυϊκό D αντίστοιχα. Οι δύο λύσεις είναι ϐέλτιστες αν και µόνο αν ισχύει : 1 x j = 0 ή y m+j = 0 για 1 j n 2 y i = 0 ή x n+i = 0 για 1 i m Παρατήρηση Το ή στις παραπάνω συνθήκες δεν είναι αποκλειστικό
Θεωρία υϊσµού Απόδειξη Αφού οι λύσεις x και y είναι ϐέλτιστες ϑα ισχύει: n n m m n m c j x j = ( a ij y i )x j = ( a ij x j )y i = b i y i
Θεωρία υϊσµού Απόδειξη Αφού οι λύσεις x και y είναι ϐέλτιστες ϑα ισχύει: n n m m n m c j x j = ( a ij y i )x j = ( a ij x j )y i = b i y i n m (c j ( a ij y i ))x j = 0 x j = 0 ή c j ( m a ijy i ) = x j = 0 ή y n+j = 0
Θεωρία υϊσµού Απόδειξη Αφού οι λύσεις x και y είναι ϐέλτιστες ϑα ισχύει: n n m m n m c j x j = ( a ij y i )x j = ( a ij x j )y i = b i y i n m (c j ( a ij y i ))x j = 0 x j = 0 ή c j ( m a ijy i ) = x j = 0 ή y n+j = 0 m n (b i ( a ij x j ))y i = 0 y i = 0 ή b i ( n a ijx j ) = y i = 0 ή x m+i = 0
Θεωρία υϊσµού Ορισµός Θα συµβολίζουµε έναν περιορισµό της µορφής η ως κορεσµένο όταν ισχύει η ισότητα
Θεωρία υϊσµού Ορισµός Θα συµβολίζουµε έναν περιορισµό της µορφής η ως κορεσµένο όταν ισχύει η ισότητα Πόρισµα Εστω x µια ϐέλτιστη λύση του πρωταρχικού προβλήµατος P. Για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού y ισχύει : Εάν η µεταβλητή x j είναι αυστηρά µεγαλύτερη του µηδενός τότε ο περιορισµός j του δυϊκού προβλήµατος D είναι κορεσµένος. Εάν ο περιορισµός i δεν είναι κορεσµένος τότε η µεταβλητή y j ισούται µε το µηδέν.
Θεωρία υϊσµού Ορισµός Θα συµβολίζουµε έναν περιορισµό της µορφής η ως κορεσµένο όταν ισχύει η ισότητα Πόρισµα Εστω x µια ϐέλτιστη λύση του πρωταρχικού προβλήµατος P. Για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού y ισχύει : Εάν η µεταβλητή x j είναι αυστηρά µεγαλύτερη του µηδενός τότε ο περιορισµός j του δυϊκού προβλήµατος D είναι κορεσµένος. Εάν ο περιορισµός i δεν είναι κορεσµένος τότε η µεταβλητή y j ισούται µε το µηδέν. Παρατήρηση Στις παραπάνω προτάσεις δεν ισχύει η διπλή συνεπαγωγή. Υπάρχουν περιπτώσεις που ένας περιορισµός είναι κορεσµένος ενώ η αντίστοιχη µεταβλητή του δυϊκού είναι µηδενική
Συµπεράσµατα Οπως έχουµε δει κάθε πρόβληµα µπορεί να είναι εφικτό µε ϐέλτιστη λύση, µη εφικτό, εφικτό µη ϕραγµένο
Συµπεράσµατα Οπως έχουµε δει κάθε πρόβληµα µπορεί να είναι εφικτό µε ϐέλτιστη λύση, µη εφικτό, εφικτό µη ϕραγµένο Από τους 9 διαφορετικούς συνδυασµούς χαρακτηρισµών των δύο προβληµάτων, πρωταρχικού και δυϊκού µόνο 5 είναι δυνατοί
Συµπεράσµατα Οπως έχουµε δει κάθε πρόβληµα µπορεί να είναι εφικτό µε ϐέλτιστη λύση, µη εφικτό, εφικτό µη ϕραγµένο Από τους 9 διαφορετικούς συνδυασµούς χαρακτηρισµών των δύο προβληµάτων, πρωταρχικού και δυϊκού µόνο 5 είναι δυνατοί υϊκό D Μ Ε Ε Μ Φ Β Λ Πρωταρχικό P Μ Ε " " Ε Μ Φ " Β Λ "
Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου
Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου εν µπορούµε όµως να γνωρίζουµε πιο από τα δύο ϑα µας οδηγήσει στα λιγότερα ϐήµατα
Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου εν µπορούµε όµως να γνωρίζουµε πιο από τα δύο ϑα µας οδηγήσει στα λιγότερα ϐήµατα Η χρήση όµως πίνακα ϐάσης µικρότερων διαστάσεων µπορεί να επιταχύνει τους υπολογισµούς πινάκων των Βηµάτων 2 και 3
Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου εν µπορούµε όµως να γνωρίζουµε πιο από τα δύο ϑα µας οδηγήσει στα λιγότερα ϐήµατα Η χρήση όµως πίνακα ϐάσης µικρότερων διαστάσεων µπορεί να επιταχύνει τους υπολογισµούς πινάκων των Βηµάτων 2 και 3 Επιπλέον σε περιπτώσεις που η Αρχική Βασική Εφικτή Λύση δεν είναι τετριµµένη µπορούµε να καταφύγουµε στην επίλυση του δυϊκού
Παράδειγµα Πρωταρχικό Πρόβληµα P min z = 30x 1 + 24x 2 + 18x 3 s.t. 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 4 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0
Παράδειγµα Πρωταρχικό Πρόβληµα P max w = 30x 1 24x 2 18x 3 s.t. 5x 1 2x 2 2x 3 4 3x 1 3x 2 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0
Παράδειγµα υϊκό Πρόβληµα D min w = 8y 1 6y 2 s.t. 5y 1 3y 2 30 2y 1 3y 2 24 y 1 3y 2 18 y 1, y 2 0
Παράδειγµα υϊκό Πρόβληµα D max w = 8y 1 + 6y 2 s.t. 5y 1 + 3y 2 30 2y 1 + 3y 2 24 y 1 + 3y 2 18 y 1, y 2 0