Studim i Sistemeve të Thjeshta me Fërkim në Kuadrin e Mekanikës Kuantike

Studim i Sistemeve të Thjeshta me Fërkim në Kuadrin e Mekanikës Kuantike Puna e Diplomës paraqitur në Departamentin e Fizikës Teorike Universiteti i Tiranës nga Dorian Kçira udhëheqës Prof. H. D. Dahmen Universiteti i Siegen, Gjermani Prill 2007

Pasqyra e Lëndës 1 Hyrje......................................... 1 2 Oshilatori Harmonik me Shuarje me Hamiltonian Johermitian..... 3 2.1 Arsyeja e Zgjedhjes së një Hamiltoniani Johermitian.............. 3 2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse................. 4 2.2.1 Zhvillimi Kohor i një Gjendjeje Stacionare................ 4 2.2.2 Zhvillimi i një Gjendjeje Koherente Kuazi-Klasike........... 5 2.2.3 Konkluzione për Oshilatorin me Shuarje................. 7 2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues.................. 9 2.3.1 Një Formë Konkrete për Termin Detyrues................ 10 2.3.2 Veprimi i Operatorit W S mbi Boshllëkun (Vakuumin)......... 11 2.3.2.1 Zhvillimi i Boshllëkut për Kohë të Mëdha........... 12 2.3.2.2 Zhvillimi i Boshllëkut në Rezonancë.............. 13 2.3.2.3 Rezonanca në Kohë të Mëdha................. 14 2.3.3 Veprimi mbi një Gjendje Jobazë..................... 18 2.3.3.1 Gjendja Stacionare për Kohë të Mëdha............ 19 2.3.3.2 Dy Raste Speciale........................ 20 2.3.3.3 Studimi i Rezonancës...................... 21 2.3.4 Veprimi i W S mbi një Gjendje Kuazi-Klasike.............. 21 2.3.4.1 Rasti pa Operatorë të Zhdukjes të Bozoneve......... 24 2.3.4.2 Vlerat Mesatare të Koordinatës, Impulsit dhe Energjisë... 24 2.3.4.3 Funksioni Valor në Paraqitjen Koordinative.......... 26 2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë......................... 27 3 Oshilatori Harmonik i Detyruar........................ 32 3.1 Oshilatori Harmonik i Detyruar në Paraqitjen e Heisenberg-ut......... 32 4 Modeli i Dytë.................................... 38 4.1 Kuantizimi i një Oshilatori Harmonik Klasik me Shuarje............ 38 4.2 Zhvillimi Kohor për Hamiltonianin me Shuarje H 0 + H 1............ 41 4.2.1 Ekuacioni Diferencial për Operatorin e Zhvillimit............ 41 4.2.2 Zgjidhja e Ekuacionit Diferencial për Operatorin e Zhvillimit me anën e Faktorizimit............................ 42 4.2.3 Zhvillimi i Gjendjes Bazë së Sistemit të Paperturbuar......... 43 4.2.4 Konkluzione................................. 45 i

Pasqyra e Lëndës ii 4.3 Shtimi i një Force të Jashtme Detyruese.................... 46 4.4 Zhvillimi Kohor i Vakuumit për Hamiltonianin me Term Detyrues H new... 47 4.4.1 Rasti i Termit Detyrues Hermitian. Forma Konkrete e Tij....... 48 4.4.2 Probabilitetet e Kalimit në një Gjendje të Çfarëdoshme Përfundimtare 49 4.4.3 Studimi i Problemit për Kohë të Mëdha................. 52 4.4.4 Studimi i Hollësishëm i Probabilitetit për të Mbetur në Gjendjen Bazë 52 4.4.5 Konkluzione mbi Modelin e Dytë..................... 54 A Disa Formula të Rëndësishme të Algjebrës së Operatorëve....... 56 A.1 Formula Baker-Campbell-Hausdorff........................ 56 A.1.1 Formula e Glauber-it............................ 56 A.2 Teoremë 1...................................... 58 A.3 Teoremë 2...................................... 59 A.4 Lema Hausdorff................................... 59 B Teorema për Operatorët e Lindjes dhe Zhdukjes së Bozoneve..... 61 B.1 Teoremë 3...................................... 61 B.2 Teoremë 4...................................... 61 C Funksionet e Green-it............................... 63 D Referenca....................................... 68

1. Hyrje Problemi i Oshilatorit Harmonik me shuarje është një problem i ezauruar në kuadrin e mekanikës klasike. Por një trajtim i plotë kuantik i tij nuk është dhënë akoma. Në përgjithësi trajtimi i sistemeve disipativë me metodat e mekanikës kuantike nuk është aq i thjeshtë. Vështirësi paraqet fakti që nuk është gjithmonë e mundur të kuantizohen këto sisteme. Nga ana tjetër, relacionet kanonike të komutimit nuk ruhen për shkak të termave shuarës. Por në vitet e fundit ide me rëndësi janë zhvilluar në këtë drejtim [14, 15, 16, 17]. Në artikullin [14] theksohet se në parim nuk ka vend për sistemet disipativë në mekanikën kuantike sepse formalizmi i saj bazohet në ruajtjen e probabiliteteve dhe se duhet futur ndonjë lloj formalizmi i përgjithësuar për të përshkruar sistemet me shuarje. Prandaj në këtë punë kemi përdorur dy metoda të ndryshme për trajtimin e oshilatorit harmonik me fërkim. Në modelin e parë kemi zgjedhur një Hamiltonian johermitian të ngjashëm me atë të oshilatorit harmonik linear por me një frekuencë komplekse në vend të asaj reale. Pjesa imagjinare e kësaj frekuence lot rolin e koeficientit të shuarjes. Ne studiojmë se si zhvillohen në kohë gjendjet stacionare. Për të shqyrtuar se sa e shpjegon ky sistem situatën klasike kemi studiuar gjithashtu sjelljen e gjendjeve koherente kuazi-klasike të oshilatorit harmonik nën këto kushte. Ato janë gjendje kuantum-mekanike që japin një përshkrim të realitetit të afërt me atë të mekanikës klasike. Pastaj vazhdojmë me studimin e përgjigjes së sistemit ndaj një termi detyrues të jashtëm në Hamiltonian. Nqs termi detyrues nuk përmban operatorë anihilimi, atëherë gjithmonë sistemi arrin ekuilibrin pas një faze kalimtare fillestare. Megjithë mosruajtjen e probabilitetit modeli i parë shpjegon shumë veti të oshilatorit harmonik me shuarje dhe të oshilatorit harmonik të detyruar dhe me fërkim. Modeli i dytë bazohet në punën e G. Vitiello, E. Celeghini, M. Rasetti, Y. N. Srivastava, A. Iorio dhe A. Widom. Modeli konsiston në kuantizimin e një oshilatori harmonik klasik me shuarje duke dyfishuar dimensionet e hapësirës së tij fazore. Gradët e reja të lirisë kështu të futura losin rolin e gradëve të lirisë të rezervuarit termik dhe lejojnë të nxirret ekuacioni i i oshilatorit me shuarje nga një parim variacional. Në ketë mënyrë kemi një Hamiltonian që përshkruan një sistem të plotë, rezervuarin termik dhe bashkëveprimin e sistemit me të. Edhe këtu, ashtu si në sistemin e parë, i shtohet Hamiltonianit një term detyrues dhe bëhet një studim i hollësishëm i probabiliteteve të kalimit. Siç theksohet në [14],... zhvillimi kohor nxjerr jashtë hapësirës Hilbertiane të gjendjeve.... Në studimin tonë ne kemi gjetur që edhe në rastin kur sistemi i nënshtrohet veprimit të një termi detyrues ai e le përsëri hapësirën e gjendjeve të Hilbert-it. 1

2 Shumica e ploteve në këtë punë janë prodhuar nga programe të shkruara në gjuhën e programimit FORTRAN dhe të integruara në programin INTERQUANTA (the Interactive Picture of Quantum Mechanics) të zhvilluar nga S. Brandt dhe H. D. Dahmen. Programet janë ekzekutuar në një IBM RISC System/6000 nën sistemin e shfrytëzimit AIX version 3.2. Disa grafikë janë prodhuar nga Mathematica (VAX/VMS) Version 1.2 dhe nga Maple V Release 3 për X Windows. Diploma është shtypur me sistemin L A TEX të përgatitjes së dokumenteve të bazuar në programin TEX Version 3.141. Edhe grafikët janë përfshirë në dokumentin e shkruar me anë të L A TEX. Kjo punë është zhvilluar në Universitetin e Siegen-it nën drejtimin dhe bashkëpunimin shumë të rëndësishëm të profesor H. D. Dahmen. I shpreh atij mirënjohjen time të thellë për gjitha sugjerimet dhe idetë shumë të vlefshme që bënë të mundur kryerjen dhe perfeksionimin e kësaj pune. I jam shumë mirënjohës Erion Gjonaj dhe Anli Shundit për asistencën dhe komentet shumë ndihmëse. Falendërime të veçanta kam për Tilo Stroh për gatishmërinë dhe durimin në përgjigjen e gjitha pyetjeve të mia si edhe për vërejtjet dhe sugjerimet e tij. Ndihmë shumë të madhe për shkruarjen e versionit shqip të diplomës me anë të L A TEX dha Anli Shundi. Pa ndihmën e tij kjo do kishte qënë shumë e vështirë. Dorian Kçira Dhjetor 1995

2. Oshilatori Harmonik me Shuarje me Hamiltonian Johermitian 2.1 Arsyeja e Zgjedhjes së një Hamiltoniani Johermitian Problemi i sistemeve me fërkim në mekanikën kuantike është akoma mjaft i diskutuar në literaturën shkencore. Parimisht, detajet e atyre gradëve të lirisë që në të cilat përhapet energjia e një sistemi të dhënë duhen njohur dhe duhen marrë parasysh. Futja e konceptit të fërkimit në kuadrin e mekanikës Hamiltoniane, e cila qëndron në bazë të mekanikës kuantike, nuk është e mundur. Për thjeshtësi le të konsiderojmë një oshilator harmonik njëdimensional me frekuencë Ω. Disipacioni i energjisë është i mundur vetëm nqs ekziston një sistem tjetër i gradëve të lirisë të çiftuara me oshilatorin, i quajtur zakonisht rezervuari termik. Në një situatë fizike ku fillimisht oshilatori është në gjendjen e eksituar ϕ i > dhe sistemi i gradëve të tjera të lirisë është në gjendjen bazë Φ 0 >, sistemi i të dyve bashkë ndodhet në gjendjen produkt Ψ(0) >= ϕ i > Φ 0 >. Çiftimi mes oshilatorit dhe rezervuarit termike transformon këtë gjendje fillestare në gjendjen korreluar Ψ(t) >= a mn (t) ϕ n > Φ m >, a mn (t) 2 = 1, m,n që është superpozim i të gjitha gjendjeve produkt ϕ n > Φ m > të ketëve vetjakë ϕ n > të oshilatorit harmonik dhe atyre Φ m > të rezervuarit termik. Meqë rezervuari nuk mbetet në gjendjen bazë Φ 0 >, sistemi nuk trajtohet dot si oshilator me një grimcë sepse transferimi energjisë nga gjendja ϕ i > Φ 0 > drejt gjendjeve ϕ n > Φ m > shoqërohet me transferim probabiliteti. Me kalimin e kohës, gjendja fillestare përfshihet në gjendjen Ψ(t) > me probabilitet a n0 (t) 2 < 1. Ashtu si në modelin optik, do ta shqyrtojmë këtë humbje probabiliteti në një mënyrë të thjeshtë duke i shtuar Hamiltonianit të oshilatorit harmonik të paperturbuar termin johermitian H 0 = hωa + A H I = i hγa + A. Ai lehtëson njëkohësisht humbjen e energjisë dhe atë të probabilitetit. m,n 3

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse 4 Si hap të parë konsiderojmë oshilatorin e thjeshtë harmonik me shuarje dhe tregojmë që Hamiltoniani i zgjedhur jep një përshkrim të kënaqshëm të situatës klasike. Në këtë rast sistemi vetëm humbet energji. Ka një transferim të energjisë në gradë të tjera lirie të cilat ne nuk i konsiderojmë. Pastaj vazhdojmë më tej duke i shtuar një term tjetër që do e quajmë termi detyrues. Ky term detyrues është korresponduesi i një force të jashtme në rastin klasik. Dmth ne shqyrtojmë një Oshilator Harmonik të Detyruar me Fërkim nga pikëpamja e mekanikës kuantike. 2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse Hamiltoniani që shqyrtojmë në pjesën e parë të modelit tonë ka formën H = h(ω iγ) A + A, (2.2.1) ku A dhe A + janë përkatësisht operatorët e krijimit dhe zhdukjes dhe kënaqin relacionin e zakonshëm të komutimit [A +, A] = 1. Ky Hamiltonian është formalisht i ngjashëm me Hamiltonianin e oshilatorit harmonik linear të lirë H lho = hω A + A, por në vend të frekuencës vetjake reale Ω të oshilatorit të lirë këtu është vendosur frekuenca komplekse (Ω iγ). Siç do e shohim më poshtë, pjesa imagjinare γ lot rolin e koeficientit të shuarjes. 2.2.1 Zhvillimi Kohor i një Gjendjeje Stacionare Nisemi nga Hamiltoniani i dhënë në (2.2.1) dhe studiojmë zhvillimin e një gjendjeje stacionare n > ku n = 0, 1, 2,.... Këto gjendje janë gjendje vetjake të Hamiltonianit pa shuarje hω A + A. Para se të studiojmë zhvillimin kohor, shqyrtojmë operatorin përkatës të këtij zhvillimi. Ai përcaktohet nga ekuacioni i h d dt W = H W = h(ω iγ)a+ A W. Ky ekuacion diferencial ka zgjidhjen e thjeshtë W = e ī h Ht = exp [ i(ω iγ)t A + A ]. Tani le të llogarisim veprimin e W mbi gjendjen stacionare n >. Çdo gjendje stacionare n > është ket vetjak i operatorit A + A me vlerë vetjake n. Kështu ajo do të jetë gjithashtu eigenket i W me vlerë vetjake e i(ω iγ)nt. Veprimi i W mbi këtë gjendje ka atëherë formën e një ekuacioni eigenketësh dhe eigenvlerash W n > = e i(ω iγ)ta+a n > = = e i(ω iγ)t n n > = e nγt e inωt n >. (2.2.2) Barazimi i mësipërm tregon se, nqs fillimisht sistemi është në gjendjen stacionare n >, ai do të vazhdojë të qëndrojë në këtë gjendje. Amplituda e probabilitetit do të modulohet nga termi me varësi kohore e nγt e inωt. Humbja e probabilitetit rrjedh padyshim nga fakti që ne po merremi me një Hamiltonian që është johermitian. Një e veçantë e barazimit

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse 5 (2.2.2) është që, në rastin e gjendjes bazë, funksioni modulues është thjesht operatori njësi ˆ1, pra W 0 >= 0 >. Gjendja bazë është e qëndrueshme ndaj veprimit të operatorit të zhvillimit W. Në rastin e një gjendjeje fillestare stacionare n > (n 0) situata ndryshon. Siç e pamë edhe më lart, në rastin e këtyre gjendjeve probabiliteti lëkundet (oshilon) në kohë me frekuencë n Ω (ku Ω është frekuenca vetjake e oshilatorit pa shuarje). Njëkohësisht probabiliteti tenton drejt zeros për shkak të termit të shuarjes e nγt. Vërejmë gjithashtu që për çdo gjendje koeficienti γ lot rolin e koeficientit të shuarjes sepse përcakton shpejtësinë e zvogëlimit të probabilitetit në kohë. Sa më i madh të jetë numri kuantik n aq më e fortë është shuarja (dhe aq më e paqëndrueshme është gjendja). Koeficienti që shumëzon ketin n > është C n = exp ( nγt) exp( inωt), dhe probabiliteti që sistemi të jetë në gjendjen n (po qe se ai ishte fillimisht në këtë gjendje) është P n,n = C n 2 = exp [ 2nγt]. Gjithë këto karakteristika tregohen në figurën 2.1 në faqen 6. Në dy kolonat e para tregohet pjesa reale e amplitudës së probabilitetit (ose, më saktë, e koeficientëve të probabilitetit). Kurse në kolonën e tretë dhe të katërt paraqitet varësia kohore e probabiliteteve përkatëse. Në kolonat teke kemi rastin e sistemit pa shuarje, kurse në ato çifte sistemin me shuarje. Në rradhën e parë të figurave shihet që gjendja bazë është e qëndrueshme. Për sa i takon gjendjeve të tjera, vërejmë që me rritjen e numrit kuantik n gjendjet lëkunden me frekuenca më të larta dhe synojnë më shpejt drejt zeros. Sistemi me γ = 0 është i qëndrueshëm kurse ai me shuarje jo. Gjendjet shuhen dhe shuarja është më e fortë për gjendje më të larta. E vetmja gjendje e qëndrueshme në rastin me shuarje është gjendja bazë. 2.2.2 Zhvillimi i një Gjendjeje Koherente Kuazi-Klasike Tani do të studiojmë zhvillimin kohor të një gjendjeje koherente kuazi-klasike α > nën ndikimin e operatorit të zhvillimit W = e ī h Ht. Dimë që kjo gjendje kuazi-klasike merret nga veprimi i operatorit unitar D(α) 1 mbi gjendjen bazë α >= D(α) 0 >, D(α) = e αa+ α a. Nga barazimi i mësipërm marrim W α > = e ī h Ht α >= e ī h Ht exp [αa + α A] 0 > [ = e ī h Ht exp[αa + α A] e ī Ht] h e ī h Ht 0 >. (2.2.3) 0 > është eigenket i A + A me vlerë vetjake 0. Kemi atëherë Le të përdorim barazimin 2 e ī h Ht 0 >= e i(ω iγ)t A+A 0 >= 0 >. 1 Ky operator njihet me emrin Displacement Operator 2 Shtojca A.

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse 6 Fig.2.1. Koeficientët e probabilitetit C n dhe vetë probabiliteti P n,n në rastin e një gjendjeje stacionare. Për numra kuantikë të mëdhenj koeficientët lëkunden më shpesh dhe shkojnë më shpejt drejt zeros. E njëjta ndodh me probabilitetet. Në kolonën e parë dhe të tretë nuk ka shuarje, dhe rrjedhimisht nuk ka humbje të probabilitetit.

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse 7 e xa+a f(a, A + ) e xa+a = f(ae x, A + e x ), (2.2.4) si edhe formulën Baker-Campbell-Hausdorff 3 e C+D = e C e D e 1 2 [C,D], (2.2.5) e cila vlen nqs C dhe D komutojnë të dyja me komutatorin e tyre. Në rastin tonë kjo është e vërtetë sepse si A edhe A + e plotësojnë këtë kusht. Nga (2.2.3), [A +, A] = ˆ1, (2.2.4), (2.2.5) dhe nga zbërthimi në seri Taylor-i i eksponencialit marrim si vijon. [ ] e ī h Ht α >= e α n 1 2 α 2 0 > + e niωt e nγt n > n! Nqs shkruajmë zbërthimin e gjendjes kuazi-klasike në bazën e gjendjeve stacionare të oshilatorit harmonik α >= e α2 /2 α n n >, n! shihet që n=1 n=0 e ī h Ht α >= α >, ku α = α e iωt e γt. (2.2.6) Si rezultat, kemi në çdo moment t përsëri një gjendje koherente, por parametri i saj shuhet në kohë. Vlera mesatare e energjisë në një gjendje koherente jepet < E >= hω α 2 = E 0 exp ( 2γt) (2.2.7) Probabiliteti i gjetjes së sistemit në kohën t në një gjendje të caktuar n > ka formën P 0 (t) = < 0 e ī h Ht α > 2 = e α 2 P n (t) = < n e ī h Ht α > 2 = α 2n n! e α 2 e 2nγt. Kemi një shpërndarje probabiliteti mes gjendjeve n > të ngjashme me shpërndarjen e Poisson-it. Diferenca me shpërndarjen e Poisson-it qëndron në faktorin e 2nγt. Probabiliteti për gjetjen e sistemit në n > (me përjashtim të 0 >) konvergjon në zero për kohë të mëdha. Kurse probabiliteti për 0 > është gjithmonë konstant. Grafiku përkatës gjendet në figurën 2.2 në faqen 8. Shpërndarja e probabilitetit është e ngjashme me shpërndarjen e Poisson-it. Maksimumi i probabilitetit lëkundet mes gjendjeve n dhe, në limitin e kohëve të mëdha, tenton drejt gjendjes bazë. Në të njëjtin limit amplituda e maksimumit bie në zero. 2.2.3 Konkluzione për Oshilatorin me Shuarje 1. Për formën (2.2.1) të Hamiltonianit, kemi një proces shuarje nën të cilin çdo gjendje n > me n 0 është e paqëndrueshme. Me kalimin e kohës, probabiliteti për ta gjetur sistemin në një gjendje të tillë gjithmonë zhduket. 2. Vetëm gjendja bazë është e qëndrueshme sepse probabiliteti i saj nuk bie si ai i gjendjeve të tjera por mbetet konstant gjatë gjithë kohës. 3 Shtojca A.

2.2 Oshilatori Harmonik me Frekuencë Komplekse 8 Fig.2.2. Varësia kohore e probabiliteteve të gjetjes së sistemit në një gjendje n > për një gjendje fillestare koherente α >. Probabiliteti i çdo gjendjeje tenton drejt zeros me kalimin e kohës me përjashtim të boshllëkut 0 >. Rrjedhimisht maksimumi i probabilitetit për këtë shpërndarje të Poisson-it shkon drejt gjendjes me n = 0 për kohë të mëdha. 3. (a) Edhe gjendja koherente α > është e paqëndrueshme nën veprimin e shuarjes. Parametri α oshilon në kohë në mënyrë të ngjashme me lëkundjet e oshilatorit klasik me fërkim. (b) Për kohë të mëdha gjendja koherente reduktohet në gjendjen bazë. Dmth vlerat mesatare të energjisë, impulsit dhe koordinatës konvergjojnë të gjitha në zero. 4. (a) Energjia i transmetohet gradëve të tjera të lirisë dhe pikërisht atyre të mjedisit rrethues. Energjia e transmetuar mund të jetë termike, rrezatim elektromagnetik, etj. Kjo varet nga rasti konkret. (b) E njëjta mund të pohohet për probabilitetin. Ai gjithashtu i transmetohet gradëve të tjera të lirisë së bashku me energjinë.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 9 Kjo sjellje e sistemit i përgjigjet sjelljes së oshilatorit klasik me shuarje. Edhe në rastin klasik sistemi fillimisht oshilon dhe pastaj reduktohet në gjendjen bazë me kalimin e kohës. Kjo ndodh pavarësisht nga kushtet fillestare në të cilat sistemi ndodhet. Energjia fillestare e oshilatorit klasik (psh. energjia mekanike) transformohet në forma të tjera energjie (psh. energji termike), pra i transmetohet gradëve të tjera të lirisë. Transmetimi i energjisë dhe i probabilitetit shkaktohet nga proceset e shuarjes. 2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues Marrim në shqyrtim rastin e një Hamiltoniani me një term detyrues të jashtëm. Forma e përgjithshme që do të zgjedhim për Hamiltonianin është H H 0 = h(ω iγ) A + A + f 1 (t) A + + f 2 (t) A = H 0 + H I = h(ω iγ) A + A H I = f 1 (t) A + + f 2(t) A (2.3.1) H 0 është Hamiltoniani i përcaktuar nga (2.2.1) në seksionin paraardhës. Kurse H I është pjesa e Hamiltonianit që i korrespondon termit detyrues. Kjo pjesë është (në përgjithësi) johermitiane. Ekuacioni diferencial për operatorin e zhvillimit shkruhet i h d dt W S = H W S, (2.3.2) ku W S është operatori i zhvillimit i Schrödinger-it 4. Për zgjidhjen e këtij ekuacioni na duhet të bëjmë zëvendësimin W S = W 0 W, (2.3.3) ku vetë W 0 përcaktohet nga relacioni pra, i h d dt W 0 = H 0 W 0, W 0 = exp ( ī h H 0t) = exp [ (iω + γ)t A + A]. Nga vendosja e këtij zëvendësimi në (2.3.2) dhe me pak algjebër të thjeshtë ekuacioni për W del i h d dt W = H 1 W, ku H 1 = W0 1 H I W 0. (2.3.4) Duke përdorur H I nga (2.3.1) dhe (2.2.4) marrim për H 1 një shprehje në varësi të operatorëve A dhe A + H 1 = f 1 (t) e (iω+γ)t A + + f2(t) e (iω+γ)t A. Nqs konsiderojmë edhe (2.3.4), ekuacioni për W transformohet në i h d [ ] dt W = f 1 (t) e (iω+γ)t A + + f2(t) e (iω+γ)t A W. 4 Indeksi S në W S qëndron pikërisht për Schrödinger.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 10 Për zgjidhjen e këtij ekuacioni faktorizojmë W në W 1 dhe Ŵ2 si më poshtë W 1 nga ana e vet përcaktohet prej ekuacionit me zgjidhjen W = W 1 Ŵ2. (2.3.5) i h d dt W 1 = f 1 (t) e (iω+γ)t A + W 1, [ W 1 = exp ī t ] f 1 (t ) e (iω+γ)t dt A + h 0. (2.3.6) Me zëvendësimin e (2.3.6) në (2.3.5) dhe me transformime të ngjashme me rastin e (2.3.3) gjejmë për Ŵ2 ekuacionin diferencial i h d dtŵ2 = [ ( ) ] W1 1 f2 (t) e (iω+γ)t A W 1 Ŵ 2. Pasi llogarisim W 1 1 A W 1 me metoda të zakonshme 5, zgjidhim ekuacionin për Ŵ 2 duke bërë një zëvendësim të tretë Ŵ2 = W 2 W 3. Pas këtij zëvendësimi të fundit dhe pas manipulimesh të ngjashme me më sipër kemi përfundimisht ku shprehjet për faktorët janë W S = W 0 W 1 W 2 W 3, (2.3.7) W 0 = exp[ (iω + γ)t A + A], [( W 1 = exp ī h t { W 2 = exp 1 [ t h 2 0 [( W 3 = exp ī t h 0 0 f 1 (t ) e (iω+γ)t dt ) A + ] = exp [ b 1 (t) A +], f 2 (t ) e (iω+γ)t F 1 (t ) dt ]} = W 2 (t), ) ] f2 (t ) e (iω+γ)t dt A = exp [b 3 (t) A], (2.3.8) F 1 = F 1 (t) = t 0 f 1 (t ) e (iω+γ)t dt. Gjetëm kështu formën e W S për çfarëdo formë të funksioneve f 1 (t) dhe f 2 (t) që përcaktojnë termin detyrues. 2.3.1 Një Formë Konkrete për Termin Detyrues Dy funksionet e lartpërmendura f 1 dhe f 2 do t i zgjedhim konkretisht si më poshtë f 1 (t) = f 10 e iωt, f 2 (t) = f 20 e iωt. 5 Shtojca A.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 11 Madhësitë f 10, f 20 dhe ω janë konstante reale. Dy konstantet f 10 dhe f 20 përbëjnë amplitudat e dy funksioneve lëkundëse. Kurse konstantja ω përbën frekuencën e oshilimit të seicilit funksion. Kjo quhet Frekuenca e Termit Detyrues. Sikur amplitudat e dy funksioneve të ishin të njëjta (dmth f 10 = f 20 ) atëherë termi detyrues do ishte hermitian sepse f 1 (t) = f 10 e +iωt = f 20 e +iωt = f 2 (t). Në rast të kundërt (nqs f 10 f 20 ) termi detyrues nuk do ishte më i tillë. Tani duhen bërë llogaritë për formën konkrete të funksioneve kohorë F 1 (t), W 2 (t), b 1 (t) dhe b 3 (t). Për këtë duhet zëvendësuar forma konkrete e f 1 (t) dhe e f 2 (t) në (2.3.8). Mbasi integrojmë dhe i grupojmë faktorët së bashku marrim f [ ] 10 F 1 (t) = (ω Ω) 2 + γ 2 [i(ω Ω) + γ] e i(ω Ω)t+γt 1, dhe ku W 2 2 = exp [2 Re(V 2 )], V 2 (t) = 1 h 2 f 10 f 20 [(ω Ω) 2 + γ 2 [γ + i(ω Ω)] [ [ ] e i(ω Ω)t γt 1 ] ] [γ + i(ω Ω)] t + (ω Ω) 2 + γ 2, Re(V 2 ) = 1 h 2 f 10 f 20 [(ω Ω) 2 + γ 2 ] 2 {γt[(ω Ω) 2 + γ 2 ] + [γ 2 (ω Ω) 2 ] [e γt cos(ω Ω)t 1] 2γ (ω Ω) e γt sin (ω Ω)t }, f 10 / h b 1 (t) = (ω Ω) 2 + γ 2 {[ (ω Ω) (e γt cos(ω Ω)t 1 ) γ e γt sin (ω Ω)t ] +i [ γ (e γt cos(ω Ω)t 1 ) (ω Ω) e γt sin (ω Ω)t ]}, f 20 b 3 (t) = (ω Ω) 2 + γ 2 {[ (ω Ω) (e γt cos(ω Ω)t 1 ) γ e γt sin (ω Ω)t ] +i [ (ω Ω) e γt sin (ω Ω)t + γ (e γt cos(ω Ω)t 1 )]}. Këto formula përcaktojnë plotësisht formën e operatorit të zhvillimit W S të përkufizuar në seksionin e mësipërm. 2.3.2 Veprimi i Operatorit W S mbi Boshllëkun (Vakuumin) Si rrjedhojë e veprimit të operatorit të zhvillimit marrim varësinë kohore për ketët e oshilatorit harmonik. Mbas kësaj mund të bëjmë zbërthimin e kësaj gjendjeje të re në bazën e gjithë vektorëve vetjakë të operatorit A + A. Më në fund mund të llogarisim probabilitetet e kalimeve në çdo çast t si katrori i vlerës absolute (modulit) të këtyre koeficientëve (që janë në përgjithësi madhësi komplekse).

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 12 Për të kryer sa u tha më sipër, përdorim formulat (2.3.7) dhe (2.3.8) si edhe formulat e mëparshme mbi formën konkrete të termit detyrues. Dallojmë dy raste. Së pari, rastin e veprimit të W S mbi boshllëkun (vakuumin). Së dyti, rastin e një gjendjeje tjetër të ndryshme nga boshllëku. Nga barazimi (2.3.7) mbi formën si produkt të W S, zhvillimi në kohë i vakuumit është 0(t) >= W S 0 >= W 0 W 1 W 2 W 3 0 >. Kemi veprimin e njëpasnjëshëm të katër operatorëve W 3, W 2, W 1 dhe W 0 mbi ketët që dalin nga veprimi i paraardhësit. W 3 nuk prodhon asnjë efekt sepse 0 > përbën një ket vetjak të A me eigenvlerë zero. Po ashtu W 2 nuk ndikon sepse është një c-numër (numër konstant). Veprimi i W 1 mbi gjendjen bazë llogaritet duke zbërthyer në seri Taylor-i ndaj A + dhe duke shfrytëzuar formulën për veprimin e operatorit të krijimit mbi vakuumin (A + ) n 0 >= n! n >. Pastaj mbetet të shihet veprimi i W 0 mbi ketët n >. Kjo nuk është e vështirë me qënë se ato janë ketë vetjakë të A + A dhe me qënë se W 0 është funksion i tij. Pas gjithë këtyre që thamë kemi b n 1 W S 0 >= e (iω+γ)t n n >. n! n=0 Po të rikujtojmë relacionin e normalizimit 6, probabiliteti i kalimit nga gjendja fillestare 0 > në gjendjen përfundimtare n > del P 0,n = < n W S 0 > 2 = W 2 (t) 2 ( b 1 2 ) n exp [ 2γn t]. (2.3.9) n! Në këtë pikë do të ndajmë tre raste limite të kësaj formule. 2.3.2.1 Zhvillimi i Boshllëkut për Kohë të Mëdha Le të studiojmë si ndryshon formula (2.3.9) pas kohësh mjaft të mëdha, pra do gjejmë limitet për t. Sipas formulës për b 1 (t) katrori i modulit të b 1 është b 1 2 = (f 10 / h) 2 [ (e (ω Ω) 2 + γ 2 γt cos(ω Ω)t 1 ) 2 ( + e γt sin (ω Ω)t ) ] 2. Tani nxjerrim në dukje faktorin e përbashkët e γt. Shihet që madhësia 1/e γt është gjithmonë e papërfillshme për t, qoftë për ω = Ω, qoftë për ω Ω. Përdorim formulën e njohur sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 dhe atëherë b 1 2 t (f 10 / h) 2 e 2γt (ω Ω) 2 + γ 2. Nga limiti i formulës për formën e V 2 (t) del që Re(V 2 ) t f 10 f 20 [(ω Ω) 2 + γ 2 ] γt, 6 Formula e (orto)normalizimit për ketët vetjakë të oshilatorit harmonik të lirë është < i j >= δ i,j sepse ata formojnë një bazë të ortonormuar vektorësh.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 13 dmth [ ] 2 W 2 2 f10 f 20 exp t (ω Ω) 2 + γ 2 γt Zëvendësojmë gjitha këto në (2.3.9). Gjejmë në këtë mënyrë limitin në kohë të mëdha të probabiliteteve të ngacmimit nga gjendja bazë P0,n inf 1 t n! (f 10 / h) 2n [ ] 2 f10 f 20 [(ω Ω) 2 + γ 2 ] n exp (ω Ω) 2 + γ 2 γt. (2.3.10) Duke vështruar këtë formulë mund të pohojmë sa më poshtë 1. Kur mungojnë operatorët e krijimit në termin detyrues probabilitetet gjithnjë zhduken në kohë f 10 = 0 P inf 0,n = 0. 2. Në mungesë të operatorëve të zhdukjes probabilitetet gjithmonë stabilizohen në një vlerë konstante, f 20 = 0 P inf=konst. 0,n. 3. Kur të dy operatorët kanë të njëjtën shenjë çdo probabilitet shkon në zero për kohë mjaft të gjatë f 10 f 20 > 0 P inf 0,n = 0. 4. Për koeficientë me shenja të kundërta gjithçka divergjon f 10 f 20 < 0 P inf 0,n =. Në rastin f 20 = 0 kemi në mënyrë eksplicite P0,n inf = 1 ( n! (f10 / h) 2 ) n (ω Ω) 2 + γ 2. (2.3.11) Siç shihet, në këtë rast termi detyrues nuk përmban operatorë zhdukjeje. Disa nga veçantësitë e këtij stabilizimi të probabilitetit tregohen në figurën 2.3 në faqen 15. Në figurë paraqiten tre kolona me numër kuantik që rritet nga e majta në të djathtë. Frekuenca ω e termit detyrues rritet në drejtimin nga lart për poshtë. Rritja e diferencës së ω me frekuencën vetjake Ω shkakton zvogëlimin e vlerave të probabilitetit. P0,n inf stabilizohet në vlera më të mëdha për ω afër vlerës së Ω. Probabiliteti i gjendjes bazë mbetet përherë konstant (në çdo kohë t), kurse probabiliteti i një gjendjeje me n 0 së pari oshilon me kohën dhe më tej fiksohet në vlerën P0,n inf. Në figurën 2.4 në faqen 16 trajtohet rasti kur termi detyrues është konstant (frekuenca e tij është 0). Në rreshtin e parë tregohet gjendja bazë, e cila nuk e ndjen një term të tillë. Ndërsa në rreshtin e dytë pasqyrohet gjendja me n = 1. Këtu dallohet qartë se si probabilitetet fillimisht lëkunden pastaj qetësohen në vlera fikse. Në (2.3.11) kemi shpërndarje të Poisson-it në formën xn n! ku x = (f10/ h)2 (ω Ω) 2 +γ. Karakteristikë e kësaj shpërndarjeje është fakti që ajo nuk është e normuar. Në fakt 2 n=0 xn n! = e x. Madhësia e anasjelltë e x do ishte faktori normues për probabilitetet e mësipërme. Siç e kemi pohuar edhe më parë, jonormimi vjen nga qënia e Hamiltonianit johermitian. 2.3.2.2 Zhvillimi i Boshllëkut në Rezonancë Që të studiojmë rastin e rezonancës aplikojmë kushtin ω = Ω tek formulat e përdorura për limitet në seksionin e mëparshëm. Me këtë rrugë gjejmë.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 14 b 1 2 (ω = Ω) = f 2 10 h 2 γ 2 [e γt 1 ] 2 Re(V 2 )(ω = Ω) = f 10f 20 γ 2 [e γt + γt 1 ] [ W 2 2 (ω = Ω) = exp 2 f 10f 20 γ 2 (e γt + γt 1 ) ] Probabilitetet e kalimit në rastin e rezonancës janë atëherë P res 0,n = 1 n! f 2n 10 ( hγ) 2n [1 e γt] 2n exp për kohë të vogla ky probabilitet është P res 0,n (t 0) = 1 n! [ 2 f 10f 20 γ 2 (e γt + γt 1 ) ( f10 h ) 2n t 2n.. ] ; (2.3.12) Për kohë të vogla kemi një shpërndarje probabilitetesh si xn n!. Parametri i shpërndarjes x është përpjestimor me kohën. 2.3.2.3 Rezonanca në Kohë të Mëdha Ky rast del nga formulat e rastit të kohëve të mëdha duke marrë ω = Ω ose nga formulat e rastit të rezonancës duke marrë t. Me seicilën mënyrë kemi P res,inf 0,n = 1 n! ( ) 2n f10 exp[ 2 f ] 10f 20 t hγ γ. (2.3.13) Nga kjo formulë dhe nga (2.3.10) shihet që në rastin f 20 = 0 probabilitetet limite në kohë janë P0,n inf = 1 n! (f 10 / h) 2n [(ω Ω) 2 + γ 2 ] n, P res,inf 0,n = 1 ( ) 2n n! f10 / h. γ Pra është i vërtetë mosbarazimi P inf 0,n P res,inf 0,n. (2.3.14) Matematikisht kjo vjen ngaqë (ω Ω) 2 është madhësi pozitive (më saktë jonegative) në çdo rast (zero kemi vetëm në rezonancë). Të dy probabilitetet P res,inf 0,n dhe P0,n inf kanë shpërndarje Poisson-i të panormuar ndërmjet gjendjeve n >. Fizikisht shpjegimi i kësaj karakteristike është si më poshtë. Kur Ω = ω jemi në pikën e rezonancës dhe në këtë pikë termi i jashtëm fut më tepër probabilitet në sistem në krahasim me rastet e tjera. Mjaft qartë shihet kjo veçori në figurën 2.5 në faqen 17. Aty tregohet probabiliteti i ngacmimit në rezonancë dhe në Ω ω = 1. Në të dy rastet kemi stabilizim probabiliteti por në të parin vlerat e stabilizuara janë shumë më të mëdha sesa në të dytin. Kjo është pikërisht ajo që presim të ndodhë sepse dihet që në rezonancë termi detyrues ndikon më fort mbi sistemin duke i dhënë atij më shumë energji pra edhe probabilitet. Në figurën 2.6 jepen grafikët e P0,n inf dhe P res,inf 0,n për vlera të ndryshme të n. Kjo figurë është një provë e vërtetësisë së mosbarazimit (2.3.14). Barazim kemi vetëm në rastin n = 0, ku të dyja madhësitë janë njësi, dhe për numra kuantikë të mëdhenj, ku të dyja janë praktikisht zero.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 15 Fig. 2.3. Zhvillimi i vakuumit në rastin pa operatorë zhdukjeje në termin detyrues. Gjithmonë ka stabilizim. Numri kuantik n rritet nga majtas-djathtas, kurse diferenca ω Ω nga lart-poshtë. Grafikët nuk janë shumë të saktë në zonën e kohëve të vogla. Kjo vjen sepse ne interesohemi kryesisht në atë çfarë ndodh për kohë të mëdha.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 16 Fig. 2.4. Plotet e probabiliteteve për gjendje fillestare bazë. Termi detyrues është konstant (ω = 0) dhe nuk përmban operatorë zhdukjeje. Në grafikun lart vërejmë që gjendja bazë është e qëndrueshme, do të thotë që për 0 > probabiliteti mbetet i pandryshueshëm. Kurse në gjendjen me n = 1 probabiliteti fillon nga 0, oshilon dhe stabilizohet në një vlerë jozero për kohë të mëdha.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 17 Fig. 2.5. Krahasimi i rezonancës dhe jorezonancës për kohë të mëdha duke u nisur nga një gjendje bazë. Në pjesën e sipërme pasqyrohet pika e rezonancës (ω = 1 = Ω) për numër kuantik n = 1. Ndërsa poshtë trajtohet rasti ω = 2 (përsëri për n = 1). Në rezonancë termi detyrues fut më shumë probabilitet në sistem se në rastin e frekuencave të tjera. Sidoqoftë, në asnjë rast probabilitetet nuk shuhen por stabilizohen në vlera konstante jozero.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 18 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 n Fig.2.6. Shpërndarja e Poisson-it për P0,n inf me parametra përkatës x inf = 1.1 dhe x inf,res = 2. Vlerat e P inf,res (jo më të vogla) sesa ato të P inf 0,n (P inf,res 0,0 = P0,0 inf dhe Pinf,res 0,n. Të dyja shpërndarjet kanë formën xn n! 0,n janë gjithmonë më të mëdha. Dy madhësitë janë të barabarta vetëm në gjendjen 0 > 0, = 0). = 1) dhe për numra kuantikë të mëdhenj (Pinf,res 0, = Pinf 2.3.3 Veprimi mbi një Gjendje Jobazë Na duhet të gjejmë paraqitjen eksplicite të evolucionit kohor të një gjendjeje stacionare me numër kuantik k të ndryshëm nga zero W S k >= W 0 W 1 W 2 W 3 k >. Me veprime algjebrike të afërta me ato më lart përfundimi del dhe ku T 2 = < n W S k >= W 2 (t) k! n! e (iω+γ)nt T 2 (k, n, t) (2.3.15) P k,n = < n W S k > 2 k l=0 n m=0 = W 2 (t) 2 exp[ 2γn t] k! n! T 2 (n, k, t) 2, (2.3.16) b n k+l 1 b l 3 (n k + l)! l! (k l)! b m 1 b k n+m 3 m! (k n + m)! (n m)! për: n k për: n < k. (2.3.17)

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 19 Rikujtojmë se b 1 dhe b 3 janë funksione të kohës. Formula (2.3.16) është formula e përgjithshme për probabilitetin e kalimit nga një gjendje fillestare k > në gjendjen përfundimtare n >. Po të vendosim k = 0 në (2.3.17) atëherë T 2 = b n 1 /n!. Nga zëvendësimi në (2.3.16) rigjejmë (2.3.9) për probabilitetin e ngacmimit nga gjendja bazë. 2.3.3.1 Gjendja Stacionare për Kohë të Mëdha Duhet studiuar (2.3.16) për t të mëdha. Dimë se si sillet W 2 2 për t, kështu që duhet gjetur sjellja e T 2 (k, n, t) në këtë limit. Për këtë fillimisht shkruajmë b 1 t (f 10 / h) e γt (ω Ω) 2 {(ω Ω) cos(ω Ω)t γ sin (ω Ω)t + γ2 i [γ cos(ω Ω)t + (ω Ω) sin (ω Ω)t]} b 1 2 t (f 10 / h) 2 e 2γt (ω Ω) 2 + γ 2 b 3 f 20 t (ω Ω) 2 [(ω Ω) i γ] = konstante + γ2 b 3 2 t (f 20 ) 2 (ω Ω) 2 + γ 2 = konstante. Më e përshtatshme është ndarja në dy raste. I pari është n k. Në këtë rast k b n k+l 1 b l 3 k T 2 = (n k + l)! l! (k l)! b 1 n b 1 l k b 3 l (n k + l)! l! (k l)! l=0 Më sipër u shfrytëzuan vetitë e vlerës absolute. Dimë që për t b 1 1. Por l k < 0. Atëherë k T 2 (k, n, t) b 1 n b 3 l. (n k + l)! l! (k l)! l=0 Vërejmë që shuma në krahun e djathtë të barazimit është konstante në kohë. Në mënyrë të ngjashme për rastin n < k shkruajmë l=0 T 2 (n, k, t) b 1 n n m=0 b 3 k n+m m! (k n + m)! (n m)!. Edhe shuma në anën e djathtë të këtij barazimi është po ashtu konstante. Në përgjithësi, për probabilitetin në limitin e kohëve të mëdha ka vend mosbarazimi P inf k,n P inf k,0 konst.. Konstantja varet nga fakti nëse gjendja përfundimtare është më e lartë apo më e ulët sesa ajo fillestare. Praktikisht konstantja varet nga k dhe n.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 20 2.3.3.2 Dy Raste Speciale Në këtë nënseksion do studiojmë dy raste të veçanta. Në rradhë të parë shqyrtojmë se ç ndodh kur f 10 = 0. Nga formulat mbi formën konkrete të termit detyrues kemi W 2 2 = 1 b 1 (t) = 0, nga ku T 2 del T 2 (n, k, t) = 0 për: n k b k n 3 (k n)! (n)! për: n < k. Për kohët të mëdha b 3 nuk varet më nga koha. Prandaj probabiliteti i ngacmimit për këto kohë është 0 për: n k Pk,n inf (f 10 = 0) = konstante(n, k) e 2γnt për: n < k. Siç shihet në rastin kur f 10 = 0 nuk ka kalime (për asnjë kohë t) në gjendje më të larta sesa ajo fillestare k >. Të vetmet gjendje që eksitohen janë ato me numra kuantikë n < k. Nga ana tjetër edhe këto eksitime zhduken për kohë mjaft të mëdha. Të vetmet kalime që mbeten janë ata drejt gjendjes n = 0 >. Dmth pas njëfarë kohe sistemi do rikthehet në gjendjen bazë. konstante(n, k) e 2γkt për: n k Pk,n(f inf 20 = 0) = 0 për: n < k. Në rastin tjetër (f 20 = 0) nuk ka kalime në gjendje më të ulëta se ajo fillestare, dmth ekzistojnë vetëm kalimet me n k. Probabiliteti i këtyre kalimeve oshilon me kohën dhe pastaj shuhet. I vetmi rast kur kalimet nuk shuhen është ai i kalimeve nga gjendja k = 0 >. Këtë rast e kemi studiuar më sipër. Grafikët për këto dy raste speciale jepen në figurat 2.7 e 2.8 përkatësisht në faqet 22 e 23. Në figurën 2.7 konsiderohet rasti f 10 = 0. Madhësia P 2,n është plotuar ndaj kohës për ω dhe n të ndryshme. Frekuenca ω rritet nga djathtas-majtas, kurse numri n nga lart-poshtë. Në rreshtin e fundit ku n = 3 > k = 2 probabiliteti është përherë zero pra nuk ka aspak kalime në këto gjendje. Në rreshtin ku n = 2 = k ka kalime, por ato nuk stabilizohen dot. Të vetmet stabilizime ndodhin në rradhën e parë, që përfaqëson gjendjen bazë. Probabilitete të stabilizuara më të mëdha kemi për ω afër frekuencës vetjake Ω. Ndërsa në figurën 2.8 paraqitet grafiku i P k,n me gjendje finale fikse n = 2 dhe për gjendje fillestare k dhe frekuenca të termit detyrues të ndryshme. Në asnjërin nga rastet nuk është përfshirë pika e rezonancës. Në këtë pikë karakteristikat e grafikut janë të ngjashme por vlerat e probabilitetit shumë të mëdha. Sikur të plotonim edhe rezonancën diferencat me rastet e tjera do ishin të mëdha. Për këtë shkak nuk e kemi paraqitur rezonancën në këto grafikë.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 21 2.3.3.3 Studimi i Rezonancës Në pikën e rezonancës mund të shkruhet b res 1 = if 10/ h (e γt 1 ) γ b res 3 = if 20 γ (e γt 1 ) b res 1 b res 3 = f 10f 20 hγ 2 (e γt 1 ) (e γt 1 ) = f 10f 20 hγ 2 (2 2 cosh(γt)). Nga këto barazime shihet që b res 1 b res 3 ka vlera reale. Le të shfrytëzojmë edhe W 2 2 nga (2.3.12). Për n k formula e T 2 del T res 2 = i n k k l=0 [ n k+l [ ] l f10 hγ (eγt 1)] f20 γ (e γt 1) (n k + l)! l! (k l)!. Në mënyrë analoge për n > k T res 2 = i k n n m=0 [ m [ ] k n+m f10 hγ (eγt 1)] f20 γ (e γt 1) m! (k n + m)! (n m)!. Formula për vetë probabilitetin është atëherë [ Pk,n res = k! n! exp 2 f 10f 20 hγ 2 (e γt + γt 1 ) ] e 2nγt T res 2 2, ku T res 2 merret nga formulat më sipër në përputhje me faktin nëse n k apo n < k. Në rastin e veçantë të kohëve të vogla (t 0) madhësia T 2 është (afërsisht) një polinom i fuqisë n + k i variablit γt (ka nganjëherë edhe faktorin shumëzues i por kjo nuk lot asnjë rol sepse ne interesohemi më tepër për modulin sesa për vlerën komplekse). Kurse për kohë të mëdha T 2 është polinom i shkallës n i variablit e γt. 2.3.4 Veprimi i W S mbi një Gjendje Kuazi-Klasike Që të gjejmë veprimin e operatorit të zhvillimit kohor W S mbi një gjendje koherente kuaziklasike përdorim zbërthimin e kësaj gjendjeje në bazën që formohet nga gjendjet stacionare të oshilatorit harmonik α >= e α 2 2 k=0 α k k! k >. Si pasojë koeficienti i kalimit nga kjo gjendje koherente në një gjendje stacionare n > është < n W S α >= e α 2 2 k=0 Po të marrim < n W S k > nga (2.3.15) atëherë kemi α k k! < n W S k >.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 22 Fig.2.7. Grafikët për term detyrues pa operatorë të krijimit të bozoneve. Rasti i gjendjes fillestare me numër kuantik k = 2. Vetëm kalimet nga n në 0 kanë probabilitete që stabilizohen. Kurse të tjerat shkojnë të gjitha drejt zeros. Nuk ka kalime në gjendje më të larta sesa ajo fillestare.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 23 Fig.2.8. Grafikë për term detyrues pa operatorë zhdukjeje. Gjendje finale e fiksuar n = 2. Mungojnë kalimet në gjendje me numër fillestar k më të madh se ai përfundimtar n (plotet në dy rreshtat e fundit). Kalimet që stabilizohen janë vetëm ato nga gjendja bazë. Të gjitha ngacmimet e tjera bien në zero.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 24 < n W S α >= e α 2 2 n! e (iω+γ)nt α k T 2 (k, n, t), (2.3.18) k=0 dhe probabilitetin e kalimit P α,n (t) = n! e α 2 e 2nγt α k T 2 (k, n, t) k=0 2. Kjo është formula më e përgjithshme për probabilitetin e kalimit nga një gjendje fillestare kuazi-koherente me parametër α në gjendjen stacionare me numër kuantik n. 2.3.4.1 Rasti pa Operatorë të Zhdukjes të Bozoneve Në këtë rast special b 3 0. Rrjedhimisht, prej (2.3.17) gjejmë Nga (2.3.18) kemi T 2 (n, k, t) = b n k 1 (n k)! k! pär : n k 0 pär : n < k. < n W S α > = e α 2 2 n! e (iω+γ)nt n = α 2 e 2 e (iω+γ)nt n! Më në fund formula e P α,n në këtë rast është n k=0 k=0 α k k! α 2 = e 2 e (iω+γ)nt (α + b 1 ) n. n! b n k 1 (n k)! n! k! (n k)! αk b1 n k P α,n (f 20 = 0) = e α 2 n! Në limitin t formula merr formën α,n (f 20 = 0) = e α 2 n! P inf [ e 2γnt α + b 1 2n (f 10 / h) 2 (ω Ω) 2 + γ 2 ] n. Për gjendjen fillestare kuazi-klasike vërejmë menjëherë që asnjëri prej probabiliteteve nuk është identikisht zero. Të gjitha probabilitetet stabilizohen. 2.3.4.2 Vlerat Mesatare të Koordinatës, Impulsit dhe Energjisë Në këtë seksion do të supozojmë gjithmonë se f 20 = 0. Me këtë kusht kemi gjetur që koeficienti që shumëzon n > në zbërthimin e zhvillimit kohor të α > në kohën t është

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 25 Fig. 2.9. Procesi i stabilizimit për frekuenca dhe gjendje përfundimtare të ndryshme në rastin e një gjendjeje fillestare koherente α > për f 20 = 0. Ka stabilizim në çdo numër kuantik përfundimtar n. Për diferenca rritëse të frekuencave me frekuencën vetjake Ω dhe për numra kuantikë që rriten probabilitetet e stabilizuara kanë vlera më të mëdha.

2.3 Hamiltoniani Johermitian me Term Detyrues 26 < n W S α >= e α2 /2 n! e (iω+γ)nt [α + b 1 (t)] n. (2.3.19) Dmth, me përafërsinë e një faktori normues, zhvillimi kohor i një gjendjeje koherente është përsëri një gjendje koherente por me parametrin e ri exp [ (iω + γ)t] [α + b 1 (t)]. Për kohë të mëdha ky parametër është α inf = f 10 h [(ω Ω) iγ] (ω Ω) 2 + γ 2 e iωt (2.3.20) Nga ana tjetër vlerat mesatare të operatorit të koordinatës dhe impulsit në një gjendje koherente janë proporcionale përkatësisht me pjesën reale dhe atë imagjinare të parametrit të kësaj gjendjeje koherente. Pra ka gjithashtu një oshilim të vlerave mesatare të koordinatës dhe impulsit. Kurse vlera mesatare e energjisë në një gjendje koherente β > jepet [ < E > β = hω β 2 + 1 ]. 2 Për kohë të mëdha katrori i modulit i parametrit të zhvillimit kohor të gjendjes koherente është proporcional me b 1 exp (γt) 2. Me llogaritje direkte mund të tregohet që kjo madhësi është konstante në limitin e kohëve të mëdha. Për kohë të mëdha, kemi ruajtje të vlerave mesatare të energjisë. Me fjalë të tjera, ka shkëmbim energjie me rezervuarin rrethues, por energjia totale e humbur në një periodë është numerikisht e barabartë me energjinë që termi detyrues i jep sistemit gjatë periodës. Për kohë të vogla kjo nuk është e vërtetë. Për këto kohë nuk ka akoma lëkundje të stabilizuara. Sapo energjia të balancohet në mënyrën e përshkruar më sipër, kemi lëkundje të detyruara, të stabilizuara pikërisht si në rastin klasik. 2.3.4.3 Funksioni Valor në Paraqitjen Koordinative Funksioni valor Ψ α (x, t) i gjendjes koherente α > në paraqitjen koordinative (ose x-paraqitjen) gjendet me rrugën e mëposhtme. Fillimisht shkruajmë Ψ α (x, t) =< x W S α >= < x n >< n W S α >. n=0 Koeficientët < n W S α > mund t i marrim nga (2.3.19). Kurse funksionet valore për gjendjet stacionare të oshilatorit harmonik jepen nga barazimi 7 < x n >= 1 2n n! ( ) 1/4 [ µω exp µω ] ( ) hπ 2 h x2 H n µω h x ku H n (x) janë polinomet e Hermite-it. Duke shfrytëzuar formulën mbi funksionin gjenerues të polinomeve të Hermite-it 8 gjejmë që funksioni valor i gjendjes koherente në momentin t në x-paraqitjen është 7 Eugen Merzbacher,Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, N.Y. 1970. 8 z n Hn(x) = e2xz z2 n! n=0 Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, N.Y. 1972.,

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë 27 [ Ψ α (x, t) = exp µω ] 2 h x2 ( ) 1 [ ] µω 4 e α 2 /2 µω exp 2 xz z2 π h h, (2.3.21) ku z = z(t) = 1 2 exp [ (iω + γ)t] [α + b 1 (t)]. Katrori i modulit të funksionit valor të dhënë në (2.3.21) jep probabilitetin e shpërndarjes si funksion të koordinatës x dhe të kohës t. Grafikët e këtij probabiliteti jepen në figurën 2.10 në faqen 28. Në grafikun e sipërm paraqitet gjendja koherente me α = 0. Praktikisht sipër kemi rastin e një gjendje fillestare bazë. Kurse në grafikun e poshtëm gjejmë një gjendje fillestare koherente me parametër α = 0.5 + i 0.8. Në të dy rastet ka një interval kohe ku mungon stabilizimi i lëkundjeve. Ky ka të bëjë me diskutimin që bëmë mbi balancimin e energjisë. Konkretisht, për kohë të vogla nuk ka ekuilibër mes energjisë së humbur dhe asaj që merret nga termi detyrues. Me kalimin e kohës lëkundjet stabilizohen në seicilin nga grafikët. Dmth tani vlera mesatare e energjisë në një periodë ruhet. Kjo dukuri është krejt e ngjashme me rastin klasik. Edhe në rastin klasik ka një fazë fillestare kalimtare dhe pastaj lëkundjet stabilizohen Ky proces ka edhe një tjetër veçori interesante. Pjesa e parametrit të gjendjes koherente në kohën t që përmban parametrin e gjendjes fillestare α zhduket sepse shumëzohet nga faktori e γt. Lëkundjet nuk ruajnë informacion nga gjendja koherente fillestare. Forma e tyre varet vetëm nga forma e termit detyrues dhe karakteristikat e oshilatorit. 2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë Pjesa e parë e këtij kapitulli kishte të bënte me oshilatorin harmonik me shuarje me frekuencë komplekse (Ω iγ). Siç e pamë nga formulat si edhe nga grafikët e ndryshëm, modeli ishte i suksesshëm në shpjegimin e mjaft vetive me rëndësi të oshilatorit harmonik klasik me fërkim. Çfarëdo qoftë konfigurimi fillestar i sistemit, ai gjithmonë reduktohet në gjendjen bazë. Aty vlerat e koordinatës, impulsit dhe energjisë janë zero. Në rastin klasik të një penduli që lëkundet dhe ka fërkim pozicioni përfundimtar është gjithnjë ai më i ulët. Në këtë pozicion vlera e impulsit (shpejtësisë) është zero. Edhe vlerat e koordinatës dhe energjisë janë zero me afërsinë e një termi konstant. Si në rastin klasik edhe në rastin e modelit tonë, për çfarëdo kushtesh fillestare sistemi rikthehet në pozicionin (gjendjen) bazë. Ekuacioni i lëvizjes i një oshilatori klasik me shuarje është ẍ + 2γ 1 ẋ + Ω 2 1x = 0. (2.4.1) Masa e reduktuar e sistemit është supozuar 1 (por kjo është thjesht çështje njësish). Ω është frekuenca vetjake e oshilatorit dhe 2γ 1 koeficienti i proporcionalitetit mes forcës së fërkimit dhe shpejtësisë. Në rastin e lëkundjeve pa shuarje të forta (Ω > γ 1 ) x(t) = exp ( γ 1 t) [c 1 exp (+iω 2 t) + c 2 exp( iω 2 t)],

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë 28 Fig.2.10. Evolimi në kohë i gjendjes koherente α > në x-paraqitjen për term detyrues pa oshilatorë anihilimi. Në grafikun e sipërm parametri i gjendjes koherente fillestare është α = 0, dmth nisemi nga gjendja bazë. Në të dy rastet ka një fazë kalimtare dhe pastaj lëkundjet stabilizohen.

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë 29 Fig. 2.11. Rasti i veprimit të një termi detyrues konstant (ω = 0) mbi gjendjen fillestare bazë (parametri i gjendjes koherente është α = 0). Në dy grafikët termi detyrues ka shenja të kundërta. Si rezultat, gjendja përfundimtare është në esencë e njëjta por zhvendosja ndaj pikës x = 0 ndodh në anë të kundërta. Kjo ka mjaft ngjashmëri me atë që ndodh në rastin klasik.

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë 30 Fig. 2.12. Reduktimi i një gjendjeje fillestare koherente α > në gjendjen bazë si rezultat i shuarjes. Termi detyrues mungon krejt (f 10 = 0). Kjo i përgjigjet rastit klasik të shuarjeve të dobëta për një oshilator linear harmonik me shuarje. ku Ω 2 2 = Ω2 1 (γ 1) 2. Në esencë sistemi lëkundet me frekuencë Ω 2 por amplituda e lëkundjeve bie eksponencialisht drejt zeros. Vlerat e energjisë së plotë ndryshojnë si katrori i amplitudës. Dmth E = E 0 exp ( 2γ 1 t). Kjo formulë është e njëjtë me formulën (2.2.7) në faqen 7 për vlerat mesatare të energjisë në një gjendje koherente. Koeficienti i shuarjes që kemi zgjedhur në modelin tonë kryen të njëjtin funksion si koeficienti i shuarjes klasik. Nga formula (2.2.6) në faqen 7 shihet që parametri i gjendjes koherente lëkundet me frekuencë Ω. Kjo ndodh edhe në rastin klasik me shuarje të dobët. Në këtë rast gjithashtu lëkundjet e oshilatorit klasik me shuarje kanë (afërsisht) frekuencën Ω 1 (Ω 1 γ 1 ). Në pjesën e dytë të kapitullit i shtuam Hamiltonianit një term detyrues linear në operatorët e krijimit dhe zhdukjes së bozoneve. Me sa arritëm të zbulojmë gjatë studimit tonë, rasti më interesant është ai kur termi detyrues nuk përmban operatorë të zhdukjes së bozoneve por vetëm operatorë të krijimit të tyre. Vetëm në këtë rast ne arritëm të shohim karakteristika mjaft të ngjashme me oshilatorin klasik të detyruar dhe me fërkim. Më lart diskutuam rastin e një sistemi me friksion që përshkruhet nga Hamiltoniani një oshilatori harmonik me frekuencë komplekse. Ky tip Hamiltoniani është i tillë që energjia e sistemit pëson shuarje. Prandaj na duhet një forcë e jashtme që t i japë sistemit energji (dhe njëkohësisht probabilitet). Këtë bën pikërisht termi jonë detyrues. Ai krijon pjesëza

2.4 Konkluzione mbi Modelin e Parë 31 (bozone) energjie dhe kompenson humbjet e energjisë dhe probabilitetit që shkaktohen nga shuarja. Për termin detyrues të diskutuar më lart ne zbuluam karakteristikat kryesore të mëposhtme. Nqs nisemi nga një gjendje koherente kuazi-klasike, atëherë ka gjithmonë stabilizim të vlerave të probabilitetit. Për kohë të mëdha rigjejmë një gjendje koherente. Parametri i gjendjes së re koherente lëkundet në kohë me frekuencë të njëjtë me atë të termit detyrues dhe ka një diferencë faze me lëkundjet e termit detyrues. Të gjitha këto mund të nxirren nga ekuacioni (2.3.20). Në atë ekuacion e iωt ka një faktor shumëzues që është një madhësi komplekse e pavarur nga koha. Edhe vlerat mesatare të energjisë, impulsit dhe koordinatës lëkunden në kohë. Nga këto karakteristika dhe nga gjithë grafikët e përdorur në këtë kapitull arrijmë në konkluzionin se ky model jep një shpjegim të mirë të Oshilatorit Harmonik të Detyruar me Shuarje.

3. Oshilatori Harmonik i Detyruar 3.1 Oshilatori Harmonik i Detyruar në Paraqitjen e Heisenberg-ut Ky kapitull mbështetet kryesisht në studimin e oshilatorit harmonik të detyruar në [8]. Oshilatori harmonik njëdimensional ka një Hamiltonian të formës H = p2 2µ + 1 2 µω2 x 2, ku p dhe x janë operatorët e impulsit dhe të koordinatës. Këta operatorë kënaqin relacionin e komutimit [x, p] = i h dhe kanë spektra të vazhduar në gjithë intervalin (, ). Me µ është shënuar masa e reduktuar e sistemit. I shkruar me anën e operatorëve të zhdukjes (anihilimit) dhe krijimit, Hamiltoniani merr formën e njohur H = hω(a + a + 1 2 ). Ekuacioni i lëvizjes për operatorin a shkruhet i h da(t) dt = [a(t), H] = hω [a(t)a + (t)a(t) a + (t)a(t)a(t) ]. Duke përdorur relacionin e komutimit [a, a + ] = 1, marrim da(t) dt = iω a(t). (3.1.1) Ekuacionet e lëvizjes për operatorët janë zakonisht të vështira për t u zgjidhur në mënyrë të drejtpërdrejtë. Kjo vjen sepse shpesh operatorët nuk komutojnë dhe ekuacionet nuk integrohen dot. Prandaj kërkohet një paraqitje ku këto ekuacione për operatorët kthehen në sisteme të zakonshme ekuacionesh lineare diferenciale dhe integrale. Sidoqoftë, në rastin konkret, në anën e majtë të ekuacionit figuron vetëm një operator (që komuton me vetvehten) dhe mund të shkruajmë menjëherë a(t) = a(0) e iωt. (3.1.2) Në mënyrë të ngjashme a + (t) = a + (0) e iωt. (3.1.3) Vlerat fillestare, a(0) dhe a + (0), janë çdo dy operatorë që janë të konjuguar kompleksë të njëri tjetrit dhe që i binden (3.1.1). Në shumë zbatime është e dëshirueshme të shqyrtohen efektet dinamike që rezultojnë nga shtimi i një force të jashtme që varet nga koha. Prandaj po supozojmë një Hamiltonian të formës H = p2 2µ + 1 2 µω2 x 2 x F(t), (3.1.4) 32