( ) 4πε. ku ρ eshte ngarkesa specifike (ngarkesa per njesine e vellimit ρ ) dhe j eshte densiteti i rrymes

Transcript

1 EKUACIONET E MAKSUELLIT Ne kete pjese do te studiojme elektrodinamiken klasike. Fjala klasike perdoret ne fizike, nuk ka rendesi e vjeter ose para shekullit te XX ose jo realiste (mendojne disa studente). Fjala klasike eshte shume e veante dhe e thjeshte, eshte mënyrë e teorisë së mekanikes jo-kuantike. Ne te vertete fizika klasike eshte ende hapesire aktive e studimit veanerisht ne ditet tona degezohet me temat qe ndryshojne shpesh. Ne fakt nje problem kryesor ne fiziken klasike eshte toria e turbulene (turbullimeve). Elektrodinamika klasike eshte bazuar plotesisht ne ekuaionet e Maksuellit. Ne fakt mund te peraktohet nje studim i elektrodinamikes klasike me ekuaionet e Maksuellit. Në kontrast me teorin e elektrodinamikes kuantike e ila rezulton kur konsiderohet nje kuantifikim i fushes elektromagnetike. Ekuaionet e Maksuellit jane vendosur ne kater ekuaione themelore qe nuk mund te derivohen më tej. Ato jane ne te vertete sa rezultati i veprimeve. Kontrollohet menyra e veprimit nese ato jane korekte duke krahasuar parashikimin me eksperimentin. Ato jane te ngjajshme me theniet e ligjeve te Njutonit ne mekaniken klasike, ose ekuaioneve te Shredingutne mekaniken kuantike, te gjitha te ilat nuk jane te derivueshme më tej por jane konsideruar nga nisja e postulateve per teorine. Te gjitha mund te shkruhen postulatet, ekuaionet dhe perfundimet e llogaritjeve. Sigurisht eshte gjithmon magjepes studimi i ketyreekuaioneve dhe origjinaliteti te ilat ojne ne sugjerimin e eksperimenteve ose konepteve. Teoria e elektrodinamikes klasike zhvillohet pjese-pjese ne menyren e krijimit te ligjit te Kulonit, ligjit io-savar, ligjit te Gaustit, ligjit te faradeit, ligjit te Amperit etj. Sidoqofte James Klerk Maksuell perfundoi te gjithe punen e meparshme, beri disa korigjime te rendesishme te tij dhe ne fund i shkruajti, qe ne ditet tona njihen me emrin ekuaionet e Maksuellit. 3.. EKUACIONET E MAKSUELLIT NE FORME DIFERENCIALE Ekuaionet e Maksuellit (në vakum) perbehen nga ligji i Gaustit per fushen elektrike E, E = ρ (3.) ligji i Gaustit per fushen magnetike, = (3.) ligji i Faradeit E + g = (3.3) dhe ligji i Amperit E = j (3.4) dq ku ρ eshte ngarkesa speifike (ngarkesa per njesine e vellimit ρ ) dhe j eshte densiteti i rrymes dτ di (rryma per njesine e siperfaqes j A ). k dhe g jane kostantet dhe eshte shpejtesia e drites ne vakum. da Ligji i fores se Lorenit eshte: F = q E + gv (3.5) ( ) E ila jep forën F mbi grimën me ngarkesë q dhe me shpejtesine e levizjes v ne fushen elektromagnetike. Ne me pare do te shohim se konstanten k, eshte e njejte me ate te ligjit te Kulonit per foren elektrike midis dy pikave te ngarkuara. qq F = k r (3.6) 3 r dhe konstantja speifike g qe i perket fores se fushave E dhe. Nga ligji i Kulonit mund te shikojme se njesite që zgjidhem per ngarkesen peraktojn vendosjen e njesive për k. Tre sistemet kryesore të njesive speifike jane ne tabelen 3. poshte. Tabela 3. Sistemi për ngarkesën k g Heaviside- Lorentz CGS (Gausian) SI (MKS) / 4π / 4πε / /

2 Keto konstante perfshihen ne ekuaionet e Maksuellit (3.)-(3.4) dhe ligji i fores se Lorenit forma e të ilëve është e ndryshme në sisteme të ndryshme Në sistemin Heaviside-Lorentz ekuaionet e Maksuellit janë: E = ρ (3.7) = (3.8) E + = (3.9) E = j (3.) dhe fora e Lorenit eshte F = q E + v (3.) Ne sistemin CGS ose Gausian ekuaionet e Maksuellit jane E = 4πρ (3.) = (3.3) E + = (3.4) 4π E = j (3.5) dhe ligji i fores se Lorenit eshte F = q E + v (3.6) Ne sistemin MKS ose SI ekuaionet e Maksuellit jane ρ E = (3.7) ε = (3.8) E + = (3.9) E = ε j (3.) Sidoqofte, per arsye se = ne njesite e SI ky ekuaion zakonisht shkruhet µ ε E E µ ε = µ j (3.) dhe ligji i fores se Lorenit eshte F = q( E + v ) (3.6) Në fizike i perdorin shpesh njesitë Heaviside-Lorents si dhe ve kesaj e perdorin si sistem njesive ne te ilen, keshtu qe ekuaionet e Maksuellit jane te thjeshte ne formen e mundshme. Ne kete pjesë do te zbatohen ekuaionet e Maksuellit që paraqiten ne kuaionet (3.)-(3.4) keshtu qe te gjitha ekuaionet do te permbajne konstantet k dhe g. Ekuaionet per sistemet e tjera të njesive speifike mund te merren duke zevendesuar konstantet me vlerat e merra nepermjet tabeles 3.. Prandaj në këtë pjesë nuk do te beje zgjedhjen e njesive speifike. Avantazhi këtu eshte krahasimi i rezultati. 3. EKUACIONET E MAKSUELLIT NE FORME INTEGRALE Ne kursin e pare te studenteve te fizikes nuk studiohen ekuaionet e Maksuellit ne forme difereniale por sigurisht ato studiuan formen integrale. Tani le te provojme se ekuaionet e Maksuellit paraqiten si ne ekuaionet (3.)-(3.4). Ne kryejme perfundimisht integralin e vellimit tek dy ekuaionet e para dhe ne integralin e siperfaqes ne dy ekuaionet e dyta. Integrojme mbi vellimin ( d τ ) ligjin e Gaustit per E (3.) dhe perdoret divergjenen e teoremes se Gaustit tek ( ) d = E τ E da dhe q = ρdτ jep rezultatin

3 Φ' E E da = 4 πkq (3.3) i ili eshte ligji i Gaustit per fluksin elektrik Φ ' E neper hapesiren e siperfaqes se mbyllur. Ekuaioni magnetik (3.) behet i ngjajshem Φ ' da = (3.4) ku Φ ' eshte fluksi magnetik neper hapesirene e siperfaqes se mbyllur. Hapesira mbi integralin ( ) ( ) da da ne ligjin e Faradeit dhe perdorimi i teoremes se Stokes, ne E = EdI jep rezltatin Φ EdI + g = (3.5) ku Φ da eshte fluksi magnetik (nuk eshte e domosdoshme per hapesiren e siperfaqes se mbyllur). Ligji i amperit perfundon me integralin e hapesires dhe perdorimi i i j A jep rezultatin. Φ E di i = (3.6) ku Φ E E da eshte fluksi elektrik (nuk eshte e domosdoshme per hapesiren e siperfaqes se mbyllur). Ky perfundim e ka prejardhjen nga ekuaionet e Maksuellit ne forme integrale. Ushtrim. Perdorni tabelen 3. kontrollojme ekuaionet siper qe jane ekuaionet qe studiojne studentet ne pjesen e pare te fizikes 3.3 RUAJTJA E NGARKESES Ruajtja e ngarkeses eshte e nenkuptueshme sipas ekuaioneve te Maksuellit. Marrim ligjin e Amperit divergjena jepet ( ) E = j. Sidoqofte ( ) = (shih problemen 3.) dhe perdorni ligjin e gaustitne marrim = j. Ne shohim se hiqen konstantet e mbetura j + = (3.7) i ili eshte ekuaioni i vijueshmerise, ose ruajtjes se ngarkeses ne forme difereniale. Ngaqe te gjitha konstantet fshihen, ky ekuaion eshte i njejte ne te gjitha sistemet e njesive. Ky ekuaion eshte nje ligj i ruajtjes lokale (pjesore) me kete ai na tregon ne si ngarkesa rruhet lokalisht (pjeserisht). Kjo eshte nqs. densiteti i ngarkeses rritet ne disa zona lokalisht ( merr nje vlere jo zero), domethene shkaktohet nga rryma qe rrjedh brenda zones lokale per shumen (rezultatin) = j. Nqs. ngarkesa zvogelohet ne nje zone lokale (nje negative), domethene kjo eshte e peraktuar per rrymen qe rrjedh jashte kesaj zone per vleren ρ = j. Divergjena ketu eshte pozitive qe i korespondojne j duke u perhapur jashte. Ne kontrast me kete ligji global i rruajtjes merret duke integruar neper te gjithe vellimin e te tere universit q global. d = ρ τ ku q eshte ngarkesa dhe jdτ = j da ne perputhje me teoremen e divergjenes se Gaustit. Ne jemi duke integruar neper te tere universin dhe keshtu da kyhet mbi sipërfaqen e universit ne infinit. Sidoqofte ne shtrijme ne infinit te gjitha rrymat lokale te ilat shuhen ne zero dhe keshtu j da = duke marre: q = (3.8) i ili eshte ligji global i ruajtjes se ngarkeses. Ai thote qe ngarkesa totale e universit eshte kostante. 3

4 4 Se fundi le te kthehemi dhe te shohim ligjin e Amperit. Forma origjinale e ligjit te Amperit ska termin e dyte. Ai shkruhet = j Nga diskutimet tona kjo mund te na oje tek j = keshtu forma origjinale e ligjit te Amperit shkelte E (dhunonte) ruajtjen e ngarkeses. Maksuelli shtoi termin, i ili tani quhet rryma e çvendosjes se Maksuellit. Duke shkruajtur jd, ligji i amperit eshte = ( j + jd), ose ne forme integrale 4π k dt di = ( i + id). Me shtimin e rrymes se vendosjes Maksuelli e beri ligjin e Amperit te perputhet me ruajtjen e ngarkeses. 3.4 VALET ELEKTROMAGNETIKE Ashtu si ruajtja e ngarkeses eshte nje pasoje e menjehershme e ekaioneve te Maksuellit, ashtu eshte edhe egzistena e valeve elektromagnetike, interpretimi i menjehershem i drites si nje vale elektromagnetike. Ky aludim per natyren e vertete te drites eshte nje nga triunfet me madheshtore te elektrodinamikes klasike qe u misherua (realizua) ne ekuaionet e Maksuellit. Se pari le te kujtojme qe ekuaioni i valeve nje permasore eshte ψ ψ = (3.9) x v ku perfaqeson valen dhe v eshte shpejtesia e vales. Duke e krahasuar kete me ekuaione te tjere te mirenjohur si ekuaioni i nxehtesise (s) ψ ψ = (3.3) x v ose ekuaioni i Shredingur ψ ψ + Vψ = i (3.3) mx ose ekuaioni i Klein-Gordon + m φ = (3.3) ( ) ku v (3.33) Ne hapesiren tre permasore ekuaioni i vales eshte v = (3.34) Ne do te na pelqente te kufizoheshim qe perhapet ne hapesiren e lire (vakum) shume larg nga burimet e ngarkesesore dhe rrymes (te ilat aktualisht prodhojne valet elektromagnetike). Keshtu ne fiksojme ρ = j = o ne ekuaionet e Maksuellit, duke na dhene ekuaionet e Maksuellit ne hapesiren e lire si E = (3.35) = (3.36) E + g = (3.37) E = (3.38) Duke marre permbledhjen e ligjit te Faradeit kemi ( E ) + g ( ) = dhe duke zevendesuar E nga ligji i Amperit kemi ( E ) + =. Sidoqofte ( E) = ( E E) nga (3.35) (bej problemin 3.) Keshtu ne kemi:

5 5 E E = (3.39) dhe me te njejten analize (bej problemin 3.3) = (3.4) duke na treguar qe fushat elektrike dhe magnetike i korespondojne valeve qe perhapen në hapesiren e lire me shpejtesi. Verejme qe kostantja g hiqet, keshtu qe keto ekuaione te valeve duken te njejta ne te tera njesite (sistemet). Del qe pershkrueshmeria elektrike dhe magnetike e hapesires boshe kane vlera te tilla qe / µ ε barazohet me shpejtesine e drites! Keshtu identifikimi qe u be menjehere ishte qe keto vale elektrike dhe magnetike jane drite. Ka mundesi qe kuptimi fizik i ekuaioneve te Maksuellit eshte i paqarte ne kete etape. Por ende mos u merzitni per kete. Qellimi i ketij kapitulli ishte te jepte nje veshtrim te shkurtet per ekuaionet e Maksuellit dhe disa pasojave te menjehershme te tyre. Ne do te studiojme kuptimin fizik dhe zgjidhjet e ekuaioneve te Maksuellit ne me shume detaje ne kapitujt pasardhes. 3.5 POTENCIALI SKALAR DHE VEKTORIAL Kujtojme teoremat ne teorine e potenialit (seksioni.7)? Ato ishin ) C = φ ne qofte se C = dhe ) G = F ne qofte se G = Nga teorema e dyte ligji magnetik i Gaustit (3.) menjehere implikon qe mund te shkruhet si irkulaion i disa vektoreve te tjere A si = A (3.4) Vektori A quhet poteniali vektorial magnetik te ilin ne do ta perdorim shpesh ne kapitujt qe vijojne. Verejme qe (3.4) eshte e njejte ne te gjitha njesite (sistemet). Duke pare ekuaionet e Maksuellit ne nuk shohim asnje irkulaion te barabarte me. por prisni. Ne sapo pame qe = A, keshtu pra le ta vendosim kete brenda ligjit te Faradeit si E + g ( A) = ose A E + g = (3.4) A Tani ne kemi nje vektor C E + g irkulaioni i te ilit eshte dhe rrjedhimisht C mund te shkruhet si gradienti i disa funksioneve skalare (le ta quajme ate V) si C = V, nga i ili del qe A E = V g (3.43) Skalari V quhet poteniali skalar elektrik, dhe ky ekuaion varret ne aparene në sistemin e njesive nga konstantja g. Ne dy kapitujt e tjere ne do te studiojme problema te pavarur nga koha, ne te ilet te gjitha derivatet kohore ne ekuaionet e Maksuellit jane. Ekuaionet e Maksuellit qe svaren nga koha jane E = ρ (3.44) = (3.45) E = (3.46) = j (3.47) duke patur parasysh se E = V (3.48) eshte i vetem. Ky ekuaion eshte i pavarur nga njesite Ne do te perdorim potenialet vektorial dhe skalar shpesh ne kapitujt pasardhes ku kuptimi i tyre do te behet shume i qarte.