Teori Grafesh. E zëmë se na është dhënë një bashkësi segmentesh mbi drejtëzën reale që po e shënojmë:

Transcript

1 Teori Grafesh Teori grafesh bitbit.uni.cc 1.1 Koncepti i grafit dhe disa nocione shoqeruese Shpeshherë për të lehtësuar veten ne shtrimin dhe analizën e mjaft problemeve që dalin në veprimtarinë tonë, ndërtojmë skema të ndryshme. Kështu për shembull, nëse duam të bëjmë një udhëtim drejt një qyteti të largët, duhet të shohim hartën e zonës ku paraqitet rrjeti rrugor. Praktikisht aty vëmë re qendrat e banuara si dhe praninë ose jo të rrugëve midis tyre. Mbi një skemë të tillë gjykojmë përzgjedhjen e rrugës që do të bëjmë në përshtatje me vetë qëllimin. E zëmë se na është dhënë një bashkësi segmentesh mbi drejtëzën reale që po e shënojmë: ; ; ;. Në varësi nga vlerat e skajeve këta të fundit mund të kenë prerje jo-boshe ose boshe. Po e zëmë se për arsye të veçanta jemi të interesuar të bëjmë më të dukshëm relacionin ndërmjet këtyre intervaleve. Për të realizuar këtë qëllim, një mënyrë do të ishte të ndërtojmë një skemë ku çdo intervali nga bashkësia e dhënë t i vëmë në korrespondencë një pikë në plan dhe për çdo çift intervalesh qe kanë prerje joboshe të vizatojmë një vijë që i bashkon. Për ilustrim, le të kemi: 1..4 ; 6..7 ; 2..8, 3..9, Skema: Megjithëse në përmbajtjen konkrete të problemeve që trajtohen në këto skema bie në sy një ndryshueshmëri e madhe, mund të vëmë re një tipar karakteristik të përbashkët. Ky tipar është: Të gjitha këto skema pasqyrojnë një sasi objektesh që vihen në një farë lidhjeje ndërmjet tyre. Perkufizim: Graf quhet një çift G=(V ; E), ku V është një nënbashkësi elementesh dhe E një bashkësi nënbashkësishë me nga dy elemente nga bashkësia V. Elementet e bashkësisë V quhen kulme, ndërsa elementët e bashkësisë E quhen brinjë të grafit G. Kulmet dhe brinjët e një grafi G=(V ; E) i shënojmë përkatësisht V(G) dhe E(G). Për një brinjë (i : j) E, kulmet i, j quhen skaje të saj. Nëse një brinjë e E ka për skaj kulmin i, atëherë thuhet se brinja e është incidente me kulmin i. Çdo kulm paraqitet me një shenjë në plan (pikë, rreth i vogël, trekëndësh etj.), ndërsa brinjët paraqiten me vija që bashkojnë skajet e tyre. Në fig.1 është skicuar grafi G=(V ; E) me 1; 2; ; 6 (bashkësi kulmesh) dhe 1: 3 ; 1: 4 ; 2: 3 ; 2: 4 ; 2: 6 ; 3: 4 ; 3: 6 ; 4: 5 ; 5: 6. Për një graf G=(V ; E), numrin e kulmeve V do ta quajmë rend, ndërsa numrin e brinjëve do ta quajmë përmasë. Kur rendi i grafit është i fundëm, atëherë vetë grafi quhet graf i fundëm, në të kundërt do të quhet i pafundëm. Për një graf bosh G = (ϕ, ϕ) do të përdorim thjeshtë shenjën ϕ. Grafe të rendeve 0 dhe 1 quhen grafe triviale. Kur dy kulme, i dhe j, janë skaje të së njërës brinjë, thuhet se ata janë fqinjë. Bashkësinë e kulmeve fqinjë të një kulmi të caktuar i në një graf të dhënë G=(V ; E) do ta shënojmë me simbolin N(i). Gjithashtu, edhe dy 1

2 brinjë që kanë një skaj të përbashkët quhen brinjë fqinje. Në qoftë se kulmet e nje grafi janë çift e çift fqinje, atëherë grafi G quhet graf i plotë. Një graf i plotë me n kulme shënohet K n. Le të jetë G=(V ; E) dhe G =(V ; E ) dy grafe të dhëna. Thuhet se grafi G dhe grafi G janë izomorf, dhe shkruhet G ~ G, ne qoftë se ekziston një bijeksion: φ: V V i, j E φ(i), φ(j) E, i, j V. Një pasqyrim i tillë quhet izomorfizëm. Kur G = G, kemi të bëjmë me automorfizëm, është automorfizëm. Shembull: Grafi G dhe G të vizatuar në fig. 2 janë izomorf. Një izomorfizëm që e vendos këtë fakt është: φ(1) = 1, φ(2) = 3, φ(3) = 2, φ(4) = 4, φ (5) = 5, φ (6)=6. Në qoftë se bashkësia e kulmevee dhe ajo e brinjëve të një grafi G = (V ; E ), janë nënbashkësi të bashkësive përkatëse të një grafi G, atëherë G quhet nëngraf i grafit G, kurse grafi G quhet supergraf i G. Në raste të tilla shënohet G G. Në qoftë se G është nëngraf i grafit G dhe G përmban të gjitha brinjët E {i, j} E / i V dhe j V, atëherë G quhet nëngraf i induktuar i grafit G. Grafi G mund të quhet graf dyanësor në qoftë se bashkësia V e kulmeve mund të copëtohet në dy bashkësi X dhe Y, ku ((X Y) = V dhe (X Y ) = ϕ), në mënyrë që (i : j) E, njëri skaj i takon bashkësisë X dhe tjetri bashkësisë Y. Shpeshherë një graf i tillë shënohet G = (X Y; E). Një graf dyanësor quhet i plotë në qoftë se ai përmban brinjë me skaje i dhe j, i X dhe i Y. Në qoftë se numri i elementeve të X: X = n 1 dhe Y = n 2, atëherë grafi i plotë me dy anë shënohet me simbolin. Në fig.2 G është dyanësor. Le të jetë dhënë grafi G = (V ; E) dhe, me bosht të kulmeve V i tillë që e, atëherë dhe vetëm atëherë kur e E quhet graf plotësues i grafit G=(V ; E). (fig 3) Grafi prej brinjësh i një grafi G = (V; E) që shënohet me simbolin L(G) është një graf, kulmet e të cilit përfaqësojnë brinjët e grafit G, në të cilin dy kulme janë fqinje atëhere dhe vetëm atëhere kur brinjët korresponduese në grafin G = (V; E) kanë një skaj të përbashkët. Shembull: Fig. 4 Brinjët e G janë kulme të L(G). Meqë G ka 7 brinjë, L(G) do të ketë 7 kulme. 2

3 1.2 Strirje të konceptit të grafit Teori grafesh bitbit.uni.cc Një nga shtrirjet më të natyrshme të konceptit të grafit është ajo që përftohet duke lejuar praninë e më shumë se një lidhjeje ndërmjet një çifti kulmesh. Me fjalë të tjera, një nënbashkësi me dy elemente { i, j} V, që përcaktojnë një brinjë, të mund të jetë e përsërithshme në bashkësinë E duke marrë me çdo prezencë të saj një pamje të re. Me këtë zgjerim përftohet koncepti i multigrafit. Në fig. 5 paraqitet një multigraf me 5 kulme. Një tjetër shtrirje e konceptit të grafit merret duke lejuar në bashësinë E (bashkësia e brinjëve), nënbashkësi me dy element identik. Rjënjë të tilla quhen laqe (lak), dhe një graf i tillë quhet pseudo-graf (fig. 6). Ka shumë situata në të cilat lidhjet ndërmjet objektevee kanë vetëm efekt të njëanshëm, në kuptimin që, lidhja e një elementi i me elementin j nuk nënkupton lidhje të elementit j me elementin i (fig. 7). Kjo gjë con në futjen e koceptit të grafit të orientuar, ndryshe quhet digraf. Nga pikpamja formale graf i orientuar është një çift G = (V; E) bashkësish (kulmesh dhe brinjësh) i shoqëruar me dy pasqyrime: φ: V E dhe ψ: E V, që caktojnë përçdo brinjë e E një kulm fillim dhe një kulm mbarim. Brinjët e orientuara zakonisht do t i quajmë harqe. Në qoftë se fillimi i një brinje është i barabartë me i, dhe mbarimi është i barabartë me j, atëherë harku perkatës shënohet me simbolin (i ; j). Kulmi j quhet pasardhës i kulmit i, ndërsa kulmi i paraardhës i j. Bashkësia e pasardhësve të një kulmi i shënohet me simbolin a(i), ndërsa ajo e paraardhësve shënohet me simbolin b(i). Për grafet e orientuar përdoret simboli G = (V ; A), në vend të simbolit G = (V; E). 1.3 Fuqitë e kulmeve Le të jetë dhënë grafi G = (V ; E), një graf jo-bosh. Fuqi e një kulmi i, i V ne grafin G quhet numri i brinjëve incidente në atë kulm. Ajo shënohet me simbolin. Kur grafi është i nënkuptueshëm, kulmet e izoluara të tij e kanë fuqinë 0. Për një digraf G, numri i harqeve që dalin dhe i atyre që hyjnë quhen përkatësisht gjysëm-fuqi dalëse (shënohet me simbolin ) dhe gjysëm-fuqi hyrëse (shënohet me simbolin ). Fuqia e kulmit përcaktohet si shumë: Fuqi minimum quhet numri δ(g)= min {d(i) / i V }, kurse fuqi maksimum quhet numri (G) = max{d(i) / i V }. Në qoftë se të gjithë kulmet e një grafi kanë të njëjtën fuqi K, atëherë grafi G = (V; E ) quhet K-rregullor ose thjesht graf i rregullt. Numri: quhet fuqi mesatare e G. Sipas kuptimeve të vetë simboleve do të kemi mos-barazimet: δ(g) d(g) (G). Një karakteristikë grafit, e afërt me fuqinë e kulmeve është herësi: ε(g) = E / V. 3

4 Teoremë 1: Për çdo graf G= (V; E) me n-kulme dhe m-brinjë, është i vërtetë barazimi: 2 Vërtetim: Çdo brinje të pranishme në një graf të dhënë i shtohet një njësi fuqisë së dy kulmeve që janë skaje të saj. Prania e m-brinjëve e bën shumën e përgjithshme të fuqive të kulmeve të barabartë me 2m. Shpesh herë shtrohet pyetja: për një varg jo-rritës me n numra të plotë jo negativ.., a ekziston ndonjë graf me n kulme që të ketë si fuqi të tyre numrat e dhënë? -Një varg i tillë që realizohet në këtë mënyrë do ta quajmë varg grafik. 1.4 Shtigjet dhe ciklet Jepet një graf G = (V ; E), dhe një varg i alternuar kulmesh e brinjësh i =,,,, = j, i tillë që çdo brinjë e k e vargut ka për skaje i k-1 : i k. Ky i fundit quhet udhëtim (i-j-udhëtim), kurse kulmet i dhe j quhen skaje të udhëtimit. Janë dhënë vargjet: : 1,, 2,, 3,, 4,, 5 : i,, 3,, 4,, 5, : i,, 5,, 3,, 2. Këto janë udhëtime në grafin e paraqitur (fig. 8), nga të cilat i pari është 1-5-udhëtim. Një udhëtim në të cilin nuk përsëritet ndonjë brinjë e tij, quhet udhë në grafin G. Perkufizim: Një udhëtim në të cilin nuk përsëritet ndonjë kulm, përjashtuar skajet do ta quajmë shteg. Numri i brinjëve të një shtegu quhet gjatësi shtegu. Gjatësia e shtegut më të shkurtër, që bashkon dy kulme, quhet largesë ndërmjet tyre. Largesa maksimale për të gjitha çiftet e ndryshëm të kulmeve quhet diametër i tij. Në qoftë se në një digraf G= (V; A), një varg i alternuar kulmesh dhe harqesh, i =,,,, = j i tillë që çdo hark ka si fillim dhe mbarim përkatësisht kulmet 1 ; dhe asnjë prej harqeve të grafit nuk përsëritet, atëherë këtë do t a quajmë rrugëtim në të cilin nuk përsëritet ndonjë kulm. Rrugë quhet rrugëtimi pa fillimin dhe mbarimin. Përkufizim: Një udhë në një graf G = (V ; E), quhet cikël në qoftë se skajet i dhe j janë i njëjti kulm. Një shteg me skaje të njëjtë ne një graf G = (V ; E) quhet cikël elementar. Përkufizim: Numri i brinjëve të një cikli, apo një cikli elementar, quhet gjatësi e ciklit. Cikli me gjatësi minimale, në një graf quhet cikël i belit, dhe vetë gjatësia e tij quhet beli i grafit dhe shënohet g(g). Përkufizim: Një brinjë e një grafi G që nuk është brinjë e një cikli dhe skajet i ka në kulmet e ciklit, quhet kordë e tij. Pohim (pa vërtetim): Çdo cikël i induktuar në një graf G nuk përmban kordë. Teoremë 2: Çdo i - j - udhë në një graf G=(V ; E) përmban një i - j - shteg. 4

5 Vërtetim: Le të jetë U një i - j - udhë në grafin G=(V; E). Në qoftë se udha U është e mbyllur, (pra skaji ose kulmi i fillimit është dhe kulmi i mbarimit), do të themi se i = j. Atëherë në rolin e shtegut marrim thjeshtë atë që e përbën vetëm kulmi i. E zëmë se U është një udhë e hapur e trajtës i=i 0, i 1,, i k =j. Bëjmë një kalim nëpër udhën U duke i vënë një shenjë çdo kulmi që ndeshim. Në qoftë se një kulm i r që ne e kemi hasur më përpara e rindeshim përsëri në kalimin në udhën U, kjo do të thotë se ekziston një përsëritje kulmesh, që e shënojmë me i s, ku s > r. Largojmë nga udha U kulmet i=i r i s- -1. Pasi largohet një grup i tillë kulmesh përftohet një udhë e re në udhën U. Në qoftë se këtë udhë të re e shënojmë me U 1, dhe U 1 nuk ka përsëritje kulmesh, atëherë përftohet shtegu i kërkuar. Në rast të kundërt bëhet përsëri përsëritja e proçedurës më mësipërme. Përderisa udha U është një varg i fundëm, atëherë mbas disa hapash do të merret një i - j udhë, që po shënojmë U q, në të cilin nuk hasim kulme që përsëriten më shumë se nje herë, pra si përfundim përftohet i - j - shteg. Perkufizim: Një graf jobosh G=(V ; E) quhet i lidhur në qoftë se i, j V(G) ekziston një shteg P me skaje në ato kulme. 2.1 Ciklet Euleriane Përkufizim: Një udhë në grafin G=(V ; brinjët e këtij grafi. E), do ta quajmë udhë euleriane në qoftë se ajo i përmban të gjitha Përkufizim: Një udhë euleriane me fillim dhe mbarim në të njëjtin kulm quhet cikël eulerian. Një graf i lidhur G=(V ; E) quhet graf eulerian në qoftë se brinjët mund të përshkohen sipas një cikli eulerian në grafin G=(V ; E). Për një graf të palidhur do të themi se është eulerian në qoftë se çdo komponent i tij është eulerian. Me kuptimin e ciklit eulerian lidhet problemi i mëposhtëm. Më poshtë në fig.8 kemi paraqitur grafikisht problemin 7 Urat e Königsberg-ut. Në skemën më poshtë është paraqitur një lumë që përshkon qytetin e Königsberg-ut. Lumi kalohet nga 7 ura, dhe në rrjedhë e tij ka dy ishuj në mes. Problemi: A mund të gjendet një menyrë, duke u nisur nga cilado pikë, që të mund të përshkohet i gjithë qyteti duke kaluar në secilën urë 1 dhe vetëm 1 herë? Po të përfaqësohet çdo breg me një kulm dhe të vendoset një brinjë ndërmjet dy kulmesh, sa herë që ndërmjet brigjeve që ata përfaqësojnë ekziston një udhë, atëherë përftohet grafi i fig.9. Pra pyetja e mësipërme do të riformulohej: A ekziston në grafin e Fig. 9 një udhë euleriane? Teoremë 3: Një graf i lidhur G=(V ; E),, është cikël eulerian atëherë dhe vetëm atëherë kur fuqia e çdo kulmi të tij është numër çift. 5

6 Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Le të jetë C një cikël eulerian në grafin G=(V ; E) dhe i V një kulm çfarëdo. Është e qartë që gjatë një kalimi të ciklit C çdo brinjë që të çon në kulmin i mund ta shoqërojmë në çift me brinjën e ciklit sipas së cilës dilet nga kulmi i. Prej këtej rrjedh se d(i) (fuqia) është numër çift. Kondita është e mjaftueshme: Shënojmë me U= i 0,e 0,i 1,,e r-1,i r një udhë me gjatësi maksimale në grafin G=(V ; E), i cili e ka fuqinë e çdo kulmi numër çift. Meqë udha është maksimalja atëherë të gjitha brinjët incidente me kulmin i r janë të përfshira në udhën U. Nga ana tjetër në qoftë se do të ishte i r e ndryshme nga i 0 ( i r i 0 ) atëherë kulmi i r do të ishte kulmi i mbërritjes dhe fuqia e tij d i do të ishte numër tek. Kjo gjë kundërshton vetinë e grafit G=(V ; E) prandaj mbetet që i r =i 0 dhe kështu udha U është e mbyllur. Le të supozojmë që udha U nuk është cikël eulerian. Atëherë grafi G=(V ; E) do ketë të paktën një brinjë e jashtë udhës U, dhe në bazë të lidhshmërisë ekziston një brinjë e me skajin i j mbi udhën U. Në këto kushte do përftohet udha U * : i,e,i 1,e j, e j-1,i j e cila ka të njëjtën gjatësi sa udha U. Në këtë rast arrijmë në një kundërthënie, pra supozimi bie poshtë. Sidoqë më sipër u përcaktuan kushtet e nevojshme dhe mjaftueshme për ekzistencën e cikleve euleriane, mënyra konkrete e vargëzimit të brinjëve për të formuar një cikël të tillë mbetet një problem më vehte. Një nga algoritmet që zgjidh këtë problem është algoritmi Hierholzer. Ideja e këtij algoritmi është gjetja e një copëtimi bashkësish E në cikle dhe pastaj një mënyrë e lidhjes së tyre njëri pas tjetrit që lejon të formohen cikle me më shumë brinjë derisa të përfshihen të gjitha brinjët që ndodhen në grafin G. Algoritmi Hierholzer Jepet një graf i lidhur G=(V ; E) me fuqi d(i), i V (G). 1. Zgjidhet një kulm i V. Duke u nisur nga ky kulm ecet nëpër brinjë të pakaluara më parë, derisa të mbyllet një cikël që po e shënojmë C 0. Marrim k:=0. 2. Në qoftë se E (C k ) = E (G) atëherë ndalu, C k është një cikël eulerian. Përndryshe zgjidhet një kulm j në ciklin C k që është skaj i një brinje që nuk ndodhet në ciklin C k. Ndërtohet një cikël C * duke u nisur nga kulmi j me brinjë nga E - E(C k ) deri në mbërritjen përsëri të kulmit j. 3. Ndërtohet cikli C k+1 që përmban brinjët e ciklit C k dhe ato të ciklit C * duke u nisur nga kulmi j - 1 paraardhës i kulmit j në ciklin C k duke përshkuar brinjët e tjera derisa të arrihet kulmi j, duke kaluar pas kësaj të gjithë ciklin C * dhe duke e mbyllur së fundmi me kalimin nëpër brinjën j : j - 1. Kalo në hapin 2. -Gjithmonë mbi bazën e teoremave më sipër mund të gjenden mënyra të ndryshme të copëtimit të grafit eulerian në cikle dhe të vargëzimit të tyre në një cikël eulerian. 3.1 Hapësirat e cikleve dhe të ko-cikleve Një tjetër kuptim shumë i rëndësishëm në studimin e grafeve, i lidhur ngushtë me atë të cikleve nëpërmjet një numri pohimesh, është edhe ai i prerjeve: Përkufizim: Le të jetë S = ϕ, një nënbashkësi e përpiktë kulmesh të grafit G = (V ; E) dhe = V S plotësi i bashkësisë S. Prerje, ose ko-cikël, në grafin G = (V ; E), që do t a shënojmë me simbolin [S; ], quhet bashkësia e brinjëve që njërin skaj e ka në bashkësinë S kurse skajin tjetër e ka në bashkësinë. Në vecanti bashkësia S mund të jetë edhe një kulm i vetëm i V(G). Në këtë rast ko-cikli i përcaktuar prej tij do të shënohet me simbolin D i. Nga vetë kuptimi i ko-ciklit dhe i veprimit + marrim pohimin e mëposhtëm: Pohim: Ko-cikli D, i përcaktuar nga një nënbashkësi S kulmeshtë grafit, është shumë e ko-cikleve të elementeve përbërës të tij. (barazimi 1) 6

7 : ; S Gjithashtu edhe nga vetë përkufizimi i ko-ciklit merret barazimi: [S; ] = [ ; S ]. Teori grafesh bitbit.uni.cc Teoremë 4: Bashkësia e prerjeve (ko-cikleve) te një grafi G=(V ; E) bashkuar me ϕ përcaktojnë një nënhapësirë C*(G) në hapësirën e brinjëve Η(G) (lexohet eta ). Vërtetim: Për të treguar se C*(G) formon një nënhapësirë në hapësirën e Η(G) duhet të trgojmë përmbyllshmërinë e veprimit të mbledhjes në këtë bashkësi. Pra të tregojmë që përçdo dy ko-cikle D, D C* kemi të vëtetë përkatësinë D + D C*. (Pra D, D C* D + D C*). Meqë D C* janë të vërteta barazimet D + D = ϕ dhe D + ϕ = D. Për mëposhtë, po supozojmë që D dhe D janë prerje të ndryshme dhe jo-boshe. Le të jetë D = [S 1 ; 1] dhe D = [S 2 ; 2] si në figurën 10. Në bazë të diferencës simetrike shuma D + D do të përmbahet nga të gjitha brinjët që i përkasin vetëm njërës prej prerjeve, por duke përjashtuar çdo brinjë që i përket të dyjave. (Pra brinjët që janë të përbashkëta nuk merren parasysh). Thënë ndryshe, D + D përmban brinjët që njërin skaj e kanë në S 3 = [S 1 S 2 ] [ 1 2] dhe skajin tjetër në bashkësinë 3 = [ 1 S 2 ] [S 1 2]. Pra nuk përmban asnjë brinjë kryqëzuese, që do të thotë, brinjë që i kanë skajet [ 1 S 2 ] dhe [ 1 2] ose [ 1 S 2 ] dhe [S 1 2 ]. Nga fakti se D D rrjedh që D + D është bashkësi jo-boshe (D + D 1 ϕ), arrijmë në përfundimin se D + D 1 = [S 3 ; 3], e cila është një prerje tjetër. Pra D + D C*. Teoremë 5: G = (V; E) me p-komponente të lidhura është i vërtetë barazimi: dim C*(G) = V - p, dhe vetë nën-hapësira C* përftohet nga ko-ciklet e grafit G = (V ; E). Vertetim: Le të shënojmë me H 1, H 2,.., H p komponentet e lidhura të grafit G. Bashkësia e kulmeve të të cilave janë V(G) = {v 1, v 2,..., v p }. Nuk ngushtohet problemi po të pranojmë se p kulmet e para shpërndahen përkatësisht në komponentet e mbetura H 1,..,H p. Bashkësia e kulmeve të mbetura B = {v p+1,..., v n } dhe komponentet e mbetura i kemi shpërndarë nëpër komponentet e mbetura H 1, H 2,.., H p. Le të marrim në shqyrtim bashkësinë β = {D(v 1 ).D( v p )} të ko-cikleve të përcaktuar nga secili prej kulmeve të bashkësisë B. Do të trgojmë sëpari se bashkësia e ko-cikleve β* është linearisht e pavarur në hapësirën Η (lexohet eta). Në këtë hapësirë, çdo kombinim vektorësh është në të vërtetë shuma e atyre që kanë koeficientët jo-zero në atë kombinim. Nga se kemi vërejtur më lart, çdo shumë elementësh nga β* është ko-cikël i përcaktuar nga një bashkësi kulmesh S B. Le të pranojmë se ko-cikli [S ; ] ϕ, dhe S ϕ. Nga kjo e fundit rrjedh se përçdo nënbashkësi të përpiktë dhe jo-boshe T S 0 do të kemi [T ; ] ϕ. Me këto cilësi që ka nënbashkësia S 0 rezulton se nën-grafi i induktuar prej saj të jetë njëra nga komponentet e lidhura H j G. Por nga mënyra e përcaktimit të bashkësisë B, asnjë nënbashkësi e saj nuk plotëson bashkësinë e kulmeve të ndonjë komponenteje të lidhur sepse një kulm i çdo komponenteje ndodhet jashtë B, pra [S ; ] = ϕ ndodh vetëm po të jetë S = ϕ. Rrjedhimisht bashkësia e ko-cikleve β* është linearisht e pavarur. Tani le të marrim ko-ciklin e përcaktuar nga një kulm v n β*, dmth nga njëri prej kulmeve v 1, v 2,..., v p. Në bazë të barazimit 1 dhe të faktit se [S; ] = [ ; S ], do të kemi V 7

8 Ku V i është bashkësia e kulmeve të komponentes H i. Prej këtij rezultati rrjedh se ko-cikli i çdo kulmi të grafit G = (V ; E) përfotohet prej nënbashkësisë β* dhe në bazë të barazimit 1, prej saj përftohet edhe çdo ko-cikël i grafit G = (V ; E), pra dhe çdo element i C*. Vërtetuam teoemën. Teoremë 6: Hapësira C(G) e cikleve të një grafi G = (V ; E) dhe ajo e ko-ciklit C* vërtetohet barazimi: C = C*. bashkësia e cikleve ortogonale) Vërtetim: Le të jetë grafi G = (V ; E) një graf i dhënë. Është e qartë se çdo cikël elementësh si dhe çdo cikël i grafit G ka një numër çift brinjësh të përbashkëta me çdo ko-cikël të atij grafi. Prej këtej rrjedh përfshirja C C*. Le të jetë F një nënbashkësi brinjësh të grafit G dhe G F = (V; F), grafi i përcaktuar prej saj. Kemi treguar se çdo komponente e lidhur e grafit G F do të jetë një cikël atëherë dhe vetëm atëherë kur fuqia e çdo kulmi v i V në këtë nëngraf të jetë çift. Për rrjedhojë, për çdo nënbashkësi brinjësh që nuk është cikël kemi: F C v i V / ( v i ) = nr tek. Por duke ditur se D(v i ) C*, barazimi i fundit tregon se F C F C* është një implikim i vërtetë, dhe po ashtu edhe ekuivalentja e tij F C* F C (F është cikël). Gjë që vërteton se C* C. Përkufizim: Përmasa e hapësirës së cikleve të një grafi G = (V ; E) quhet numër ciklomatik dhe shënohet ν(g), (ν lexohet nju ). Kurse përmasa e hapësirës së ko-cikleve quhet numër ko-ciklomatik i atij grafi dhe shënohet λ(g). (λ lexohet lambda ) Teoremë 7(pa vërtetim): Në çdo graf G = (V ; E) me p-komponente të lidhur, numri ciklomatik dhe ai ko-ciklomatik janë përkatesisht ν(g) = dim C(G) = E - V + p dhe λ (G) = dim C*(G) = V - p. 4.1 Drutë, vetitë kryesore të tyre Përkufizim: Dru quhet çdo graf T i lidhur dhe pa cikël. Përkufizim: Kulmet me fuqi 1 të një druri quhen gjethe, ose kulme fundore, ndërsa kulmet e tjera quhen kulme të brëndshme. Përkufizim: Një graf me më shumë se një komponent të lidhur quhet pyll në qoftë se çdo komponent i tij në vetvete është një dru. Në figurën 11 është treguar një dru. Teoremë 8: Çdo dru jo-trivial ka të paktën 2 gjethe. Vërtetim: Le të jetë P i = i 1, i 2,..., i r një shteg me gjatësi maksimale ne T. Skajet i 1 dhe i r janë patjetër me fuqi 1. Përndryshe në bazë të parimit të shtegut maksimal, çdo brinjë tjetër në këta kulme do të kishte përsëri skajin tjetër në shtegun P, e kështu edhe në drurin T. Si rrjedhojë e kësaj do të mbyllej një cikël. Pra arritëm në përfundimin që çdo dru jo-trivial ka të paktën 2 gjethe. Teoremë 9: Kulmeve të një druri T gjithmonë mundemi ti japim v 1, v 2 v n në lidhje me treguesin i, e tillë që v i për i 2, të ketë vetëm 1 kulm fqinj me bashkësinë {v 1,v 2 v i-1 }. Vërtetim: Kulmet e një grafi G = (V ; E) të lidhur gjithmonë mund të numërohen në mënyrë të tillë që përçdo i = 1, 2 V(G) nëngrafët e induktuar G i = G[v 1, v 2 v i ] të jenë të lidhur. Është e qartë se në këtë 8

9 rast kulmi me nëngrafin e lidhur G i-1 të indoktuar nga kulmet v 1, v 2 v i-1. Pikërisht ngaqë në vetvete ky nëngraf është i lidhur, kulmi v i nuk mund të ketë dy kulme fqinjë, sepse në rast të tillë nëngrafi i përcaktuar nga kulmet v 1, v 2 v i-1, v i do të formonte cikël. Pra arritëm në një kundërthenie. Teoremë 10: Për një graf T me të paktën dy kulme, pohimet e mëposhtme janë ekuivalente: 1) T është dru. 2) Përçdo dy kulme nga T ekziston 1 dhe vetëm 1 shteg që bashkon këto dy kulme. 3) T është i lidhur minimal. (Do të thotë se T është i lidhur, por nëngrafi T-e është i palidhur, e T) 4) T është pa cikle minimale. (T është pa cikle, por T + xy është me cikël, ku xy është brinjë e përcaktuar nga brinjët x, y T ) Vërtetim: 1) => 2) (Po vërtetojmë se nga pohimi i parë rrjedh i dyti) Në qoftë se do të kishim një çift kulmesh i, j T të cilët lidhen me dy shtigje të ndryshme, atëherë duke filluar nga kulmi i gjejme të parin kulm r ku shtigjet ndahen, dhe pastaj të parin kulm s ku shtigjet ribashkohen. Pjesët e dy shtigjeve nga r dhe s, që në fakt nuk kanë ndonjë brinjë të përbashkët, përcaktojnë një cikël në T. Pra kundërthënie. 2) => 3) Supozojmë se ekziston ndonjë brinjë e = ij, e tillë që nëngrafi T = T - ij të jetë i lidhur. Si rezultat në T do të ekzistonte shtegu që i përket edhe T. Sëbashku me shtegun që përcakton vetë brinja e,do të bëheshin dy shtigje me skaje në kulmin i dhe në kulmin j. Arritëm në një kundërthenie. 3) => 4) Në qoftë se grafi T do të përmbante ndonjë cikël, lidhshmëria nuk do të cënohej. (kundërthënie) Pra T nuk përmban cikle. Nga ana tjetër, nga lidhshmëria e grafit T rrjedh se për çdo dy kulme jo-fqinje i, j V T), ekziston një shteg që i bashkon. Duket qartë se po të shtohet vetë brinja ij do të formohej një cikël. Edhe kjo pikë u vërtetua. 4) => 1) Duke qenë se T është pa cikle dhe maksimal, rrjedh se çdo dy kulme i dhe j janë të lidhura. Vërtetuam se T është dru. Teoremë 11: Konditë e nevojshme dhe mjaftueshme që grafi i lidhur T = (V ; E) të jetë dru është që E = V - 1. Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Duke qenë se grafi T është dru, ai e ka numrin ciklomatik ν(t) = 0 dhe nga lidhshmëria e vet, numri i komponeteve të tij është p = 1. Në bazë të formulës dim C(G) = E - V + p do të kemi: ν(t) = 0 = dim C(G) = E - V + 1 E - V + 1 = 0 E = V - 1 Kondita është e mjaftueshme: Për një graf të lidhur T = (V ; E), p = 1 dhe me numër brinjësh E = V - 1, numri ciklomatik është: ν(t) = E - V + p. Meqë kemi të dhënë se E = V - 1, kemi ν(t) = V V - 1 = 0. Meqë T është i lidhur dhe nuk ka cikle, si rezultat kemi që T është dru. Teoremë 12: Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që grafi pa cikle T = (V ; E) të jetë dru, duhet që E = V - 1 Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Vërtetohet si tek teorema më sipër. 9

10 Kondita është e mjaftueshme: Përderisa grafi T është pa cikle, kjo sjell që numri ciklomatik ν(t) = 0. Duhet të tregojmë se numri i komponenteve të lidhura të grafit T të jetë p = 1. Për kushtet e dhëna kjo rrjedh nga barazimi i mëposhtëm: ν(t) = 0 = E - V + p = ( V - 1) - V + p = 0 = -1 + p => p = 1. Pra grafi T është i lidhur. Teoremë 13: Në qoftë se T është një dru me V(T) = q kulme dhe dhe G është një graf me δ(g) q 1 atëherë G përmban një nëngraf izomorf në drurin T. Vërtetim: Shënojmë me V 1 : i 1, i 2,.., i n kulmet e grafit G dhe bëjmë një rinumërim të kulmeve të drurit T (sipas teoremës 9) j 1, j 2,.., j q. Do të tregojmë me anë të induksionit të plotë matematik se çdo nëngraf T k i grafit T (nëndru), i përcaktuar nga bashkësia e kulmeve { j 1,.., j k } k q, ka në grafin G izomorfin e vet. Për k = 1 i vëmë në korrespondencë kulmit i 1 kulmin j 1. Është e qartë se pohimi i ndërmjetëm është i vertetë. E zëmë se për një vlerë k < j ekziston në G izomorfi G k i nëndrurit T k dhe marrim në shqyrtim nën-drurin T k+1. Në bazë të teoremës 9 kulmi j k+1 ka vetëm një fqinjë në nën-drurin T k, që po e shënojmë me j r, të cilit i korrespondon, sipas izomorfizmit, një kulm i r në nëngrafin G k. Duke qenë se fuqia e kulmit i r në grafin G është të paktën δ(g), atëherë kulmi i r në grafin G ka të paktën një fqinjë të papërfshirë në G k. Njërin prej tyre e shënojmë i k+1 dhe ia vëmë në korrespondencë j k+1. Tani shënojmë G k+1 nëngrafin Gk + i r i k+1 i cili është izomorfi i nëndrurit T k+1. Përkufizim: Për një graf të dhënë G thuhet se nëngrafi i tij T është dru përfshirës në qoftë se T është dru dhe numri i kulmeve të G është i barabartë me numrin e kulmeve të T. ( pra V(G) = V(T) ) Teoremë 14: Një graf G përmban një dru përfshirës T atëherë dhe vetëm atëherë kur G është i lidhur. Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Kjo rrjedh nga lidhshmëria e drurit përfshirës T. Kondita është e mjaftueshme: Në qoftë se grafi G është në vetvete një dru, atëherë ai vetë është druri përfshirës. Përndryshe nga grafi G heqim brinjë njëra pas tjetrës derisa të përftohet një graf T i lidhur minimal. Në bazë të teoremës 10, nëngrafi T është një dru përfshirës. Teorema u vërtetua. Le të jetë T një dru përfshirës në një graf të lidhur G. Brinjët e grafit G që ndodhen në grafin T do t i quajmë brinjë të brendshme ndërsa të tjerat brinjë të jashtme. Në figurën 12 është dhënë një graf përfshires i grafit të dhënë. Brinjët e brendshme janë vizatuar me vija të pandërprera, ndërsa të jashtmet me vija të ndërprera. Teoremë 15: Në qoftë se T është një dru përfshirës në grafin G atëherë çdo brinjë e jashtme e grafit G e lidhur me grafin T përcakton përcakton një cikël elementar në G dhe bashkësia e cikleve të tjera është një bazë ciklesh linearisht të pavarura në G. Vërtetim: Vërejmë sëpari se në bazë të teoremës 14 grafi G ka p = 1 komponente të lidhura. Le të jetë e = ij një brinjë e jashtme. Në bazë të teoremës 10 pika 2, kulmet i dhe j lidhen me një shteg të vetëm p në grafin T, që i mbyllur me brinjën ij përcakton një cikël elementar P+ij në G. Bashkësia e të gjitha cikleve elementare të formuara, që po e shënojmë me C T, është linearisht e pavarur. Ky pohim është i vërtetë sepse çdo cikël i tillë, duke patur një brinjuë që nuk e kanë ciklet e tjera të kësaj bashkësie, nuk mund të përftohet si kombinim linear i tyre. Nga ana tjetër bashkësia C T përmban aq cikle elementare sa është numri i brinjëve të jashtme. Pra C T = E - V + 1, numër ky i barabartë me numrin ciklomatik për një graf të lidhur i cili është vetë grafi G. 10

11 5.1 Shkurret, vetitë kryesore të tyre Le të jetë grafi G një digraf i dhënë,. Për të lehtësuar futjen e disa koncepteve të cilat lidhen me digrafet do të marrim parasysh edhe grafet që përftohen prej tyre duke zëvendësuar çdo hark me një brinjë që përcaktohet nga skajet përkatëse. Këta të fundit do t i quajmë grafe mbështetëse të grafit përkatës. Përkufizim: Do të quajmë rrënjë në digrafin D çdo kulm i V me cilësi: j V ekziston në D një rrugë nga i në j. Vërejmë se kur një graf përmban një rrënjë atëherë ai është i lidhur. Nga vetë përkufizimi rrjedh se çdo kulm i një digrafi i lidhur fort është një rrënjë e tij. Përkufizim: Një digraf T quhet shkurre në qoftë se ka një rrënjë dhe grafi mbështetës i tij është dru. Në figurë treguhet një shkurre me rrënjë në kulmin r: Teoremë 16: Për një digraf T = (V ; A) me të paktën dy kulme pohimet e mëposhtmë janë ekuivalente: 1) T është një shkurre. 2) Digrafi T ka një rrënjë r dhe i V ekziston një rrugë e vetme nga r në i. 3) Digrafi T është i lidhur, ka një kulm r dhe d - (r) = 0, ndërsa d - (i) = 1, i V {r}. 4) T është pa cikle: ka një kulm r me d - (r) = 0 dhe d - (i) = 1, i V {r}. Vërtetim: 1) => 2) Ekzistenca e një rruge nga kulmi r në çdo kulm tjetër i V vjen nga fakti se T ka rrënjë (është shkurre). Në qoftë se për ndonjë kulm i V do të ekzistonin dy rrugë të ndryshme me fillim në kulmin r, atëherë në grafin mbështetës G T të digrafit T do të ishte i pranishëm një cikël. Kjo bie në kundërshtim me faktin se T është shkurre. 2) => 3) Lidhshmëria e T rrjedh nga ekzistenca e rrënjës, në qoftë se i r do të kishim d - (i) 2, atëherë do të ekzistonin 2 harqe të trajtës ( j ; i ) dhe ( k ; i ) ku j k. Nga fakti që është rrënjë, rrjedh ekzistenca e rrugëve P r,j dhe P r,k të cilat të zgjaturaa përkatësisht me harqet ( j ; i ) dhe ( k ; i ) përcaktojnë 2 rrugë të ndryshme nga r në i. (kundërthënie) Në qoftë se do të kishim një hark ( i ; r ) T atëherë nga fakti që r është rrënjë, rrjedh prania e një cikli ku ndodhet edhe vetë kulmi r. Vërehet kushtu se për kulmin r ekzistojnë dy rrugë që të cojnë vetë tek r. Njëra e përbërë vetëm nga kulmi r dhe tjetra cikli i pranishëm. 3) = > 4) Numri i harqeve të një digrafi T me cilësi të pikës 3 është = V - 1, ndërsa numri i komponenteve të lidhura është p = 1. Në këto kushte numri ciklomatik është: ν(t) = V V + 1 = 0. 4) => 1) Për kushtet e pikës 4, sikurse më sipër, gjejmë që numri i harqeve të T është m = V - 1. Nga ana tjetër duke qënë se ν(t) = 0, prej formulës së numrit ciklomatik për grafin mbështetëss G T rrjedh implikimi 0 = V V + p => p =1. Pra G T ështëë graf i lidhur. Duke qënë se numri i brinjëve të grafit mbështetës G T është V - 1, rrjedh që G T është dru. Le të jetë i r një kulm çfarëdo. Meqë d - (i) = 1 ekziston një hark ( i 1 ; i ) T. Në qoftë se i 1 = r atëherë harku ( r ; i ) është rruga që lidh kulmin r me kulmin i. Përndryshe, meqë d - (i 1 )=1 ekziston një hark ( i 2 ; i 1 ). Në qoftë se i r atëherë vazhdojmë procesin duke përftuar kështu një varg kulmesh i, i 1,.., i k të tilla që harqet ( i j ; i j-1 ) për j = 1..k janë të pranishme në T. Në vargun e mësipërm të kulmeve nuk përsëritet ndonjë element sepse kjo do të implikonte praninë e ndonjë cikli. Ndërkohë numri i kulmeve është i fundëm dhe kështu shpejt a vonë do të kemi i k = r. Prej vetë mënyrës së vargut, duke e përshkuar atë me kahe të ndryshme merret një rrugë nga r në i. 11

12 (Mungon Teorema 17!) 6.1 Pemët, druri me peshë minimum E zëmë se në bashkësinë e brinjëve të një grafi G = (V ; E) është përcaktuar një funksion ω: E R. Përkufizim: Vlera ω(e) e një funksioni, që i përgjigjet brinjës e quhet peshë ose gjatësi e brinjës. Kurse vete ω quhet funksion i peshave, ose i gjatësive të brinjëve. Në këtë pjesë do të shqyrtojmë vetëm grafet e lidhura. Le të jetë T një dru përfshirës i grafit G. Madhësinë: ω T do ta quajmë peshë e drurit T. Problemi që shtrohet është: Të gjendet një dru T* në bashkësinë Τ të drurëve përfshirës të grafit G, i tillë që ω(t) ω( Τ ), T Τ. Po e ilustrojmë me një shembull: -Në një zonë të gjerë do të ndërtohet një rrjet i tensionit të lartë që do të shërbejë për furnizimin e një numri qendrash të banuara. Për arsye të mirmbajtes, lehtësisë së ndërtimit etj. linjat shkojnë në afërsi të rrugëve ekzistuese. Mbi këtë bazë mund të bëhen përllogaritje mbi koston e ndërtimit të segmenteve të veçanta të linjës. Po të marrim parasysh grafin që pasqyron sistemin ekzistues të rrugëve të rajonit në shqyrtim, atëherë çdo brinjë e grafit i shoqërohet kështu një numër që mund ta shohim si gjatësi ose peshë të tij. Çdo rrjet linjash përcakton një dru në atë graf. Aspekti ekonomik i problemit shtron kërkesën e përcaktimit të sistemit të linjave që ka koston më të vogël. Nga ana matematike ky problem konkret ri-formulohet kështu: Në grafet korrespondues të rrjetit rrugor të gjendet një dru përshirës me peshë minimum. Për këtë arsye duhet që të shfrytëzohen brinjët me gjatësi sa më të vogël, por sigurisht marrja e tyre duhet të shoqërohet me kujdesin që të mos formohen cikle, për këtë shërben algoritmi Kruskal: Algoritmi Kruskal: Jepet një graf G = (V; E) i lidhur, dhe funksioni ω: E R. 1. Rinumërohen brinjët e grafit në rendin jo-zbritës të peshave: ω(e 1 ) ω(e 2 ).. ω(e m ), F = φ. 2. Për i nga 1 në m bëj: Në qoftë se grafi T = (V ;F { e 1 }) nuk përmban cikle,atëherë F: F { e 1 }. Fund në qoftë se. Fund Për. Fund. Teorema 18: Grafi T= (V; F) që përftohet kur ndalet algoritmi Kruskal është një dru përfshirës me peshë minimum në grafin G. Vërtetim: Nga mënyra e ndërtimit, grafi T A i përftuar në fund të algoritmit është pa cikle dhe maksimal. Nga kjo rrjedh se T A është një dru përfshirës në G dhshënojmë F = { e 1 ; e 2 ; ; e n-1 } bashkësinë e brinjëve të T A të numëruara sipas rendit të përfshirjes së tyre nga algoritmi. Pra kemi ω(e i ) ω(e j ) për i < j. Nga i gjithë koleksioni i drurëve përfshirës me peshë minimum në G, le të shënojmë T* një prej tyre, me cilësinë që numri i brinjëve të tij të përbashkëtë me T A të jetë maksimum. Në qoftë se T A nuk do të ishte një dru përfshirës me peshë minimum në G, atëherë T A dhe T* nuk mund të jenë identike. Le të e i e para në listën e brinjëve që ndodhet tek T A që nuk ndodhet tek T*. Po e përfshijmë e i në T*, përftohet një graf H që përmban një cikël α (alfa) që nuk ndodhet në T A. Grafi H { e } është gjithashtu një dru përfshirës i grafit G dhe pesha e tij është: ω(h - e ) = ω(t*) + ω(e i ) - ω(e ). Nga mosbarazimi ω(t*) ω(h - e ), rrjedh se ω(e ) ω(e i ). Por në bazë të algoritmit, brinja e i është brinjë me peshë minimum, e tillë që nëngrafi i përcaktuar nga bashkësia e brinjëve Fi = { e 1 ; e 2; ; e i - 1 ; e i } është pa cikle. Ndërkohë brinjët { e 1 ; e 2; ; e i-1 ; e } duke qenë 12

13 nënbashkësi e brinjëve të T* nuk përcaktojnë ndonjë cikël. Fakti që algoritmi ka zgjedhur brinjën e i, dëshmon vërtetësinë e mosbarazimit: ω( (e i ) ω(e ) dhe si pasojë kemi ω(e i ) = ω(e ). Nga na tjetër grafi T = H {e } është përsëri një dru përfshirës, gjatësia e të cilit, në bazë të barazimit të mësipërm është: ω(t ) = ω(t*) + ω(e i ) - ω(e i ) = ω(t*). Kemi gjetur gjetur kështu një dru përfshirës me peshë minimum T i cili ka të përbashkët në T A një brinjë më shumë se çka T*. Kundërthenie. Teorema 19: Një dru përfshirës T* në grafin G është me peshë minimum atëherë dhe vetëm atëherë kur çdo brnjë e T* është me peshë më të vogël në bashkësinë e brinjëve të ko-ciklit D e të përcaktuara prej saj. Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Supozojmë të kundërtën: Le të jetë T* një dru përfshirës në G dhe për peshën e tij marrim mosbarazimin: ω(t ) = ω(t* *) + ω(e ) - ω(e) < ω(t*). Kundërthënie. Kondita është e mjaftueshme: Le të jetë T një dru që plotëson kushtin e teoremës dhe T* një dru me peshë minimum në G me cilësi që druri T ka numrin maksimal të brinjëve të përbashkëta. Në qoftë se T = T* pohimi është i vërtetë. E zëmë se T T*. Marrim një brinjë e T por që nuk ndodhet në T*. Largimi i brinjës e = r s e ndan drurin T në dy komponente të lidhura T 1 e T 2 dhe përcakton ko-ciklin D e. Po t ia shtojmë brinjën e drurit T* atëherë mbyllet një cikël C e i cili, duke patur një brinjë e të përbashkët me të, përveç brinjës e të tjerat i përkasin drurit minimum T*, por jo drurit T. Le të jetë e* një prej tyre. Sipas kushteve të teoremës kemi ω(e*) ω(e). Si në teoremën 18, kemi që grafi T = T* {e} {e*} është një dru përfshirës dhe sigurisht pesha e tij do të vërtetojë mosbarazimin ω(t ) ω(t*), prej të cilit rrjedh: ω(e) ω(e*). Nga dy relacionet e peshave të brinjëve e dhe e* marrim barazimin: ω(e) = ω(e*), e për pasojë: ω(t ) = ω(t*). Kemi gjetur kështu një tjetër dru me peshë minimum T që ka të përbashkët me T edhe një brinjë më tepër. Kundërthënie. 6.1 Kuptimi i lidhshmërisë sipas brinjëve kulmeve dhe sipas -Dy grafet e paraqitura në fig. 15 janë të lidhur dhe me të njëjtin numër kulmesh. Në qoftë se secili prej tyre do të paraqiste një rrjet telegrafik atëherë shihet se rrjeti A ka një shkallë lidhshmërie më të ulët se rrjeti B. Në qotë se heqim nga rrjeta A nyjen 6 atëherë ky rrjet del plotësisht jashtë. Në B një ndodhi e tillë nuk e ndërpret mundësinë e ndërlidhjes. Perkufizim 1: Lidhshmëria e një grafi G sipas kulmeve, që po e shënojmë me k(g), quhet numri minimal i kulmeve, largimi i të cilave e kthen në graf të palidhur ose në një kulm të vetëm. Për një graf jo të lidhur, k(g)=0 ndërsa për grafin e plotë kemi k(k n ) = n-1. Përkufizim 2: Lidhshmëria sipas brinjëve, që shënohet λ(g), quhet numri minimal i brinjëve, largimi i të cilave e kthen atë në graf të palidhur. 13

14 Thuhet se grafi G është q-lidhor sipas kulmeve në qoftë se k(g) q, dhe q-lidhor sipas brinjëve në qoftë se λ(g) q. Një nënbashkësi kulmesh (brinjësh) quhet bashkësi ndarëse, në qoftë se heqja e tyre rrit numrin e komponenteve të lidhur në të. Në qoftë se bashkësia ndarëse përbëhet nga një kulm i vetëm, atëherë ky i fundit quhet kulm ndarës ose nyje. Kur një brinjë e vetme është bashkësi ndarëse, ajo quhet urë. Teorema 20: Në një graf të lidhur G=(V; E) me V 3, një kulm i V është nyje atëherë dhe vetëm atëherë kur ekzistojnë 2 kulme j, k V (j, k i) të tilla që çdo shteg p nga j në k kalon nëpër kulmin i. Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Marrim 2 kulme j, k në 2 komponente të lidhura të ndryshme të grafit G {i}. Sigurisht grafi G {i} nuk përmban shteg nga j në k. Ndërsa grafi G, duke qenë i lidhur, përmban shtegun nga j në k. Pra kulmi i ndodhet në çdo shteg që bashkon j me kulmin k. Kondita është e mjaftueshme: Supozojmë se ekziston kulmi j dhe k në grafin G, i tillë që në çdo shteg që bashkon këto 2 kulme, ndodhet kulmi i. Po të hiqet kulmi i, atëherë në grafin G {i} nuk do të ekzistonte shtegu që bashkon j me k. Grafi i fundit rezulton jo i lidhur, pra kulmi i është nyje. Teorema 21 (pa vërtetim): Në një graf të lidhur G me V 3, një brinjë e E është urë atëherë dhe vetëm atëherë kur ekzistojnë 2 kulme j, k V të tilla që çdo shteg nga j në k përmban brinjën e. Teorema 22: Për çdo graf G janë të vërteta mosbarazimet: k(g) λ(g) δ(g) Vërtetim: Ndalemi së pari në vërtetimin e mosbarazimit të dytë. Në qoftë se G është i palidhur, atëherë λ(g) = 0 δ(g). Në qoftë se G është i lidhur, atëherë, marrim një kulm i me fuqi d(i) = δ(g). Largimi i brinjëve incidente me kulmin i mjafton që G të kthehet në graf të palidhur, prandaj λ(g) δ(g). Kthehemi në vërtetimin e mosbarazimit të parë. Në qoftë se G është i palidhur, ose trivial, atëherë shihet se k(g) = λ(g) = 0. Kur G është i lidhur dhe përmban një urë ij, gjithashtu vihet re se k(g) = λ(g) = 1. Le ta zëmë se për grafin e lidhur G kemi λ(g) 2. Në këtë rast, nga vetë kuptimi i λ(g), gjenden λ(g)-1 brinjë, largimi i të cilave sjell shfaqjen e një ure ij në grafin e përftuar. Për secilin nga λ(g) 1 brinjë, brinjët e larguara marrin njërin nga skajet me kusht që të i ndryshëm nga i dhe j. Nga mënyra e marrjes së këtyre kulmeve, sasia e tyre do të jetë jo më e madhe se λ(g) 1. Në qoftë se bashkësia Q e atyre kulmeve është ndarëse, atëherë relacioni vërtetohet në formën e mosbarazimit. Në rast të kundërt grafi i përftuar është i lidhur dhe ka një urë ij. Kuptohet se bashkësitë Q {i}, Q {j} janë ndarëse, e për rrjedhojë kemi k(g) Q {i} λ(g) = λ(g). Pohim: Në qoftë se G është një graf me k(g) = k dhe V k = {v 1,,v k } V një nënbashkësi ndarëse prej k kulmesh të tij, atëherë lidhshmëria e grafit G x, që përftohet duke shtuar një kulm x, dhe të gjitha brinjët xv 1 xv k, është k(g x ) = k(g). Vërtetim: Është e qartë se për G x ekziston një nënbashkësi ndarëse prej k kulmesh (V k ). Le të jetë bashkësia A V, e tillë që A < k. Dallojmë dy raste: I) x A. Në këtë rast grafi G që përftohet nga heqja e kulmeve A është ai që përftohet nga heqja prej grafit G kulmet A = A {x}, që janë më pak se k, dhe prandaj është i lidhur. II) x A. Në këtë rast heqja e kulmeve të bashkësisë A nuk cënon lidhshmërinë e grafit G dhe për pasojë as atë të Gx pasi kulmi x mbetet i lidhur me të paktën njërin nga kulmet e V k. Si përfundim do të kemi k(g x ) = k(g). 6.2 Kuptimi i grafeve planare, disa veti të tyre. 14 -Një nga problemet shumë të përhapura formulohet si më poshtë:

15 Secila nga 3 vilat v 1, v 2, v 3 do të furnizohet me gaz, energji elektrike dhe me ujë, nga nyjet shpërndarëse përkatëse v 4, v 5, v 6. A është e mundur që skema e lidhjeve (ku vilat dhe nyjet e shpërndarjes paraqiten me pika dhe lidhjet bashkë me tubacionet paraqitet me vija) të vizatohet në letër në mënyrë që asnjë çift vijash të mos ndërpritet jashtë skajeve të tyre? (fig 16) Problemi i shtruar më sipër është i lidhur me kategori të rëndësishme grafesh. Përkufizim: Grafi G është graf planar në qoftë se është e mundur që kulmet e tija të paraqiten me pika në plan, ndërsa brinjët me vija në mënyrë të tillë që dy nga dy ato të mos kenë pika të përbashkëta, përjashtuar rastin kur ato janë fqinje. Kur një paraqitje e tillë është arritur, thuhet se është bërë ngulim planar i grafit G, dhe vetë grafi quhet graf planar. (shembull fig 17) Linjur me një graf planar, çdo zonë maksimale e planit, e tillë që çdo dy pika të bashkohen me një vijë të thyer që nuk takon asnjë brinjë, quhet faqe e grafit. Kështu një faqe përfytyrohet si një zonë e lidhur e planit e kufizuar nga një bashkësi brinjësh. Të gjitha brinjët që tërësisht ndeshen në një faqe të caktuar për-bejnë kufirin e asaj faqe. Kufiri i faqes mund të përbëhet nga brinjë ciklesh të ndryshme si dhe nga brinjë ura (fig 18). Për çdo graf planar, një faqe është gjithmonë e pakufizuar, në këtë rast do ta quajmë faqe e pafundme. Ekziston një lidhje ndërmjet numrit të kulmeve, numrit të brinjëve dhe atij të faqeve të një grafi planar, si ajo që është formula e Eulerit. Teorema 23: Në qoftë se G = (V ; E) vërtetë barazimi: n m + f = 2. është graf i lidhur me n-kulme, n-brinjë dhe f-faqe atëherë është i Vërtetim: Sipas metodës së induksionit të plotë matematik: Për m =0, duke qenë se grafi është i lidhur, ai do të ketë n = 1 kulme dhe si faqe vetëm atë të pafundmen. Me këto parametra barazimi 1 është i vërtetë. E zëmë se pohimi është i vërtetë për çdo graf planar të lidhur me më pak se m brinjë. Le të jetë grafi G një graf planar i lidhur me numër kulmesh V = m dhe brinjësh E = n. Në qoftë se grafi është dru, atëherë n = m + 1 (nga teorema) dhe është e qartë se grafi G ka 1 faqe të vetme, përsëri me këto parametra barazimi është i vërtetë. Shqyrtojmë rastin kur G nuk është dru Le të jetë C një cikël dhe një brinjë e e po këtij cikli. Në qoftë se shënojmë me G = G e grafin që merret nga heqja e brinjës e, atëherë G do të jetë graf i lidhur i cili ka m-1 brinjë dhe f = f 1 faqe. Në bazë të pohimit të induksionit të plotë matematik, për G kemi barazimin: n ( m 1 ) + ( f - 1) = 2. Në qoftë se e rivendosim përsëri brinjën e përftohet grafi G që ka një brinjë më shumë se grafi G dhe po ashtu një faqe më tepër. Për këtë graf, ana e majtë mund të shkruhet : n - m + f = n - (n - 1) + f 1 = 2 Përkufizim: Grafi G është graf planar maksimal në qoftë se përçdo brinjë xy E, G + xy nuk është planar. Teorema 24: Në qoftë se grafi G është planar maksimal atëherë m = 3n 6. Vërtetim: Në një graf planar maksimal çdo faqe ka në kufirin e vet 3 brinjë. Nga ana tjetër çdo brinjë ndodhet në kufirin e dy faqeve, si rrjedhojë shuma e brinjëve që lidhen me kufirin e të gjitha faqeve është sa dyfishi i numrit të brinjëve dhe kemi: 15

16 3 2 f 2 3 m Rizëvendësojmë tek formula n f + f = 2 dhe marrim: Për një graf planar me f-faqe do të shënojmë me f i numrin e faqeve që kanë në kufirin e tyre saktësisht i- brinjë. Në qoftë se T është bashkësia e numrit të brinjëve për të gjithë bashkësinë e faqeve, atëherë është i vërtetë barazimi: Në qoftë se grafi planar nuk përmban ura, atëherë çdo brinjë ndodhet në kufirin e 2 faqeve, prej këtu rrjedh barazimi: 2 Terorema 25: Në çdo graf palnar G të rendit n, ku beli g vërteton barazimin 3 < g < numri m(g) i brinjëve plotëson kushtin: g max n 2 ; n 1 g 2 4 Vërtetim: Kemi rastet: 1) g =. Grafi është pa cikle dhe dihet se m n -1. 2) g <. Sigurisht do të kemi g n. Në këtë rast vlera më e vogël e mundshme e n është g. Grafi kthehet në një cikël të vetëm me m = n = g dhe shihet se vërtetësia e barazimit (4) lehtë vërtetohet për numër kulmesh më të vogla se n, ku n > g. Vërtetësia e pohimit nuk ngushtohet po të pranojmë se grafi G është graf i lidhur. Verejmë se n për 3 g n maksimumi në barazimin (4) arrihet në termin e parë. Kjo ndodh sepse ai term zvogëlohet me rritjen e g dhe kështu marrim: Le ta zëmë se grafi G përmban një urë. Si rrjedhojë me heqjen e saj përftohen 2 nëngrafe planare të lidhura G 1, G 2 me numër kulmesh n 1 e n 2, numër brinjësh g 1 g dhe g 2 g. Në bazë të pohimit të induksionit mund të shkruajmë: ; ; Për rastin tonë të shumtën njëri nga grafet G 1, G 2 mund të jetë dru. Le të analizojmë rastin kur G 2 është dru. Mund të marrim mosbarazimin e mëposhtëm: 2 2 ; ; ; 1 2 ; 1

17 Kur të dy palët G 1, G 2 nuk janë drurë, vazhdojmë më tej mosbarazimin (6) duke shfrytëzuar (5) dhe pastaj mosbarazimin g 1 g; g 2 g dhe marrim: 2 2 ; ; Ndalemi së fundmi në rastin kur G ka ndonjë urë. Këtu në bazë të barazimit (2) dhe (3) gjejmë: Në bazë të formulës sëeulerit mund të shkruajmë : 2 Në bazë të kësaj arrijmë në përfundimin: 6.3 Ngjyrimi i kulmeve Do të themi se është bërë një ngjyrim i kulmeve të një grafi G në qoftë se çdo kulmi të grafit i është caktuar një nghyrë e vetme në mënyrë të tillë që çdo 2 kulme fqinje të kenë ngjyra të ndryshme. Nëse ngjyrat e përdorura i numërojmë dhe bashkësia e indekseve të tyre është {1, 2.., r} (r ngjyra), atëherë një ngjyrim i grafit G është një pasqyrim C : V {1, 2.., r} që plotësohet kushti: ij E c(i) c(j) Një ngjyrim që përmban k ngjyra quhet k-ngjyrim, ndersa vetë grafi quhet k-ngjyrues. Përkufizim: Numri minimal i ngjyrave me të cilat mund të realizohet një ngjyrim i grafit G quhet numër kromatik dhe shënohet X(G). Gjetja e numrit kromatik të një grafi është një nga problemet e teorisë së grafeve. Po sjellim një shembull: Kryesia e një parlamenti ka planifikuar mbledhjen tek të gjitha komisionet e tija ku duhet të marrin pjesë të gjithë anëtarët përkatës. Çdo komision do të mblidhet vetëm një ditë. Duke ditur se ka parlamentarë që janë anëtarë të disa komisioneve kërkohet një planifikim. -Ndërtojmë një graf me bashkësi të kulmeve me bijeksion me komisionet e parlamentit. Një brinjë e tij në bashkësinë E do të përfshihet në tëatëherë dhe vetëm atëherë kur ka një parlamentar që është anëtar i komisioneve i dhe j. Në grafin e ndërtuar çdo ngjyrim i kulmeve do të përcaktonte një numër ditësh që lejon të zhvillohen mbledhjet sipas kushtit të pjesmarrjes së parlamentarëve. Ngjyrimi i kulmeve të grafit me X(G) ngjyra zgjidh përfundimisht problemin e mësipërm. Në një ngjyrim të një grafi bashkësinë e kulmeve që kanë të njëjtën ngjyrë do ta quajmë klasa-ngjyrë. Teorema 26: Në qoftë se G është një graf i rendit n atëherë janë të vërteta mosbarazimet: 1) X(G) α(g) n. 2) X(G) + α(g) n + 1. Ku me α(g) shënohet kardinalin e një bashkësie të pavarur maksimum në grafin G. 17

18 Vërtetim: Le të shënojmë me β = {S 1, S 2.., S X(G) } copërtimin e bashkësisë së kulmeve V në nënbashkësi të pavarura për të cilat përcaktohet nga një ngjyrim i grafit me numër kromatik të ngjyrave, duke ditur se: S i / i = 1, 2,.. X(G) kemi barazimin S i < α(g). Me këto të dhëna vërtetohet mosbarazimi i parë. (detyrë) Për mosbarazimin (2), le të jetë S një nënbashkësi e pavarur maksimum në grafin G. Ngjyrosim kulmet S me ngjyrën 1. Pas kësaj do të kenë mbetur të pangjyrosura kulmet: V - S, për të cilat janë të mjaftueshme n α(g) ngjyra të tjera. Për rrjedhojë të kësaj, numri kromatik vërteton mosbarazimin: X(G) [n - α(g)] + 1 X(G) + α(g) n + 1. Pika (2) u vërtetua. Disa nocione dhe tregues që lidhen me problemin e ngjyrimit mbeten jo plotësisht të përcaktuara. Kështu për shembull klasat e ngjyrave mund të variojnë brenda të njëjtës bashkësi ngjyrash. Siç tregohet ne shembullin e figurës 19, edhe vetë klasat e ngjyrave janë të ndryshme. Në këtë graf sipas ngjyrimit (a) klasat e ngjyrave janë {v 1 ; v 3 ; v 7 }, {v 2 ; v 4 ; v 6 }, {v 5 }, kurse sipas ngjyrimit (b) kemi {v 1 ; v 4 }, {v 2 ; v 5 ; v 7 } {v 3 ; v 7 }. Vërejmë gjithashtu se për pak raste të veçanta, pa asnjë vështirësi përcaktohet numri kromatik përkatës. Ndëmjet tyre mund të përmendim: 1) Grafi G është një cikël elementar C 2q, atëherë numri kromatik X(G) = 2. 2) Grafi G është një cikël elementar tek C 2q+1 = X(G). 3) Grafi G është graf i plote K n, atëherë X(K n ) = n. 4) Grafi G është i plotë me p-anë, numri kromatik do të jetë X(K n1, n2..np ) = p. Duke mos qenë i mundur përcaktimi saktëssiht i numrit kromatik, atëherë do të përqendrohemi në përcaktimin e kufinjve të sipërm të tij. Pohim: Në çdo graf G me m-brinjë është i vërtetë mosbarazimi i mëposhtëm: Vërtetim: Le të jetë c një ngjyrim i kulmeve të grafit G me k = X(G) ngjyra. Në qoftë se S i dhe S j janë dy klasa në këtë ngjyrim, atëherë është e qartë se të paktën ndërmjet një çifti kulmesh x S i dhe y S j ekziston një brinjë që i bashkon. Përndryshe klasat S i dhe S j do të bashkoheshin në një të vetme. Prej këtej rrjedh se numri i brinjëve është jo më i vogël se numri i kombinimeve dy e nga dy të klasave. Kemi n ½ k(k-1), zgjidhet inekuacioni në lidhje me k dhe vërtetohet pohimi. -Për të realizuar një ngjyrim të një grafi mund të përdoret algoritmi i tipi gëlltitës. Realizimi i një ngjyrimi sipas kësaj proçedure tregon edhe se në rradhitjen më të favorshme të kulmeve ai nuk përdor më shumë se (G) + 1 ngjyra. Ky numër është një kufi i sipërm i numrit kromatik. 7.1 Çiftëzimi, disa nocione themelore Koncepti i grafit ngrihet mbi dy elemente bazë: një bashkësi elementesh dhe një relacion në atë bashkësi. Përkufizim: Një nënbashkësi kulmesh apo brinjësh të një grafi G quhet e pavarur në qoftë se asnjë çift elementesh prej saj nuk është fqinje. Një nënbashkësi brinjësh të pavarura, që po e shënojmë më shkronjën W quhet ndryshe çiftëzim në atë graf. Lidhur me një çiftëzim W, një kulm v i V quhet i çiftëzuar në qoftë se është skaj i ndonjë brinje e W, përndryshe kulmi v i quhet i lirë, ose i paçiftëzuar. Një çiftëzim quhet i përsosur kur prej tij janë të çiftëzuara të gjitha kulmet e grafit. I lidhur ngushtë me kuptimin e çiftëzimit është ai i mbulimit. 18