paraqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Prandaj, meqë X A B dhe Y A B,

Transcript

1 Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta shënojmë me. Shembulli. Le të jenë A {,,3}, B { a, b}. Cilat nga bashkësitë (,),(,),(,), Y (,),(,),(,3), Z (,),(3,3) a X b a a paraqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Së pari caktojmë A B (,),(,),(,),(,),(3,),(3,) a b a b. a b Prandaj, meqë X A B dhe Y A B, Z A B përfundojmë se bashkësia X paraqet relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B. Nëse ( a,) b a b. Nëse ( a,) b themi se a është në relacion me b dhe këtë mund ta shënojmë themi se a nuk është në relacion me b dhe këtë mund ta shënojmë a jo b (apo a ρ). b Nëse shqyrtojmë bashkësitë e mësipërme A {,,3}, B { a, b} dhe nëse (,),(,),(3,) a b a është relacion i bashkësisë A në bashkësinë B kemi a, b,3 a por 3 jo b, jo. Relacioni i bashkësisë A në bashkësinë A quhet relacion në bashkësinë A. Përkufizimi. Relacioni invers i relacionit A B është bashkësia B A që jepet me: ( b,) a (,) a b. Vërejmë se nëse paraqet relacion të bashkësisë A në bashkësinë B atëherë paraqet relacion të bashkësisë B në bashkësinë A. Shembulli. Le të jenë dhënë bashkësitë A {,,3}, B {,3} si dhe relacionet: b) A B. a) (,),(,3) ;

2 Atëherë (,),(3,) ; B A. A ekziston relacioni i cili është i barabartë me relacionin invers Le të jetë A { a, b, c, d}, B { a, c, d} Është e qartë se y 5 4 3? si dhe relacioni ( a,),( a,),( c c,) d. d. Shembulli 3. Le të jenë dhënë bashkësitë A {,,3, 4}, B {,3,5}. Të caktohen relacionet: a) (,) y: y b) (,) y: y c) (,) y: y a) Meqë 3 ; 5 3 përfundojmë se (,3),(3,5). y y b) (,3),(4,5). c) Meqë katrori i numrave të bashkësisë A është:, 4,3 9, 4 6 dhe asnjëri nga numrat, 4,9,6 nuk i takon bashkësisë B përfundojmë se. Një gjë e tillë ka kuptim në bazë të faktit se A, A. Shembulli 4. Është dhënë bashkësia A {,,3, 4,5} dhe relacioni (,) y y. Të caktohen elementet e relacionit dhe të paraqitet grafikisht në bashkësinë (,3),(,4),(3,5). A Shembulli 5. Në bashkësinë A {,,3, 4,5} relacioni është paraqitur në mënyrë grafike. Të caktohen elementet e relacionit.

3 Së pari vërejmë se (,),(,),(3,3),(4,4). Por (5,5). Duke përcjellur shigjetat që dalin nga elementi vërejmë se (,),(,3),(,5). Duke vepruar ngjashëm me elementet,3,4,5 merret: (,4),(3,),(3,4),(4,3),(5,4). Përfundojmë se: (,),(,),(,3),(,5),(,),(,4),(3, ),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,4). Vërejmë se paraqitja në mënyrë grafike në disa raste të relacioneve mund të jetë shumë e komplikuar dhe nga një paraqitje të tillë nuk mund të vërejmë pothuajse asgjë. Për këtë arsye e përdorim paraqitjen matricore të relacioneve: Shembulli 6. Në bashkësinë A {,, 3, 4, 5, 6} është dhënë relacioni (,) y y 3. a) Të caktohen elementet e relacionit të dhënë. b) Të paraqitet në mënyrë grafike dhe matricore relacioni. a) {(,3),(,4),(,5),(,6),(,),(,3),(, 4),(,5),(,6), (3,),(3,),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4, ),(4,),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,),(5,),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6, ),(6,),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. b) Paraqiten grafikishik relacionin e dhënë. Në vijim le të paraqesim në mënyrë matricore relacionin e dhënë.

4 A(). Le të sqarojmë se si është plotësuar tabela: Vërejmë se elementi kundërtën elementi aij i matricës merr vlerën nëse elementi ( i,) j. Në të aij i matricës merr vlerën 0. P.sh. meqë (,) atëherë elementi a merr vlerën 0. Meqë (,3) atëherë elementi a3 merr vlerën. Përkufizimi. Le të jetë relacion binar në bashkësinë X. ) Relacioni është refleksiv nëse, X. ) Relacioni është simetrik nëse y y,, y X. 3) Relacioni është transitiv nëse y y z z,, y, z X. 4) Relacioni është jorefleksiv nëse jo,, X. ((,),,) X 5) Relacioni është antisimetrik nëse y y y. Shembulli. Le të jetë X {,,3}. Atëherë relacioni {(,),(,),(3,3)} është relacion refleksiv, sepse për çdo X,(,). Por relacionet {(,),(3,3)} dhe {(,),(,),(,),(3,3)} nuk janë relacione refleksive sepse (në të dy rastet) X por (,),(,). Shembulli. Le të jetë X si në shembullin. Relacioni {(,),(,),(,3),(,),(3,),(3,3)} është relacion simetrik (pse?) por relacioni {(,),(,3),(3,)} nuk është simetrik,

5 5 sepse sipas përkufizimit të relacionit simetrik meqë (,) do të duhej që (,), gjë që shihet qartë se nuk vlen. Shembulli 3. Relacioni " " në bashkësinë e numrave natyrorë është transitiv sepse y y z z,, y, z N. Por p.sh. relacioni {(,) y y } në bashkësinë Z nuk është relacion transitiv sepse p.sh. për 4; y 3; z, vërtetë y dhe y z por nuk vlen z sepse 4 3, 3 por nuk është e saktë që 4. Shembulli 4. Në bashkësinë N, përkufizojmë relacionin e pjesëtueshmërisë a (), b n N b an Relacioni është refleksiv, sepse () a ( N ). a a a a Relacioni nuk është simetrik, seps p.sh. 4 (4 = ) por 4 jo (nuk ekziston numri natyror n ashtu që 4). n Por relacioni është antisimetrik sepse nëse a b dhe b a atëherë m, n N b am, a n b prej nga b n b m, d.m.th. m n, e kjo është e mundur vetëm nëse m n. Pra a b. Relacioni është transitiv sepse nëse a b dhe b c atëherë m, n N b am dhe c bn, prandaj c amn, pra, ekziston numri natyror n mn ashtu që c an, prandaj a c. Përkufizimi. Relacioni që është refleksiv, simetrik dhe transitiv quhet relacion ekuivalence. Shembulli 5. Në bashkësinë e numrave racional Q është dhënë relacioni si vijon ab a bq. Të vërtetohet se relacioni është relacion ekuivalence.

6 6 Provojmë vetitë ) 3) të përkufizimit. ) aa a a 0 Q (0 është numër racional) ) ab a bq () b a Q b a Q 3) ab bc a b Q b c Q ()() a b b c Q, a cq gjë që duhej treguar. Le të jetë relacion i ekuivalencës në X dhe le të jetë X. Bashkësia e të gjitha elementeve y nga X, të cilët janë në relacion me elementin quhet klasë e ekuivalencës e elementit dhe shënohet me. C Pra C { y X y}. Meqë X, atëherë C D.m.th. çdo element i takon klasës së vet të ekuivalencës, pra asnjë klasë e ekuivalencës nuk është bashkësi boshe. Tregohet se dy klasë të ekuivalencës ose janë disjunkte ose përputhen. Për këtë, relacioni i ekuivalencës e zbërthen bashkësinë X në nënbashkësi joboshe disjunkte (klasë të ekuivalencës) unioni i të cilave është X. Pra X C (ose X { C X}.) X Faktor bashkësia është bashkësia e klasëve të ekuivalencës. Shembulli 6. Në bashkësinë Z, relacioni i kongruencës sipas modulit definohet si vijon: a b (mod )() k Z. a b k a) Të vërtetohet se relacioni i mësipërm është relacion i ekuivalencës. b) Të caktohen klasët e ekuivalencës. c) Të caktohet faktor bashkësia. a) Provojmë vetitë ) 3) të përkufizimit. ) a Z,(mod a a) a0 a 0. a ) a, b Z,(mod a b) k Z a b k b a k b a k,(mod k ). k b a 3) a, b, c Z,(mod a b)(mod ) b c k, k Z a b k, b c k ()() a b b c k k() a c k k

7 7 b) Kemi dy klasë të ekuivalencës sepse a c k,(mod k k). k a c 0 C { k : k Z}, C {k ; k Z} C0 { y Z y 0(mod )} { y Z y 0 k, k Z} { y Z y k, k Z} { k, k Z} C { y Z y (mod )} { y Z y k, k Z} { y Z y k, k Z} {k, k Z} Çfarë ndodhë me C, C3,...? c) Do të shënojmë faktor bashkësinë Z (mod ). Atëherë (mod ) 0 Z { C, C } {{ k : k Z},(k, k Z}}. Përkufizimi. Relacioni që është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv quhet relacion i renditjes. Shembulli. Të vërtetohet se relacioni " " i definuar si vijon: a b ab, a, b N është relacion i renditjes. Duhet provuar vetitë ), 3), 5) të përkufizimit të njësisë paraprake. ) a a aa, ), a b b c a b b c k k N a k b b k C a k k C a k C, k k k ac a c. 3) a b b a ab b a a kb, b k a, k, k N a b. Pse?

8 8 Përkufizimi. Le të jenë dhënë bashkësitë A, B. f paraqet pasqyrim të bashkësisë A në bashkësinë B nëse vlen: ) ()(),(,) A y B y f ) ()()((( A,)(,)). y B z B y f z f y z Simbolikisht shënojmë f : A B. D.m.th. pasqyrimi f : A B, të bashkësisë A në bashkësinë B është relacioni binar në mes të elementeve të bashkësive A, B ashtu që çdo element A paraqitet një dhe vetëm një herë si komponentë e parë e elementeve të bashkësisë f. Pra, pasqyrimi (funksioni) nga A në B paraqet rregullën ose ligjin sipas të cilit çdo elementi nga A i shoqërojmë një element nga B. Shembulli. Le të jetë A { a, b, c}, B {,,3}. Bashkësia f {( a,),( b,),( c,3)} paraqet një funksion prej bashkësisë A në bashkësinë B. Grafikisht pasqyrimin f mund ta paraqesim si vijon: A f a b c 3 B Shembulli. Në cilin nga diagramet vijuese është paraqitur pasqyrim nga bashkësia A { a, b, c} në bashkësinë B {,,3,4}? a) b) c) A f B A f B A f B a a a b b b c 3 c 3 c 3

9 9 a) Në këtë rast nuk kemi pasqyrim, sepse elementit b A nuk i është shoqëruar asnjë element nga B. b) Është pasqyrim. c) Nuk është pasqyrim, sepse elementit c A i shoqërohen dy elemente nga B. Në vend të shënimit (,) y f shënojmë y f () dhe leojmë: pasqyrohet në y me anë të funksionit f. Komponenta e parë e dyshes së renditur (,) y quhet origjinal kurse komponenta e dytë quhet përfytyrë e elementit. Bashkësia e të gjitha elementeve të para të funksionit f quhet domenë (zonë e definimit, zonë e përkufizimit) të funksionit f dhe shënojmë me D(), f kurse bashkësia e të gjitha komponenteve të dyta quhet bashkësi e vlerave (kodomenë) dhe e shënojmë me K(). f (Shpesh në vend të K() f shënohet f ()) A. Po ashtu vërejmë se K() f. B Në rastin e shembullit 3 kemi: f () 3;() f 5;(3) f 3;(4) 3. f Domena e funksionit është D {,,3,4};()() f A {3,5} K f. Në rastin c) kemi: f () 3;() f 3;(3) f 3;(4) 3. f Në këtë kemi: D() f {,,3,4};()() K {3}. f f A f Nëse f : A B dhe nëse f () A ka vetëm një element, atëherë pasqyrimi f quhet konstant. Pasqyrimi në rastin c) paraqet shembull të pasqyrimit konstant. Pasqyrimi në shembullin ) (dhe në përgjithësi pasqyrimet) mund të paraqiten edhe në formën vijuese: a b c f : A B; f. 3 Po ashtu, pasqyrimet mund të paraqiten në formën tabelare dhe grafike. Shembulli 3. Funksioni signum përkufizohet në këtë mënyrë:, 0 sgn 0, 0, 0

10 0 Të paraqiten grafikisht funksionet vijuese dhe të caktohet kodomena e tyre: a) sgn ; b) c) sgn3 ; d) sgn sgn()., 0 a) sgn 0, 0, 0 y b) Meqë 0, kemi, 0 sgn 0, 0 y Kod(sgn) {, 0,}; Kod(sgn) {0,}. c) Meqë 3 0, R atëherë sgn(3). Kod(sgn3) {}. y d) I lihet leuesit. Përkufizimi. Le të jetë f : A B pasqyrim prej bashkësisë A në bashkësinë B. a) Pasqyrimi f është nëse f ()() f ose nëse f ()(). f b) Pasqyrimi f është mbi nëse ()() b () B. a A f a b c) Pasqyrimi f quhet bijektiv nëse është dhe mbi.

11 Shembulli 4. Cilat nga pasqyrimet vijuese janë, mbi, bijektive? a) f : X X nëse X {,,3,4} dhe f është i definuar si vijon: f () ;() f 3;(3) f ;(4) 4. f n b) f : N Q,() f n. n a) Pasqyrimi f nuk është - sepse 3 por f ()(3). f Pasqyrimi f nuk është mbi sepse për X nuk ekziston asnjë element X i tillë që f (). b) Le të jenë n, n dhe n n f ()() n f n n n n (n )( n ) n n n n n n n n n. Pasqyrimi nuk është mbi sepse për shembull për 0 nuk ekziston n () f n0. Le të jenë dhënë funksionet f, g. Le të i konsiderojmë ato si dy makina që kanë hyrje-daljet e tyre. Në qoftë se dalja (rezultati) i funksionit f shërben si hyrje e funksionit g atëhere në mënyrë skematike këtë e paraqesim si vijon: f f() g g(f()) Një gjë që duhet të kemi parasysh është fakti që rezultatet e funksionit f duhet t i takojnë domenës së funksionit g. Për të siguruar një gjë të tillë, kodomena e funksionit f duhet të jetë e barabartë me domenën e funksionit g. Kështu nëse marrim funksionet f : A B dhe g : B C, atëhere mund të mendojmë kombinimin e këtyre dy makinave si një makinë e cila për hyrje ka elementet nga bashkësia bashkësia A kurse daljet g(()) f janë nga bashkësia C.

12 Nga një situatë e tillë marrim motivimin për përkufizimin formal të kompozimit të funksioneve. Përkufizimi 3. Le të jenë dhënë funksionet f : A B and g : B C. Kompozimi i funksioneve f, g është funksioni g f : A C,()()(()). g f g f Kompozimin e pasqyrimeve mund ta paraqesim në këtë mënyrë: A f f() g f B g C g( f()) Shembulli 5. Le të jenë f, g, h : të dhëna si vijon f () ;() g ;() h. Të njehsohet f (());(()),((()). g g h f g h f (())( g ) f ; g(())( h ) g ; f ((())() g h. f Shembulli 6. Nëse f ( ) 7 të njehsohet f (). Zëvendësojmë t. Atëherë t. Merret f () t 7( t ) 7 t 9. Prandaj f () 7 9. Shembulli 7. Të zgjidhet barazimi f (). Zëvendësojmë t. Duke ngritur në katror të dy anët e relacionit të fundit merret t prej nga kemi t. D.m.th. f () t t. Prandaj f ().

13 3. Në bashkësinë N {0}, të caktohet relacioni (,) y y.. Në bashkësinë Z { 3,,,0,,,3} janë dhënë relacionet vijuese: a) (,) y: y b) (,) y: 3 y c) (,) y: y Të caktohen bashkësitë përkatëse dhe të paraqiten grafikisht si dhe në mënyrë matricore. 3. Le të jetë X {,,3,4} dhe le të jenë: {(,),(,),(,3),(3,),(3,),(3,3)} {(,),(,),(3,3),(4,4),(,),(,),(, 3),(3,),(,3),(3,)} 3 {(,),(,),(3,3),(4,4),(,),(,),(, 3),(3,)}. Të shqyrtohet se çfarë relacionesh paraqesin,, Le të jetë R bashkësia e numrave realë. Çfarë relacioni paraqet barazimi i numrave realë =? 5. Janë dhënë bashkësitë A {,,3,4}, B {3,5}. Cilat nga bashkësitë vijuese paraqesin pasqyrime prej bashkësisë A në bashkësinë B? a) f {(,3),(,5),(3,3),(4,3)} b) f {(,3),(,3),(3,3),(4,3)}. c) f {(,3),(,5),(,3),(,5),(3,3),(4,5)} m 6. Le të jetë S, m, n, m n. n Le të jenë f : S, g : S të dhënë me: f () n, n ;() g s,. s S n s Tregoni se f, g janë -. Të njehsohet f (()),(()). g n g f n Të provohet nëse f (()),(()) g n g f n janë Të zgjidhet barazimi f ( ) 3.