PASQYRIMET (FUNKSIONET)
|
|
- Σωφρόνιος Μαρής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 1. Përkufizimi i pasqyrimit (funksionit) Përkufizimi 1.1. Le të jenë S, T bashkësi të dhëna. Funksion ose pasqyrim nga S në T quhet rregulla sipas së cilës çdo elementi s S i shoqëronhet një element i vetëm t T. Shënimi 1.2. Për të shprehur pasqyrimin f (funksionin) nga S në T do të përdorim shënimin f : S T ose S f T Vlerën e funksionin f në elementin s do t a shënojmë me f(s). Bashkësia S quhet domena e f-it, kurse T quhet kodomena e f-it. Shënimi f : a b ose a b kur f nënkuptohet shpreh që f(a) = b, pra funksioni specifikohet në elemente (jepet sipas elementeve). Shënimi 1.3. Në bazë të Përkufizimit 1.1, themi se f : S T paraqet pasqyrim nëse: 1) s S, t T ashtu që f(s) = t. 2) Nëse f(s) = t 1 dhe f(s) = t 2 atëherë t 1 = t 2. Detyra 1.4. Në cilin nga diagramet vijuese është dhënë pasqyrim nga bashkësia S = a, b, c} në bashkësinë T = 1, 2, 3, 4}? Zgjidhja. a) Vërejmë se elementit b S nuk i është shoqëruar asnjë element nga bashkësia T. Pra në këtë rast nuk kemi pasqyrim (nuk plotësohet kushti 1). b) Është pasqyrim, sepse çdo elementi nga S i shoqërohet një element nga T. Kështu a 3; b 3; c 1 1
2 2 PASQYRIMET (FUNKSIONET) Shënimi 1.5. Vërejmë se që të dy elementeve a, b nga S u shoqërohet i njëjti element 3 T. Kjo nuk është në kundërshtim me përkufizimin e pasqyrimit. c) Nuk është pasqyrim, sepse elementit c S i shoqërohen dy elemente nga T, dhe atë 1, 3 (nuk plotësohet kushti 2). Nëse funksioni f nuk jepet sipas elementeve, në përgjithësi duhet të provohet nëse f është mirë i përkufizuar (angl. well defined). Le të kuptojmë këtë përmes shembullit vijues: Shembulli 1.6. Le të jetë A = A 1 A 2. Le të përkufizojmë pasqyrimin f nga A në 0, 1} si vijon: 0, nëse x A 1 f(x) =. 1, nëse x A 2 Qartë se f është pasqyrim nëse A 1 A 2 =. Pse? Por nëse A 1 A 2 nuk është boshe, le të themi p.sh. A 1 A 2 = z}, atëherë shtrojmë pyetjen: Ku do të pasqyrohej z në këtë rast? Përfundojmë se nëse A 1 A 2, atëherë f nuk është pasqyrim. Detyra 1.7. Përcaktoni nëse funksionet vijuese janë mirë të përkufizuara: ( a ) a)f : Q Z i përkufizuar me f = a. b ( a ) b)f : Q Z i përkufizuar me f = b. b c) f : Z 3 Z 6 i përkufizuar me f(x) = 3x. ( a ) d)f : Q Q i përkufizuar me f = a2 b b. 2 e) f : Z 3 Z 6 i përkufizuar me f(x) = x + 1. f) f : N N i përkufizuar me f(n) = n 1. g) f : N 0} N 0} i përkufizuar me f(n) = n 1. h) f : Z Z i përkufizuar me f(z) = z 1. i) f : R R i përkufizuar me f(r) = r. j) f : R + R + i përkufizuar me f(x) = x.
3 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 3 Zgjidhja. a) Vërejmë se kushti 1) nga Shënimi 1.3 plotësohet sepse çdo numri nga Q (pra çdo thyese) i shoqërohet numëruesi i saj. Meqë 1 2 = 2 ( 1 ) ( 2 4, kemi f = 1, f = ) Pra, nuk plotësohet kushti 2) (sepse 1 po pasqyrohet në dy vlera të ndryshme) (madje 2 1 pasqyrohet edhe në më shumë se dy vlera të ndryshme. Pse?) 2 D.m.th. nuk kemi pasqyrim. b) Arsyetohet si në rastin a) se nuk kemi pasqyrim. c)përkujtojmë se Z n = 0, 1, 2,..., n 1} është bashkësia e të gjitha mbetjeve të mundshme gjatë pjesëtimit të numrit të çfarëdoshëm natyror me numrin n. Kështu, p.sh. kur një numër natyror k pjesëtohet me 3 mund të merret mbetja 0 (në këtë rast themi se k plotëpjesëtohet me 3), 1 ose 2. D.m.th. Z 3 = 0, 1, 2}. Po ashtu Z 6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Për këto më në detale do të kemi në kapitullin vijues: Le t i kthehemi zgjidhjes së detyrës. Meqë në Z 3 vlen 3 = 0, kurse në Z 6 vlen 9 = 3 por f(0) = 3 0 = 0, kurse f(3) = 3 3 = 9 = 3 përfundojmë se i njëjti element i Z 3 (0 = 3) pasqyrohet në dy elemente të ndryshme në Z 6. D.m.th. f nuk është pasqyrim. 2. Disa shembuj të pasqyrimeve (funksioneve) Shembulli 2.1. Le të jenë S, T bashkësi joboshe dhe le të jetë t 0 një element i fiksuar nga T. Pasqyrimi f : S T i përkufizuar me f(s) = t 0 për çdo s S quhet pasqyrim konstant nga S në T. Shembulli 2.2. Le të jetë S bashkësi joboshe. Pasqyrimi i : S S i përkufizuar me i(s) = s, për çdo s S quhet pasqyrim identik në S. Shpesh do ta shënojmë i s. Shembulli 2.3. Le të jenë S, T bashkësi joboshe. Projeksionet kanonike π S, π T nga bashkësia A B në bashkësitë A, B përkatësisht përkufizohen me: π A (s, t) = s, (s, t) A B π A (s, t) = t, (s, t) A B Shembulli 2.4. Funksioni vlera absolute f : R R + përkufizohet me: f(x) = x, nëse x 0 x, nëse x < 0
4 4 PASQYRIMET (FUNKSIONET) ku R + = x R x 0}. Për funksionin e mësipërm zakonisht në vend të f(x) shënojmë x. Të paraqitet grafiku i funksionit f(x) = x. Shembulli 2.5. Shqyrtojmë funksionin f : R 0, 1} të përkufizuar me: f(x) = 1, nëse x irracional 0, nëse x racional Provoni të paraqitni grafikun e funksionit paraprak! Shembulli 2.6. Funksioni signum (funksioni i shenjës) f : R 1, 0, 1} përkufizohet me: 1, nëse x > 0 f(x) = 0, nëse x = 0 1, nëse x < 0 Për funksionin e mësipërm në vend të f(x) do të përdorim shënimin sgn x. Grafiku i funksionin sgn x Shembulli 2.7. Le të jetë U bashkësi universale dhe A nënbashkësi e U-së. Funksioni karakteristik i A-së në lidhje me U shënohet është χ A : U 0, 1} dhe përkufizohet me 1, nëse x A χ A (x) = 0, nëse x A. Shembulli 2.8. Funksioni vijues paraqitet në shumë raste në shkencë kompjuterike dhe në teorinë e numrave, quhet pjesa e plotë x-it dhe përkufizohet me: f : R Z, f(x) = numri më i madh i plotë z i tillë që z x.
5 Për funksionin e mësipërm do të shënojmë [x]. PASQYRIMET (FUNKSIONET) 5 Kështu, do të themi që [x] = k atëherë dhe vetëm atëherë kur k x < k + 1. Për shembull: [1.2] = 1 sepse < = 2. [ 2] = 2 sepse 2 2 < 1 Për x Z vlen [x] = x. Vërejmë se për x [0, 1) vlen [x] = 0; për x [1, 2) vlen [x] = 1; për x [ 1, 0), [x] = 1 etj. Kështu mund të paraqesim grafikun e funksionit f(x) = [x]. Shembulli 2.9. Le të jenë S, T bashkësi të tilla që S T. Funksioni i përfshirjes i : S T përkufizohet me: i(s) = s, s S. Ku qëndron dallimi mes funksionit të përfshirjes i(s) në S dhe funksionit identik i s? Përkufizimi Le të jenë f : S T, g : S 1 T 1 dy funksione. Themi se f = g nëse S = S 1, T = T 1 (pra domenet dhe kodomenet janë të barabarta) dhe nëse f(s) = g(s) për çdo s S ( S 1 = S). Detyra Përkufizojmë f : R R, g : R R të dhëna me: Tregoni se f = g. f(x) = maxx, x} g(x) = x Zgjidhja. Le të jetë maxx, x} = x. D.m.th. x > 0, pra f(x) = x për x > 0. Nëse x = 0; maxx, x} = 0. Pra f(x) = 0 për x = 0. Nëse maxx, x} = x përfundojmë se x < 0, pra f(x) = x për x < 0. D.m.th.
6 6 PASQYRIMET (FUNKSIONET) x, nëse x > 0 f(x) = 0, nëse x = 0 = g(x). x, nëse x < 0 Detyra Të paraqitet grafiku i funksioneve vijuese si dhe të caktohet domena dhe kodomena e tyre a) f(x) = sgn(x 1); b) f(x) = sgnx 2 ; c) f(x) = sgn3 x ; d) f(x) = sgn(sin x); e) f(x) = sgn(x 2 x); f) f(x) = sgn(π 2 2). Zgjidhja. b) Meqë x 2 > 0, x R \ 0} kemi: sgnx 2 = 1, nëse x 0 0, nëse x = 0 Detyra Të paraqiten grafikisht funksionet a) f(x) = x [x]; b) f(x) = x + [x]; c) f(x) = [x] + sgnx. Zgjidhja. a) Për x Z, [x] = x, pra f(x) = 0. Për x [0, 1), [x] = 0, pra f(x) = x. Për x [1, 2), [x] = 1, pra f(x) = x 1. Për x [2, 3), [x] = 2, pra f(x) = x 2. Për x [ 1, 0), [x] = 1, pra f(x) = x + 1. Grafiku i funksionit f(x) = x [x]
7 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 7 Detyra Le të jetë R bashkësi universale dhe le të jetë Të paraqitet grafiku i funksioneve: A = x R 1 x < 5}. a)χ A ; b)χ A C; c) χ 2} ; d) χ N. Zgjidhja. a) Nga përkufizimi i funksionit karakteristik merret: χ A (x) = 1, nëse x [1, 5) 0, nëse x R \ [1, 5) 3. Pasqyrimi bijektiv Mund të ndodh që për një funksion, dy vlera (elemente) të ndryshme të domenës të japin të njëjtin rezultat. P.sh. në detyrën 1.4 b) elementet a, b janë të ndryshme por a 3, b 3. D.m.th. f(a) = f(b) = 3. Ose nëse marrim në shqyrtim funksionin f : R R të përkufizuar me f(x) = x 2. (Qartë se f është mirë i përkufizuar). Edhe në këtë rast argumentet e ndryshme sjellin tek i njëjti rezultat. P.sh. 1 1 por f(1) = f( 1) = 1. Por nëse funksioni f : S T është i tillë që elementeve (argumenteve) të ndryshme u shoqëron përfytyra (vlera) të ndryshme atëherë themi se f është pasqyrim 1-1. Përkufizimi 3.1. Pasqyrimi f : S T është një-një (injektiv) (simbolikisht shënojmë 1-1) nëse për s 1 s 2 nga S vlen f(s 1 ) f(s 2 ) në T, ose në mënyrë ekuivalente, f është 1 1 nëse f(s 1 ) = f(s 2 ) = s 1 = s 2. Shënimi 3.2. Që një funksion të jetë 1-1 shpesh varet edhe nga domena e tij (e jo vetëm nga rregulla). P.sh. f : R R i përkufizuar me f(x) = x 2 nuk është 1 1 (siç e kemi përshkruar më sipër) por g : R + R i përkufizuar me g(x) = x 2 është 1 1 (çdo dy elemente të ndryshme jonegative i kanë përfytyrat e ndryshme). Në këtë rast rregulla (ligji) është e njëjtë por ndryshon domena.
8 8 PASQYRIMET (FUNKSIONET) Le t i referohemi sërish detyrës 1.4, rasti b). Vërejmë se (edhe pse kemi pasqyrim) elementi 4 T nuk është përfytyrë e asnjë elementi nga S. Nëse funksioni f : S T është i tillë që çdo element t T është përfytyrë e ndonjë elementi nga S atëherë themi se pasqyrimi f është mbi. Përkufizimi 3.3. Pasqyrimi f : S T është mbi (surjektiv) nëse t T, s S f(s) = t. Shënimi 3.4. Fakti që një funksion është mbi, jo çdoherë varet vetëm nga rregulla (ligji, korrespondeca). P.sh. f : R R i përkufizuar me f(x) = x 2 nuk është mbi, sepse, p.sh. numri 1 (e madje asnjë numër real negativ) nuk është përfytyrë e ndonjë numri real. Por, g : R R + i përkufizuar me g(x) = x 2 është mbi, sepse çdo numër real jonegativ është vlerë e funksionit për ndonjë argument (cili argument?). Përkufizimi 3.5. Pasqyrimi 1-1 dhe mbi quhet pasqyrim bijektiv. Shembulli 3.6. Le të jetë X = 1, 2, 3, 4, 5}, f : X X pasqyrim i dhënë me: f(1) = 3; f(2) = 1; f(3) = 4; f(4) = 5; f(5) = 4 Meqë elementi 2 nga X nuk është përfytyrë e asnjë elementi (nga X) përfundojmë se f nuk është mbi. Pasqyrimi nuk është as 1 1 sepse 3 5 por f(3) = f(5) = 4. Detyra 3.7. Cilat nga pasqyrimet vijuese janë 1 1, mbi, bijektive? a) f : N Q i përkufizuar me f(n) = n 2n + 1. b) f : Z N i përkufizuar me 2 x + 1, nëse x < 0 f(x) = 1, nëse x = 0 2x, nëse x > 0 c) f : C R i përkufizuar me f(x + iy) = x 3 + y 3. Zgjidhja. a) Le të jenë n 1, n 2 N si dhe f(n 1 ) = f(n 2 ). Atëherë D.m.th. f është 1 1. f(n 1 ) = f(n 2 ) = n 1 2n = n 2 2n = n 1 (2n 2 + 1) = n 2 (2n 1 + 1) = n 1 = n 2. Pasqyrimi nuk është mbi sepse p.sh. për 0 Q nuk ekziston asnjë n N i tillë që f(n) = 0. Pra, pasqyrimi nuk është bijektiv.
9 b) Si më parë tregohet se f është 1 1. PASQYRIMET (FUNKSIONET) 9 Tregojmë se f është mbi. Duhet të tregojmë se çdo numër natyror është përfytyrë e ndonjë numri të plotë. P.sh. për 2 N; ekziston 1 Z ashtu që f(1)2, për 3 N ekziston 1 Z ashtu që f( 1) = = 3. Në përgjithësi, për n = 2k, k Z ekziston k Z ashtu që f(k) = 2k, si dhe për n = 2k + 1, k Z, ekziston k Z ashtu që f( k) = 2 k + 1 = 2k + 1. Përfundojmë se pasqyrimi është bijektiv. Detyra 3.8. Le të jetë f : R R i dhënë me f(x) = x 2 + ax + b, ku a, b janë numra të fiksuar real. Tregoni se për asnjë vlerë të a, b pasqyrimi f nuk mund të jetë 1 1 ose mbi. Zgjidhja. Pasqyrimin e dhënë mund ta shënojmë në trajtën ( f(x) = x + a ) 2 4b a Le të themi se a 0 (Çfarë mund të themi nëse a = 0?) Vërejmë për x 1 = 0, x 2 = a vlen f(0) = f( a) = b. D.m.th. f nuk është b a2 Le të jetë y < nga R. Atëherë për këtë vlerë të y-it nuk ekziston x R ashtu 4 që f(x) = y. (Pse?) (Të caktohet minimumi i funksionit f(x)). 4. Kompozimi i pasqyrimeve Le të jenë dhënë pasqyrimet f, g. Le t i konsiderojmë ato si dy makina që kanë hyrje-daljet e tyre. Në qoftë se dalja (razultati) e funksionit f shërben si hyrje e funksionit g, këtë në mënyrë skematike e paraqesim si vijon: Me këtë rast duhet të kemi parasysh që rezultatet e funksionit f duhet t i takojnë domenës së funksionit g. Për të siguruar një gjë të tillë, kodomena e funksionit f duhet të jetë e barabartë me domenën e funksionit g.
10 10 PASQYRIMET (FUNKSIONET) Kështu nëse makinat janë funksionet f : A B, g : B C, atëherë kombinimin e këtyre dy makinave mund ta mendojmë si një makinë e cila për hyrje - x ka elementet nga bashkësia A kurse daljet g(f(x)) janë nga bashkësia C. Nga një situatë e tillë marrim motivimin për përkufizimin formal të kompozimit (prodhimit) të pasqyrimeve. Përkufizimi 4.1. Le të jenë dhënë pasqyrimet f : S T dhe g : T U. Kompozimi (prodhimi) i pasqyrimeve f, g është pasqyrimi g f : S U i përkufizuar me: (g f)(x) = g(f(x)). Kompozimin e pasqyrimeve mund ta paraqesim në këtë mënyrë Shënimi 4.2. Rast i veçantë kur çdoherë mund të caktojmë kompozimin e dy pasqyrimeve është kur S = T = U, që d.m.th. kur S pasqyrohet në vetvete. Ndonëse ky rast është i veçantë do të shohim se është shumë i rëndësishëm. Shembulli 4.3. Le të jenë f, g, h : Q Q të dhëna me f(x) = x, g(x) = x + 1, h(x) = x 1. 2 Provohet se f g = f(g(x)) = f(x + 1) = x g h = g(h(x)) = g(x 1) = x f (g h) = f(g(x)) = f(x) = x 2. Detyra 4.4. Le të jenë f, g : R R të përkufizuara me: x 2 + 1, nëse x 0 f(x) = x 2, nëse x < 0 g(x) = x + 2, nëse x 1 3x, nëse x < 1. Të caktohet f g si dhe g f. Çfarë mund të konstatoni?
11 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 11 Zgjidhja. Vërejmë se f g g f. f(x + 2), nëse x 1 (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x), nëse x < 1 f(x + 2), nëse x 1 = f(3x), nëse x [0, 1) f(3x), nëse x < 0 x 2 + 4x + 5, nëse x 1 = 9x 2 + 1, nëse x [0, 1) 3x 2, nëse x < 0 g(x 2 + 1), nëse x 0 (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2), nëse x < 0 g(x 2 + 1), nëse x [0, 1) = g(x 2 + 1), nëse x 1 g(x 2), nëse x < 0 3(x 2 + 1), nëse x [0, 1) = x 2 + 3, nëse x 1 3(x 2), nëse x < 0 Shembulli paraprak tregon se në përgjithësi nuk vlen vetia komutative. Në vijim do të shohim se për kompozimin e pasqyrimeve vlen vetia asociative. Detyra 4.5. Le të jenë : S T, g : T U dhe f : U V. Tregoni se vlen: f (g h) = (f g) h Zgjidhja. Së pari vërejmë se f (g h) dhe (f g) h janë pasqyrime nga S në V, d.m.th. ka kuptim të shqyrtojmë mundësinë që të jenë të barabarta. Duhet të tregojmë se për çdo s S vlen: (f (g h))(s) = ((f g) h)(s). Vërtetë duke zbatuar përkufiziin e kompozimit të pasqyrimeve merret: (f (g h))(s) = f((g h)(s)) = f(g(h(s))). Në anën tjetër: ((f g) h))(s) = ((f g)(h(s)) = f(g(h(s))). Pra për çdo s S vlen Përfundojmë se (f (g h))(s) = ((f g) h)(s). f (g h) = (f g) h.
12 12 PASQYRIMET (FUNKSIONET) Detyra 4.6. Le të jetë A = 1, 2} 1, 3}, 2}, 2, 5}, 3, 4, 5}}. Le të jetë f : A N i dhënë me: f(a) = x a x, për çdo a A. Të caktohet f[a]. Përkufizojmë tani funksionin g : N N përmes: numri më i madh i thjeshtë n, nëse n > 1 g(n) = 1, nëse n = 1. Të caktohet g f dhe të identifikohet rangu i tij. A është g pasqyrim 1 1? A është g f pasqyrim 1 1? Zgidhja. Vërejmë se f(1, 2}) = = 3 f(1, 3}) = = 4 f(2}) = 2 f(2, 5}) = = 7 f(3, 4, 5}) = = 12 Pra f[a] = 2, 3, 4, 7, 12}. Le të caktojmë g f. Qartë se g f ëshë pasqyrim nga A në N. Kështu kemi (g f)(1, 2}) = g(f1, 2}) = g(3) = 3 (g f)(1, 3}) = g(f1, 3}) = g(4) = 3 (g f)(2}) = g(2) = 2 (g f)(2, 5}) = g(f2, 5}) = g(7) = 7 (g f)(3, 4, 5}) = g(12) = 11. Rangu i g f është 2, 3, 7, 11}. Pasqyrimi g nuk është 1 1 sepse 5 6 por g(5) = g(6)(= 5). Po ashtu, as pasqyrimi g f nuk është 1 1 sepse 1, 2} = 1, 3} por g(1, 2}) = g(1, 3}) = 3.
13 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 13 Detyra 4.7. Le të jenë g : S T dhe f : T U pasqyrime 1 1. Tregoni se f g : S U është gjithashtu 1 1. Zgjidhja. Supozojmë se (f g)(s 1 ) = (f g)(s 2 ). Në bazë të përkufizimit mbi kompozimin e pasqyrimeve kemi: Meqë f është pasqyrim 1 1 merret: Meqë g është pasqyrim 1 1 merret: f(g(s 1 )) = f(g(s 2 )). g(s 1 ) = g(s 2 ). s 1 = s 2. Pra f g është 1 1. Detyra 4.8. Le të jenë g : S T dhe f : T U pasqyrime mbi. Tregoni se f g : S U është gjithashtu mbi. Zgjidhja. Figura Le të jetë u U element i çfarëdoshëm. Meqë f është mbi, ekziston t T ashtu që f(t) = u. Për atë vlerë t T, meqë g është mbi, ekziston s S ashtu që: g(s) = t. D.m.th. f(g(s)) = u, që tregon se për çdo u U, ekziston s S ashtu që (f g)(s) = u. Pra f g është mbi. Në bazë të dy detyrave paraprake përfundojmë se: Nëse g : S T dhe f : T U janë pasqyrime bijektive, atëherë f g është bijektiv.
14 14 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 5. Pasqyrimi invers Le të jetë dhënë pasqyrimi f : S T dhe A T. Le të shqyrtojmë bashkësinë B = s S f(s) = A}. Për këtë bashkësi do të përdorim shënimin f 1 (A). Bashkësia f 1 (A) quhet inversi i përfytyrës së A në lidhje me f (angl. inverse image of A). Në rastin kur bashkësia A është njëelementëshe, pra A = t}, shënojmë f 1 (t). Kështu të njëjtin shënim f 1 do ta përdorim edhe në rastin e nënbashkësive e edhe në rastin e bashkësive. Nëse inversi i përfytyrës së t} përbëhet vetëm nga një element, le të themi s S atëherë do të përkufizojmë f 1 (t) të jetë i barabartë me s, pra f 1 (t) = s. Përmes dy shembujve vijues do të vërejmë se f 1 në përgjithësi nuk paraqet pasqyrim nga T në S. Shembulli 5.1. Le të jenë A = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11}. Le të jetë f : A B pasqyrim i dhënë me: Qartë se 1 f 2, 2 f 3, 3 f 5, 4 f 6, 5 f 7, 6 f 8 f 1 (2) = 1, f 1 (3) = 2, f 1 (5) = 3, f 1 (6) = 4, f 1 (7) = 5, f 1 (8) = 6. Shtrohet pyetja: Ku do të pasqyrohet përmes f 1 elementi 11 B? Pra, f 1 (11) = Ø. D.m.th. f 1 nuk është pasqyrim. Pse? Shembulli 5.2. Le të jenë A = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = 2, 3, 5, 7, 11}. f : A B pasqyrim i dhënë me: Le të jetë f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 5, f(5) = 7, f(6) = 11. Nëse caktojmë f 1 (b) për b B do të vërejmë se f 1 (5) = 3 e po ashtu f 1 (5) = 4. D.m.th. f 1 i shoqëron 5 dy elemente nga A dhe atë 3 dhe 4, e që është në kundërshtim me përkufizimin e pasqyrimit. Nga shembujtë paraprak përfundojmë se: 1) Nëse f nuk është mbi, atëherë ekziston t T që nuk është përfytyrë e asnjë elementi s S, pra f 1 (t) = Ø. 2) Nëse f nuk është 1 1 atëherë për ndonjë t T ekzistojnë së paku dy elemente s 1 s 2 nga S ashtu që f(s 1 ) = f(s 2 ) = t. Pra f 1 (t) nuk është element i vetëm, kërkesë kjo e përkufizimit të pasqyrimit.
15 PASQYRIMET (FUNKSIONET) 15 Por nëse f është 1 1 dhe mbi, atëherë f 1 përkufizon pasqyrim nga T në S. Arsyetoni. Një mënyrë tjetër për përkufizimin e pasqyrimit invers është si vijon: Përkufizimi 5.3. Le të jetë f : A B. Themi se g është pasqyrim invers i f-it nëse g : B A dhe g f = I A, f g = I B, ku I A, I B janë pasqyrimet identike në A, B, përkatësisht. Në këtë rast g do të shënohet me f 1. Detyra 5.4. Përkufizojmë pasqyrimin f : R R përmes f(x) = x 2 + 1, nëse x 0 x + 1, nëse x < 0 Tregoni se f është bijektiv dhe të caktohet f 1. Zgjidhja. Tregojmë së pari se f është 1 1. Le të jenë x 1, x 2 R të tillë që x 1 x 2. Dallojmë rastet: (i) x 1, x 2 0 (ii) x 1, x 2 < 0, (iii) x 1 0, x 2 < 0, (iv) x 1 < 0, x 2 0. (i) Nëse x 1, x 2 0 atëherë x 2 1 x 2 2 e po ashtu x x që tregon se f(x 1 ) f(x 2 ). (ii) Nëse x 1, x 2 < 0 atëherë x x që tregon se f(x 1 ) f(x 2 ). (iii) Nëse x 1 0, x 2 < 0 atëherë f(x 1 ) = x kurse f(x 2 ) = x Pra f(x 1 ) f(x 2 ) sepse sikur f(x 1 ) = f(x 2 ) atëherë do të merrej x = x përkatësisht x 2 1 = x 2 e që nuk është e mundur. Pse? (iv) Ngjashëm me rastin (iii). Në bazë të rasteve (i)-(iv) përfundojmë se f është 1 1. Tregojmë se f është mbi. Për çdo y R dhe y 1 ekziston x = y 1 0 nga R ashtu që f(x) = ( y = y = y Për çdo y R dhe y < 1 ekziston x = y 1 < 0 nga R ashtu që D.m.th. f është mbi. Kështu kemi treguar se f është bijektiv. f(x) = f(y 1) = y = y.
16 16 PASQYRIMET (FUNKSIONET) Le të caktojmë f 1. Dallojmë rastet: (i) x 0, (ii) x < 0. (i) Le të jetë x 0. Meqë (f 1 f)(x) = x kemi f 1 (x 2 + 1) = x. Zëvendësojmë x = y. Meqë x 0 merret y 1. Po ashtu merret x = y 1. D.m.th. kemi f 1 (y) = y 1. Duke kaluar në ndryshoren x merret: f 1 (x) = x 1. (ii) Le të jetë x < 0. Ngjashëm merret f 1 (x + 1) = x. Duke zëvendësuar x + 1 = y kemi x = y 1 si dhe y < 1. Pra f 1 (y) = y 1 Duke kaluar në ndryshoren fillestare, për x < 1 kemi Përfundimisht f 1 (x) = f 1 (x) = x 1 x 1, për x 1 x 1, për x < 1
paraqesin relacion binar të bashkësisë A në bashkësinë B? Prandaj, meqë X A B dhe Y A B,
Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta shënojmë me. Shembulli. Le të
Διαβάστε περισσότεραShtrohet pyetja. A ekziston formula e përgjithshme për të caktuar numrin e n-të të thjeshtë?
KAPITULLI II. NUMRAT E THJESHTË Më parë pamë se p.sh. numri 7 plotpjesëtohet me 3 dhe me 9 (uptohet se çdo numër plotpjesëtohet me dhe me vetvetën). Shtrohet pyetja: me cilët numra plotpjesëtohet numri
Διαβάστε περισσότεραCilat nga bashkësitë = {(1, ), (1, ), (2, )},
RELACIONET. RELACIONI BINAR Përkufizimi. Le të jenë A, B dy bashkësi të çfarëdoshme. Çdo nënbashkësi e bashkësisë A B është relacion binar i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht relacionin do ta
Διαβάστε περισσότεραPËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS
SHOQATA E MATEMATIKANËVE TË KOSOVËS PËRMBLEDHJE DETYRASH PËR PËRGATITJE PËR OLIMPIADA TË MATEMATIKËS Kls 9 Armend Sh Shbni Prishtinë, 009 Bshkësitë numerike Të vërtetohet se numri 004 005 006 007 + është
Διαβάστε περισσότεραLigji I Ohmit Gjatë rrjedhës së rrymës nëpër përcjellës paraqitet. rezistenca. Georg Simon Ohm ka konstatuar
Rezistenca elektrike Ligji I Ohmit Gjatë rrjedhës së rrymës nëpër përcjellës paraqitet rezistenca. Georg Simon Ohm ka konstatuar varësinë e ndryshimit të potencialit U në skajët e përcjellësit metalik
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmet dhe struktura e të dhënave
Universiteti i Prishtinës Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike Algoritmet dhe struktura e të dhënave Vehbi Neziri FIEK, Prishtinë 2015/2016 Java 5 vehbineziri.com 2 Algoritmet Hyrje Klasifikimi
Διαβάστε περισσότεραALGJEBËR II Q. R. GASHI
ALGJEBËR II Q. R. GASHI Shënim: Këto ligjërata janë të paredaktuara, të palekturuara dhe vetëm një verzion fillestar i (ndoshta) një teksti të mëvonshëm. Ato nuk e reflektojnë detyrimisht materien që e
Διαβάστε περισσότεραFluksi i vektorit të intenzitetit të fushës elektrike v. intenzitetin të barabartë me sipërfaqen të cilën e mberthejnë faktorët
Ligji I Gauss-it Fluksi i ektorit të intenzitetit të fushës elektrike Prodhimi ektorial është një ektor i cili e ka: drejtimin normal mbi dy faktorët e prodhimit, dhe intenzitetin të barabartë me sipërfaqen
Διαβάστε περισσότεραSkripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. 1: Algjebra Elementare Edicioni i 3 të
Skripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. : Algjebra Elementare Edicioni i të nga Prof. Dr. Dietrich Ohse përkthyer nga. Mas. sc. Armend
Διαβάστε περισσότεραMinistria e Arsimit, Shkencës dhe Teknologjisë Ministarstvo Obrazovanja, Nauke i Tehnologije Ministry of Education, Science and Technology
Ministria e Arsimit, Shkencës dhe Teknologjisë Ministarstvo Obrazovanja, Nauke i Tehnologije Ministry of Education, Science and Technology Autor: Dr.sc. Qamil Haxhibeqiri, Mr.sc. Melinda Mula, Mr.sc. Ramadan
Διαβάστε περισσότεραKapitulli. Programimi linear i plote
Kapitulli Programimi linear i plote 1-Hyrje Për të gjetur një zgjidhje optimale brenda një bashkesie zgjidhjesh të mundshme, një algoritëm duhet të përmbajë një strategji kërkimi të zgjidhjeve dhe një
Διαβάστε περισσότεραNyjet, Deget, Konturet
Nyjet, Deget, Konturet Meqenese elementet ne nje qark elektrik mund te nderlidhen ne menyra te ndryshme, nevojitet te kuptojme disa koncepte baze te topologjise se rrjetit. Per te diferencuar nje qark
Διαβάστε περισσότεραAnaliza e regresionit të thjeshtë linear
Analiza e regresionit të thjeshtë linear 11-1 Kapitulli 11 Analiza e regresionit të thjeshtë linear 11- Regresioni i thjeshtë linear 11-3 11.1 Modeli i regresionit të thjeshtë linear 11. Vlerësimet pikësore
Διαβάστε περισσότεραTregu i tët. mirave dhe kurba IS. Kurba ose grafiku IS paraqet kombinimet e normave tët interesit dhe nivelet e produktit tët.
Modeli IS LM Të ardhurat Kështu që, modeli IS LM paraqet raportin në mes pjesës reale dhe monetare të ekonomisë. Tregjet e aktiveve Tregu i mallrave Tregu monetar Tregu i obligacioneve Kërkesa agregate
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITETI I GJAKOVËS FEHMI AGANI FAKULTETI I EDUKIMIT PROGRAMI PARASHKOLLOR PUNIM DIPLOME
UNIVERSITETI I GJAKOVËS FEHMI AGANI FAKULTETI I EDUKIMIT PROGRAMI PARASHKOLLOR PUNIM DIPLOME ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK FËMIJËT E MOSHËS PARASHKOLLORE MBI BASHKËSITË Mentori: Prof.
Διαβάστε περισσότεραΑ ί τ η σ η Δ ή λ ω σ η σ υ μ μ ε τ ο χ ή ς
ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΑΥΤΟΚΕΦΑΛΟΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑ ΑΛΒΑΝΙΑΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΑΡΓΥΡΟΚΑΣΤΡΟΥ ΚΑΤΑΣΚΗΝΩΣΗ «Μ Ε Τ Α Μ Ο Ρ Φ Ω Σ Η» Γ Λ Υ Κ Ο Μ Ι Λ Ι Δ Ρ Ο Π Ο Λ Η Σ Α ί τ η σ η Δ ή λ ω σ η σ υ μ μ ε τ ο χ ή ς Πόλη ή Χωριό Σας
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA QENDRORE E VLERËSIMIT TË ARRITJEVE TË NXËNËSVE PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 2008
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN Matematikë Sesioni I BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA QENDRORE E VLERËSIMIT TË ARRITJEVE TË NXËNËSVE PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 008
Διαβάστε περισσότεραUniversiteti i Prishtinës Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike. Agni H. Dika
Universiteti i Prishtinës Fakulteti i Inxhinierisë Elektrike dhe Kompjuterike Agni H. Dika Prishtinë 007 Libri të cilin e keni në dorë së pari u dedikohet studentëve të Fakultetit të Inxhinierisë Elektrike
Διαβάστε περισσότεραBAZAT E INFRASTRUKTURES NË KOMUNIKACION
MANUALI NË LËNDEN: BAZAT E INFRASTRUKTURES NË KOMUNIKACION Prishtinë,0 DETYRA : Shtrirja e trasesë së rrugës. Llogaritja e shkallës, tangjentës, dhe sekondit: 6 0 0 0.67 6 6. 0 0 0. 067 60 600 60 600 60
Διαβάστε περισσότεραDetyra për ushtrime PJESA 4
0 Detyr për ushtrime të pvrur g lëd ANALIZA MATEMATIKE I VARGJET NUMERIKE Detyr për ushtrime PJESA 4 3 Të jehsohet lim 4 3 ( ) Të tregohet se vrgu + + uk kovergjo 3 Le të jeë,,, k umr relë joegtivë Të
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmika dhe Programimi i Avancuar KAPITULLI I HYRJE Algoritmat nje problem renditjeje Hyrja: a1, a2,, an> Dalja: <a 1, a 2,, a n> a 1 a 2 a n.
KAPITULLI I HYRJE Algoritmat Ne menyre informale do te perkufizonim nje algoritem si nje procedure perllogaritese cfaredo qe merr disa vlera ose nje bashkesi vlerash ne hyrje dhe prodhon disa vlera ose
Διαβάστε περισσότεραSOFTWARE-T APLIKATIVE LËNDË ZGJEDHORE: FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE VITI I PARË, SEMESTRI I PARË
Dr. sc. Ahmet SHALA SOFTWARE-T APLIKATIVE LËNDË ZGJEDHORE: FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE VITI I PARË, SEMESTRI I PARË PRISHTINË, 2004-2010 Dr. sc. Ahmet SHALA PARATHËNIE Programe që mund të i shfrytëzojmë
Διαβάστε περισσότεραTeori Grafesh. E zëmë se na është dhënë një bashkësi segmentesh mbi drejtëzën reale që po e shënojmë:
Teori Grafesh Teori grafesh bitbit.uni.cc 1.1 Koncepti i grafit dhe disa nocione shoqeruese Shpeshherë për të lehtësuar veten ne shtrimin dhe analizën e mjaft problemeve që dalin në veprimtarinë tonë,
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011 S E S I O N I II LËNDA: KIMI VARIANTI
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI ME ZGJEDHJE I MATURËS SHTETËRORE 2011 S E S I O N I II LËNDA: KIMI VARIANTI
Διαβάστε περισσότεραPërpjesa e kundërt e përpjesës a :b është: Mesi gjeometrik x i segmenteve m dhe n është: Për dy figura gjeometrike që kanë krejtësisht formë të njejtë, e madhësi të ndryshme ose të njëjta themi se janë
Διαβάστε περισσότεραMbledhja: Rregullat e mbledhjes binare pёrmblidhen nё tabelёn 1:
1. Sistemet Numerike Sistem numerik ёshtё ai sistem ku informacioni paraqitet me anё tё njё madhёsie fizike qё mund tё marrё vetёm vlera diskrete. Secila nga kёto vlera mund tё konsiderohet si njё numёr
Διαβάστε περισσότεραDELEGATET DHE ZBATIMI I TYRE NE KOMPONETE
DELEGATET DHE ZBATIMI I TYRE NE KOMPONETE KAPITULLI 5 Prof. Ass. Dr. Isak Shabani 1 Delegatët Delegati është tip me referencë i cili përdorë metoda si të dhëna. Përdorimi i zakonshëm i delegatëve është
Διαβάστε περισσότεραAISHE HAJREDINI (KARAJ), KRISTAQ LULA. Kimia Inorganike. TESTE TË ZGJIDHURA Të maturës shtetërore
AISHE HAJREDINI (KARAJ), KRISTAQ LULA Kimia Inorganike TESTE TË ZGJIDHURA Të maturës shtetërore AISHE HAJREDINI (KARAJ), KRISTAQ LULA TESTE TË MATURËS SHTETËRORE Kimia inorganike S H T Ë P I A B O T U
Διαβάστε περισσότεραQ k. E = 4 πε a. Q s = C. = 4 πε a. j s. E + Qk + + k 4 πε a KAPACITETI ELEKTRIK. Kapaciteti i trupit të vetmuar j =
UNIVERSIEI I PRISHINËS KAPACIEI ELEKRIK Kapaciteti i trupit të vetmuar Kapaciteti i sferës së vetmuar + + + + Q k s 2 E = 4 πε a v 0 fusha në sipërfaqe të sferës E + Qk + + + + j = Q + s + 0 + k 4 πε a
Διαβάστε περισσότεραKSF 2018 Student, Klasa 11 12
Problema me 3 pikë # 1. Figura e e mëposhtme paraqet kalendarin e një muaji të vitit. Për fat të keq, mbi të ka rënë bojë dhe shumica e datave të tij nuk mund të shihen. Cila ditë e javës është data 27
Διαβάστε περισσότεραELEKTROSTATIKA. Fusha elektrostatike eshte rast i vecante i fushes elektromagnetike.
ELEKTROSTATIKA Fusha elektrostatike eshte rast i vecante i fushes elektromagnetike. Ajo vihet ne dukje ne hapesiren rrethuese te nje trupi ose te nje sistemi trupash te ngarkuar elektrikisht, te palevizshem
Διαβάστε περισσότεραNDËRTIMI DHE PËRMBAJTJA E PUNIMIT
NDËRTIMI DHE PËRMBAJTJA E PUNIMIT Punimi monografik Vështrim morfo sintaksor i parafjalëve të gjuhës së re greke në krahasim me parafjalët e gjuhës shqipe është konceptuar në shtatë kapituj, të paraprirë
Διαβάστε περισσότεραRikardo dhe modeli standard i tregtisë ndërkombëtare. Fakulteti Ekonomik, Universiteti i Prishtinës
Rikardo dhe modeli standard i tregtisë ndërkombëtare Fakulteti Ekonomik, Universiteti i Prishtinës Hyrje Teoritë e tregtisë ndërkombëtare; Modeli i Rikardos; Modeli standard i tregtisë ndërkombëtare. Teoritë
Διαβάστε περισσότεραR = Qarqet magnetike. INS F = Fm. m = m 0 l. l =
E T F UNIVERSIETI I PRISHTINËS F I E K QARQET ELEKTRIKE Qarqet magnetike Qarku magnetik I thjeshtë INS F = Fm m = m m r l Permeabililiteti i materialit N fluksi magnetik në berthamë të berthamës l = m
Διαβάστε περισσότεραPYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN
BUJAR MAMUDI LËNDA : MATEMATIKË KLASA : VIII TEMA : I NGJASHMËRIA PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN [i] Raporti ndërmjet dy segmenteve. 1. Kush është antari i parë për raportin e dhënë 16 Zgjidhje : 16
Διαβάστε περισσότεραQARQET ME DIODA 3.1 DREJTUESI I GJYSMËVALËS. 64 Myzafere Limani, Qamil Kabashi ELEKTRONIKA
64 Myzafere Limani, Qamil Kabashi ELEKTRONKA QARQET ME DODA 3.1 DREJTUES GJYSMËVALËS Analiza e diodës tani do të zgjerohet me funksione të ndryshueshme kohore siç janë forma valore sinusoidale dhe vala
Διαβάστε περισσότεραMetodat e Analizes se Qarqeve
Metodat e Analizes se Qarqeve Der tani kemi shqyrtuar metoda për analizën e qarqeve të thjeshta, të cilat mund të përshkruhen tërësisht me anën e një ekuacioni të vetëm. Analiza e qarqeve më të përgjithshëm
Διαβάστε περισσότεραAnaliza e qarqeve duke përdorur ligjet Kirchhoff ka avantazhin e madh se ne mund të analizojme një qark pa ngacmuar konfigurimin e tij origjinal.
Analiza e qarqeve duke përdorur ligjet Kirchhoff ka avantazhin e madh se ne mund të analizojme një qark pa ngacmuar konfigurimin e tij origjinal. Disavantazh i kësaj metode është se llogaritja është e
Διαβάστε περισσότεραDefinimi i funksionit . Thirrja e funksionit
Definimi i funksionit Funksioni ngërthen ne vete një grup te urdhrave te cilat i ekzekuton me rastin e thirrjes se tij nga një pjese e caktuar e programit. Forma e përgjithshme e funksionit është: tipi
Διαβάστε περισσότερα10 Probabilitet Orë të lira 20 Shuma 140
HYRJE Libri që keni në dorë është botim i Shtëpisë botuese UEGEN për t i ardhur në ndihmë mësuesve që japin lëndën e matematikës në klasat e teta. Këtu do të gjeni planin mësimor të matematikës së klasës
Διαβάστε περισσότεραUdhëzues për mësuesin për tekstin shkollor. Matematika 12. Botime shkollore Albas
Udhëzues për mësuesin për tekstin shkollor Matematika Botime shkollore Albas Shënim. K Udhëzues do të plotësohet me modele mësimi për çdo temë mësimore; për projekte dhe veprimtari praktike. Këtë material
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E KOSOVËS REPUBLIKA KOSOVO REPUBLIC OF KOSOVA QEVERIA E KOSOVËS - VLADA KOSOVA - GOVERNMENT OF KOSOVA
REPUBLIK E KOSOVËS REPUBLIK KOSOVO REPUBLIC OF KOSOV QEVERI E KOSOVËS - VLD KOSOV - GOVERNMENT OF KOSOV MINISTRI E RSIMIT E MINISTRSTVO OBRZOVNJ MINISTRY OF EDUCTION SHKENCËS DHE E TEKNOLOGJISË NUKE I
Διαβάστε περισσότεραQarqet/ rrjetet elektrike
Qarqet/ rrjetet elektrike Qarku elektrik I thjeshtë lementet themelore të qarkut elektrik Lidhjet e linjave Linja lidhëse Pika lidhëse Kryqëzimi I linjave lidhëse pa lidhje eletrike galvanike 1 1 lementet
Διαβάστε περισσότεραLibër mësuesi Matematika
Libër mësuesi Nikolla Perdhiku Libër mësuesi Matematika 7 Për klasën e 7 -të të shkollës 9-vjeçare Botime shkollore Albas 1 Libër mësuesi për tekstin Matematika 7 Botues: Latif AJRULLAI Rita PETRO Redaktore
Διαβάστε περισσότεραTeste matematike 6. Teste matematike. Botimet shkollore Albas
Teste matematike 6 Botimet shkollore Albas 1 2 Teste matematike 6 Hyrje Në materiali e paraqitur janë dhënë dy lloj testesh për lëndën e Matematikës për klasën VI: 1. teste me alternativa, 2. teste të
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE VITIT MËSIMOR 2012/2013 UDHËZIM
MATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE VITIT MËSIMOR 2012/2013 UDHËZIM Mjetet e punës: lapsi grafit dhe goma, lapsi kimik, veglat gjeometrike.
Διαβάστε περισσότεραIII. FUSHA MAGNETIKE. FIZIKA II Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
III.1. Fusha magnetike e magnetit të përhershëm Nëse në afërsi të magnetit vendosim një trup prej metali, çeliku, kobalti ose nikeli, magneti do ta tërheq trupin dhe ato do të ngjiten njëra me tjetrën.
Διαβάστε περισσότεραNjësitë e matjes së fushës magnetike T mund të rrjedhin për shembull nga shprehjen e forcës së Lorencit: m. C m
PYETJE n.. - PËRGJIGJE B Duke qenë burimi isotrop, për ruajtjen e energjisë, energjia është e shpërndarë në mënyrë uniforme në një sipërfaqe sferike me qendër në burim. Intensiteti i dritës që arrin në
Διαβάστε περισσότεραLënda: Mikroekonomia I. Kostoja. Msc. Besart Hajrizi
Lënda: Mikroekonomia I Kostoja Msc. Besart Hajrizi 1 Nga funksioni i prodhimit në kurbat e kostove Shpenzimet monetare të cilat i bën firma për inputet fikse (makineritë, paisjet, ndërtesat, depot, toka
Διαβάστε περισσότεραIndukcioni elektromagnetik
Shufra pingul mbi ijat e fushës magnetike Indukcioni elektromagnetik Indukcioni elektromagnetik në shufrën përçuese e cila lëizë në fushën magnetike ijat e fushës magnetike homogjene Bazat e elektroteknikës
Διαβάστε περισσότεραDISERTACION PËRAFRIMET STATISTIKORE ME DISA TIPE TË OPERATORËVE UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR DISERTACION PËR MARRJEN E GRADËS DOKTOR I SHKENCAVE Me temë PËRAFRIMET STATISTIKORE
Διαβάστε περισσότεραQark Elektrik. Ne inxhinierine elektrike, shpesh jemi te interesuar te transferojme energji nga nje pike ne nje tjeter.
Qark Elektrik Ne inxhinierine elektrike, shpesh jemi te interesuar te transferojme energji nga nje pike ne nje tjeter. Per te bere kete kerkohet nje bashkekomunikim ( nderlidhje) ndermjet pajisjeve elektrike.
Διαβάστε περισσότεραTeste matematike 7. Teste matematike. Botimet shkollore Albas
Teste matematike 7 otimet shkollore Albas 1 Kreu I Kuptimi i numrit TEST 1 (pas orës së 8) Grupi A Rretho përgjigjen e saktë. 1. Te numri 3,435 shifra 4 tregon se: a) numri ka 4 të dhjeta; b) numri ka
Διαβάστε περισσότεραGjeneza dhe nocioni i teorisë së informacionit. Literatura. Gjeneza dhe nocioni i teorisë së informacionit
Literatura 1. ESSENTIALS OF ERROR-CONTROL CODING, Jore Castiñeira Moreira, Patrick Guy Farrell, 2006 John Wiley & Sons Ltd. 2. Telecommunications Demystified, Carl Nassar, by LLH Technoloy Publishin, 2001.
Διαβάστε περισσότεραTestimi i hipotezave/kontrollimi i hipotezave Mostra e madhe
Testimi i hipotezave/kontrollimi i hipotezave Mostra e madhe Ligjërata e tetë 1 Testimi i hipotezave/mostra e madhe Qëllimet Pas orës së mësimit ju duhet ë jeni në gjendje që të: Definoni termet: hipotezë
Διαβάστε περισσότεραTEORIA E INFORMACIONIT
TEORIA E INFORMACIONIT Literature 1. ESSENTIALS OF ERROR-CONTROL CODING, Jorge Castiñeira Moreira, Patrick Guy Farrell, 2006 John Wiley & Sons Ltd. 2. Telecommunications Demystified, Carl Nassar, by LLH
Διαβάστε περισσότεραDistanca gjer te yjet, dritësia dhe madhësia absolute e tyre
Distanca gjer te yjet, dritësia dhe madhësia absolute e tyre Mr. Sahudin M. Hysenaj 24 shkurt 2009 Përmbledhje Madhësia e dukshme e yjeve (m) karakterizon ndriçimin që vjen nga yjet mbi sipërfaqen e Tokës.
Διαβάστε περισσότερα( ) 4πε. ku ρ eshte ngarkesa specifike (ngarkesa per njesine e vellimit ρ ) dhe j eshte densiteti i rrymes
EKUACIONET E MAKSUELLIT Ne kete pjese do te studiojme elektrodinamiken klasike. Fjala klasike perdoret ne fizike, nuk ka rendesi e vjeter ose para shekullit te XX ose jo realiste (mendojne disa studente).
Διαβάστε περισσότεραII. MEKANIKA. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
II.1. Lëvizja mekanike Mekanika është pjesë e fizikës e cila i studion format më të thjeshta të lëvizjes së materies, të cilat bazohen në zhvendosjen e thjeshtë ose kalimin e trupave fizikë prej një pozite
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Manuali për arsimtarët. Podgoricë, Enti i Teksteve dhe i Mjeteve Mësimore PODGORICË
Izedin Kërniq Marko Jokiq Mirjana Boshkoviq MATEMATIKA Manuali për arsimtarët Enti i Teksteve dhe i Mjeteve Mësimore PODGORICË Podgoricë, 009. Izedin Kërniq Marko Jokiq Mirjana Boshkoviq MATEMATIKA Manuali
Διαβάστε περισσότεραDefinimi dhe testimi i hipotezave
(Master) Ligjerata 2 Metodologjia hulumtuese Definimi dhe testimi i hipotezave Prof.asc. Avdullah Hoti 1 1 Përmbajtja dhe literatura Përmbajtja 1. Definimi i hipotezave 2. Testimi i hipotezave përmes shembujve
Διαβάστε περισσότεραLibër për mësuesin Matematika 9
Libër për mësuesin Matematika 9 Përgatitur nga: Shefik Sefa Botime shkollore lbas Miratuar nga Ministria e rsimit dhe Shkencës Botues: Latif JRULLI Rita PETRO Redaktore: Sevi LMI Redaktore letrare: Vasilika
Διαβάστε περισσότεραKolegji - Universiteti për Biznes dhe Teknologji Fakultetit i Shkencave Kompjuterike dhe Inxhinierisë. Lënda: Bazat Teknike të informatikës - BTI
Kolegji - Universiteti për Biznes dhe Teknologji Fakultetit i Shkencave Kompjuterike dhe Inxhinierisë Lënda: Bazat Teknike të informatikës - BTI Dispensë Ligjërues: Selman Haxhijaha Luan Gashi Viti Akademik
Διαβάστε περισσότεραStudim i Sistemeve të Thjeshta me Fërkim në Kuadrin e Mekanikës Kuantike
Studim i Sistemeve të Thjeshta me Fërkim në Kuadrin e Mekanikës Kuantike Puna e Diplomës paraqitur në Departamentin e Fizikës Teorike Universiteti i Tiranës nga Dorian Kçira udhëheqës Prof. H. D. Dahmen
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 2012 I DETYRUAR
KUJDES! MOS DËMTO BARKODIN BARKODI REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE PROVIMI I MATURËS SHTETËRORE 01 I DETYRUAR VARIANTI A E shtunë, 16 qershor 01
Διαβάστε περισσότεραKSF 2018 Cadet, Klasa 7 8 (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 34 (E) 36
Problema me 3 pië # 1. Sa është vlera e shprehjes (20 + 18) : (20 18)? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 34 (E) 36 # 2. Në qoftë se shkronjat e fjalës MAMA i shkruajmë verikalisht njëra mbi tjetrën fjala ka një
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE
MATEMATIKË KONTROLLIMI EKSTERN I DIJES SË NXËNËSVE NË FUND TË CIKLIT TË TRETË TË SHKOLLËS FILLORE QERSHOR, VITIT MËSIMOR 2015/2016 UDHËZIM KOHA PËR ZGJIDHJEN E TESTIT: 70 MINUTA Mjetet e punës: lapsi grafit
Διαβάστε περισσότεραTreguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit
Treguesit e dispersionit/shpërndarjes/variacionit Qëllimet: Në fund të orës së mësimit, ju duhet të jeni në gjendje që të : Dini rëndësinë e treguesve të dispersionit dhe pse përdoren ata. Llogaritni dhe
Διαβάστε περισσότεραTeoria e kërkesës për punë
L07 (Master) Teoria e kërkesës për punë Prof.as. Avdullah Hoti 1 Literatura: Literatura 1. George Borjas (2002): Labor Economics, 2nd Ed., McGraw-Hill, 2002, Chapter 4 2. Stefan Qirici (2005): Ekonomiksi
Διαβάστε περισσότεραDielektriku në fushën elektrostatike
Dielektriku në fushën elektrostatike Polarizimi I dielektrikut Njera nga vetit themelore të dielektrikut është lidhja e fortë e gazit elektronik me molekulat e dielektrikut. Në fushën elektrostatike gazi
Διαβάστε περισσότερα2. DIODA GJYSMËPËRÇUESE
28 Myzafere Limani, Qamil Kabashi ELEKTONIKA 2. IOA GJYSMËPËÇUESE 2.1 IOA IEALE ioda është komponenti më i thjeshtë gjysmëpërçues, por luan rol shumë vital në sistemet elektronike. Karakteristikat e diodës
Διαβάστε περισσότεραMaterialet në fushën magnetike
Materialet në fushën magnetike Llojet e materialeve magnetike Elektronet gjatë sjelljes të tyre rreth bërthamës krijojnë taq. momentin magnetik orbital. Vet elektronet kanë momentin magnetik vetiak - spin.
Διαβάστε περισσότεραTeste matematike. Teste matematike. Miranda Mete. Botime shkollore Albas
Teste matematike Miranda Mete 9 Botime shkollore Albas Test përmbledhës Kapitulli I - Kuptimi i numrit Mësimet: - 8 Grupi A. Shkruaj si thyesa numrat dhjetorë të mëposhtëm. ( + + pikë) a) 0,5 = ---------
Διαβάστε περισσότερα9 KARAKTERISTIKAT E MOTORIT ME DJEGIE TË BRENDSHME DEFINICIONET THEMELORE Për përdorim të rregullt të motorit me djegie të brendshme duhet të dihen
9 KARAKTERISTIKAT E MOTORIT ME DJEGIE TË BRENDSHME DEFINICIONET THEMELORE Për përdorim të rregullt të motorit me djegie të brendshme duhet të dihen ndryshimet e treguesve të tij themelor - fuqisë efektive
Διαβάστε περισσότεραArticle 25 in LCPJ. Abstract
Article 25 in LCPJ Funksionet Morfologjiko-Sintaksore te Formës së Pashtjelluar të Tipit = Morphological and Syntactical Functions of the Non-finite Form of the Type Abstract This article focuses on the
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITETI AAB Fakulteti i Shkencave Kompjuterike. LËNDA: Bazat e elektroteknikës Astrit Hulaj
UNIVERSITETI AAB Fakulteti i Shkencave Kompjuterike LËNDA: Bazat e elektroteknikës Prishtinë, Ligjëruesi: 2014 Astrit Hulaj 1 KAPITULLI I 1. Hyrje në Bazat e Elektroteknikës 1.1. Principet bazë të inxhinierisë
Διαβάστε περισσότεραLlogaritja e normës së interesit (NI ose vetem i)
Norma e interesit Rëndësia e normës së interesit për individin, biznesin dhe për shoqërine në përgjithësi Cka me të vërtetë nënkupton norma e interesit-me normë të interesit nënkuptojmë konceptin në ekonominë
Διαβάστε περισσότεραTeste EDLIRA ÇUPI SERVETE CENALLA
Teste EDLIRA ÇUPI SERVETE CENALLA Matematika gjithmonë me ju 1 Botimet shkollore Albas 1 Test përmbledhës për kapitullin I 1. Lidh me vijë fi gurën me ngjyrën. Ngjyros. (6 pikë) E VERDHË E KUQE E KALTËR
Διαβάστε περισσότεραINDUTIVITETI DHE MESINDUKTIVITETI. shtjellur linearisht 1. m I 2 Për dredhën e mbyllur të njëfisht
INDUTIVITETI DHE MESINDUKTIVITETI Autoinduksioni + E Ndryshimi I fluksit të mbërthyer indukon tensionin - el = - d Ψ Fluksi I mbërthyer autoinduksionit F është N herë më i madhë për shkak të eksitimit
Διαβάστε περισσότεραKapitulli 1 Hyrje në Analizën Matematike 1
Përmbajtja Parathënie iii Kapitulli 1 Hyrje në Analizën Matematike 1 1.1. Përsëritje të njohurive nga shkolla e mesme për bashkësitë, numrat reale dhe funksionet 1 1.1.1 Bashkësitë 1 1.1.2 Simbole të logjikës
Διαβάστε περισσότεραΓιατί η νέα γενιά Αλβανών μεταναστών στην Ελλάδα χάνει στη γλώσσα της; Νίκος Γογωνάς
Γιατί η νέα γενιά Αλβανών μεταναστών στην Ελλάδα χάνει στη γλώσσα της; Νίκος Γογωνάς Από τις αρχές της δεκαετίας του 90 και μετά, ένας μεγάλος αριθμός Αλβανών μεταναστών ήρθε στην Ελλάδα κυρίως εξαιτίας
Διαβάστε περισσότεραGërmimi i dataset-ave masivë. përmbledhje informative
Gërmimi i dataset-ave masivë përmbledhje informative zgjodhi dhe përktheu Ridvan Bunjaku Mars 2017 Përmbajtja Parathënie... 3 1. Data mining... 4 2. MapReduce... 6 3. Gjetja e elementeve të ngjashme...
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada italiane kombëtare e fizikës, faza e pare Dhjetor 2017
Olimpiada italiane kombëtare e fizikës, faza e pare Dhjetor 2017 UDHËZIME: 1. Ju prezantoheni me një pyetësor i përbërë nga 40 pyetje; për secilën pyetje Sugjerohen 5 përgjigje, të shënuara me shkronjat
Διαβάστε περισσότεραRepublika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT
Republika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT PROVIMI PËRFUNDIMTAR NË FUND TË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT FILLOR viti shkollor 2010/2011.
Διαβάστε περισσότεραErduan RASHICA Shkelzen BAJRAMI ELEKTROTEKNIKA. Mitrovicë, 2016.
Erduan RASHICA Shkelzen BAJRAMI ELEKTROTEKNIKA Mitrovicë, 2016. PARATHËNIE E L E K T R O T E K N I K A Elektroteknika është një lami e gjerë, në këtë material është përfshi Elektroteknika për fillestar
Διαβάστε περισσότεραb) Pas rreshtit me nr rendor 7 te vendosen (insertohen) dy rreshta te ri dhe ne te të shkruhen këto te dhëna:
Ligjërata 1 Detyra 1. a) Te shtohen tri tabela te reja ne librin punues b) Aktivoje tabelën punuese numër 3 (angl. Sheet3) c) Aktivoje tabelën punuese numër 5 (angl. Sheet5) Detyra 2. a) Shkruani te gjitha
Διαβάστε περισσότεραKlasa 2 dhe 3 KENGUR 2014
Gara ndërkombëtare Kengur viti 014 Klasa dhe 3 KENGUR 014 Çdo detyrë me numër rendor nga 1 deri në 10 vlerësohet me 10 pikë Koha në disponim për zgjidhje është 1h e 15 min Për përgjigje të gabuar të një
Διαβάστε περισσότεραNgjeshmëria e dherave
Ngjeshmëria e dherave Hyrje Në ndërtimin e objekteve inxhinierike me mbushje dheu, si për shembull diga, argjinatura rrugore etj, kriteret projektuese përcaktojnë një shkallë të caktuar ngjeshmërie të
Διαβάστε περισσότεραFëmijët dhe media. Një sondazh i opinionit të fëmijëve dhe të rinjve për përdorimin dhe besueshmërinë e medias
Fëmijët dhe media Një sondazh i opinionit të fëmijëve dhe të rinjve për përdorimin dhe besueshmërinë e medias Albanian Media Institute Instituti Shqiptar i Medias Dhjetor 2011 1 Ky material përmbledh rezultatet
Διαβάστε περισσότεραI. VALËT. λ = v T... (1), ose λ = v
I.1. Dukuritë valore, valët transfersale dhe longitudinale Me nocionin valë jemi njohur që më herët, si p.sh: valët e zërit, valët e detit, valët e dritës, etj. Për të kuptuar procesin valor, do të rikujtohemi
Διαβάστε περισσότεραRepublika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT, SHKENCËS DHE E ZHVILLIMIT TEKNOLOGJIK ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT
Republika e Serbisë MINISTRIA E ARSIMIT, SHKENCËS DHE E ZHVILLIMIT TEKNOLOGJIK ENTI PËR VLERËSIMIN E CILËSISË SË ARSIMIT DHE TË EDUKIMIT PROVIMI PËRFUNDIMTAR PROVUES Viti shkollor 2016/2017 TESTI MATEMATIKË
Διαβάστε περισσότεραREPUBLIKA E KOSOVËS REPUBLIKA KOSOVO REPUBLIC OF KOSOVA QEVERIA E KOSOVËS - VLADA KOSOVA - GOVERNMENT OF KOSOVA
REPUBLIK E KOSOVËS REPUBLIK KOSOVO REPUBLIC OF KOSOV QEVERI E KOSOVËS - VLD KOSOV - GOVERNMENT OF KOSOV MINISTRI E RSIMIT E MINISTRSTVO OBRZOVNJ MINISTRY OF EDUCTION SHKENCËS DHE E TEKNOLOGJISË NUKE I
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKË (Analizë me teori të gjasës)
MATEMATIKË (Analizë me teori të gjasës) Gjimnazi matematikë dhe informatikë 5 orë në javë, 165 orë në vit HYRJE Analiza me teori të gjasës, si pjesë e matematikës për klasën e dymbëdhjetë, është vazhdimësi
Διαβάστε περισσότεραI. FUSHA ELEKTRIKE. FIZIKA II Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
I.1. Ligji mbi ruajtjen e ngarkesës elektrike Më herët është përmendur se trupat e fërkuar tërheqin trupa tjerë, dhe mund të themi se me fërkimin e trupave ato elektrizohen. Ekzistojnë dy lloje të ngarkesave
Διαβάστε περισσότεραSI TË BËHENI NËNSHTETAS GREK? (Udhëzime të thjeshtuara rreth marrjes së nënshtetësisë greke)*
SI TË BËHENI NËNSHTETAS GREK? (Udhëzime të thjeshtuara rreth marrjes së nënshtetësisë e)* KUSH NUK MUND TË Për shtetasit e vendeve jashtë BEsë Ata që nuk kanë leje qëndrimi ose kanë vetëm leje të përkohshme
Διαβάστε περισσότεραIII. FLUIDET. FIZIKA I Rrahim MUSLIU ing.dipl.mek. 1
III.1. Vetitë e lëngjeve dhe gazeve, përcjellja e forcës në fluide Lëngjet dhe gazet dallohen nga trupat e ngurtë, me atë se ato mund të rrjedhin. Substancat që mund të rrjedhin quhen fluide. Lëngjet dhe
Διαβάστε περισσότερα2.1 Kontrolli i vazhdueshëm (Kv)
Aneks Nr 2 e rregullores 1 Vlerësimi i cilësisë së dijeve te studentët dhe standardet përkatëse 1 Sistemi i diferencuar i vlerësimit të cilësisë së dijeve të studentëve 1.1. Për kontrollin dhe vlerësimin
Διαβάστε περισσότεραUDHËZIME PËR PLOTËSIMIN E FORMULARËVE TË KËRKESAVE
UDHËZIME PËR PLOTËSIMIN E FORMULARËVE TË KËRKESAVE Ministria e Brendshme PËRMBAJTJA A. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME PËR PLOTËSIMIN E KËRKESAVE.3 B. UDHËZIME TË POSAÇME PËR PLOTËSIM SIPAS UNITETEVE...6 B1.
Διαβάστε περισσότερα4 VIJAT E FUQISE TË DYTË
4 VIJAT E FUQISE TË DYTË Trjt e pergjthshme e ekucionit lgjebrik te fuqise të dytë me dy ndryshore x, y është: Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0, (*) Ku të pktën njëri prej koeficentëve A, B dhe C është i ndryshëm
Διαβάστε περισσότερα