Λυγισμός Ευστάθεια (Euler και Johnson) M z P z EI z P z P z z 0 και αν EI k EI P 0 z k z Η λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει την μορφή: 1 sin z C kz C cos kz Αν οι οριακές συνθήκες είναι άρθρωση άρθρωση τότε για τις μετατοπίσεις θα ισχύει Σχήμα 3-43: Λυγισμός ράβδου 0 0 και 0 Άρα 1 0 C sin 0 C cos 0 0 C 0 1 1 C sin k C cos k 0 C sin k 0 sin k 0 k n P n EI k n n P EI Για n = 1 παίρνουμε το κρίσιμο φορτίο λυγισμού και αν η ακτίνα αδράνειας της διατομής ισούται με r, και ονομάσουμε το πηλίκο τότε, r, βαθμό λυγηρότητας EI EAr P P P cr A r Εξίσωση Euler Αν σχεδιάσουμε την τάση συναρτήσει του βαθμού λυγηρότητας τότε παίρνουμε την καμπύλη ΒCD. Το τμήμα της καμπύλης CD είναι ακριβές. Το τμήμα όμως CB δεν δίνει ακριβή αποτελέσματα. Ο Johnson παρατήρησε ότι για περιοχές τάσεων από το μισό όριο διαρροής (S /) μέχρι το όριο διαρροής (S ) η σχέση του Euler δεν ισχύει. Η περιοχή αυτή αντιστοιχεί σε μικρούς βαθμούς λυγηρότητας. Η σχέση λοιπόν που διατύπωσε περιγράφει μαθηματικά την καμπύλη CA ως εξής, Σχήμα 3-44: Λυγισμός κατά Euler και Johnson
cr S r S 1 4 Εξίσωση Johnson Αν θέσουμε και στις δύο εξισώσεις σ cr = S / τότε βρίσκουμε το βαθμό λυγηρότητας που αντιστοιχεί στο σημείο C, δηλαδή C. Τιμές βαθμού λυγηρότητας λ μικρότερες από λ C αντιστοιχούν σε βραχύκορμες ράβδους S και αντιμετωπίζονται με την θεωρία του Johnson, ενώ τιμές βαθμού λυγηρότητας λ μεγαλύτερες από λ C αντιστοιχούν σε υψίκορμες ράβδους και αντιμετωπίζονται με την θεωρία του Euler. Οι σχέσεις που παρουσιάστηκαν βασίστηκαν σε συγκεκριμένες οριακές συνθήκες άρθρωσηςάρθρωσης. Στο σημείο αυτό εισάγουμε τον ισοδύναμο βαθμό λυγηρότητας, ο οποίος ισούται με m r όπου m είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από τις οριακές συνθήκες που επικρατούν στα άκρα της θλιβόμενης ράβδου, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 3-45: Συνοριακές συνθήκες λυγισμού Επομένως η διαδικασία ελέγχου σε λυγισμό περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα. 1. Προσδιορίζουμε το κρίσιμο βαθμό λυγηρότητας C E. S. Προσδιορίζουμε τον ισοδύναμο βαθμό λυγηρότητας της υπό εξέταση ράβδου m. r 3. Αν C 4. Αν C τότε χρησιμοποιούμε την εξίσωση Εuler και τότε χρησιμοποιούμε την εξίσωση Johnson και P cr EA P cr AS S 1 4 E
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ένας χαλύβδινος σωλήνας εξωτερικής διαμέτρου D=300 mm και πάχους s=10 mm χρησιμοποιείται για την στήριξη σε ύψος Η μιας δεξαμενής ύδατος βάρους Β = 0 kn όταν είναι γεμάτη. Ο σωλήνας πακτώνεται κατακόρυφα σε μια βαρειά και στιβαρή βάση οπλισμένου σκυροδέματος. Το υλικό του σωλήνα είναι χάλυβας AISI 1030 ψυχρής εξέλασης. Βρήτε το μέγιστο ασφαλές ύψος Η της δεξαμενής ώστε ο συντελεστής ασφαλείας έναντι λυγισμού να είναι Ν=4.0. Δεξαμενή ύδατος, kn D=300mm s=10mm H Επιφάνεια εδάφους Οπλισμένο σκυρόδεμα ΛΥΣΗ: Η εσωτερική διάμετρος του σωλήνα είναι: d D s 0.300 0.010 0.80 m Η επιφάνεια της διατομής είναι: 3 A D d 0.300 0.80 9.1110 m 4 4 Η ροπή αδράνειας της διατομής είναι: I D d 0.300 0.80 9.5910 m 64 64 Ενώ η ακτίνα αδράνειας της διατομής του σωλήνα είναι: 4 4 4 4 5 4 5 I 9.5910 1 4 r 1.0310 m 3 A 9.1110 Σύμφωνα με τη θεωρία λυγιαμού κατά Euler και λαμβάνοντας υπόψη τον συντελεστή ασφαλείας Ν έναντι λυγισμού: 11 5 EI EI.110 9.5910 NB H 50m H NB 4 0000 Έλεγχος: 1. Επειδή για AISI-1030 S = 440 MPa, ο κρίσιμος βαθμός λυγηρότητας είναι,: 11 E.110 C 97.1 6 S 44010. Προσδιορίζουμε τον ισοδύναμο βαθμό λυγηρότητας της υπό εξέταση ράβδου H 49.85 m 97 1 r 1.0310 3. Παρατηρούμε ότι C, άρα καλώς χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση Εuler
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΣΦΑΙΡΏΝ 3 FC 3 EKD a 8 1 v1 1 v d1d 1 CE και KD E1 E d1 d 1/ d1 1/ d Η μέγιστη πίεση επαφής είναι: 3 F 3 pmax p a avg Στο σημείο επαφής οι μέγιστες τάσεις σ x, σ και σ z είναι κύριες τάσεις που αναπτύσσονται πάνω στον άξονα z. z 1 a 1 x 1 pmax 1 1 tan a z 1 z / a και 1 z p 3 max 1 z / a Επίσης η μέγιστη διατμητική τάση είναι: 1 3 1 max Οι πιο πάνω σχέσεις ισχύουν για: 1. Δύο σφαίρες σε επαφή (d 1 και d ). Μια σφαίρα σε επίπεδο (d = άπειρο) 3. Και μια σφαίρα εντός κοίλου σωλήνα (d = αρνητικό για το σωλήνα) Η προσέγγιση των σφαιρών δίνεται από τη σχέση: F C K E 1.04 3 D
Τάσεις επαφής μεταξύ σφαιρών F d 1 x a d F = 10 N 1/d 1 = 0 meter -1 1/d = 0 meter -1 E 1 =,07E+11 Pa E =,07E+11 Pa ν 1 = 0,30 ν = 0,30 F z Εφαρμοζόμενο αξονικό φορτίο Αντίστροφη διάμετρος σφαίρας #1 Αντίστροφη διάμετρος σφαίρας # Μέτρο Ελαστικότητας #1 Μέτρο Ελαστικότητας # Λόγος Poisson #1 Λόγος Poisson # K D = 0,05 meters C E = 8,793E-1 Pa -1 α = 9,38E-05 meters σ max = -543 MPa δ = 7,03E-07 meters Ενδιάμεση τιμή Ενδιάμεση τιμή Ακτίνα κύκλου επαφής Μέγιστη τάση επαφής Μετατόπιση κατά τη διάκεντρο Προσοχή: Μια επίπεδη επιφάνεια έχει 1/d = 0. Προσοχή: Αρνητικό πρόσημο για το 1/d σημαίνει κοίλη επιφάνεια
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ b FCEKD 1 v1 1 v d1d 1 CE και KD E1 E d1 d 1/ d1 1/ d Η μέγιστη πίεση επαφής είναι: F pmax pavg b Στο σημείο επαφής οι μέγιστες τάσεις σ x, σ και σ z είναι κύριες τάσεις που αναπτύσσονται πάνω στον άξονα z. z z x 1 pmax 1 b b 1 z z pmax 1 1 z / b b b και 1 z 3 pmax 1 z / b Επίσης οι μέγιστες διατμητικές τάσεις είναι: 3 1 3 1 1 3 Οι πιο πάνω σχέσεις ισχύουν για: 1. Δύο κυλίνδρους σε επαφή (d 1 και d ). Ένα κύλινδρο επί επιπέδου (d = άπειρο) 3. Και κύλινδρος εντός κοίλης κυλινδρικής επιφάνειας (d = αρνητικό για το σωλήνα)