ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός αριθµός και Α το σηµείο το οποίο παριστάει το αριθµό αυτό στο άξοα τω πραγµατικώ αριθµώ. Απόλυτη τιµή του α οοµάζεται η απόσταση του σηµείου Α από τη αρχή Ο του άξοα και συµολίζεται µε a. ηλαδή a a Ο Ο ( ΟA) χ a χ Εποµέως a, α α 0 a α, α α < 0 Παρατήρηση: Το σύµολο α δε παριστάει κατ αάγκη αρητικό αριθµό.. Iδιότητες απολύτω α 0 α α και α α α ακαια α από τη οποία προκύπτει α α α α α καια ( α ) Α Α θ>0 τότε χ ϑ (χϑ ή χ ϑ χ α ( χ α ή χ α) Α ϑ> 0 τότε: χ < ϑ ϑ< χ < ϑ και χ ϑ ϑ χ ϑ Αϑ> 0τότε χ > ϑ ( χ < ϑ ή χ > ϑ ) χ ϑ ( χ ϑ ή χ ϑ ) 3. Απόλυτη τιµή γιοµέου Α α, πραγµατικοί αριθµοί τότε: α α Η παραπάω ιδιότητα γεικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αγ α γ Α α, πραγµατικοί αριθµοί µε 0τότε ισχύει α α. Απόλυτη τιµή αθροίσµατος Α α, πραγµατικοί αριθµοί τότε ισχύει: α α + + (τριγωική αισότητα) 5. Απόσταση δύο αριθµώ Α α, δύο πραγµατικοί αριθµοί, οοµάζουµε απόσταση τω αριθµώ τη απόλυτη τιµή της διαφοράς τους. Η απόσταση τω α, συµολίζεται µε d( a, ). ηλαδή: (, ) d a α ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Ότα η παράστασή µας θα περιέχει µία απόλυτη τιµή, τότε προκειµέου α απαλλαγούµε από το σύµολο της απόλυτης τιµής, θα διακρίουµε περιπτώσεις για τη παράσταση που θα ρίσκεται µέσα στη απόλυτη τιµή. π.χ Α χ Α χ 0δηλαδή χ τότε χ χ. Άρα Α χ χ χ+ χ Α χ < 0 δηλαδή χ < τότε χ χ. Άρα Α χ ( χ) + χ χ Εποµέως χ, α χ Α χ, α χ < ii.ότα η εξίσωση περιέχει δύο ή περισσότερα απόλυτα διαφορετικώ παραστάσεω τότε: Μηδείζουµε τις παραστάσεις που είαι µέσα στα απόλυτα, ρίσκοτας έτσι τις ρίζες τω παραστάσεω. ιατάσσουµε τις ρίζες αυτές στο άξοα τω πραγµατικώ αριθµώ. Σε κάθε έα διάστηµα που δηµιουργείται ρίσκουµε το πρόσηµο κάθε µίας παράστασης. π.χ χ + χ 3 χ 0 χ, χ 3 0 χ 3-3 + Χ- - + + Χ-3 - - + Περιπτώσεις: Α χ τότε : χ + χ 3 ( χ ) ( χ ) 3 χ+ χ+ 3 χ+ χ 0 χ 0, εκτή γιατί ικαοποιεί τη υπόθεση χ Α < χ 3 τότε χ χ Άρα χ + χ 3 ( χ ) ( χ ) 3 χ χ+ 3 0χ Αδύατη ( χ ) χ 3 3 Α χ > 3τότε χ χ και χ 3 χ 3 Άρα: χ + χ 3 χ + χ 3 χ 8 χ+ χ + + 3 χ δεκτή διότι χ>3
ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ν-οστή ρίζα µη αρητικού αριθµού. Έστω a 0και θετικός ακέραιος. Ο αριθµός 0ο οποίος έχει τη ιδιότητα v a λέγεται -οστή ρίζα του α και συµολίζεται µε α. ηλαδή έχουµε:, α 0 και χ 0 χ α χ α Για 3 είαι 3 α (τρίτη ρίζα ή κυική ρίζα του α) Για είαι α (τέταρτη ρίζα του α) κ.ο.κ.. Ιδιότητες -οστής ρίζας i. Α α 0τότε α α και α α ii. Α α 0και 0 α α α α, 0 Παρατήρηση: Άµεση συέπεια είαι ότι, α α 0, 0 και κ θετικός ακέραιος κ κ α α και α α 3. Η εξίσωση χ α µε α > 0και θετικό ακέραιο Περιπτώσεις: Ότα περιττός τότε η χ α έχει ακριώς µία λύση τη α (θετική). 3 3 Π.χ. χ 8 χ 8 Ότα άρτιος τότε η χ αέχει ακριώς δύο λύσεις, τις ακαι α. Π.χ. χ 6 χ 6 ή χ 6.Η εξίσωση χ α µε α < 0 και θετικό ακέραιο. Ότα άρτιος, η χ α είαι αδύατη Ότα περιττός, η χ α έχει ακριώς µία λύση τη α. π.χ χ - είαι αδύατη χ 3-8 έχει λύση τη χ 3 8. Η εξίσωση χ α µε α0 έχει ρίζα τη χ0. Μεθοδολογία i. Ότα στο παροοµαστή κλάσµατος θα υπάρχει ρίζα της µορφής α µ (α>0, >µ) Προκειµέου α γράψουµε ισοδύαµο κλάσµα χωρίς ρίζα στο παροοµαστή, θα πολλαπλασιάζουµε τους όρους του κλάσµατος µε ρίζα της µορφής µ α π.χ 5 5 5 3 5 3 5 5 5 5 5 ii. Ότα στο παροοµαστή κλάσµατος υπάρχει παράσταση της µορφής α ± ή α ± Προκειµέου α γράψουµε ισοδύαµο κλάσµα χωρίς ριζικά στο παροοµαστή, θα το πολλαπλασιάζουµε τους όρους του κλάσµατος µε τη συζυγή παράστασή του παροοµαστή. Π.χ ( + ) ( + ) 8 8 + 5 8 + 5 5 5 + 5 5 8 5 8 5 5 + 5 iii. Ότα θέλουµε α συγκρίουµε αριθµούς Α και Β που εκφράζοται µε ριζικά, αρκεί α συγκρίουµε τα τετράγωα τους (εφόσο τα δύο µέλη είαι θετικά) π.χ < 6 3 3+ < 6+ ( 3+ ) < ( 6+ ) 3 + 3 + < 6 + 6 + 3+ 6+ < 6+ 6+ 5< 7 το οποίο ισχύει, άρα < 6 3 ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ- ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΕ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΟΛΙΓΟΜΕΛΗ ΤΜΗΜΑΤΑ - 7 ατόµω Μαζί Με στόχο τη επιτυχία!!
ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α03 ΤΡΙΩΝΥΜΟ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ η περίπτωση. 0 (διακρίουσα µηδέ): Τριώυµο δεύτερου αθµού ή δευτεροάθµιο Τότε το τριώυµο γράφεται : τριώυµο λέγεται κάθε πολυώυµο φ(χ)αχ +χ+γ, α 0 όπου τα α,,γ είαι πραγµατικοί αριθµοί και το φ( χ) α χ +, και χ η µεταλητή. α ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ- ΠΡΟΣΗΜΟ Το τριώυµο µπορεί α πάρει µια συγκεκριµέη µορφή η οποία είαι η εξής: αγ φ χ α χ + α α Η παράσταση αγ λέγεται, διακρίουσα και συµολίζεται µε το γράµµα. η περίπτωση. <0 (διακρίουσα αρητική): Τότε ο αριθµός είαι θετικός. Άρα: ϕ( ) α + +, και α α α) Η εξίσωση φ(χ)0 (δηλαδή η αχ +χ+γ0), δε έχει λύση. ) Για κάθε Rτο τριώυµο φ(χ) έχει το πρόσηµο του α. ηλαδή, οι τιµές του τριωύµου είαι πάτα >0 α α>0 και πάτα<0 α α<0 f() - + Οµόσηµο του α α)η εξίσωση φ(χ)0 (δηλαδή η αχ +χ+γ0, ) έχει µία µόο διπλή ρίζα, χ χ. α ) Για όλες τις τιµές του χ R, εκτός από τηχ, το τριώυµο α φ(χ) έχει το πρόσηµο του α. - + f() οµόσηµο του α οµόσηµο του α Τότε: 3 η περίπτωση. >0 (διακρίουσα θετική): α) Η εξίσωση φ(χ)0 (δηλαδή η αχ +χ+γ0,), έχει δύο ρίζες άισες, + χ, χ α α φ χ α χ χ χ χ, τότε το φ(χ) γράφεται µε τη µορφή και Ότα η διακρίουσα είαι >0, τότε οι τιµές του τριωύµου έχου το ίδιο πρόσηµο µε το α ( είαι οµόσηµες του α), ότα το χ χ, χ εώ, έχου παίρει τιµές εκτός του διαστήµατος [ ] ατίθετο πρόσηµο µε το α ( είαι ετερόσηµες του α), ότα το χ παίρει τιµές ετός του διαστήµατος(χ, χ ) - + f() Οµόσηµο ετερόσηµο α οµόσηµο α
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΤΣΕΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ- ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΕ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΜΕΛΗ ΤΜΗΜΑΤΑ - 7 ατόµω Επικοιωήστε µαζί µας!
ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Ορίζουµε, ορίζουσα ή ορίζουσα δεύτερης τάξης λέγεται το σύµολο α γ δ Έτσι, έχουµε a αδ γ γ δ Έστω σύστηµα Θέτουµε a+ y γ a+ y γ α α α α D Η ορίζουσα αυτή λέγεται ορίζουσα του συστήµατος και σχηµατίζεται από τους συτελεστές τω άγωστω του συστήµατος. Α ατικαταστήσουµε τους συτελεστές α, α του µε τους γ, γ, προκύπτει η ορίζουσα γ D γ γ γ Α ατικαταστήσουµε (στη D) τους συτελεστές, του y µε τους γ, γ, προκύπτει η ορίζουσα Dy α γ αγ αγ αγ Έτσι ότα D 0 η λύση του συστήµατος δίεται από τους τύπους D Dy, y D D Οι τύποι αυτοί λέγοται τύποι του Cramer(προς τιµή του Ελετού Μαθηµατικού Gabriel Cramer). Θα λύσουµε, για παράδειγµα, το σύστηµα + 7y 3 5 y Έχουµε 7 D ( ) 5 7 8 35 3 0 5 D 3 7 ( 3)( ) 7 7 5 3 Dy 5 ( 3) + 5 7 5 5 7, y 3 3 Άρα, η λύση του συστήµατος είαι η Η µέθοδος του Cramer προσφέρεται ιδιαίτερα και στις περιπτώσεις, που οι συτελεστές του συστήµατος εξαρτώται από κάποια παράµετρο, οπότε χρειάζεται α διερευήσουµε τη ύπαρξη και το πλήθος τω λύσεω του συστήµατος, αάλογα µε τις τιµές της παραµέτρου. επίλυση τω συστηµάτω της µορφής a+ y γ Σ α+ y γ εεργούµε ως εξής: Συήθως, για τη ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Υπολογίζουµε τη ορίζουσα D του συστήµατος. Α D 0, τότε το σύστηµα έχει µία µόο λύση, τη οποία µπορούµε α προσδιορίσουµε µε οποιαδήποτε µέθοδο. Α D 0και µία τουλάχιστο από τις ορίζουσες D Dy είαι 0, τότε το σύστηµα είαι αδύατο (δε έχει, λύση). Α D 0και D Dy 0, τότε το σύστηµα είαι αδύατο ή αόριστο. Όλες οι δυατές περιπτώσεις συοψίζοται στο πίακα:
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Για τις διάφορες τιµές της πραγµατικής παραµέτρου λ α λυθεί το σύστηµα: λ y λ + ( λ+ 3) y λ+ ο ήµα. Υπολογίζουµε τις ορίζουσες D, D και Dy. (τις οποίες παραγοτοποιούµε, α γίεται) D λ λ 3 ( + ) λ λ+ 3 λ + 6λ+ ( λ λ ) + 3 + ( λ+ )( λ+ ) λ D 3 λ+ ( λ+ ) ( λ)( λ ) ( λ ) + 3 + + λ+ λ 3λ + 8λ+ 8λ+ λ 6λ+ 8λ+ ( λ )( λ ) λ + 0λ+ 8 λ 5λ 7 + λ λ Dy λ+ ( ) ( λ) λ λ+ λ + λ + λ λ + λ ( λ λ ) + ( λ+ )( λ ) ο ήµα. Υπολογίζουµε τις τιµές του λ, που µηδείζου τη ορίζουσα D του συστήµατος. ηλαδή, λύουµε τη εξίσωση D0 ( λ )( λ ) + + 0 Άρα λ ή λ 3 ο ήµα. Βρίσκουµε τις τιµές τω D και του λ που µηδείζου τη D Για λ, έχουµε: Dyγια τις τιµές D 7 + 8 6 0 άρα, το σύστηµα είαι αδύατο. έχουµε: Για λ D 7 + 0 D + 0 y Άρα το σύστηµα θα είαι αδύατο ή αόριστο. Για α δούµε ποιο από τα δύο είαι, θέτουµε λ στο σύστηµα, άρα: y 6 ( ) + y 3 + y 3 + y 3 Άρα στη πραγµατικότητα έχουµε µία εξίσωση µε δύο αγώστους, δηλαδή τη + y 3 που έχει άπειρες λύσεις.(άρα το σύστηµα θα είαι αόριστο) Θέτουµε y a ( α ) R οπότε + α 3, α 3 Άρα οι λύσεις θα είαι της µορφής (, y) ( 3, ) α α µεα R. ο ήµα. Για λ, λ, το σύστηµα έχει µοαδική λύση τη εξής: D D και D y y D ( λ 7)( λ+ ) ( λ+ )( λ+ ) ( λ+ ) ( λ ) ( λ+ )( λ+ ) λ 7 λ + λ λ + Συοπτικά: Α λ το σύστηµα είαι αδύατο. Α λ το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις της µορφής, y a 3, a µεα R. Α λ & λ έχει τη λύση : λ 7 λ+ και λ y λ + ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ- ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΕ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΤΣΕΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΛΟΥΒΕΡ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΟΛΙΓΟΜΕΛΗ ΤΜΗΜΑΤΑ - 7 ατόµω Επικοιωήστε µαζί µας!