Παράδειγμα 1 Μία ράβδος ομογενής σταθερής διατομής Α = 5 cm 2 καταπονείται όπως στο σχήμα. Να βρείτε την συνολική επιμήκυνση της ράβδου. Δίνεται το μέτρο ελαστικότητας Ε = 2*10 7 Ν/cm 2 και ακόμη : 1 = 5*10 4 N, 3 = 10 4 N, 4 = 4,5*10 4 N, AB = 50 cm, BC = 100 cm, CD = 150 cm. 1 4 2 3 A B Γ Δ Παράδειγμα 2 Mια στερεή ράβδος σχήματος κόλουρου κώνου με διαμέτρους d, D στις βάσεις του και μήκους L δέχεται δύο αξονικές εφελκυστικές δυνάμεις στα άκρα της Ρ, Ρ. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση: α)ενός στοιχειώδους τμήματος μήκους dx σε απόσταση x από την μικρή βάση β)ολόκληρης της ράβδου. x dx Παράδειγμα 3 Η κεφαλή μιας μονοκύλινδρης πετρελαιομηχανής στηρίζεται με 6 μποζόνια με τον κύλινδρο. Εάν η δύναμη ανάφλεξης είναι 12000 kp να βρείτε την διάμετρο των ήλων. Δίνεται το όριο θραύσης του χάλυβα 4100 kp/cm 2 και ο συντελεστής ασφάλειας 6. Λόγω της μειωμένης διατομής του ήλου στο σπείρωμα να αυξήσετε την διάμετρο κατά 20%. Τέλος λόγω της αρχικής τάσης (σύσφιξη κατά την τοποθέτηση ) να αυξήσετε την διάμετρο κατά 10% ακόμη.
1 Παράδειγμα 4 Πρόκειται να κατασκευάσετε ράβδο ορισμένου μήκους που θα καταπονείται σε εφελκυσμό, με κριτήριο το μικρότερο δυνατό συνολικό βάρος και διαθέτετε τα παρακάτω υλικά: α) Νικελιοχρωμιούχο χάλυβα με όριο θραύσης 11000 kp/cm 2 και ειδικό βάρος 7,8 p/cm 3. β) Ντουραλουμίνιο με όριο θραύσης 3200 kp/cm 2 και ειδικό βάρος 2,7 p/cm 3. Να βρείτε ποιο υλικό θα διαλέξετε. Παράδειγμα 5 Να υπολογίσετε την διάμετρο του υλικού κρίκου αλυσίδας ώστε να μπορεί να παραλαμβάνει φορτίο 3000 kp. Το υλικό είναι συγκολλητός σίδηρος. Ο κρίκος καταπονείται σε εφελκυσμό και κάμψη. Όμως να θεωρήσετε ότι καταπονείται μόνο σε εφελκυσμό και να πάρετε συντελεστή ασφάλειας ίσο με 8. Δίνεται το όριο θραύσης του σιδήρου ίσο με 3000 kp/cm 2. Παράδειγμα 6 Ανώφλι πόρτας (πρέκι) αποτελείται από δύο δοκάρια πλάτους 9 cm. Εάν η επιτρεπόμενη πίεση επιφάνειας για την δοκό είναι 7 kp/cm 2 και το βάρος του υπερκείμενου τοίχου είναι 6400 kp να βρείτε το μήκος έδρασης σε κάθε στήριγμα. Παράδειγμα 7 Β Στο διπλανό σύστημα ανάρτησης η ράβδος ΒΓ είναι από χάλυβα με κυκλική διατομή, με όριο θραύσης 4800 kp/cm 2 και με συντελεστή ασφάλειας 6. Α Γ Η ράβδος ΑΓ είναι από ξύλο με τετραγωνική διατομή και επιτρεπόμενη τάση 12 kp/cm 2. Δίνονται τα μήκη ΒΓ = 5 cm, ΑΓ = 4 cm. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις των διατομών και τις μεταβολές των μηκών των ράβδων για φορτίο Ρ = 2000 kp. Δίνονται τα μέτρα ελαστικότητας των υλικών Ε χαλ = 2*10 6 kp/cm 2, E ξυλ = 10 5 kp/cm 2. Παράδειγμα 8 Βάρος Ρ = 400 kp κρέμεται από την οροφή με την βοήθεια 3 ομοίων συρμάτων της ίδιας διαμέτρου d = 0,5cm και από το ίδιο υλικό με Ε = 2*10 6 kp/cm 2, όπως στο σχήμα. Το μήκος του κοντύτερου σύρματος είναι l 2 = 1 m και σχηματίζει γωνίες 60 μοιρών με τα άλλα. Να βρείτε την τάση σε κάθε σύρμα.
2 Παράδειγμα 9 Χαλύβδινη ράβδος με μέτρο ελαστικότητας Ε = 2*10 6 kp/cm 2 κυκλικής διατομής ακτίνας R = 5 cm, πακτωμένη στα δύο άκρα της θερμαίνεται από 0 σε 20 βαθμούς Κελσίου. Να βρείτε την τάση και την δύναμη που αναπτύσσεται στην ράβδο και να την χαρακτηρίσετε. Συντελεστής θερμικής διαστολής του χάλυβα α = 12*10-6 grad -1. Παράδειγμα 10 Κυλινδρικός λέβητας με ακτίνα 30 cm εργάζεται με πίεση 5 kp/cm 2. Να βρείτε το πάχος των τοιχωμάτων του και την μεταβολή της ακτίνας μετά την παραμόρφωση. Δίνεται η επιτρεπόμενη τάση 1000 kp/cm 2 και το μέτρο ελαστικότητας Ε = 2*10 6 kp/cm 2 του χάλυβα. Παράδειγμα 11 Κυλινδρικό δοχείο από χάλυβα έχει διάμετρο 24 ίντσες και πάχος ελάσματος 5/16 ίντσες. Η επιτρεπόμενη τάση είναι 6000 psi για το υλικό κατασκευής. Εάν το όριο ροής του υλικού είναι 2550 kp/cm 2 να βρείτε : α) την μέγιστη επιτρεπόμενη εσωτερική πίεση του δοχείου β) το συντελεστή ασφάλειας Παράδειγμα 12 Κατακόρυφος σωλήνας από χυτοσίδηρο με διάμετρο 18 in και πάχος ελάσματος 1 in πρόκειται να δεχθεί υγρό ειδικού βάρους 1000 kp/m 3. Εάν το όριο θραύσης του υλικού είναι 30000 psi και ο συντελεστής ασφάλειας 8 να βρείτε το μέγιστο ύψος του υγρού στον σωλήνα. Παράδειγμα 13 Λεπτός δακτύλιος από ορείχαλκο πάχους 5 mm έχει εσωτερική διάμετρο 99,95 mm σε 20 βαθμούς Κελσίου και πρόκειται να εφαρμοσθεί σε άξονα από χάλυβα που έχει διάμετρο 100 mm στους 20 βαθμούς Κελσίου. Δίνονται τα εξής: Ε ορ = 0,9*10 6 kp/cm 2, α ορ = 18*10-6 grad -1, α χαλ = 12*10-6 grad -1 και ότι ο χάλυβας (για απλοποίηση) θεωρείται ασυμπίεστος. Να βρείτε : α)την θερμοκρασία στην οποία πρέπει να θερμανθεί ο δακτύλιος για να είναι δυνατή η εφαρμογή του β)την τάση που αναπτύσσεται στον δακτύλιο αφού μετά την εφαρμογή του επανέλθει στους 20 βαθμούς Κελσίου γ)την θερμοκρασία στην οποία πρέπει να θερμανθούν ο δακτύλιος μαζί με τον άξονα ώστε να είναι εύκολη η αφαίρεση του δακτυλίου δ)την τάση και ε)την πίεση που αναπτύσσεται στον δακτύλιο όταν ψυχθεί μαζί με τον άξονα στους 0 βαθμούς Κελσίου. Παράδειγμα 14 Καλώδιο έχει διατομή που αποτελείται από χαλύβδινο πυρήνα με διάμετρο 10 mm που περιβάλλεται από δακτύλιο από χαλκό πάχους 2,5 mm. Τα δύο υλικά θεωρούνται σταθερά ενωμένα μεταξύ τους. Το καλώδιο έλκεται με αξονική δύναμη 2000 kp. Να βρείτε τις τάσεις που θα αναπτυχθούν λόγω εφελκυσμού σε κάθε ένα από τα δύο υλικά. Δίνονται Ε st /E Cu = 15/8.
3 Παράδειγμα 15 Να υπολογίσετε την διάμετρο d του εικονιζόμενου κοχλία εάν η δύναμη Ρ είναι 12000 lb και η επιτρεπόμενη τάση τ επ = 6000 SI. Παράδειγμα 16 Να υπολογίσετε την διατομή του λαιμού δέστρας που σύρεται από εγκάρσια δύναμη 48 ΜΡ όταν η διατομή της είναι κυκλικός δακτύλιος πάχους t = 2,5 cm και η επιτρεπόμενη τάση 300 kp/cm 2. d D Παράδειγμα 17 Να υπολογίσετε το ασφαλές μήκος 2λ στην εικονιζόμενη σύνδεση των δύο ξύλινων πρισματικών ράβδων εάν η δύναμη είναι Ρ = 10000 lb και τ επ = 100 psi παράλληλα προς τις ίνες του ξύλου και b =10 in. Να προσδιορίσετε 2λ ακόμη και το ασφαλές βάθος d εάν η επιτρεπόμενη τάση σε θλίψη ( σ επ ) κατά μήκος των ινών είναι 800 psi. d b Παράδειγμα 18 Επίπεδο έλασμα πάχους t = 0,8 cm συνδέεται με συγκόλληση με κομβοέλασμα όπως στο σχήμα και φορτίζεται από δύναμη εφελκυσμού Ρ=15000 Μp.Να υπολογίσετε το μήκος l που απαιτείται για κάθε μία από τις δύο ραφές εάν τ επ = 1350 at.
4 Παράδειγμα 19 1 Να βρείτε τις δυνάμεις που δέχονται οι ράβδοι 1 και 2 και να τις χαρακτηρίσετε φ = 60, ω =30, G=1000 kp. φ 2 G ω Παράδειγμα 20 Στην κορυφή στύλου ΔΕΗ ύψους h = 6 m ασκείται από το καλώδιο οριζόντια δύναμη Ρ = 1800 kp. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούμε επίτονο. Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου, στο οποίο πρέπει να δεθεί ο επίτονος από την βάση του στύλου. Ο στύλος μπορεί να αντέξει δύναμη( επιτρεπόμενη ) μόνο πάνω στον άξονά του και ίση με R = 2400 kp. Παράδειγμα 21 Κιβώτιο βάρους 1000 kp συγκρατείται με συρματόσχοινο που σπάει σε εφελκυστική δύναμη 2500 kp. Να βρείτε την μέγιστη γωνία φ του κεκλιμένου επιπέδου ώστε να αντέχει με ασφάλεια το φορτίο. Δίνεται ο συντελεστής ασφάλειας ν = 5. φ Παράδειγμα 22 Ράβδος αβαρής οριζόντια μήκους l έχει κατακόρυφο φορτίο Ρ ( βάρος ) σε απόσταση l 1 από το άκρο της Α και στηρίζεται με άρθρωση στο ένα άκρο Α και με σχοινί στο άλλο που σχηματίζει γωνία φ με την οριζόντια ράβδο. Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούν στην ράβδο η άρθρωση και το σχοινί. Παράδειγμα 23 Να κατασκευάσετε τα ΔΤΔ και ΔK της διπλανής δοκού ΑΒ = 60 cm AΓ = 20 cm A = 6 kp Γ Β
5 Παράδειγμα 24 Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού 1 = 5 kp 2 = 10 kp AΓ = 2 cm AΔ = 6 cm 2 AB = 10 cm 1 A Γ Δ B Παράδειγμα 25 Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού l = 8 cm q =10 kp/cm A B Παράδειγμα 26 Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού όταν ασκείται ασύμμετρο τριγωνικό φορτίο με q max = 10 kp/cm και το μήκος δοκού είναι ΑΒ = l =18 cm. Δ Α Β Παράδειγμα 27 Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού που δέχεται φορτία Ρ 1 = 5 kp και Ρ 2 = 10 kp καθώς και ομοιόμορφο φορτίο q = 5 kp/cm που απλώνεται από το Α μέχρι το Γ. Δίνονται ΑΓ = 7 cm, ΓΔ = 11 cm, ΔΒ = 7 cm. 1 2 Α Γ Δ Β
6 Παράδειγμα 28 Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού( πρόβολος πακτωμένος ) που δέχεται φορτίο Ρ =10 kp με μήκος δοκού l = 8 cm. Α Β Παράδειγμα 28α Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού Παράδειγμα 28β Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού
7 Παράδειγμα 28γ Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω δοκού Παράδειγμα 28δ Να κάνετε τα ΔΤΔ και ΔK της παρακάτω αμφιπροέχουσας δοκού ΚΛ. Δίνονται : ΚΑ = 2 cm, ΚΓ = 7 cm, ΚΔ = 18 cm, ΚΒ = 20 cm, ΚΛ = 25 cm. q = 5 kp/cm 1 = 6 kp 2 = 10 kp 3 = 8 kp Β Κ Α Γ Δ Λ Παράδειγμα 29 Να υπολογίσετε το κεντροειδές παραλληλογράμμου. Παράδειγμα 30 Να υπολογίσετε το κεντροειδές τριγώνου.
8 Παράδειγμα 31 Να υπολογίσετε το κεντροειδές του παρακάτω σχήματος ( ισοσκελές γωνιακό ). y 20 100 20 100 x Παράδειγμα 32 Να υπολογίσετε το κεντροειδές του παρακάτω συμμετρικού σχήματος y 300 20 20 300 20 Παράδειγμα 33 300 x Να υπολογίσετε το κεντροειδές του παρακάτω σχήματος (τετράγωνο πλευράς 40 mm από το οποίο έχει αφαιρεθεί κύκλος με κέντρο το μέσο του μισού της διαγώνιας και ακτίνα 7 mm )
9 Παράδειγμα 34 Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας ορθογωνίου ως προς τον άξονα συμμετρίας του Παράδειγμα 35 Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας τριγώνου ως προς την βάση του. Παράδειγμα 36 Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας του παρακάτω συμμετρικού σχήματος ως προς x και ως προς y. y 2 cm 2 cm 2 cm x 2 cm 2 cm Παράδειγμα 37 6 cm Ξύλινος πρόβολος πακτωμένος μήκους 1,5 μέτρου, διατομής ορθογωνικής 10 * 14 cm 2 φέρει στο ελεύθερο άκρο του φορτίο Ρ. Εάν σ επ = 80 kp/cm 2 να βρείτε την μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του φορτίου Ρ. Δίνεται I x = b*h 3 /12 Παράδειγμα 38 Δοκός μήκους 4 μέτρων πρόκειται να φέρει το βάρος της που έχει q = 500 kp/cm και συγκεντρωμένο φορτίο στο μέσον της = 10000 kp. Η δοκός θα κατασκευασθεί από υψίκορμο διπλό ταυ. Εάν η επιτρεπόμενη ορθή τάση είναι 1400 kp/cm 2 να βρείτε την απαιτούμενη διατομή διπλού ταυ ( απαιτούνται πίνακες διπλών ταυ ). Παράδειγμα 39 Αμφιέρειστη δοκός φορτίζεται με συγκεντρωμένο φορτίο Ρ = 1200 kp στο μέσο της. Δίνεται το μήκος της δοκού l = 600 cm, το μέτρο ελαστικότητας Ε = 2,1*10 6 kp/cm και η ροπή αδράνειας της διατομής της δοκού I =1320cm 4 και ζητείται η ελαστική γραμμή με την μέθοδο Mohr. Παράδειγμα 40 Άτρακτος από σφυρήλατο σίδηρο πρόκειται να μεταβιβάσει ισχύ 150 S με συχνότητα 150 RM. Να βρείτε την απαιτούμενη διάμετρο. Δίνονται J p = πd 4 /32, G = 7,7*10 5 kp/cm 2, τ επ = 120 kp/cm 2 και θ επ = 1/4 μοίρες/m.
10 Παράδειγμα 41 Άξονας μήκους 10 m καταπονείται σε στρέψη από ροπή 100 2 kpcm. Η διατομή είναι δακτυλιοειδής με ακτίνες 1,5 cm και 3 cm. Δίνεται το μέτρο διάτμησης του υλικού G = 8*10 5 kp/cm 2 και η πολική ροπή αδράνειας Jp=(π/2)*(R 4 -r 4 ).Να βρείτε : α) την τ max β) την τ min γ)το διάγραμμα κατανομής των τάσεων δ) τη γωνία στροφής φ μεταξύ των δύο ακραίων διατομών. Παράδειγμα 42 Ράβδος με «κιβωτοειδή» διατομή διαστάσεων εξωτερικών 23 cm*17 cm και εσωτερικών διαστάσεων 17 cm*13 cm αντίστοιχα καταπονείται με ροπή στρέψης 10,8 Μp*m. Να βρείτε τις τάσεις που αναπτύσσονται στα μέσα του παχέος και του λεπτού τοιχώματος. Παράδειγμα 43 Να υπολογίσετε τη διάμετρο άξονα που μεταφέρει ισχύ Ν = 45 S με 90 RM. Δίνονται τ επ υλικου = 500 kp/cm 2, G = 8*10 5 kp/cm 2 και Jp = πd 4 /32. Παράδειγμα 44 Κοίλη άτρακτος έλικας πλοίου μεταδίδει 8000 S με 100 RM.Δίνονται το τ επ υλικου = 9000psi(1psi = 0,07kp/cm 2 ) και το G = 8*10 5 kp/cm 2. Να βρείτε την διάμετρο d όταν δίνεται ο λόγος d/d = 1/2. Παράδειγμα 45 Ράβδος ορθογωνικής διατομής από ρευστοπαγή χάλυβα με διαστάσεις 10cm*20cm και μήκος 100cm φέρει ροπή στρέψης 120000 kp*cm. Να βρείτε την μέγιστη τάση και την γωνία στροφής. Δίνεται G = 8*10 5 kp/cm 2. Παράδειγμα 46 Να υπολογίσετε ράβδο θλιβόμενη από χάλυβα st 52 που δέχεται φορτίο Q = 60000 kp. H ράβδος έχει μήκος λυγισμού S = 1,50 m συντελεστές Tetmajer a = 3350, b = 6,2, c = 0, μέτρο ελαστικότητας Ε = 2.1*10 6 kp/cm 2 και ν = 5. Δίνονται η οριακή λυγηρότητα λ ρ = 100 η λυγηρότητα διαρροής λ s = 60 και το όριο διαρροής σ ς = 3200 kp/cm 2. Η διατομή είναι τετραγωνική. Παράδειγμα 47 Χαλύβδινος στύλος με ορθογωνική διατομή 4*5 cm 2, αμφιαρθρωτός καταπονείται σε αξονική θλίψη με όριο αναλογίας σ ρ = 230 ΜΡα (1ΜΡα = 1Ν/mm 2 =10,194 kp/cm 2 ) και μέτρο ελαστικότητας Ε = 200 GN/m 2 (1GN/m 2 =1,0194*10 4 kp/cm 2 ). Nα υπολογίσετε το ελάχιστο μήκος λυγισμού για το οποίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Euler για τον προσδιορισμό του φορτίου. Παράδειγμα 48 Στύλος από χάλυβα st-37, μορφής ΙΡΒ, αμφιαρθρωτός, ύψους 280 cm φέρει φορτίο Q = 35.000kp. Να βρείτε τη διατομή. Δίνεται σ επ = 1400 kp/cm 2 (σε θλιψη), πίνακες με συντελεστές ω και πίνακες με διατομές ΙΡΒ( πλατύπελμα διπλά ταυ-ελαφρού τύπου ).
11 Παράδειγμα 49 Τετραγωνική ράβδος από χάλυβα st-37 με διατομή 5*5 cm 2 και μήκος 100 cm,είναι πακτωμένη στο κάτω άκρο και ελεύθερη στο πάνω. Να βρείτε το μέγιστο φορτίο που μπορεί να αναλάβει σε θλίψη : α) Με τους τύπους του λυγισμού, αν ο συντελεστής ασφαλείας είναι ν = 2,5, το μέτρο ελαστικότητας Ε = 2,1*10 6 kp/cm 2, η αξονική ροπή αδράνειας J = d 4 /12, η οριακή λυγηρότητα λ ρ = 100 και η λυγηρότητα διαρροής λ s = 60. β) Με την μέθοδο ω, αν η επιτρεπόμενη τάση σε απλή θλίψη είναι σ επ = 1400 kp/cm 2. Παράδειγμα 50 Αμφιαρθρωτός στύλος από χάλυβα st-37 ύψους 3,50 m φέρει φορτίο 69.000kp. Ποιά διατομή ΙΡΒ πρέπει να έχει αν στο μέσο του ύψους του συγκρατείται από οριζόντια δοκό κατά την μία διεύθυνση ; Δίνεται σ επ = 1400 kp/cm 2. Nα χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο ω Παράδειγμα 51 Να βρείτε την διατομή στύλου τύπου ΙΡ από χάλυβα st-37 ύψους 2,10 m πακτωμένου κάτω και ελευθέρου πάνω, που φέρει φορτίο 70 Mp. Δίνονται οι συντελεστές Tetmajer a = 2891, b = 8,175, c = 0, η οριακή λυγηρότητα λ ρ = 100, η λυγηρότητα διαρροής λ s = 60, E = 2,1*10 6 kp/cm 2, ο συντελεστής ασφάλειας ν = 3,5 και πίνακες ΙΡ. Παράδειγμα 52 Ξύλινος στύλος με τετραγωνική διατομή d = 12 cm και μήκος l = 2,25 m πακτωμένος κάτω και ελεύθερος πάνω, υφίσταται κεντρική θλίψη. Να βρείτε το μέγιστο φορτίο που επιτρέπεται να σηκώσει. Δίνονται λ ρ = 100, ν = 4 και Ε = 120.000 kp/cm 2. Παράδειγμα 53 Στύλος από χυτοσίδηρο, κοίλος, αμφιαρθρωτός, έχει εξωτερική διάμετρο 20 cm, πάχος 2 cm και ύψος 300 cm. Δίνονται: το μέτρο ελαστικότητας Ε = 10 6 kp/cm 2, o συντελεστής ασφάλειας ν = 6, η ροπή αδράνειας J = π*(d4-d4)/64, η οριακή λυγηρότητα λ ρ = 80 και οι συντελεστές Tetmajer a = 7760, b = 120, c = 0,53. Να βρείτε το μέγιστο φορτίο που μπορεί να σηκώσει ο στύλος κατά την λειτουργία του. Παράδειγμα 54 α) Να βρείτε την διατομή ΙΡ στύλου από χάλυβα st-37 με φορτίο 55 Μp που είναι αμφιαρθρωτός και έχει ύψος : α) 8 m β) 3 m Δίνεται σ επ = 900 αt ( = 900 kp/cm 2 )