Εργαστήριο Επεξεργασίας Σηµάτων και Τηλεπικοινωνιών Κινητά ίκτυα Επικοινωνιών Εργασία Προσοµοίωσης ενός Τηλεπικοινωνιακού Συστήµατος και Εκτίµηση Απόκρισης Αραιού Καναλιού Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία ϑα ασχοληθούµε µε την µελέτη και την εκτίµηση καναλιών πολυδιόδευσης τα οποία χαρακτηρίζονται από αραιή κρουστική απόκριση. Αυτό σηµαίνει ότι τα συγκεκριµένα κανάλια αποτελούνται από πολύ λίγους µη µηδενικούς συντελεστές, σε σχέση µε το συνολικό µήκος της απόκρισής τους. Στην περίπτωση των κινητών επικοινωνιών, συχνά τα φαινόµενα του διασκορπισµού και της µετατόπισης Doppler δηµιουργούν αραιά κανάλια πολυδιόδευσης, όπου οι µη µηδενικοί συντελεστές αντιστοιχούν σε κάθε ένα µονοπάτι. Περιγραϕή Η εκτίµηση της απόκρισης ενός καναλιού είναι ένα ϐασικό κοµµάτι στις εϕαρµογές τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων. Η γνώση της απόκρισης του καναλιού µας επιτρέπει να προσαρµόσουµε τις µεταδόσεις µας στις εκάστοτε συνθήκες, µε στόχο την επίτευξη αξιόπιστης επικοινωνίας µε υψηλούς ϱυθµούς µετάδοσης δεδοµένων. Η αραιή κρουστική απόκριση που προκύπτει σε πολλές εϕαρµογές αποτελεί ένα κίνητρο για να συνδυαστεί η εκτίµησή της µε τεχνικές που εκµεταλλεύονται την αραιότητα των σηµάτων []. Η σύγχρονη έρευνα σχετικά µε την εκτίµηση αραιών σηµάτων (Συµπιεσµένη Καταγραϕή - Compressive Sampling [] έχει δώσει ώθηση σε νέες τεχνικές για την εκτίµηση αραιών καναλιών. Ενα παράδειγµα απόκρισης αραιού καναλιού απεικονίζεται στο Σχήµα.. Μοντέλο Σήµατος Εάν z(m) είναι το λαµβανόµενο σήµα στο δέκτη ενός τηλεπικοινωνιακού συστή- µατος για τη χρονική στιγµή m, τότε µπορεί να εκϕραστεί ως : z(m) = N k=0 s(m k)h(k) + n(m), m = 0,..., M () όπου s(m), m = 0,..., M είναι η ακολουθία εκπαίδευσης, h(m), m = 0,..., N είναι η απόκριση του καναλιού, και n(m), m = 0,..., M ο
.5 Channel Impulse Responce () total length 00 symbols, 5 nonzero symbols.5 0.5 0 0.5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 symbol Σχήµα : Κρουστική απόκριση αραιού καναλιού λευκός προσθετικός ϑόρυβος. Η εξίσωση () µπορεί να γραϕεί σε µορϕή πινάκων ως εξής : z = Sh + n () όπου S είναι ο M N Toeplitz πίνακας µε τα σύµβολα εκπαίδευσης, h είναι το N διάνυσµα απόκρισης καναλιού και z, n είναι τα M διανύσµατα λαµβανόµενου σήµατος και ϑορύβου αντίστοιχα.. Τεχνικές Εκτίµησης.. Προσέγγιση Ελαχίστων Τετραγώνων (LS) Η κλασσική λύση Ελαχίστων Τετραγώνων στο παραπάνω πρόβληµα ϑα δίνεται από την έκϕραση : ή ισοδύναµα ĥ LS = arg min h z Sh (3) ĥ LS = (S T S) S T z (4) Η λύση αυτή δεν λαµβάνει υπόψιν την αραιότητα των σηµάτων, και ϑα δώσει µη µηδενικές τιµές για κάθε ένα συντελεστή της κρουστικής απόκρισης, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα. Οι τιµές αυτές, αν και ϐρίσκονται κοντά στο µηδέν, έχουν µία µικρή απόκλιση από την πραγµατική κρουστική απόκριση του καναλιού, αυξάνοντας τη συνολική απόκλιση της προσέγγισης.
.5 Channel Impulse Responce () total length 00 symbols, 5 nonzero symbols LS Reconstructed.5 0.5 0 0.5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 symbol Σχήµα : Προσέγγιση κρουστικής απόκριση αραιού καναλιού, µε τη µέθοδο Ε- λαχίστων Τετραγώνων (LS).. Προσέγγιση Genie-Aided LS Η συγκεκριµένη τεχνική υποθέτει ότι µε κάποιον τρόπο γνωρίζουµε εκ των προτέ- ϱων τη ϑέση των µη µηδενικών συντελεστών της απόκρισης του καναλιού. Φυσικά µια τέτοια τεχνική δεν έχει πρακτική εϕαρµογή, απλά την χρησιµοποιούµε ως µέτρο σύγκρισης των υπόλοιπων τεχνικών. Αυτήν την µέθοδο ϑα την καλούµε GA-LS (Genie-Aided Least Squares) και ϑα δίνεται από την παρακάτω σχέση : ĥ GALS, Λ = arg min h Λ z S Λ h Λ (5) όπου Λ είναι το σύνολο µε τους δείκτες των µη µηδενικών στοιχείων της απόκρισης του καναλιού, και µε S Λ συµβολίζουµε τον πίνακα που προκύπτει επιλέγοντας µόνο τις Λ στήλες του αρχικού πίνακα S. Ισοδύναµα η λύση της GA-LS δίνεται από τη σχέση : ĥ GALS, Λ = (S T Λ S Λ) S T Λ z (6)..3 Προσέγγιση OMP Μία άλλη προσέγγιση στο ϑέµα της εκτίµησης αραιών καναλιών αποτελεί ο greedy αλγόριθµος Orthogonal Matching Pursuit [3], [4]. Βάσει του αλγορίθµου αυτού το πρόβληµα αντιµετωπίζεται αναδροµικά, επιλέγοντας σε κάθε ϐήµα ποιες τιµές του καναλιού δεν είναι µηδενικές και λύνοντας ένα πρόβληµα ελαχίστων τετραγώνων. Μία σύντοµη αλγοριθµική περιγραϕή του OMP είναι η εξής :. Αρχικοποίηση διανύσµατος υπόλοίπου (residual) ίσο µε τις παρατηρήσεις. r 0 = z 3
Αρχικοποίηση ενός συνόλου µε τους δείκτες των µη µηδενικών στοιχείων του καναλιού που ϑέλουµε να εκτιµήσουµε Λ 0 = 0. Συσχετισµός των στηλών του πίνακα S µε το υπόλοιπο r t και επιλογή του στοιχείου µε το µεγαλύτερο µέτρο λ t = arg max S H j r t j 3. Προσθέτουµε τον δείκτη λ t στο σύνολο µε τους δείκτες των µη µηδενικών στοιχείων Λ t = Λ t λ t 4. Υπο τον περιορισµό ότι µόνο οι δείκτες µε τα στοιχεία του h που είναι µη µηδενικά έχουν προστεθεί στο σύνολο, ϐρίσκουµε την εκτίµηση του h η οποία ελαχιστοποιεί την έκϕραση z Sĥ t 5. Ανανέωση του υπολοίπου r t = z Sĥ t 6. Επανάληψη των ϐηµάτων -4 για ένα προκαθορισµένο αριθµό επαναλήψεων ή έως ότου το υπόλοιπο r να γίνει µικρότερο από ένα προκαθορισµένο κατώϕλι. 3 Ζητούµενα Στα πλαίσια της άσκησης καλείστε να παραδώσετε µια αναϕορά µε απαντήσεις για τα ακόλουθα Ϲητήµατα : Να προσοµοιώσετε ένα σύστηµα δυαδικού PAM ϐασικής Ϲώνης µε τυχαίο κανάλι συνολικού µήκους 00 στοιχείων µε 5 µη µηδενικά στοιχεία. Υλοποιήστε την εκτίµηση του καναλιού στο δέκτη µε χρήση της κλασικής εκτίµησης Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares), καθώς και της εκτίµησης Ελαχίστων Τετραγώνων όταν γνωρίζουµε τις ϑέσεις των µη µηδενικών στοιχείων (Genie-Aided Least Squares). Να εκτιµήσετε το κανάλι µε χρήση του αλγορίθµου Orthogonal Matching Pursuit - OMP. Να συγκρίνετε το Μέσο Τετραγωνικό Σϕάλµα του OMP µε τους αλγορίθµους LS και GA-LS (α) ως προς το SNR και (ϐ) ως προς το µήκος της ακολουθίας εκµάθησης. Αναϕορές [] Berger, C.R., Zhaohui Wang, Jianzhong Huang, Shengli Zhou, Application of compressive sensing to sparse channel estimation, Communications, IEEE Magazine, vol.48, no., pp.64-74, November 00 4
[] Emmanuel Candes and Michael Wakin, An introduction to compressive sampling, IEEE Signal Processing Magazine, 5(), pp. - 30, March 008 [3] Tropp, Joel A. and Gilbert, Anna C., Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit, IEEE Transactions on Information Theory, 53 (). pp. 4655-4666 [4] Thomas Blumensath, Mike E. Davies, On the Difference Between Orthogonal Matching Pursuit and Orthogonal Least Squares, 007 5