HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/24/2017 1 1
Σχέσεις 3/24/2017 2
Την προηγούµενη φορά Έστω A, B οποιαδήποτε σύνολα. Μίαδιµελής σχέση Rαπό το Aστο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Μία n-µελής σχέση R στα σύνολα A 1,,A n, R A 1 A n. Συµπληρωµατικές σχέσεις Αντίστροφες σχέσεις Σχέσεις επί συνόλου Ανακλαστική, µη-ανακλαστική ιδιότητα Συµµετρική, ασύµµετρη ιδιότητα 3/24/2017 3
Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; 3/24/2017 4
Κι άλλες ιδιότητες Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι 3/24/2017 5
Κι άλλες ιδιότητες Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι όχι 3/24/2017 6
Κι άλλες ιδιότητες Θεωρείστε τη σχέση x y Είναι συµµετρική; Είναι ασσύµετρη; Είναι ανακλαστική; όχι όχι ναι 3/24/2017 7
Αντισυµµετρικότητα Θεωρείστε τη σχέση x y εν είναι συµµετρική. (Π.χ., 5 6 αλλά όχι 6 5) εν είναι ασύµµετρη. (Π.χ., 5 5) (Θα λέγαµε πως είναι «σχεδόν» ασύµµετρη, επειδή όλες οι συµµετρίες εµφανίζονται όταν x=y) Αυτό ονοµάζεται αντισυµµετρικότητα: οι µόνες συµµετρίες (x,y), (y,x) στη σχέση εµφανίζονται όταν x=y. Μπορείτε να το πείτε αυτό στον κατηγορηµατικό λογισµό; 3/24/2017 8
Αντισυµµετρικότητα Μία διµελής σχέση R επί του A είναι αντισυµµετρική εάν και µόνο αν a,b ((a,b) R (b,a) R) (a=b)). Μπορείτε να σκεφτείτε παραδείγµατα αντισυµµετρικών σχέσεων που έχουµε δει; Π.χ.:,, 3/24/2017 9
Μεταβατικότητα Μία σχέση R επί ενός συνόλου Α είναι µεταβατική εάν και µόνο αν a,b,c A (((a,b) R (b,c) R) (a,c) R). 3/24/2017 10
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 3/24/2017 11
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 3/24/2017 12
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 3/24/2017 13
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 3/24/2017 14
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα Ο x είναι δυνατότερος από τον y 3/24/2017 15
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y 3/24/2017 16
Μεταβατικότητα Τι λέτε ως προς την µεταβατικότητα των παρακάτω σχέσεων; O x είναι πρόγονος του y ΕΙΝΑΙ Ο x συµπαθεί τον y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Το x απέχει ένα χιλιόµετρο από το y ΕΝ ΕΙΝΑΙ x +1 =y ΕΝ ΕΙΝΑΙ Η οµάδα x νίκησε την οµάδα y στο πρωτάθληµα ΕΝ ΕΙΝΑΙ Ο x είναι δυνατότερος από τον y ΕΙΝΑΙ 3/24/2017 17
Κλειστότητα σχέσεων ως προς κάποια ιδιότητα Για κάθε ιδιότητα X, η X - κλειστότητα µιας σχέσης R ορίζεται ως το µικρότερο υπερσύνολο της R που έχει την ιδιότητα X. Πιο συγκεκριµένα, Ηανακλαστικήκλειστότητα µιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την ανακλαστική ιδιότητα. Ησυµµετρικήκλειστότητα µιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την συµµετρική ιδιότητα. Ηµεταβατικήκλειστότητα µιας σχέσης R επί του A είναι το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο της R που έχει την µεταβατική ιδιότητα. 3/24/2017 18
Υπολογισµός κλειστοτήτων Η ανακλαστική κλειστότητα µιας σχέσης R επί του A υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (a,a) στην R για κάθε a A. ηλ., R I A Η συµµετρική κλειστότητα µιας σχέσης R υπολογίζεται προσθέτοντας τα στοιχεία (b,a) στην R για κάθε (a,b) στην R. ηλ., R R 1 Υπολογισµός της µεταβατικής κλειστότητας R* της R 3/24/2017 19
Παραδείγµατα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; 3/24/2017 20
Παραδείγµατα για την R* R(a,b) O α είναι γονέας του b. Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = Ο a είναι πρόγονος του b 3/24/2017 21
Παραδείγµατα για την R* R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) Ποιά είναι η R*; 3/24/2017 22
Παραδείγµατα για την R* R(a,b) α => b. (a, b, προτάσεις του προτασιακού λογισµού) Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = «Εάν ισχύει η a ως προϋπόθεση, µπορώ να αποδείξω την ισχύ της b σε κάποιο πλήθος βηµάτων» 3/24/2017 23
Παραδείγµατα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. Ποιά είναι η R*; 3/24/2017 24
Παραδείγµατα για την R* R(a,b) : Υπάρχει απευθείας ακτοπλοϊκή σύνδεση µεταξύ των λιµανιών α και b. Ποιά είναι η R*; - R*(a, b) = Υπάρχει τρόπος να ξεκινήσει κανείς από το λιµάνι a και να φτάσει ακτοπλοϊκώς στο λιµάνι b 3/24/2017 25
Αναπαριστώντας σχέσεις Γιατί να ενδιαφερόµαστε για εναλλακτικές αναπαραστάσεις; εν µας φτάνει ένας τρόπος; Ένας λόγος: ο χαρακτηρισµός κάποιων σχέσεων ως προς τις ιδιότητές τους και κάποιοι υπολογισµοί γίνονται πιο εύκολη υπόθεση ανάλογα µε το είδος της αναπαράστασης που χρησιµοποιούµε. 3/24/2017 26
Αναπαριστώντας σχέσεις µέσω πινάκων Αναπαράσταση µίας διµελούς σχέσης R:A Α µε ένα A Α 0-1 πίνακα M R = [m ij ]: m ij = 1 αν και µόνο αν (a i,b j ) R. Π.χ., δέστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe 1 1 0 Fred 0 1 0 Mark 0 0 1 3/24/2017 27
Αναπαριστώντας σχέσεις µέσω πινάκων έστε τον παρακάτω πίνακα: Joe Fred Mark Joe 1 1 0 Fred 0 1 0 Mark 0 0 1 Αντιστοιχεί στη σχέση {(Joe, Joe), (Joe, Fred), (Fred, Fred), (Mark, Mark)} 3/24/2017 28
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 Οτιδήποτε Οτιδήποτε 1 0 0 0 0 3/24/2017 29
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 Οτιδήποτε Οτιδήποτε 1 0 0 0 0 Ανακλαστική: µόνο 1 στη διαγώνιο 3/24/2017 30
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 Οτιδήποτε Οτιδήποτε 1 0 0 0 0 Μη ανακλαστική: µόνο 0 στη διαγώνιο 3/24/2017 31
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 Οτιδήποτε Οτιδήποτε 1 0 0 0 0 Συµµετρική: όλα συµµετρικά ως προς τη διαγώνιο 3/24/2017 32
Πίνακες και ιδιότητες σχέσεων Θυµηθείτε τις ιδιότητες: ανακλαστική, µη ανακλαστική, συµµετρική, καιαντισυµµετρική. Παρατηρώντας τους πίνακες µπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε αν µία σχέση έχει αυτές τις ιδιότητες. 1 Οτιδήποτδήποτε 0 Οτι- 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 Οτιδήποτε Οτιδήποτε 1 0 0 0 0 Ασύµµετρη: τα συµµετρικά των 1είναι 0 3/24/2017 33
Αναπαριστώντας σχέσεις µε κατευθυνόµενους γράφους Έναςκατευθυνόµενος γράφος G=(A,E) αποτελείται από ένα σύνολο A κορυφών (κόµβων) και από ένα σύνολο ακµών E A A. Οπτικά αναπαριστάται χρησιµοποιώντας τελείες για τις κορυφές και βέλη για τις ακµές. Μία σχέση R Α Α αναπαριστάται ως ο γράφος G=(A, E). Πίνακας M R : Γράφος G: Joe Fred Mark Joe 1 1 0 Fred 0 1 0 Mark 0 0 1 3/24/2017 34 Joe Mark Σύνολο ακµών E (µπλέ βέλη) Fred Σύνολο κορυφών A (µαύρες τελείες)
Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. 3/24/2017 35
Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ανακλαστική: Κάθε κόµβος έχει ένα βρόγχο 3/24/2017 36
Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Μη ανακλαστική: Κανένας κόµβος δεν έχει βρόγχο 3/24/2017 37
Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Συµµετρική: Αν υπάρχει σύνδεση προς τη µία κατεύθυνση, υπάρχει και προς την άλλη 3/24/2017 38
Γράφοι και σχέσεις Πολλές ιδιότητες µιας σχέσης µπορούν εύκολα να διαπιστωθούν µε παρατήρηση του γράφου µε τον οποίο αυτή αναπαρίσταται. Ασύµµετρη: καµµία σύνδεση και προς τις 2 κατευθύνσεις 3/24/2017 39