ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Δειγματικός Χώρος: Ενδεχόμενο: Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός χώρος. Συμβολίζεται συνήθως ως εξής: Ω={ w 1, w,.., w n } Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης καλείται ενδεχόμενο. Ειδικές κατηγορίες ενδεχομένων είναι το βέβαιο ενδεχόμενο που πραγματοποιείται πάντα και το αδύνατο ενδεχόμενο ή κενό που δεν πραγματοποιείται ποτέ. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : 1)Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται τα στοιχεία ενός συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δυο αγκίστρων, από μια φορά το καθένα, χωρίζοντας τα με κόμμα. Πχ. Α={,4,6,8,10 } ) Παράσταση με περιγραφή των στοιχείων Όταν σε ένα σύνολο επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα τότε η γραφή του συνόλου γίνεται ως εξής : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ Α= { χîω / χ έχει την ιδιότητα Π } 1) Τομή Α Ç Β= { χ / χîα και χîβ }à Είναι τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β. ) Ένωση Α È Β= { χ / χîα ή χîβ }à Όλα τα στοιχεία των Α, Β μαζί. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 51

3) Διαφορά στο Β. Α-Β= { χ / χîα και χïβ }à Τα στοιχεία που ανήκουν μόνο στο Α και όχι 4) Συμπλήρωμα Α ={ χ / χïα } à Τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ Από τα διαγράμματα Venn μπορούν να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις : α. ΑÇ Β Í Α β. Α Ç Β Í Β γ. Α Í ΑÈ Β δ. Β Í Α È Β ε. Α Ç Β = (Α È Β) ζ. Α È Β = (Α Ç Β) ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1) Αξιωματικός ορισμός Έστω Ω={ w 1, w,.., w n } δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Έστω επίσης Α={ w 1, w,.., w k }, κ < n ενδεχόμενο του Ω. Τότε η πιθανότητα του Α είναι : Ρ(Α) = Ρ(w 1 ) + Ρ(w ) + + Ρ(w k ) Οι πιθανές τιμές που μπορεί να πάρει η Ρ(Α) βρίσκονται μέσα στο [0,1] ή 0 Ρ(Α) 1. Επίσης η πιθανότητα του δειγματοχώρου είναι 1 και η πιθανότητα του κενού συνόλου είναι 0. ) Κλασικός ορισμός Ορίζουμε ότι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων προς το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων, δηλαδή είναι ίση με: Ρ(Α) = N( A) k = N( W) n Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα Α ή Β. ( Προσθετικός νόμος ) Ρ(Α È Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) Αν η τομή ΑÇ Β είναι κενή τότε : Ρ(ΑÈ Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β). Πραγματοποίηση μόνο του Α. (Αντίστοιχα του Β) Ρ(Α-Β)= Ρ(Α) Ρ(ΑÇ Β), Ρ(Β-Α) = Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) 3. Πραγματοποίηση του Α και του Β Ρ(Α Ç Β)= Ρ(Α) +Ρ(Β)- Ρ(ΑÈ Β) και Ρ(ΑÇ Β)= -Ρ(Α-Β) + Ρ(Α) 4. Μη πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α. (Αντίστοιχα του Β) Ρ(Α )= 1- Ρ(Α), Ρ(Β )= 1- Ρ(Β) 5. Πραγματοποίηση μόνο ενός από τα Α ή Β. Ρ{ (Α-Β) È (Β-Α) }= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β), το σύνολο (Α-Β) Ç (Β-Α) είναι κενό, διότι τα σύνολα Α-Β και Β-Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. 6. Δεν πραγματοποιείται το Α και το Β, Ρ [ (ΑÈ Β) ] = 1 Ρ(ΑÈ Β) Παρατήρηση 1 Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ανισότητες της μορφής : κ Ρ(ΑÇ Β) λ όπου κ,λ αριθμοί τότε χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις : ΑÇ Β Í Α Þ Ρ (ΑÇ Β ) Ρ(Α) και ΑÇ ΒÍ Β Þ Ρ(ΑÇ Β ) Ρ(Β) Ακόμη έχουμε : Ρ(ΑÈ Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) Ρ(Ω) Þ Ρ(Α Ç Β) ³ Ρ(Α) + Ρ(Β) -1 και επειδή : Ρ(ΑÇ Β) ³ 0 έχουμε: Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 53

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ max ( 0, Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 ) Ρ(ΑÇ Β) min ( Ρ(Α), Ρ(Β) ) Έστω δυο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει : Ρ(Α) = 5 και Ρ(Β) = 8 5, να δείξετε ότι : 1 40 Ρ(ΑÇ Β) 5 ΛΥΣΗ Α Ç Β Í Α Þ Ρ(Α Ç Β) Ρ(Α) Þ Ρ(ΑÇ Β) 5 Α È Β Í Ω Þ Ρ(ΑÈ Β) 1 Þ Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) 1 Þ Ρ(Α Ç Β) ³ Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 Þ Ρ(ΑÇ Β) ³ 5 + 8 5-1 Þ Ρ(ΑÇ Β) ³ 40 1 Άρα : 1 40 Ρ(ΑÇ Β) 5. Παρατήρηση Σε ανισώσεις τις μορφής : κ Ρ(Α È Β) λ έχω : Α Í Α È Β Þ Ρ(Α) Ρ(Α È Β) Β Í Α È Β Þ Ρ(Β) Ρ(Α È Β) Από το νόμο των πιθανοτήτων προκύπτει ότι : Ρ(Α È Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) άρα ισχύει : max ( P(A), P(B) ) Ρ(ΑÈ Β) < min (P(A) + P(B), 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα, μετά ένα ζάρι και καταγράφουμε τα αποτελέσματα του πειράματος. Περιγράψτε ένα δειγματικό χώρο του πειράματος.. Δύο χάρτινες σακούλες περιέχουν φρούτα. Η πρώτη περιέχει ένα μήλο, ένα πορτοκάλι και 1 αχλάδι. Η δεύτερη περιέχει 1 μήλο και 1 αχλάδι. Επιλέγουμε στην τύχη μια σακούλα και στην συνέχεια ένα φρούτο από αυτή. Να γραφτούν : α) ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β) το ενδεχόμενο το φρούτο να είναι μήλο. γ) το ενδεχόμενο το φρούτο να είναι πορτοκάλι. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 54

3. Σε ένα κουτί υπάρχουν 4 ομοιόμορφα μολύβια, 1 κόκκινο, 1 πράσινο, 1 μαύρο, 1 λευκό. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: (μας ενδιαφέρει το χρώμα) α) Επιλέγουμε στην τύχη ένα μολύβι. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε ξανά στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα. (επανατοποθέτηση). γ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι και μετά επιλέγουμε άλλο ένα. (χωρίς επανατοποθέτηση). [www.telemath.gr/ Τράπεζα θεμάτων] 4. Μια δισκογραφική εταιρία ελέγχει C.D που παράγει. Ο έλεγχος σταματά μόλις βρεθούν ελαττωματικά ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 C.D. Να βρείτε : α) το δειγματικό χώρο Ω β) τα ενδεχόμενα : ι) ακριβώς ελαττωματικά ιι) το πολύ ελαττωματικά ιιι) το πολύ 1 ελαττωματικό. 5. Δυο ομάδες Α και Β λαμβάνουν μέρος σε μια διοργάνωση. Νικήτρια ανακηρύσσεται η ομάδα εκείνη, που θα κερδίσει σε δυο αγώνες. Να βρείτε : ι ) πόσους αγώνες θα δώσουν μεταξύ τους, ιι ) τον δειγματικό χώρο του πειράματος ιιι ) το ενδεχόμενο να ανακηρυχθεί νικήτρια η ομάδα Α ιν ) το ενδεχόμενο να ανακηρυχθεί νικήτρια η ομάδα Β. 6. Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές και καταγράφουμε τα αποτελέσματα. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος Ω β) Να γράψετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα: Α : { να παρουσιαστεί Κ στην πρώτη ρίψη } Β : { να παρουσιαστεί Κ στην δεύτερη ρίψη } Γ : { να παρουσιαστεί Κ σε μια μόνο από τις δυο ρίψεις } γ) Είναι τα Α, Β, Γ ανά δυο ασυμβίβαστα ; ( Δικαιολογήστε ) 7. Ρίχνουμε δυο ζάρια, ένα άσπρο και ένα κόκκινο. ι) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. ιι)να βρείτε τα ενδεχόμενα : Α : Η ένδειξη του κόκκινου ζαριού είναι μεγαλύτερη από του άσπρου. Β : Το άθροισμα των ενδείξεων να είναι άρτιος αριθμός. Γ : Το γινόμενο των ενδείξεων να είναι μικρότερο του 5. ιιι) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑÇ Β, Α Ç Γ, ΒÇ Γ, ΑÇ ΒÇ Γ. [Α Δέσμη Παλιό Βιβλίο Κεφ. 6 Ο ] 8. Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς ο φύλο. Να βρείτε : ι ) το δειγματικό χώρο του πειράματος ιι ) τα ενδεχόμενα : Α : «το δεύτερο παιδί είναι αγόρι» Β : «το τρίτο παιδί είναι κορίτσι» ιιι ) τα ενδεχόμενα : Α, Β, Α Ç Β, ΑÈ Β Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 55

9. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές. Να βρείτε : ι ) το δειγματικό χώρο ιι ) τα ενδεχόμενα : Α : «να φέρουμε δυο φορές γράμματα» Β : «να φέρουμε μια φορά γράμματα» Γ : «να φέρουμε το πολύ δυο φορές γράμματα» 10. Να εκφράσετε με τη βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα: ι) Πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. ιι) Κανένα εκ των Α και Β δεν πραγματοποιείται. ιιι) Ακριβώς ένα εκ των Α, Β πραγματοποιείται. ιv) Να δείξετε με διάγραμμα Venn ότι ισχύει : (ΑÇ Β) È (Α Ç Β ) = Α 11. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης, να αποδειχθεί ότι : ι) Α Ç Β = (Α È Β) ιι)α È Β = (Α Ç Β) [Κανόνες de Morgan] 1. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α, ΒÇ Α είναι ασυμβίβαστα. Να γίνουν τα σχετικά διαγράμματα Venn. 13. Θεωρούμε τα Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες τέτοιες ώστε : Ρ(ΑÈ Β)=3 / 4, Ρ(Α )= / 3 και Ρ(ΑÇ Β)=1 / 4. Να βρεθούν οι πιθανότητες : α) Ρ(Α) β) Ρ(Β) [ 1/3, /3] 14. Ρίχνοντας ένα ζάρι, ποια η πιθανότητα να φέρουμε 5 ή να μην φέρουμε 5 ; 15. Να αποδειχθεί ότι: ι) Ρ(ΑÇ Β ) + Ρ(Α Ç Β) = Ρ(Α) ιι) Αν Ρ(ΑÇ Β)=1 /4, Ρ(Α)= 1 / 3 και Ρ(Β)= / 3. Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(ΑÇ Β ) και Ρ(Α Ç Β). 16. Η πιθανότητα να κρυολογήσουμε το χειμώνα είναι 3 πλάσια από το να μην κρυολογήσουμε. Μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να κρυολογήσουμε το χειμώνα; 17. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός Ω με Ρ(Α)=1 / 3 και Ρ(Α Ç Β).= / 4. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες : α) Ρ[Α Ç ( Α Ç Β)] β) Ρ[ΑÈ (Α Ç Β)]. [ ¾] [ 0, 5/6] 18. Δυο ομάδες Α και Β παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα κερδίσει σε δυο αγώνες στη σειρά ή σε δυο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων (ισοπίθανα ενδεχόμενα): α) ακριβώς μια νίκη της Α ομάδας. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 56

β) καμία νίκη της Β ομάδας γ) τουλάχιστον μια νίκη της Α ομάδας. [ 1/3, 1/6, 5/6] 19. Μια μέρα με πολύ άσχημες καιρικές συνθήκες η πιθανότητα να μην λειτουργήσουν τα υπεραστικά λεωφορεία είναι 30%, η πιθανότητα να μην λειτουργήσουν τα τρένα είναι 40% και η πιθανότητα να λειτουργήσει ένα τουλάχιστον συγκοινωνιακό μέσο από τα προηγούμενα είναι 90%. Ποια η πιθανότητα να λειτουργήσουν συγχρόνως και τα δύο συγκοινωνιακά μέσα μεταφοράς; [ 0.4] 0. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του Ω. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος: 1. Ρ(Α) + Ρ(Β) =1, τότε Β=Α. Α=Β, τότε Ρ(Α) = Ρ(Β) 3. Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α=Β 4. Ρ(Α) ¹ Ρ(Β), τότε Α¹ Β 5. Α¹Β, τότε Ρ(Α) ¹ Ρ(Β). 6. Αν Α Í Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1 7. Αν Ρ(Α)=Ρ(Α ) τότε Ρ(Α) =Ρ(Ω) 1. Να σημειώσετε στο γραπτό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις. ι ) Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε: α. Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α È Β) β. Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 γ. Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α-Β) δ. Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÈ Β) ιι ) Αν Α, Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε: α. Ρ(Α)>Ρ(Β ) β. Ρ(Α)<Ρ(Β ) γ. Ρ(Α)=Ρ(Β ) δ. τίποτα από τα προηγούμενα ιιι ) Αν Α, Β τυχαία ενδεχόμενα του Ω με Α-Β=Α, τότε ισχύει: α. Ρ(Α È Β)=1 β. Ρ(ΑÇ Β)=1 γ. Ρ(Β-Α)=0 δ. Ρ(ΑÇ Β)=0 ιν ) Σε ένα κουτί υπάρχουν 0 βιντεοταινίες από τις οποίες οι 15 είναι καλές και οι 5 ελαττωματικές. Βγάζουμε από το κουτί με τυχαίο τρόπο μία μία τις βιντεοταινίες, έως ότου βρούμε μια καλή, οπότε και σταματάει το πείραμα. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος τότε το πλήθος των στοιχείων του Ν(Ω) είναι: α. 0 β. 14 γ. 5 δ. 6 ν ) Αν για τα Α, Β του Ω ισχύει ότι Ρ(ΑÇ Β)=0, τότε: α. τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα β. ισχύει Ρ(ΑÈ Β)=1 γ. ισχύει Ρ(Α È Β )=1 δ. ισχύει Ρ(Β-Α)=Ρ(Α-Β). Να γίνουν οι σωστές αντιστοιχήσεις μεταξύ των στηλών Α και Β των παρακάτω πινάκων. Δίνεται ότι για τον πίνακα Α ισχύει: Ρ(Α)=5/8, Ρ(Β)=4/8, Ρ(ΑÈ Β)=7/8. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 57

ΠΙΝΑΚΑΣ Α ΠΙΝΑΚΑΣ Β α) Α-Β β) Β-Α γ) Α -Β δ) (Α-Β)È (Β-Α) 1. /8. 1/8 3. 5/8 4. 3/8 5. 4/8 6. 6/8 α) Α-Β β) (Α-Β) γ) (ΑÈ Β) δ) (Α Ç Β ) 1. ΑÇ Β. Α Ç Β 3. Α È Β 4. Α È Β 5. ΑÇ Β 6. ΑÈ Β 7. Α Ç Β 3. Αν Ω={ 1,,3,4,5 } και ισχύει αντιστοιχήσεις: α) Ρ(1) β) Ρ() γ) Ρ(3) δ) Ρ(4) P( 1) P() P(3) P(4) P(5) = = = =, να γίνουν οι 3 4 1 10 1. 40%. 0% 3. 15% 4. 10% 5. 40% 6. 5% 7. % 4. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει Ρ(Α)=3 Ρ(Β)= 4 Ρ(ΑÈ Β)=1 τότε να γίνουν οι αντιστοιχήσεις στον παρακάτω πίνακα: α) Α β) Α È Β γ) Α-Β δ) Α È Β 1./3. ¼ 3. 7/1 4. 5/6 5. ½ 6. 1/3 7. 3/4 5. Αν Ω={ 1,,3,4..100 } και Α, Β, Γ, Δ είναι ισοπίθανα ενδεχόμενα τότε να γίνουν οι αντιστοιχήσεις: α) Α={5,10,15, 100} β) Β={0,1,, 70} γ) Γ={7,10,13,.100} δ) Δ={7,14,1, 98} 1. 14%. 3% 3. 51% 4. 80% 5. 95% 6. 16% 7. 0% 6. Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 0% δεν έχει μηχανή, το 40% δεν έχει λάστιχα και το 15 % δεν έχει ούτε μηχανή ούτε λάστιχα. Έστω τα ενδεχόμενα: Α : Το αυτοκίνητο δεν έχει μηχανή Β : Το αυτοκίνητο δεν έχει λάστιχα. Να βρείτε την πιθανότητα ένα τυχαίως επιλεγέν αυτοκίνητο της έκθεσης να έχει λάστιχα και μηχανή. [ 0.55 ] [ Α Δέσμη Παλιό Βιβλίο] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 58

7. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, οι 15 έχουν ποδήλατο, οι 10 έχουν μοτοσικλέτα και οι 4 και τα δυο. Αν επιλέξουμε τυχαίως έναν μαθητή της τάξης να βρεθούν οι πιθανότητες: α ) Να μην έχει ποδήλατο ούτε μοτοσικλέτα β ) Να έχει ποδήλατο αλλά όχι μοτοσικλέτα. [ 9/30, 11/30] 8. Από 10 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στον διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 μαθητές συμμετέχουν και στους δυο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α ) να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους διαγωνισμούς. β ) να συμμετέχει μόνον σε έναν από τους δυο διαγωνισμούς. γ ) να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δυο διαγωνισμούς. [ 4/15, 1/6, 11/15] 9. Ασφαλιστική εταιρεία περιλαμβάνει στα προγράμματα ασφαλειών αυτοκινήτων προαιρετικά, καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ή νομική προστασία. Γνωρίζουμε ότι το 50% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς και το 30% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει νομική προστασία. Τέλος το 40% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει μόνο καταστροφή λόγω πυρκαγιάς. Επιλέγουμε στην τύχη ένα ασφαλιστικό πρόγραμμα. α) Να εξεταστεί το ενδεχόμενο να περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς και νομική προστασία. (Αν υπάρχει) β) Ποια η πιθανότητα να περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ή νομική προστασία. γ) Ποια η πιθανότητα να μην περιλαμβάνει ούτε καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ούτε νομική προστασία. [0.1, 0.7, 0.3] 30. Α1. Να γραφεί στο τετράδιο σας ένα από τα παρακάτω σύμβολα ( =,, ³ ) έτσι ώστε να είναι αληθείς οι σχέσεις: 1. Ρ(Α ) 1-Ρ(Α). ΑÍ Β τότε Ρ(Β).Ρ(Α) Α. Να γραφεί στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Αν ΑÍ Β, Ρ(Α)=1 / 4 και Ρ(Β) = 5 / 1 τότε Ρ(ΑÈ Β) είναι ίση με: α. 1/4 β. 5/1 γ. /3 δ.1/6 [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 001] 31. Αν η πιθανότητα να παρουσιάζει κάποιος ασθενής, που προσβλήθηκε από τον ιό κοξάκι, υψηλό πυρετό είναι 99 φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα να παρουσιάσει συμπτώματα μυοκαρδίτιδας και η πιθανότητα να παρουσιάσει συμπτώματα υψηλού πυρετού ή μυοκαρδίτιδας είναι 0.01 ενώ η πιθανότητα να έχει και τα δυο συμπτώματα είναι 10-4 τότε να βρεθεί: 1. Η πιθανότητα ο ασθενής να παρουσιάσει υψηλό πυρετό.. Η πιθανότητα ο ασθενής να παρουσιάσει μόνο ένα από τα δυο συμπτώματα. 3. Η πιθανότητα να μην παρουσιάσει μυοκαρδίτιδα. [ 1. 99 1.01 10-4. 99 10-4 3. 1 ] [Ένθετο Εξετάσεις 00] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 59

3. Στο σύλλογο των καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40 % είναι φιλόλογοι και το 30 % είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή, να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι : ι ) γυναίκα ή φιλόλογος ιιι ) άνδρας ή φιλόλογος ιι ) γυναίκα και όχι φιλόλογος ιν ) άνδρας και φιλόλογος [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 003 ] 33. Το 10 % των μαθητών μιας τάξης ενός σχολείου έχουν τερηδόνα, το 6% έχει ουλίτιδα και το % έχει και τα δυο. Επιλέγουμε έναν μαθητή και έστω τα ενδεχόμενα: Α : «έχει τερηδόνα» Β : «έχει ουλίτιδα» ι ) τι εκφράζει το ενδεχόμενο Α Ç Β, ποια η πιθανότητα του ; ιι ) πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει τουλάχιστον μια ασθένεια» και ποια η πιθανότητα του ; ιιι ) πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής δεν έχει καμία ασθένεια» και ποια η τιμή του ; 34. Μια αυτοκινητοβιομηχανία στον εξοπλισμό κάθε αυτοκινήτου της περιλαμβάνει προαιρετικά δερμάτινα καθίσματα και ραδιοσιντι. Στις παραγγελίες που έγιναν για το έτος 006 το 40% των αυτοκινήτων που κατασκευάστηκαν είχαν δερμάτινα καθίσματα, το 50% ραδιοσιντι, ενώ το 15% είχαν ραδιοσιντι αλλά όχι δερμάτινα καθίσματα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : α ) το αυτοκίνητο να μην έχει ραδιοσιντι, β ) το αυτοκίνητο να μην έχει δερμάτινα καθίσματα, γ ) το αυτοκίνητο να έχει δερμάτινα καθίσματα και ραδιοσιντι, δ ) το αυτοκίνητο να έχει δερμάτινα καθίσματα ή ραδιοσιντι, ε ) το αυτοκίνητο να μην έχει ούτε δερμάτινα καθίσματα ούτε ραδιοσιντι. 35. Δυο φίλοι Α και Β λύνουν ένα πρόβλημα μαθηματικών. Η πιθανότητα να το λύσει τουλάχιστον ένας από τους δυο είναι : 4 P, ενώ η πιθανότητα να το λύσουν και οι δυο είναι : 4 1. Αν η πιθανότητα να μην λύσει το πρόβλημα ο Α είναι : P, να υπολογιστούν : α ) η πιθανότητα να μην λύσει το πρόβλημα ο Β, β ) η πιθανότητα να λύσει το πρόβλημα μόνο ο Β, γ ) η πιθανότητα να λύσει το πρόβλημα μόνο ο Α ή μόνο ο Β. 36. Σε ένα πείραμα τύχης υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α, Β Í Ω τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις: Ρ(Α)=1/4 Ρ(Β)-Ρ(Α)=1/1 και το Β έχει δυο παραπάνω στοιχεία από το Α, τότε να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του Ω. [ Ένθετο Παιδεία 00 ] 37. Έστω Ω δειγματικός χώρος με 0 απλά ενδεχόμενα και Α Í Ω. Θεωρούμε την συνάρτηση : Φ(χ)= χ - Ρ(Α) χ. Αν η Φ(χ) παρουσιάζει ελάχιστο το -1/8, να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του Α. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 60

38. Έστω Ω={1,,..,10} δειγματικός χώρος με ισοπίθανα ενδεχόμενα. Θεωρούμε 1 3 την συνάρτηση f(x)= x - x + 3x + l με lîω και χîr. Έστω τα ενδεχόμενα : 3 Χ={ l ÎΩ / η μέγιστη τιμή της f(x) στο [0,5] είναι μεγαλύτερη ή ίση του 68/3 } Υ={ l ÎΩ / η ελάχιστη τιμή της f(x) στο [0,5] είναι μικρότερη ή ίση με 4 } ι ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο [0,5]. ιι ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Χ, Υ. ιιι ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Χ Ç Υ, ΧÈ Υ. [ Ένθετο Εξετάσεις 00 ] 39. Η πιθανότητα ένας φοιτητής να γράψει καλά σε ένα μάθημα Α είναι Ρ(Α)=70% και για να γράψει καλά και στο μάθημα Α και σε ένα άλλο μάθημα Β είναι Ρ(Α Ç Β)=50%, ανάλογα με το χρόνο διαβάσματος στο κάθε μάθημα. ι ) Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε ο φοιτητής να γράψει καλά στο μάθημα Β ή να μην γράψει καλά στο μάθημα Α. ιι ) Να αποδειχθεί ότι 50% Ρ(Β) 80%. [ 80% ] [ Διαγωνίσματα Μαθηματικών Γ. Μπαϊλάκης ] 40. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ο οποίος αποτελείται από 100 απλά ενδεχόμενα, τα οποία είναι ισοπίθανα. Δίνεται ότι ισχύει: Ρ(Β)=4 [ Ρ(Α) ] -5 Ρ(Α) + 5 α ) να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β ) να βρείτε τη μεγαλύτερη και την μικρότερη τιμή της πιθανότητας Ρ(Α). γ ) αν Ρ(Α)=5/8 να αποδείξετε ότι : 9 16 P ( A Ç B) 5 8 [ Μέγιστη ¾ Ελάχιστη ½ ] 41. Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β), για τις οποίες ισχύει η σχέση: Ρ(Α) + Ρ(Β)= 1,5 Να αποδειχθεί ότι: 1. τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.. ισχύει Ρ(Α Ç Β) ³ 0,5 3. ισχύει Ρ(Α Ç Β ) 0,5 [ Διαγωνίσματα Μαθηματικών Γ. Μπαϊλάκης ] 4. Δυο άτομα παίζουν σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι. Νικητής θεωρείται εκείνος που κερδίζει δυο διαδοχικά παιχνίδια ή τρία συνολικά αλλά όχι διαδοχικά. 1. Να υπολογίσετε με πόσους τρόπους μπορεί να αναδειχθεί ο νικητής και σε πόσα το πολύ παιχνίδια. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 61

. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος του παραπάνω πειράματος, ο οποίος θεωρείται ότι αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Να βρείτε την πιθανότητα ο νικητής να αναδειχθεί στο 3 Ο παιχνίδι. [ 10 τρόπους σε 5 το πολύ παιχνίδια, 0% ] 43. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ={ 1,,3,..15 } στον οποίο ορίζεται η πιθανότητα κάθε στοιχείου ω από τον τύπο: Ρ(ω)=λω, όπου λ>0 σταθερός αριθμός. α) Να βρείτε τον λ β) Αν Α και Β είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω με πιθανότητες: x +1 - x Ρ(Α)=, Ρ(Β)=, να βρείτε τον χ. 4 [ α) 1/10 β) χ=1 ] 44. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με : Ρ(Α) + Ρ(Β) ¹ Ρ(Α Ç Β).Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(AÈB)) 3 - (x - P(AÇB)) 3, x Î R. α. Να δείξετε ότι P(AÇB) ¹ P(AÈB). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο P ( A) + P( B) x=. γ. Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι f(p(a)) = f(p(b)). [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ] ìx ï - 3x + 1 45. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f(x) =, x ¹ 1 í x -, όπου Α ενδεχόμενο ïî P( A), x = 1 ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης. α ) Να βρείτε την Ρ (Α) όταν η f(x) είναι συνεχής στο x = 0 1. β ) Αν Β είναι επίσης ενδεχόμενο του ίδιου δειγματικού χώρου Ω ώστε : Ρ(Β) = 4 3. ι ) Δείξτε ότι Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. 3 ιι ) Δείξτε ότι : Ρ(Α È Β) ³. 4 1 1 ιιι ) Δείξτε ότι : P ( A Ç B). 4 [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] 4 1 46. Έστω Ω = { χ 1, χ, χ 3, χ 4, χ 5 }, με Ρ ( χ 1 ) =, Ρ ( χ ) = Ρ( χ 3 ) =, 11 11 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

Ρ ( χ 4 ) = Ρ( χ ), Ρ ( χ 5 ) = 3 Ρ( χ ) και τα ενδεχόμενα : Α = { χ 1, χ }, Β= { χ 1, χ, χ 3 }. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες : ι ) Ρ(ΑÇ Β) ιι ) Ρ(ΑÈ Β) ιιι ) Ρ(ΑÇ Β ) ιν ) Ρ(Α Ç Β ) 47. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα του Ω με Α, Β ¹ Æ. Δίνεται επίσης και η συνάρτηση : f(x) = 1 ( χ-ρ(α) ) + Ρ(Α Ç Β) χ ι ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ιι ) αν Α Í Β, να αποδείξετε ότι : f( Ρ(Α) ) = f(0) ιιι ) αν Β Í Α, να αποδείξετε ότι : Ρ(Β Α ) = Ρ(Β) Ρ(Α) 48. Έστω Α ένα ενδεχόμενο του Ω και Ρ(Α) = χ. ι ) να εκφράσετε το Ρ(Α) Ρ(Α ) ως συνάρτηση του χ ιι ) να δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του Ρ(Α) Ρ(Α ) είναι το 4 1, ιιι ) έστω οι πιθανότητες : Ρ(Æ ), Ρ(Α), Ρ(Α ), Ρ(Ω), να αποδείξετε ότι : γ ) αν Ρ(Α) Ρ(Α ) = 4 1, να βρείτε την τυπική απόκλιση των πιθανοτήτων 1 α ) x = β ) βρείτε τη διάμεσο των πιθανοτήτων 49. Έστω δειγματικός χώρος Ω={1,,3,4,,000} με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα και Α, Β ενδεχόμενα του Ω ασυμβίβαστα, για τα οποία ισχύει η σχέση: 16 Ρ(Β) -5 Ρ(Β) Ρ(Α) +10=0 1.Να βρεθούν οι πιθανότητες των Α, Β ενδεχομένων.να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του Α, Β 3.Τι συμπεραίνετε για τα Α, Β; [ Ρ(Α)=1/4, Ρ(Β)=3/4, Ν(Α)=500,Ν(Β)=1500] [ Τράπεζα θεμάτων - www.hms.gr/] 50. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α και Β ενδεχόμενα του Ω τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις : Ρ(Α) = 4 1, Ρ(Β) = Ρ(Α) + 1 και Ν(Β) Ν(Α) =, τότε : α ) να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Ω, β ) αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α-Β, γ ) την Ρ(Α-Β) και την Ρ [ (ΑÈ Β) ]. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 63

51. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : Φ(χ) = χ 3-5 χ + χ + 10. Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) δυο ενδεχομένων του Ω είναι ίσες με τις τιμές του χ, στις οποίες η Φ(χ) έχει αντίστοιχα τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο. α ) να δείξετε ότι : Ρ(Α) = 1 και Ρ(Β) = P 1 β ) για τις παραπάνω τιμές των Ρ(Α), Ρ(Β) καθώς και για την Ρ(ΑÈ Β) = P να βρείτε τις πιθανότητες : ι ) Ρ(ΑÇ Β) ιι ) Ρ(Α-Β) ιιι ) Ρ[(ΑÇ Β) ] ιν ) Ρ{ (Α-Β)È (Β-Α) } [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 ] 1 5. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός δειγματοχώρου Ω με Ρ(Α) =, x ¹ 1, τότε : x ι ) να εξεταστεί αν το Α είναι αδύνατο ή βέβαιο ενδεχόμενο, ιι ) να βρείτε τις πιθανές τιμές του χ ιιι ) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : Φ(χ) = [Ρ(Α )] χρ(α) 53. Κατά τους Ολυμπιακούς αγώνες 004, μεγάλο μέρος των θεατών θα χρησιμοποιήσουν για τη μετακίνηση τους στα δυο μεγάλα αθλητικά κέντρα Ο.Α.Κ.Α και Σ.Ε.Φ το ΜΕΤΡΟ και τον ηλεκτρικό. Εκτιμάται ότι οι θεατές που θα μετακινηθούν με το ΜΕΤΡΟ είναι διπλάσιοι από αυτούς που θα χρησιμοποιήσουν τον ηλεκτρικό. Η πιθανότητα να χρησιμοποιήσει κανείς τον ηλεκτρικό είναι 0,30, ενώ υπάρχει ποσοστό 0% που θα χρησιμοποιήσει τον ηλεκτρικό και όχι το ΜΕΤΡΟ. α ) να εξετάσετε το ενδεχόμενο να υπάρχουν θεατές που θα χρησιμοποιήσουν και τα δυο μέσα, β ) ποια η πιθανότητα κάποιος θεατής να χρησιμοποιήσει τουλάχιστον ένα από τα δυο μεταφορικά μέσα ; γ ) ποια η πιθανότητα κάποιος θεατής να χρησιμοποιήσει μόνο ένα από τα δυο μέσα ; 54. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν : ι ) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι 8 7. ιι ) οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑÇ Β) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο : 1 5 Px -15 Χ = { κ,, }, όπου κ = lim 4 x. x 5-6x + 5 α ) να βρεθεί το κ, β ) να βρεθούν τα Ρ(Β), Ρ(ΑÇ Β) γ ) να βρεθούν οι πιθανότητες : (1) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α () να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 005 ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 64

55. Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν χ αγόρια και (χ+4) κορίτσια. α ) Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του χ την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. β ) Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι 19 1 και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. γ ) Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής ; [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ] 56. Έστω δειγματικός χώρος Ω = { -1, 0, 1,, 3, 4, 5 }, για τον οποίο ισχύει : Ρ(-1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ() = Ρ(3) = Ρ(4) = Ρ(5). Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω : Α = { 1, 3, χ χ 3 }, Β = {, χ + 1, χ + χ, -χ + 1 }, όπου χ είναι πραγματικός αριθμός. α ) να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(-1), Ρ(0), Ρ(1), Ρ(), Ρ(3), Ρ(4), Ρ(5). β ) να βρεθεί η μοναδική τιμή του χ για την οποία ισχύει : ΑÇ Β = { -1, 3 } 5 7 P γ ) για χ = -1, να δειχθεί ότι : Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Ç Β) = και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες : Ρ(Α Β) και Ρ(ΑÈ B ). 11 11 11 [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 007 ] 57. Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β. α ) Ποια η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μην διαβάζει την εφημερίδα α ή να μην διαβάζει την εφημερίδα β β ) ορίζουμε το ενδεχόμενο, Β : «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, 1 7 διαβάζει την εφημερίδα β». Να αποδείξετε ότι : m(b) 5 10 γ ) Θεωρούμε τη συνάρτηση : f (x) = x 3-1 x + P(B)x, όπου χ πραγματικός και Β το ενδεχόμενο του ερωτήματος (β). Αποδείξτε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 008] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 65