ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ίνεται η συνάρτηση f: ΙR ΙR με τύπο: 3, 4 a, 4 f ( ) 4 3, 4, όπου αιr. α ) Να βρείτε το : β ) Να βρείτε το : lim 4 lim 4 f () f () Μονάδες 8 Μονάδες 8 γ ) Για ποια τιμή του α ΙR η f() είναι συνεχής στο 0 = 4. Μονάδες 4 ) ίνεται η συνάρτηση f: ΙR ΙR με τύπο: f ( ) 4 3, 3,, όπου αιr. α ) Να βρείτε το : β ) Να βρείτε το : lim f () Μονάδες 8 lim f () Μονάδες 8 γ ) Για ποια τιμή του α ΙR η f() είναι συνεχής στο 0 =. Μονάδες 4 3 ) Δίνεται η συνάρτηση : f() = χ 3 -χ -5χ-, χ. Να βρείτε : 3 α ) την f (), β ) λύστε την εξίσωση : f () = 0

3 γ ) βρείτε τα ακρότατα της f(), δ ) το σημείο της καμπύλης της f() όπου η εφαπτομένη έχει ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. Ποιος είναι αυτός ; 4 ) Δίνεται η ευθεία : ψ = -χ+4 α ) βρείτε τα σημεία που τέμνει τους άξονες χχ, ψψ, β ) αν Μ( χ,ψ ) σημείο της παραπάνω ευθείας και φέρνουμε τις προβολές Α, Β του Μ στους άξονες χχ, ψψ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ώστε το ΟΑΒΜ να έχει μέγιστο εμβαδόν. 5 ) Δίνεται η συνάρτηση φ(χ)= συνχ + ημχ. α ) Να δειχθεί ότι : φ(χ)+φ (χ)=0 β ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της φ(χ) στο σημείο (0,). γ ) Να βρεθεί ο λr ώστε να ισχύει η σχέση λ φ ( ) - φ( ) = α ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β ) Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) 6 ) Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 γ ) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. δ) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της καμπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y = ) Δίνεται η f() = e, R 3. Να αποδείξετε ότι : α ) f () = f() + e -3 β ) να βρεθεί το όριο : 8 ) Ένα τρένο καταναλώνει για καύσιμα u 4 lim f ( ) e 0 την ώρα, όπου u η ταχύτητα του σε km /h. Αν τα υπόλοιπα έξοδα του είναι 600 την ώρα να βρείτε ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του για να καλύψει 540 χιλιόμετρα με το ελάχιστο δυνατό κόστος. YΠΟΔΕΙΞΗ : Φτιάξτε μια συνάρτηση με άγνωστο το u. 9 ) Το κόστος παραγωγής της μιας μονάδας ενός προϊόντος, όταν παράγονται 00 μονάδες, δίνεται από τον τύπο: Κ()= Η τιμή πώλησης της μιας μονάδας πρέπει να είναι 40% μεγαλύτερη από την τιμή κόστους. Να βρεθούν: α ) η συνάρτηση των εσόδων από την πώληση μονάδων. β ) σε πόσες μονάδες έχουμε μεγιστοποίηση των κερδών. [ ΑΠ. α ) Ε(χ) = 40 7χ +56χ ]

4 0 ) Ένας ασθενής είχε τα μεσάνυχτα πυρετό 39 Ο C και μετά από μισή ώρα πήρε ένα αντιπυρετικό. Από τα μεσάνυχτα έως τις π.μ η θερμοκρασία του δίνεται από τη συνάρτηση: 5 Θ(t) = e t ( t) σε βαθμούς C, t [0,] ώρες. Να βρεθεί πότε άρχισε 5 να πέφτει ο πυρετός και ποια η μέγιστη τιμή του. (e=.7) ) Μια τουριστική επιχείρηση οργανώνει εκδρομές με λεωφορείο. Κάθε τουριστικό λεωφορείο έχει 50 θέσεις. Όταν οι επιβάτες του είναι ακριβώς 30, τότε η εταιρεία ζητά 5 ανά άτομο. Για να αυξήσει τους επιβάτες κάνει την εξής προσφορά: κάθε επιπλέον επιβάτης θα μειώνει κατά 0,3 την χρέωση κάθε άλλου επιβάτη. Να βρεθεί το πλήθος των επιπλέον επιβατών που πρέπει να έχει το λεωφορείο, ώστε η επιχείρηση να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της. ) Δίνεται η συνάρτηση : f() =, (0, ). Να βρεθεί : α ) η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Λ(,) β ) από τυχαίο σημείο Μ(χ,ψ) της γραφικής παράστασης της f() φέρνουμε παράλληλες ευθείες στον χχ και ψψ, οι οποίες σχηματίζουν με τους Οχ και Οψ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. 3 ) Δίνεται η f() = R,. Να υπολογίσετε : e e f ( ) α ) το όριο lim β ) να αποδείξετε ότι : e f () = -χ γ ) να βρείτε τα ακρότατα της f(). 4 ) Δίνεται η f() = 3-6 +α-7, όπου α πραγματικός, για την οποία ισχύει : f () + f () +5 = 3 α ) να δείξετε ότι α = 9 f ( ) β ) να υπολογιστεί το όριο : lim γ ) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f(), η οποία είναι παράλληλη στην ψ = -3χ 5 ) Δίνεται η f() = ln - +λ -6λ+, χ >0, όπου λ πραγματικός. α ) να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f() είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f() είναι γνησίως φθίνουσα. β ) να μελετηθεί η f() ως προς τα ακρότατα. 3

5 ln 6 ) Δίνεται η f() =, 0. α ) να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα. β ) έστω Μ(χ, f()), χ > 0, σημείο της f(). Η παράλληλη ευθεία απ το Μ στον ψψ τέμνει τον Οχ στο Κ(χ, 0) και η παράλληλη ευθεία απ το Μ στον χχ τέμνει τον Οψ στο Λ(0, f()). Αν Ο η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. 7 ) Θεωρούμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώνιο και ανοικτό από πάνω. Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0 dm και μία πλευρά της είναι dm με 0 < < 0 α ) Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του είναι E( ) = , (0, 0) και να βρείτε για ποια τιμή του το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια. [ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 04 Δ] 8 ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f()= ln+κ, > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη ( ε ) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f () ), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < α ) Να αποδείξετε ότι κ = [ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 03 Δ] 9 ) Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς μέτρων, 0<<3 και στη συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα επάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. α ) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του είναι f()=4(3 ), 0<<3 ( ίνεται ότι ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α, β, γ είναι V= α β γ ). β ) Να βρείτε για ποια τιμή του η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο. [ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 0 Δ,Δ] 0 ) ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e ( α + β+9) με α, β IR. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α (,e ) είναι y = e +3e, τότε : α ) Να αποδείξετε ότι α = και β = 6. β ) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. [ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 006 ΘΕΜΑ ] 4

6 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΝΑΚΕΣ, ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ, ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ, ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Συμπληρώστε καθέναν από τους παρακάτω πίνακες : χ v Ν i f i % χ v f i % F i % Άθροισμα Άθροισμα ) Το βάρος 0 μαθητών σε κιλά είναι : 5, 50, 57, 5, 6, 50, 50, 5, 57, 50 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος 3 ) Ο πίνακας παρουσιάζει τους βαθμούς των μαθητών ενός τμήματος σε ένα διαγώνισμα Φυσικής : Βαθμός i i Να υπολογίσετε : α ) το ποσοστό των μαθητών που πήραν το πολύ 0, β ) το ποσοστό των μαθητών που πήραν τουλάχιστον 6, γ ) τη μέση τιμή των βαθμών, δ ) τη διάμεσο των βαθμών, στ ) το εύρος. 4 ) Ο πίνακας παρουσιάζει των αριθμό των παιδιών που έχουν οι οικογένειες μιας πολυκατοικίας της Θεσσαλονίκης. Αριθμός Παιδιών i Οικογένειες i 7 4 Να υπολογίσετε :α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την τυπική απόκλιση ε ) τον συντ. μεταβλητότητας ε ) Να βρείτε το πλήθος των αγώνων στους οποίους σημειώθηκαν ακριβώς 3 τέρματα. 5 ) Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές : 5, 3, 3ω, 3, ω, 3, 3ω, ω με ω > 0 α ) αν η μέση τιμή τους είναι 4, να αποδείξετε ότι ω = β ) για ω =, να βρείτε : ι ) το εύρος των τιμών. 5 ιι ) την τυπική απόκλιση. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 003 Τ. Ε. Ε ]

7 6 ) Σε ένα Λύκειο φοιτούν 300 μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά το Α Τετράμηνο είναι 5. Στο Β Τετράμηνο ένας ορισμένος αριθμός μαθητών αύξησε την βαθμολογία του κατά 4 μονάδες ο καθένας, ενώ οι υπόλοιποι μείωσαν τη βαθμολογία τους κατά μονάδες ο κάθε μαθητής. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσαν τη βαθμολογία τους και πόσοι την χειροτέρευσαν, αν γνωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογία στο Β Τετράμηνο έγινε 7. [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] 7 ) Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις πωλήσεις σε χιλιάδες που πραγματοποιήθηκαν από τους πωλητές μιας εταιρείας. Πωλήσεις i Αρ. Πωλητών v f i Ν F i f i % F i % , ,05 α) να συμπληρωθούν τα κενά του πίνακα. β) να βρεθεί ο αριθμός των πωλητών με πωλήσεις από 000 μέχρι και γ ) να βρεθεί το ποσοστό των πωλητών με πωλήσεις αξίας τουλάχιστον δ ) να βρεθεί η μέση τιμή του δείγματος. ε ) αν στην εταιρεία προσληφθούν 40 υπάλληλοι και ο καθένας κάνει πωλήσεις αξίας 4000, να βρεθεί η νέα μέση τιμή του δείγματος. [ Ένθετο «Ο υποψήφιος» 003 ] 8 ) Ένα προϊόν πωλείται σε 0 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8, 0, 3, 3, 5, 6, 8, 4, 4, 9. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας. γ. Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 0%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ] 9 ) Εξετάσαμε ένα δείγμα μαθητών μιας τάξης ως προς το βάρος τους και διαπιστώθηκε ότι κυμαίνονται από 45 έως 75 κιλά, ενώ η κατανομή των βαρών είναι κανονική. α ) να βρεθεί η μέση τιμή και το εύρος, β ) να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές, 6

8 γ ) αν το άθροισμα των βαρών είναι 800 κιλά, να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος δ ) τι ποσοστό μαθητών έχει βάρος το οποίο κυμαίνεται από 50 έως 60 κιλά ; 30 ) Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι τους στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική.. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος διαδρομής των μαθητών και η τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους.. Να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 3. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4000 πόσοι θα κάνουν τη διαδρομή σε χρόνο από 4 έως 6 λεπτά; 4. Μια μέρα λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρεθεί πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00] 3 ) 3 ) Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 00 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα : Κλάσεις σε χλμ Κέντρο κλάσης χι νι σε χιλιάδες οχήματα fi % Ν F i % Σύνολο 00 α ) να μεταφέρετε στο τετράδιο σας το παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο β ) να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (χι, fi%) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων γ ) να βρείτε τη μέση τιμή δ ) να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 5 χιλιομέτρων. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004]

9 33 ) Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο πίνακας Αριθμός Βιβλίων χι Αριθμός Μαθητών νι 0 α + 4 5α + 8 4α 3 α - 4 α Σύνολο 50 α ) υπολογίστε την τιμή του α β ) βρείτε τη μέση τιμή των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές γ ) βρείτε τη διάμεσο των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ] 34 ) 35 ) Σε δείγμα ν παρατηρήσεων χ, χ,..χν, μιας μεταβλητής Χ είναι 8 s 4,. α ) αν y, y,.yν είναι δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτουν αντιστοίχως από τις χ, χ,..χν, όταν κάθε μια αυξηθεί κατά 0% τότε : ι ) εξετάστε αν το δείγμα y, y,.yν είναι ομοιογενές. ιι ) να συγκριθούν μεταξύ τους τα δυο δείγματα ως προς την ομοιγένεια. β ) αν z i i, για κάθε ι =,,..ν s s z ι ) να βρεθούν z,. ιι ) εξετάστε αν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος των z i, με ι =,,..ν. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 007 ] 8

10 36 ) Στο παρακάτω δείγμα 0 παρατηρήσεων :,, 4,, 6,, 3, 6, α, 6 είναι = 4. α ) βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α β ) για α = 9, ι ) βρείτε τη διάμεσο, ιι ) βρείτε τη διακύμανση γ ) αν όλες οι παραπάνω παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 008, τότε ποια θα είναι η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων ; [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 008 ] 37 ) Έστω δείγμα χ,χ,χ3,..,χ με παρατηρήσεις : 7,5,α,,5,β,8,6,γ,5,3 όπου α,β,γ N και α<β<γ.δίνεται ότι : =6, δ = 6 και R=8. Δ) να βρεθούν τα α,β,γ ώστε να ισχύει : α +β +γ = 7 (μονάδες 8) Δ) δείξτε ότι : 58 s, είναι το δείγμα ομοιογενές; (μονάδες 8) Δ3) αν y,y,y3,..y τιμές μιας μεταβλητής που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσω τις τιμές χ,χ,χ3,..,χ με c>0 και μετά προσθέσω c σε κάθε μια απ αυτές. Αν y 9 και s s βρείτε τις σταθερές y c, c. (μονάδες 9) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 007 ] 38 ) Έστω χ,χ,χ3,χ4 οι τιμές ενός δείγματος μεγέθους ν = 7 με συχνότητες ν,ν,ν3,ν4 και ν4 = 3ν3. Δίνεται ότι τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις χ,χ είναι 50 0 και 30 0 αντίστοιχα. Γ) Να βρεθούν τα ν,ν,ν3,ν4 (μονάδες 0) Γ) υπολογίστε τις γωνίες των τόξων χ3 και χ4 (μονάδες 8) Γ3) αν χ < -7, χ = -7, χ3 = 3, χ4 >3, να δείξετε ότι : 0R + 7 = 5δ (μονάδες 7) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 009 ] 9

11 39 ) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 04 ] 0

12 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ, ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 40 ) Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στον διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δυο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α ) να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους διαγωνισμούς. β ) να συμμετέχει μόνον σε έναν από τους δυο διαγωνισμούς. γ ) να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δυο διαγωνισμούς. [ 4/5, /6, /5] 4 ) Στο σύλλογο των καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40 % είναι φιλόλογοι και το 30 % είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή, να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι : ι ) γυναίκα ή φιλόλογος ιι ) γυναίκα και όχι φιλόλογος ιιι ) άνδρας ή φιλόλογος ιν ) άνδρας και φιλόλογος [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 003 ] 4 ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : Φ(χ) = χ 3-5 χ + χ + 0. Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) δυο ενδεχομένων του Ω είναι ίσες με τις τιμές του χ, στις οποίες η Φ(χ) έχει αντίστοιχα τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο. α ) να δείξετε ότι : Ρ(Α) = και Ρ(Β) = 3 β ) για τις παραπάνω τιμές των Ρ(Α), Ρ(Β) καθώς και για την Ρ(Α Β) = 3 να βρείτε τις πιθανότητες : ι ) Ρ(Α Β) ιι ) Ρ(Α-Β) ιιι ) Ρ[(Α Β) ] ιν ) Ρ{(Α-Β) (Β-Α)} 43 ) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν : [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 ] ι ) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι 8 7. ιι ) οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α Β) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο : Χ = { κ,, }, όπου κ = lim α ) να βρεθεί ο αριθμός κ, β ) να βρεθούν τα Ρ(Β), Ρ(Α Β) γ ) να βρεθούν οι πιθανότητες : () να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α () να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 005 ]

13 44 ) Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β. α ) Ποια η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μην διαβάζει την εφημερίδα α ή να μην διαβάζει την εφημερίδα β β ) ορίζουμε το ενδεχόμενο, Β : «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, 7 διαβάζει την εφημερίδα β». Να αποδείξετε ότι : P(B) 5 0 γ ) Θεωρούμε τη συνάρτηση : f () = P(B), όπου χ πραγματικός και Β το ενδεχόμενο του ερωτήματος (β). Αποδείξτε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 008] 45 ) Έστω Ω = {ω,ω,..,ω5} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α = {ω,ω,ω3}, Β= {ω3,ω4,ω5} δυο ενδεχόμενα του Ω, με Ρ(Α) =. Αν είναι Ρ(ω)= α και Ρ(ω) = β, με 6 α 0α-αβ+β + = 0, Ρ(ω3) = γ και η συνάρτηση g() = Ρ(ω4) χ 3, χ R, τότε : Γ ) να αποδείξετε ότι α = β = 5 και γ = 0 (μονάδες 9) Γ ) Να βρείτε το Ρ(ω4), αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g(), στο σημείο (, g()) είναι παράλληλη προς την ψ= χ και στη συνέχεια να βρείτε το Ρ(ω5) (μονάδες 6) Γ3 ) Αν είναι Ρ(ω3)= 3 και Ρ(ω5) = 6 τότε να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων Κ και Λ όπου Κ: ένα μόνο απ τα Α,Β πραγματοποιείται Λ : να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β. (μονάδες 0) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 0 ]

14 46 ) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 04 ] 47 ) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 05 ] 3

15 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 48 ) Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη συνάρτηση : S = (t) = t 4-8t 3 +8t -6t+45 όπου t μετριέται σε δευτερόλεπτα, το σε μέτρα και t [0,5]. Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση και μετά να απαντήσετε στα ερωτήματα. α ) πότε η ταχύτητα του μηδενίζεται ; β ) πότε κινείται προς την αρνητική και πότε προς τη θετική φορά ; γ ) Να βρείτε το συνολικό διάστημα που το υλικό σημείο έχει διανύσει στη διάρκεια των 5 πρώτων δευτερολέπτων καθώς και τη μέση ταχύτητα στο διάστημα αυτό. δ ) πότε η ταχύτητα του αυξάνεται και πότε μειώνεται ; [ Ευκλείδης Β τ.00 ] 49 ) Έστω Α, Β, Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες των Α, Α Β, Α Β ανήκουν στο σύνολο των λύσεων της εξίσωσης : (-) ( -7+) = 0 ενώ η πιθανότητα του Γ ανήκει στο σύνολο των λύσεων της εξίσωσης : = 0 α ) Να αποδειχθεί ότι : Ρ(Α) = 3, Ρ(Α Β) = 4, Ρ(Α Β) =. β ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων : Δ : «πραγματοποιείται ένα μόνο από τα Α, Β». Ε : «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β», καθώς και η πιθανότητα Ρ(Β - Α ). γ ) να αποδείξετε ότι τα Β, Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. [ Ευκλείδης Β τ.00 ] 4

16 50 ) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις ΑΒ = 5 και ΒΓ = 3. Θεωρούμε τα εσωτερικά σημεία Κ,Λ, Μ και Ν των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ =. α ) Να αποδειχθεί ότι Ε () = (ΚΛΜΝ) = , (0,3). β ) Να βρεθεί η τιμή του για την οποία το Ε() γίνεται ελάχιστο. γ ) Θεωρούμε τις τιμές y i = E( i ), i (0,3), έτσι ώστε τα i, i =,,, να είναι διαφορετικά ανα δύο μεταξύ τους. Η μέση τιμή των i και η διάμεσος είναι ίσες με. Η μέση τιμή των y i είναι ίση με 7,0. γ ) να βρεθεί η μέση τιμή των i, i =,, γ ) να βρεθεί η τυπική απόκλιση των i, i =,,, και να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Δίνεται ο τύπος του σχολικού βιβλίου. δ ) Επιλέγουμε τυχαία μία από τις τιμές i, i =,,. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : Α = { i, i =,,, ώστε i < 4 } Β = { i, i =,,, ώστε Ε(i) 7} Γ = «Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β». [ Ευκλείδης Β τ.00 ] 5

17 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑNONIKH KATATOMH ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην κανονική κατανομή ισχύουν : R 6 s, = δ Στο διάστημα (, + s) βρίσκεται το.. % Στο διάστημα ( -s, ) βρίσκεται το.. % Στο διάστημα ( +s, + s) βρίσκεται το.. % Στο διάστημα ( -3s, - s) βρίσκεται το.. % ΑΣΚΗΣΗ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ Εξετάσαμε ένα δείγμα μαθητών μιας τάξης ως προς το βάρος τους και διαπιστώθηκε ότι κυμαίνονται από 45 έως 75 κιλά, ενώ η κατανομή των βαρών είναι κανονική. α ) να βρεθεί η μέση τιμή και το εύρος, β ) να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές, γ ) αν το άθροισμα των βαρών είναι 800 κιλά, να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος, δ ) τι ποσοστό μαθητών έχει βάρος το οποίο κυμαίνεται από 50 έως 60 κιλά ; ΛΥΣΗ 6

18 ΑΣΚΗΣΗ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι τους στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος διαδρομής των μαθητών και η τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. Να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4000 πόσοι θα κάνουν τη διαδρομή σε χρόνο από 4 έως 6 λεπτά; Μια μέρα λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρεθεί πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής. ΛΥΣΗ 7

19 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΑΠΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ : Έστω Ω = {,,3,.,0} ένα βασικό σύνολο και τρία υποσύνολα αυτού Α = {,,4,7,8}, Β = {3,4,8,0} και Γ = {,4,5,0}. α ) να παραστήσετε τα σύνολα Ω, Α, Β, Γ με διάγραμμα Venn. β ) να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους καθώς και με Venn τα σύνολα : ι ) Α Β ιι) Β Γ ιιι) Α (Β Γ) ιν) Α Β Γ ΛΥΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ : Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα Venn ένα βασικό σύνολο και τρία υποσύνολα αυτού. α ) ποιο είναι το πλήθος των στοιχείων των συνόλων Α, Β, Γ ; β ) να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα : ι ) Α Β ιι) Β Γ ιιι) Α (Β Γ) ιν) Α Β Γ ν ) Α ΛΥΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 Δυο φίλοι παίζουν το γνωστό παιχνίδι «πέτρα, ψαλίδι, μολύβι, χαρτί». Με χρήση δεντροδιαγράμματος να προσδιορίσετε όλα τα δυνατά αποτελέσματα 8

20 του πειράματος και να δημιουργήσετε το δειγματικό του χώρο. Να προσδιορίσετε το ενδεχόμενο «ισοπαλία». ΛΥΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 Σε μια ομάδα 0 ατόμων, 4 από τις 7 γυναίκες και από τους 3 άνδρες φορούν γυαλιά. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε : α ) να είναι γυναίκα ή να φοράει γυαλιά. β ) να μην είναι γυναίκα και να φοράει γυαλιά. ΛΥΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5 Από τους μαθητές ενός Λυκείου κάποιοι μιλούν πολύ καλά τη γαλλική γλώσσα. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή για να εκπροσωπήσει το σχολείο σε μια εκδήλωση του τμήματος της Γαλλικής Φιλολογίας. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα Α : «ο μαθητής να είναι κορίτσι» Β : «ο μαθητής μιλά καλά την γαλλική γλώσσα» Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα : ι ) Α Β ιι )Α Β ιιι ) Β-Α ιν ) Α-Β ν ) Α νι ) Α Β ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΥΣΗ 9

21 .. ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΕ ΟΠΟΙΟ ΔΡΟΜΟ ΔΙΑΛΕΞΕΤΕ 0