5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε ότι Μ = R i Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εφαπτόµενο τµήµα στον κύκλο Να υπολογίσετε το Ε συναρτήσει του R iν) Να υπολογίσετε συναρτήσει του R τα εµβαδά των τριγώνων ΟΜ και Μ ν) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του µεικτογράµµου τριγώνου Μ ( γκρίζα περιοχή) συναρτήσει του R Στο τρίγωνο Μ από το 1 ο θεώρηµα διαµέσων έχουµε ότι Μ + Μ = ΜΟ + 7R + Μ = R + Μ = R ii ) Είναι Μ = R 16R και = R R =R άρα Μ = Εποµένως το Μ είναι εφαπτόµενο τµήµα στον κύκλο Ε Μ = R iν) 7 Ε = R R Ε = R 7 7 Επειδή Μ εφαπτόµενο τµήµα το τρίγωνο ΟΜ είναι ορθογώνιο στο Μ άρα (ΟΜ) = 1 ΜΟ Μ = R τετραγωνικές µονάδες Στο τρίγωνο Μ η ΟΜ είναι διάµεσος οπότε ( ΜΟ) = (ΜΟ) συνεπώς Ε Ο Μ ( Μ) = (ΜΟ) = R τετραγωνικές µονάδες

ν) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΟ για τη διάµεσο Μ ισχύει Μ = O = R άρα τo τρίγωνο ΟΜ είναι ισόπλευρο οπότε Μ O = 60 ο Το εµβαδόν του µεικτογράµµου τριγώνου Μ προκύπτει αν από το εµβαδόν του τριγώνου ΟΜ αφαιρέσουµε το εµβαδόν του τοµέα Ο MB εποµένως Ε ζητούµενο = (ΟΜ) ( Ο MB) = R πr 60 ο 60 ο = R πr 6 τ. µ

. ίνεται τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R) µε = R και την γωνία B = 60 ο. Να αποδείξετε ότι = R i Να υπολογίσετε το µήκος του ύψους Κ συναρτήσει του R Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του R iν) Να βρείτε το εµβαδόν του εγγεγραµµένου κύκλου στο τρίγωνο συναρτήσει του R ν) Να υπολογίσετε το εµβαδόν της περιοχής που περικλείεται µεταξύ του κύκλου (Ο, R) και του τριγώνου φού B = 60 ο θα είναι A = 10 ο εποµένως = λ = R 1 φ i 60 ο ω Κ φού = R = λ θα είναι = 90 ο Άρα ω= 5 ο = φ πό το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο Κ και το πυθαγόρειο προκύπτει ότι Κ = Κ = R 6 Παρατήρηση : Ποιο εύκολα θα µπορούσαµε να πούµε ότι ηµ60 ο = AK AB Κ = ηµ60ο = R 6 Στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ είναι A 1 = 0 ο άρα Κ = AB = R Τώρα = Κ + Κ = R + R 6 = R( + 6) µετά από αυτά Η περίµετρος Ρ του είναι ίση µε Ρ = R + R + R( + 6) και το εµβαδόν του Ε = 1 Κ = R 6( + 6) 8 τετραγωνικές µονάδες

. ίνεται ορθογώνιο τραπέζιο µε //, <, =, =, = 5, = =90 ο Να υπολογίσετε Την προβολή της πάνω στην i Το εµβαδόν του τραπεζίου Το εµβαδόν του τριγώνου iν) Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι αµβλεία Φέρνω την Κ τότε, η προβολή της στην είναι το τµήµα Κ. Το Κ είναι ορθογώνιο οπότε Κ = = και Κ = = από πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ έχουµε Κ = Κ = 5 9 = 16 άρα Κ = i = Κ + Κ = 8 οπότε το εµβαδόν του τραπεζίου είναι ίσο µε ( ) = ( + ) = 18 τετραγωνικές µονάδες Κ ( ) = 1 Κ = 1 τετραγωνικές µονάδες iν) Στο τρίγωνο η Κ είναι ύψος και διάµεσος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές οπότε = = 5 = 6 και + = 50 άρα > + οπότε > 90 ο

5. ίνεται τρίγωνο και Θ το βαρύκεντρο αυτού. ν Θ = 19, Θ = Οι πλευρές του 91 i Το εµβαδόν του τριγώνου και Θ = 19 να υπολογιστούν. Οι ακτίνες του εγγεγραµµένου και περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. iν) Τα ύψη του τριγώνου i ) ΘΜ = 1 Θ = 19 6 ΘΚ = 1 Θ = 91 6 ΘΛ= 1 Θ = 19 6 πό το 1 ο θεώρηµα διαµέσων στο τρίγωνο Θ βρίσκω = Οµοίως από τα τρίγωνα Θ και Θ βρίσκουµε = 5 και = 7 i πό τον τύπο του Ήρωνα βρίσκουµε ότι Ε = τ(τ α)(τ β)(τ γ) = 15 Λ Μ Θ τετραγωνικές µονάδες ν R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου τότε Ε = αβγ R R = 7 και ν ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου τότε Κ Ε = τ ρ ρ = iν) Ε = 1 α υ α 15 = 1 υα υ α = 5 οµοίως υ β = και υ γ = 15 1

6 5. ίνεται τρίγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R µε = α, = β και = α + β αβ. είξτε ότι ɵ = 60 ο i R = + α β αβ Να βρείτε το εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος µε χορδή την. Νόµος συνηµιτόνων για την πλευρά = + - συν ɵ συν ɵ = 1 και Επειδή η ɵ είναι γωνία τριγώνου θα είναι ɵ = 60 ο i E = 1 αβηµɵ Ε = αβ (1) και Ε = αβγ R (1) αβ = αβγ R R = γ R = α + β αβ Το ζητούµενο εµβαδόν προκύπτει αν από Το εµβαδό του τοµέα Οαφαιρέσουµε Το εµβαδόν του τριγώνου Ο Είναι φανερό ότι η γωνία ˆω του τοµέα είναι ˆω= 10 ο οπότε = α β αβ + ω Ο 60 ο Ε ζητούµενο = (Ο ) (Ο) = πr 10 o 60 o 1 R Rηµ10ο = = πr R τετραγωνικές µονάδες

7 6. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Φέρουµε την διχοτόµο της εξωτερικής γωνίας και από το την κάθετη Μ στην διχοτόµο αυτή. είξτε ότι (Μ) = (Μ) = α 8 i ν Η ύψος του τριγώνου Μ τότε Η = α 1 1. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του τετραπλεύρου Μ Στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχουµε A ɵ Μ = 60 ο Μ = 0 ο Μ = α = Είναι ɵ Μ = 10 ο και ɵ Μ = 60 ο Άρα ɵ Μ + ɵ Μ = 180 ο Οπότε ( Μ ) ( Μ ) = Μ = 1 (Μ) = (Μ) Μ 0 o Η Μ Όµως (Μ) = 1 Μηµ10ο = 1 α α = α 8 άρα (Μ) = (Μ) = α 8 i Μ = + Μ Μσυν ɵ Μ = α α + α α 7α συν10ο = Άρα Μ = α 7. (Μ) = 1 Μ Η α = 1 8 α 7 Η Η = α 1 1 ( Μ ) = ( ) + (Μ) = α + α = 8 α 8

8 7. ίνεται τρίγωνο και σηµεία και Ε των, έτσι ώστε = και Ε=. πό το µέσο Μ της φέρουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Η. είξτε ότι (Η) = ( Ε) = 1 (). i (ΜΗ) = 1 (). ν η ΜΗ τέµνει το Ε στο Κ να υπολογιστεί ο λόγος των εµβαδών ( ΕΜΚ ) ( Ε ) φού Μ µέσο του και ΜΗ// θα είναι Η µέσο του Στο τρίγωνο η Η είναι διάµεσος άρα (Η) = (Η) = 1 () (1) Τα τρίγωνα Ε και έχουν την γωνία κοινή οπότε ( Ε) ( ) = Ε = = 1 1 άρα ( Ε) = () Τότε ( Ε) = () ( Ε) = 1 () () πό τις (1) και () έχουµε ότι (Η) = ( Ε) = 1 () i Στα τρίγωνα και ΜΗ η γωνία είναι κοινή άρα ( ΜΗ) ( ) = Μ Η = 1 1 Η = 1 άρα (ΜΗ) = 1 (). Επειδή ΜΚ // τα τρίγωνα ΕΚΜ και Ε είναι όµοια µε λόγο οµοιότητας λ = EM EA = 1 = 1 ( ΕΜΚ) και αφού ( Ε ) = λ θα είναι ( ΕΜΚ ) ( Ε ) = 1 9 Κ Μ Ε

9 8 ίνεται τετράγωνο µε πλευρά και σηµείο Σ της ώστε Σ = 1. Να υπολογίσετε Τα µήκη των πλευρών Σ και Σ του τριγώνου Σ i Την απόσταση του από την Σ Το εµβαδόν του τριγώνου Σ iν) Την απόσταση του από την Σ ν ) Το εµβαδόν του περιγεγραµµένου στο τετράγωνο κύκλου πό το Πυθαγόρειο στα τρίγωνα Σ και Σ βρίσκουµε Σ = 17, Σ = 5 i ν Κ είναι η απόσταση του από την Σ τότε πό την γενίκευση του Πυθαγορείου στο Σ έχουµε Σ = + Σ ΣΚ Σ Κ Λ 17 = 16 + 5 10Κ Κ = 1 5 Τώρα από Πυθαγόρειο στο Κ έχουµε Κ = 16 5 Σηµείωση : θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο του µήκους του ύψους (Σ ) = 1 Σ Κ = 1 5 16 5 = 8 τετραγωνικές µονάδες iν) ν Λ είναι η απόσταση του από την Σ τότε (Σ ) = 1 Σ Λ 8 = 1 iν) 17 Λ Λ = 16 17 17 ν R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου στο τετράγωνο κύκλου τότε λ = R = R R = εποµένως το εµβαδό του περιγεγραµµένου κύκλου είναι ίσο µε Ε = πr = 8π τετραγωνικές µονάδες.

10 9. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) µε µήκη πλευρών = R και = R. ράφουµε τους κύκλους (, R) και (, R ) που τέµνονται και στο Να υπολογίσετε : Το µήκος της πλευράς συναρτήσει του R i Τις γωνίες και ɵ του τριγώνου Το εµβαδόν του τετραπλεύρου συναρτήσει του R iν) Το εµβαδόν του κοινού µέρους των δύο κύκλων συναρτήσει του R. ν) Το µήκος της κοινής χορδής συναρτήσει του R πό το Πυθαγόρειο βρίσκουµε = + = R = R i άρα Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι = R = = 60 ο άρα ɵ = 0 ο οπότε Είναι προφανές ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα άρα ( ) = () = 1 = R τετραγωνικές µονάδες iν) Το κοινό µέρος των δύο κύκλων έχει εµβαδόν ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των δύο κυκλικών τµηµάτων Σ και Η όµως (Σ ) = (Σ o πr 10 ) ( ) = 1 o 60 R πr R ηµ10ο = R (Η ) = (Η o π R 60 ) ( ) = 1 o 60 R R πr ηµ10ο = R πr Άρα Ε ζητούµενο = R πr + R 5πR = R 6 ν ) φού = 10 ο θα είναι = λ = R Η Σ

11 50. Έστω κύκλος (Ο, R) και µία διάµετρος του. πό σηµείο του κύκλου φέρνουµε τµήµα και από σηµείο Ε της προέκτασης της φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΕΗ έτσι ώστε ΕΗ = λ. ν = 6 και () = είξτε ότι R = 5 i Να υπολογίσετε το τµήµα είξτε ότι Ε = R και υπολογίστε το εµβαδόν και την περίµετρο του µικτογράµµου τριγώνου ΕΗ. Επειδή διάµετρος θα είναι = 90 ο Όµως () = 1 Ρ Ο ω φ Ε = 1 6 = 8 Η πό το Πυθαγόρειο στο βρίσκουµε ότι = 10 άρα R = 5 i H ακτίνα BO σαν κάθετη στην χορδή θα είναι µεσοκάθετος στην οπότε = Ρ νωρίζουµε ότι = Ρ 6 = 10Ρ Ρ = 18 5 οπότε Ρ = 10 18 5 = 5 κόµα Ρ = Ρ Ρ = 576 5 άρα Ρ = 5 και εποµένως = 8 5 ΕΗ = Ε Ε (R ) = Ε(Ε + ) (5 ) = Ε(Ε + 10) Ε + 10Ε 75 = 0 απ όπου προκύπτει ότι Ε = 5 = R Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΗΕ είναι ΟΗ = 5 = OE άρα ˆφ = 0ο οπότε ˆω= 60 ο Το µήκος του τόξου H είναι ίσο µε l = Η πrµ o 180 ο = 5π συνεπώς Η περίµετρος Π του µεικτογράµµου τριγώνου ΕΗ είναι ίση µε

1 Π = l + Ε + ΕΗ = 5π Η + 5 + 5 µονάδες Και το εµβαδόν Ε είναι ίσο µε Ε = (ΟΕΗ) ( ΟΗ ) = 1 ο ΟΗ ΗΕ πr µ ο 60 = 5 5π 6 τετραγωνικές µονάδες