Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου 0 LaTEX c:... A lyc \ALGEBRA\ch\ex revision\exercises 3.tex
Κεφάλαιο Πραγµατικοί Αριθµοί έµης Απόστολος Ζάχος Ιωάννης Κατσαργύρης Βασίλειος Κόσυβας Γεώργιος Λυγάτσικας Ζήνων. Οι Πράξεις και οι ιδιότητές τους. Η πρόταση : (x )(x + ) = 0 x = 0 και x + = 0 είναι αληθής ή ψευδής ; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Τοποθετήστε το σύµβολο ή στα κενά ώστε να είναι σωστοί οι παρακάτω συλλογισµοί : (α ) x = y...... x + 3 = y + 3 (ϐ ) x = y...... x = y (γ ) xy 0...... x 0 και y 0 3. Η παρακάτω πρόταση ισχύει για κάθε a, b, c ΙR µε b, c 0; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Αν a b = a, τότε b = c. c 3
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Για ποιές τιµές του x ΙR ορίζεται η παράσταση ; + + x Να γίνει απλό το παραπάνω σύνθετο κλάσµα. 5. Αν x = και y = 004, να υπολογίσετε την παράσταση : 004 A = 6(x y)x 3[x (x + y)x x(x + y)] + 3x 6. Αν x = y 3 = z 5 και y + z = 5, να ϐρείτε τους αριθµούς x, y και z. 7. Αν x + y = 3 να ϐρεθεί η τιµή της παράστασεις : [ ] A = (6x y) (x + y) + 4( x y) [x (x y)]. 8. Να ϐρεθούν οι τιµές του x για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις : A = 4 x + 3 B = x 4 x +. 9. Υποθέτω ότι : a, b, c, d ΙR µε a b = b c = c c + d. είξτε ότι : d d. υνάµεις = ac + b d. acd 0. Ισχύει (α β) = ( α + β) για κάθε α, β ΙR; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Ισχύει (α β) 3 = (β α) 3 για κάθε α, β ΙR; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Να συµπληρώστε τα κενά ώστε οι παραστάσεις να είναι τέλεια τετράγωνα : (α ) a 3a +... (ϐ ) x + xy +... (γ ) 6a 4a +... (δ ) x + x +... (ε )... + 6ab + a
.. ΥΝΑΜΕΙΣ 5 (ϝ )... + 5 + x ( x 0x + 5 ) 3 (x + 5) 3 3. Να δειχθεί ότι η τιµή της παράστασης A = (5 x) 3 (5 x ) 3, είναι ανεξάρτητη της µεταβλητής x, (x 5, 5). ( 4. Να δείξετε ότι : x + ) ( x = 4, x 0. x x) 5. (α ) Να απλοποιηθεί η παράσταση : (a + β) (a β). (ϐ ) Να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης : 6. Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις : (α ) 7x 3 8 (ϐ ) x 3 + (γ ) x 4 + 4 (δ ) 00a 4(a ) 7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : (α ) (ϐ ) (γ ) a 3 + b 3 (a b) + ab a a + a a a a a 3 b 3 (a + b) ab 8. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : ( 004 005 + 005 ) ( 004 004 005 005 ). 004 ) x + x + x + 3) x3 x + x x x x x 3 ) (x x) + x x 4) x(x ) + (x )(x ) 5) x 3x + x x x + x x + x 9. Αν a b a 6b 8 = 0, δείξτε ότι b = a ή b = a 4. 0. Αν x a xy + y = 0, δείξτε ότι y = x a ή y = x + a.. (α ) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : A = x 0x + 5 και B = 5 x.
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ϐ ) Εστω Γ = (x 0x + 5) 005 (x + 5) 005 (5 x) 005 (5 x ) 005 i. Για ποιές τιµές του x ορίζεται η παράσταση Γ; ii. Απλοποιήστε την Γ.. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : (x ) x x (α ) A = (3 y) 9 y ( x + xy ) 4 ( y x ) 3 (ϐ ) B = xy y 3 x + xy + y 3. Να δειχθεί ότι η τιµή της παρακάτω παράστασης είναι ανεξάρτητη των x και y. 4. Να δειχθεί ότι ισχύει : 5. Να γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις : [ (x 3 y xy 3 ) xy ] ( x 4 y ) x 4. [ x xy + y ] x 3 + y 3 (x y ) x + xy + y = x3 y 3. A = x(4x + 6)(x + ) + 6x(x + 3)(3x + 3) 4x(6x + 9)(x + )(x + 5) Γ = 9x y 3 3x 4 y 6x 3 y 3 + 8xy 4 6. (α ) Να γίνει γινόµενο η παράσταση : x 3 + 6x + x + 8. (ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση : x 3 + 6x + x + 8 = 0. 7. Να γίνει γινόµενο η παράσταση : ( (x y) x + xy + y ) ( + (y x) x xy + y ) + xy yx. 8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : (α ) (ϐ ) (γ ) (x + x 6)(x 3 3x + x) (x + 4x 5)(4x 6x) x 3 8 x 4 x + x + 4 x 3 + 8 x y x + xy x y. y 9. Αν α+β = και α +β =, να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης A = α 3 +β 3.
.. ΥΝΑΜΕΙΣ 7 30. Αν x + x = y +, τότε να δείξτε ότι είτε x = y είτε xy =. y 3. (α ) Να µετατρέψτε σε γινόµενο την παράσταση α + β + + αβ. (ϐ ) Αν α > και αβ + β + α = 0, να δείξτε ότι ο αριθµός α + είναι αριθµός διαφορετικός του 0 και έχει αντίστροφο τον β +. 3. Να εκτελεσθούν µε σύντοµο τρόπο οι πράξεις : (α ) (x + a)(x ax + a ) (x a)(x + ax + a ) (ϐ ) (x + a)(x a)(x ax + a )(x + ax + a ) 33. είξτε ότι : (α ) Αν (x + y) = x + y τότε x = 0 ή y = 0. Ισχύει το αντίστροφο ; (ϐ ) Αν (x + y) 3 = x 3 + y 3, τότε x = 0 ή y = 0 ή x + y = 0. Ισχύει το αντίστροφο ; 34. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες : (α ) (α + β)(α 3 β 3 ) (α β)(α 3 + β 3 ) = αβ(α + β)(α β) (ϐ ) (α + β)(β + γ)(γ + α) = αβ + βγ + γα + α β + β γ + γ α + αβγ (γ ) (α + β + γ) + (α + β γ) (α β + γ) (α β γ) = 8αβ. (δ ) (α+β+γ) 3 = α 3 +β 3 +γ 3 +3αβ(α+β)+3βγ(β+γ)+3γα(γ+α)+6αβγ (ε ) α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = (α + β + γ) ( (α β) + (β γ) + (γ α) ) (ϝ ) Αν : α + β + γ = 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ 35. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις (α ) A = [ (x ) (x ) 4 (x ) 3 ] (ϐ ) B = 7x3 y x 3 y y 3 x 5 36. Να γίνουν οι πράξεις : (α ) (ϐ ) x + + x + + x + 4 + x 4 + 8 + x 8. x y + x 3 y 3 x + x + y x y 37. (α ) είξτε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό β ίσχύει : β.. ( ) ) β + β ( =
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ϐ ) Αν β είναι ένας περιττός ακέραιος, τότε οι β + και β είναι άρτιοι και οι β +, β ακέραιοι αριθµοί. (γ ) είξτε ότι κάθε περιττός ακέραιος είναι διαφορά τετραγώνων δύο ακε- ϱαίων αριθµών. ( ) 38. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : A = + x x + x 3 + x 3. 39. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός 007 009 3 008 006 3 είναι κύβος ακεραίου αριθµού. 40. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, δ ισχύει : αδ βγ =, τότε : α + β + γ + αβ + γδ..3 ιάταξη Πραγµατικών 4. Αν α β > α + β, τότε : (α ) α > β (ϐ ) β < 0 (γ ) α < 0 (δ ) β > 0 (ε ) Τίποτα απο τα προηγούµενα. 4. Αν α 0 να συγκριθούν οι αριθµοί α και α. 43. (α ) Αν α + β = 0 δείξτε ότι α = β = 0. (ϐ ) Αν (x + ) + (y + ) + (w 3) = 0, να ϐρείτε τα x, y και w. 44. Αν α + β > 0 δείξτε ότι α 0 ή β 0. 45. (α ) Αν x πραγµατικός, να λυθεί η ανίσωση (x + )(x ) > 0 (). (ϐ ) Αν x επαληθεύει την ανίσωση (), να δείξετε ότι x > x. (γ ) Αν x < y ϑετικοί πραγµατικοί οι οποίοι δεν επαληθεύουν την ανίσωση (), να συγκρίνεται τους αριθµούς x y και y x. 46. Αν x και 3 y < 5, να ϐρείτε µεταξύ ποιών τιµών ϐρίσκονται οι παραστάσεις : (α ) x + y, (ϐ ) 3x y, x (γ ) y και (δ ) x + y
.3. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ 9 47. Αν α + β = 4 να δειχθεί ότι : αβ 4 και α + β 8. 48. (α ) Αν α > να δείξτε ότι 4 + α > + α. (ϐ ) Αν α > > β, να αποδείξτε ότι + α + β + αβ < 0. (γ ) Αν α να αποδείξτε ότι α3 + 4 α + α. ( (δ ) Αν α > 0 και β < 0 να αποδείξτε ότι : (α β) α ) 4. β 49. Αν α, β, γ είναι ϑετικοί πραγµατικοί, να δείξετε ότι : ( ) (α + β + γ) α + β + 9 γ 50. Αν για τους α, β ισχύουν : (α ) α > 0, (ϐ ) α > β και (γ ) α β =, να δείξετε ότι β < 0. (Υποερώτηµα 4 ou ϑέµατος στις Πανελλαδικές εξετάσεις Θετ. και Τεχν. Κατ/νσης,004). 5. Αν x [ π, π) και x = κπ + π, κ ΖZ να ϐρείτε τον x. 4 5. Αν x, y, z > 0 να δειχθεί ότι : (α ) (ϐ ) x + y x + y x + y και x + y x + y + y + z y + z + z + x z + x x + y + z. 53. Να ϐρείτε τις τιµές των x, y γαι τις οποίες ισχύει : 5x + 4x + y xy + = 0. 54. Να ϐρείτε τις κοινές λύσεις, σε µορφή διαστηµάτων, των ανισώσεων : (α ) (x + ) 5 και 3x + > (x 3) (ϐ ) x + 6 > 0 και 3x < 0. 55. (α ) Να ϐρείτε το πρόσηµο της παράστασης A = x + y x 4xy + 7. (ϐ ) Να ϐρείτε την ελαχίστη τιµή της παράστασης A και στη συνέχεια να προσδιορίσετε τις τιµές των x και y για τις οποίες συµβαίνει το ελάχιστο.
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 56. Να ϐρεθούν οι ακέραιοι αριθµοί x που επαληθεύουν τις ανισώσεις ) 4(x + 4) 3(x + ) + 4 ) 5(x ) + 3 < 3x + 57. Να εξετάσετε το πρόσηµο των παρακάτω αλγεβρικών παραστάσεων : (α ) A = x + y xy (ϐ ) B = x + y + xy. 58. (α ) είξτε ότι αν 0 < x < τότε : x + x 4. (ϐ ) είξτε ότι η πιθανότητα P (A) ενός ενδεχοµένου A Ω, ικανοποιεί την ανισοτική σχέση του πρώτου ερωτήµατος. 59. Εστω δειγµατικός χώρος Ω µε A ένα εκ των ενδεχοµένων του. Αν α < β τότε : α < α P (A) + β P (A ) < β 60. είξτε ότι για κάθε x, y ΙR : x(x y) x (y + )..3. Κάποιες αξιοσηµείωτες ανισότητες 6. Για οποιουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς α, β ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες : α + α β α + β α + β β 6. είξτε ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α + β + γ αβ + αγ + βγ (.) 63. Χρησιµοποιώντας την ανίσωση., σελίδα 0, δείξτε ότι για τους ϑετικούς πραγµατικούς α, β, γ ισχύει : (α ) (ϐ ) αβ γ + αγ β + βγ α α + β + γ α β + β γ + γ α α β + β γ + γ α 64. (Ανισότητα Andreescu) Για οπουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς x, y και αυθαί- ϱετους αριθµούς α, β ισχύει η ακόλουθη ανισότητα : α x + β (α + β) y x + y (.) 65. Χρησιµοποιώντας την ανίσωση., σελίδα 0, αποδείξτε ότι :
.4. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ (α ) για οπουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς x, y, z και αυθαίρετους αριθµούς α, β, γ ισχύει : α x + β y + γ (α + β + γ) z x + y + z (.3) (ϐ ) είξτε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς a, b και c ισχύει : (a + b + c) 3(a + b + c ) 66. Χρησιµοποιώντας την ανίσωση.3, σελίδα 0, αποδείξτε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για οποιουσδήποτε αριθµούς α,,3 και β,,3 : ) ( )( ) (α β + α β + α 3 β 3 α + α + α3 β + β + β3.4 Απόλυτη Τιµή 67. Να χαρακτηρίσετε σαν Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) 3 + < 3 +. (ϐ ) Αν α 0 τότε : α + > α +. α α (γ ) Αν α + β = α + β τότε αβ > 0. (δ ) Αν α + 5 < α + 5, τότε α < 0. ικαιολογήστε την απάντησή σας στις περιπτώσεις (ϐ) και (δ). 68. Απο την ισότητα x + y = 0 προκύπτει ότι : (α ) x > 0 και y > 0 (ϐ ) x και y είναι αντίθετοι αριθµοί (γ ) x = 0 και y = 0 (δ ) x > 0 και y < 0 69. Η εξίσωση 3x + 5x 6 = 0 έχει : (α ) λύση (ϐ ) λύσεις (γ ) αδύνατη (δ ) έχει λύση για κάθε x > 6 5. 70. Η ανίσωση x x αληθεύει : (α ) για κάθε x πραγµατικό (ϐ ) δεν υπάρχει πραγµατικός x έτσι ώστε να είναι αληθής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (γ ) για κάθε x > 0 (δ ) για κάθε x 0 (ε ) για x = 0. 7. Αν x 0 και y 0 ποιό απο τα παρακάτω είναι σωστό : (α ) x + y = x + y (ϐ ) x + y x + y (γ ) x y = x y (δ ) y x = x y ικαιολογήστε την απάντησή σας στις περιπτώσεις (γ) και (δ). 7. Να συµπληρώσετε τα κενά σε κάθε µια απο τις παρακάτω σχέσεις : (α ) x > = x =... (ϐ ) x > = x =... (γ ) Αν a = a = a... 0 (δ ) Η εξίσωση x = είναι... (ε ) Η ανίσωση x < 5 είναι... (ϝ ) x > 5 =... ( ) 73. Η εξίσωση a + b + 00 x = 004 (α ) έχει µοναδική λύση (ϐ ) είναι αόριστη (γ ) είναι αδύνατη 74. Στη σχέση a b a + b το ίσον ισχύει όταν (α ) a, b ετερόσηµοι (ϐ ) a = 0 ή b = 0 (γ ) a + b = 0 (δ ) a + b 0 (ε ) a, b > 75. (α ) είξτε ότι : a b a b. Πότε ισχύει το ίσον ; 76. (α ) Αν x, y 0, να δειχθεί ότι x y + y. Πότε ισχύει το ίσον ; x (ϐ ) Να λυθεί η εξίσωση : (x ) (x + ) + (x + ) (x ) =. 77. Να ϐρείτε τις τιµές των x, y, z σε κάθε παράσταση :
.4. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 3 (α ) x + y + + z = 0, (ϐ ) x x + + x y + z 4z + 4 = 0, (γ ) (x + ) x + y + + y + y + + x 4x + 4 = 0. 78. Αν < x < να δειχθεί ότι 3 x = x +. 79. Αν x και y 3 να δειχθεί ότι 3x y 9. ( x ) 80. Αν x 0, να δειχθεί ότι : ( x x) x + = 0. 8. Αν 4 x =, τότε x =. Ισχύει το αντίστροφο ; x 8. (α ) Να δειχθεί ότι x + y + x y = x + y. (ϐ ) Αν x = y = x + y να δείξετε ότι x y = 3 x. 83. Να δειχθεί ότι : (α ) (ϐ ) 36 a a + = 3 a, a 8 6 + a = a 3. 84. Να απλοποιηθεί η παράσταση : x + x x 4 + x x 4 x + 4. 85. Να δειχθεί ότι : x x + y y + x z 3. 86. Να απλποιηθεί η παράσταση : A = α + α + α α + α3 β 3 + γ 3 3αβγ 3αβγ γ 3 + β 3 α 3 Υποθέστε ότι τα κλάσµατα είναι καλά ορισµένα. 87. Να υπολογισθούν τα x, y αν x y + y + 3 = 0. 88. (α ) Να δείξετε ότι : x y x + y και x y x y (ϐ ) Αν ισχύει x + x 3 < α για κάποιο x πραγµατικό, να δείξετε ότι α >. 89. ίδεται η παράσταση : S = x + α x α, όπου α ΙR. (α ) Να υπολογίσετε τις τιµές του x για τις οποίες ορίζεται η S. (ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση S =. (γ ) είξτε ότι : S = x + α + xα x α.
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 90. (α ) Αν α, β ΙR, να δείξετε ότι : α + β = α + β α β 0. (ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση : 7 6x + x x + 5 = x 8x +. 9. (α ) Αν x, y ΙR, να δείξετε ότι : x + y = 0 x = y = 0. (ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση : x + 3 = x 9 = 0. 9. Αν x, y ΙR και x y + y x xy =, να δείξετε ότι οι αριθµοί x, y είναι οµόσηµοι. 93. Αν x, y, z, ω > 0 και x y = y z = z, να δείξετε ότι : x ω 3 y z. ω 94. Αν x, y ΙR να δείξετε την ισοδυναµία : x + 3y < x + 6y x y y < 8 x 3. 95. (α ) Για τον πραγµατικό αριθµό α ισχύει : α α ή α α; ικαιολογήστε. (ϐ ) Να συµπληρώσετε την ισοδυναµία x = α... (γ ) Για τους µη µηδενικούς πραγµατικούς x, y ισχύει xy + xy = 0. Να υπολογίσετε την τµή της παράστασης : K = x x + y y. (δ ) Να ϐρείτε το x το οποίο ανήκει στο διάστηµα [, 0] και για το οποίο ισχύει : x 3 4..5 Ρίζες Πραγµατικών Αριθµών 96. Είναι σωστή ή λανθασµένη καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις : ν NΝ 3 (α ) x6 y = x y 4 4 (ϐ ) x y 8 = x 3 y 4 (γ ) x4 y 8 = x y (δ ) (ε ) (ϝ ) (Ϲ ) ν α ν β ν = α β ν α ν + β ν = α + β 3 α3 + β 3 < α + β, µε (α, β > 0). 3 x 6 x 4 = x 3 x (η ) Αν x > 0 τότε x 3 x x = x 4 x.
.5. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 97. Γράψτε απλούστερα τις παραστάσεις : 44 8 8 7 44 7, 5 30 0, 09 40 5 7 8 75 + 4 0, 63 (7 + 7) (7 7) 3 0 8 8 + 5 8 5 5 0 3 98. Απλοποιήστε χωρίς υπολογιστή το 99. Λύστε τις εξισώσεις : 8 0 + 4 0 8 4 + 4. x = 8,, x = 0, x + 5 = 0, x 3 5 0 6 = 0, x 4 = 9 0 6, 0, 3x = 0, 47 00. Να απλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς µε την ϐοήθεια των ταυτοτήτων : (α ) ( 5 ) (ϐ ) (3 ) 50 (3 + ) 50 0. Να απλοποιηθεί η παράσταση αν x < : x x + x + x + + x x + 0. Η παράσταση A = x 8x + 6 x 0x + 5 να γραφεί χωρίς ϱι- Ϲικά και απόλυτες τιµές. 03. Γράψτε τους παρακάτω αριθµούς χωρίς ϱιζικά στον παρανοµαστή : 3, 5 7, 5 04. Αν x > 4 να µετασχηµατίσετε την παράσταση A σε ισοδύναµη µε ϱητό παρανοµαστή : (x 4) A = x 4 x + 4. 05. Να λυθεί η εξίσωση : ( x) 3(x + ) = 0. 06. (α ) Να δειχθεί ότι για α, β 0 ισχύει α + β αβ 0.
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ϐ ) Να προσδιορίσετε τις τιµές των ϑετικών αριθµών α, β για τους οποίους ισχύει : β αβ + α α + = 0. 07. Βρείτε ποιά απο τις ακόλουθες παραστάσεις x, x, x +, x +, x, έχει τον εξής πίνακα προσήµου : ξ + + 0 08. Να υπολογισθεί η παράσταση : A = 3 3 3 4 + 7 3 4 7. 09. Να ϐρείτε τους α, β και γ, γνωρίζοντας ότι : 0. Αν ( xy xy + x xy y (α ) + α β + α β γ = 0. Βρείτε τον πιό µικρό ακέραιο n τέτοιον ώστε : + + 3 + + y ) = 0 να δειχθεί ότι x = ή y =. x 4 + 3 +... + n + + n 00.6 Ασκήσεις Επανάληψης. Να αποδείξετε ότι : (α ) (α + β )(γ + δ ) (αγ + βδ) (ϐ ) (x + 5)(y + 7) xy + 35. 3. (α ) Να υπολογίσετε τα αναπτύγµατα : ( x y ) και ( y ) (ϐ ) Αν x xy + 9y 4 y + = 0, να αποδείξετε ότι x = 4 και y =. 4. (α ) Να αποδειχθεί ότι : (a + b ) (a + b) (ϐ ) Αν για τους ϑετικούς a και b ισχύει : a + b = 3, να αποδειχθεί ότι : ( a + a) ( + b + ) 69 b 8
.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 7 5. Σ ένα δεδοµένο κύκλο (O, r) να εγγραφεί ορθογώνιο µεγίστου εµβαδού. 6. (α ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α + β + γ )(x + y + z ) (αx + βy + γz) = = (βx αy) + (γy βx) + (γx αz) (ϐ ) είξτε ότι οι διχοτόµοι τριγώνου ABΓ διέρχονται απο ένα σηµείο I (το οποίο ονοµάζεται έγκεντρο). (γ ) Εστω τρίγωνο ABΓ και σηµείο P στο εσωτερικό του. Αν x, y, z οι αποστάσεις του P απο τις πλευρές του τριγώνου ABΓ, και x + y + z = δ, όπου δ γνωστό µήκος, να ϐρεθεί η ϑέση του σηµείου P ώστε το άθροισµα x + y + z να είναι το ελάχιστο δυνατό. 7. Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού x η παράσταση : A = είναι ανεξάρτητη του x. x + x + x x + 8. Να λυθεί η εξίσωση : 3x + 3y + 3z = xy + xz + yz. 9. Αν α, β, γ πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι : (α ) α 3 + β 3 + γ 3 < αβ(α + β) + βγ(β + γ) + γα(γ + α). (ϐ ) α + β α + γ + β + γ β + α + γ + α γ + β < 4. (γ ) α + β γ < αβ. 0. Αν κ QΙ και 0 < κ <, να δειχθεί ότι ο αριθµός είναι ϱητός. 9 α = κ + κ + 9 κ + + κ. Αν ν α ν + β α ν β και α ΖZ, β (, + ), ν NΝ, να δείξετε ότι : ή α 007 = ή α 007 =.. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 998/9, Α Λυκείου): Εστω ότι για ϑετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει : αβ ( ) ( ) ( ) α + β β + γ γ + α γ + βγ α + γα β = 0
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 00/, Α Λυκείου): Αν για τους πραγ- µατικούς αριθµούς x, y, z ισχύει ότι : xyz =, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : K = y + y x + + z + z y + + x + x z + 4. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 003/4, Α Λυκείου): Να ϐρεθούν οι ακέραιοι α, β για τους οποίους ισχύει η ισότητα : αβ + αβ + α = β + 4β + 3
Κεφάλαιο Εξισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων. Η Εξίσωση α x + β = 0 5. Να λυθεί η εξίσωση : 5x x x = 3 x +. 6. Να ϐρείτε το λ ΙR, έτσι ώστε η εξίσωση λ(λx ) = x(4λ 4) λ, να είναι α) αδύνατη και ϐ) ταυτότητα. 7. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α ) (x 4)(x ) = (x )(x ), (ϐ ) x + 7x x = x x + + 3 x (γ ) x (x 4) + x(x 4) + (x 4) = 0 (δ ) x(x ) x 3 + x = 0 (ε ) (x + ) + x = 0 (ϝ ) x(x ) + x 4x + 4 = 0 (Ϲ ) (x 4)(x + ) = (x )(x ) (η ) x x = x x 4 (ϑ ) x x = x + x (ι ) x + x + x x + = 0 9
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Αν 9x + 6x + + y y + z = 0, µπορείτε να προσδιορίσετε τους πραγ- µατικούς x, y και z; 9. (α ) Να ϐρεθούν οι τιµές του λ ΙR έτσι ώστε η εξίσωση λ x λ + 4 = (4λ 4)x να είναι ταυτότητα. (ϐ ) Για τις τιµές του λ που ϐρήκατε στην ερώτηση (α), να λυθεί ως προς y η εξίσωση (y λ ) = y λ. 30. Για ποιές τιµές των λ, µ ΙR η εξίσωση : είναι ταυτότητα. λ (x ) + λ + µ x + = (λ ) + λ + µ 3. ίνεται η εξίσωση λ x + λ + λ + 4x = 0. (α ) Να γραφεί στην γενικευµένη µορφή εξίσωσης ου ϐαθµού. (ϐ ) Να λυθεί για τις διάφορες τιµές του λ. (γ ) Να ϐρείτε το λ ώστε να έχει λύση το. 3. Να λυθεί η εξίσωση : x + x x = x. 33. Να λυθεί για τις διάφορες τιµές του λ ΙR η εξίσωση : x λ 3 = 4x + λ. 34. Αν ο x = είναι λύση της εξίσωσης αx 3 = να ϐρείτε τον α. 35. Να λυθουν οι εξισώσεις : (α ) x = 3 x x 7 5 (ϐ ) x + + x = 0 36. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α ) x = x, (ϐ ) x = x, (γ ) (x + ) x + + 4 = 0, (δ ) x 3 3x + 3 x = 0. 37. Να γίνει γινόµενο η παράσταση A = 7(3x + ) (3 x) + (3x + )(x 3) 3 και να λύσετε την εξίσωση A = 0. 38. Να λυθεί ως προς x η παράσταση : 3α + α + x α α x = α(a ) x α, a ΙR. Για ποιές τιµές του α οι ϱίζες της εξίσωσης είναι πρώτοι αριθµοί ;
.. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = 0 39. Θεωρώ την εξίσωση λ (λ x) + λ µ = µ (µ x) + λµ, () µε λ, µ ΙR. (α ) Να λύσετε την εξίσωση. (ϐ ) Αν µ < 0 και µ > λ και x 0 η µοναδική λύση της (), δείξτε ότι : x 3 0 + (µ λ) 3 8µ 3 > 0. 40. ίνονται οι εξισώσεις : (x 5) 3 + (8 x) 3 = (x 3) 3 () (λ 5)x = λ 6 + ( ρ + 4) 00000 () (λ 5) λx = 5x + 3 (3) είξτε ότι οι ϱίζες της εξίσωσης () είναι µήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Αν ρ είναι το µήκος της υποτείνουσας του προηγουµένου όρθογωνίου τριγώνου δείξτε ότι για την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση () είναι αόριστη, η εξίσωση (3) είναι αδύνατη. 4. Να ϐρείτε τη τιµή του λ ΙR για την οποία η εξίσωση λ 3 x x = x µε άγνωστο το x, είναι αόριστη. 4. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 006/7, Α Λυκείου): Να λυθεί η εξίσωση : λ(λx + 3) = λ 3 + λx για τις διάφορες πραγµατικές τιµές της παραµέτρου λ.. Η Εξίσωση αx + βx + γ = 0 43. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ ή Λ. (α ) Ισχύει : x 3x + = 0 x + 3x = 0. (ϐ ) Εστω αx + βx + γ = 0, α 0. Οταν τα α, β και γ αντικατασταθούν απο τα αντίθετά τους η τιµή της διακρίνουσας αλλάζει. ( (γ ) Η εξίσωση x ) = 0 έχει διπλή ϱίζα. (δ ) Η εξίσωση αx + γ = 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική. (ε ) Η εξίσωση x = x έχει διπλή ϱίζα το 0. (ϝ ) Το κλάσµα x ορίζεται για κάθε x ΙR. + x + (Ϲ ) Αν = 0 τότε η διπλή ϱίζα της αx + βx + γ = 0 είναι η β α. (η ) Αν > 0 και γ = 0 τότε η αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζα το 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ϑ ) Αν υπάρχει ϱ ΙR έτσι ώστε αϱ + βϱ + γ = 0, τότε η αx + βx + γ = 0 έχει δύο παραγµατικές ϱίζες. 44. Αν α + β + γ = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζα τη. 45. Αν p είναι ϱίζα της εξίσωσης x + αx + β = 0 να αποδειχθεί ότι p α p + β. 46. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α ) x ( 3 )x 6 = 0. (ϐ ) αβx (α β)x = 0, αβ 0. (γ ) x x + = 0, όπου η διακρίνουσά της. 47. ίδεται η εξίσωση : x λ 3 x ( λ +) = 0. είξτε ότι για κάθε λ πραγµατικό, η εξίσωση έχει δύο ϱίζες. 48. Εστω η εξίσωση x 4λx + 4λ = 0. Αφού ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης, προσδιορίστε το λ έτσι ώστε οι ϱίζες να ανήκουν στο διάστηµα (, 3]. 49. (α ) Αν x, y ϱητοί, λ > 0 και λ άρρητος τότε να αποδείξετε ότι : x + y λ = 0 x = 0 και y = 0 (ϐ ) Να δειχθεί ότι αν α, β, γ, κ ϱητοί αριθµοί, λ > 0 και λ άρρητος και η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ϱίζα τον αριθµό κ + λ, τότε η εξίσωση αυτή έχει για ϱίζα και τον συζυγή του, κ λ. 50. είξτε ότι η πραγµατική ϱίζα ρ της εξίσωσης x 3 5 = 0, δεν είναι δυνατόν να είναι ϱίζα µιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού µε συντελεστές ϱητούς αριθ- µούς. Μπορείτε µε την ϐοήθεια ενός συστήµατος συµβολικού υπολογισµού, το Maple ή το Mathematica, να ϐρείτε µια εξίσωση δευτέρου ϐαθµού µε συντελεστές στο ΙR έτσι ώστε να έχει ϱίζα το ρ και της οποίας οι συντελεστές να είναι όλοι διάφοροι του 0. 5. Αν αγ 0 και α γ = α + γ, η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 5. Εστω α, β ΙR µε την ιδιότητα : d(β, α) + α = 0. (α ) Να αποδείξετε ότι α < 0. (ϐ ) Να υπολογίσετε το β. (γ ) Για την τιµή του β που ϐρήκατε στο δεύτερο ερώτηµα, δείξτε ότι η εξίσωση x (α + β)x + α(β + ) = 0 έχει δύο ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 53. Αν οι αριθµοί (x )(x ) και (x )(x + 3) είναι διαδοχικοί ακέραιοι 5 τότε :
.. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = 0 3 (α ) να υπολογίσετε το x, (ϐ ) να ϐρείτε αυτούς τους ακεραίους. 54. Θεωρούµε τις δύο εξισώσεις : x + αx + β = 0 () και x + γx + δ = 0 () όπου α, β, γ και δ πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει : αγ = (β + δ). Αν και οι διακρίνουσες των () και () αντίστοιχα, τότε : (α ) να ϐρείτε το πρόσηµο του αθροίσµατος +, (ϐ ) να αποδείξετε ότι τουλάχιστον µια απο αυτές έχει ϱίζες πραγµατικές. 55. ίνονται οι δύο εξισώσεις : x (λ )x 3 = 0 () και x (λ )x + 3λ = 0 () µε λ. Αν οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ϱίζα, να ϐρείτε : (α ) την κοινή ϱίζα, (ϐ ) την τιµή του λ... Αθροισµα και γινόµενο ϱιζών 56. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ ή Λ. (α ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, µε ϱίζες ϱ και ϱ είναι ισοδύναµη µε την (x ϱ )(x ϱ ) = 0. (ϐ ) Οταν η µία ϱίζα µιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού είναι το και το άθροισµα των ϱιζών P = 4 τότε = 0. (γ ) Υπάρχουν δύο πραγµατικοί αριθµοί µε γινόµενο και άθροισµα. (δ ) Αν οι ϱίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0, είναι ετερόσηµες τότε αγ > 0. (ε ) Η εξίσωση x 5x + = 0 έχει ϱίζες αντίθετες. (ϝ ) Αν η εξίσωση x λx + = 0, λ ΙR, έχει δύο ϱίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. (Ϲ ) Αν ϱ, ϱ είναι δύο ϱίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0, οι ϱ, ϱ είναι ϱίζες της εξίσωσης : αx + β x + γ = 0. 57. Να ϐρεθεί η συνθήκη µεταξύ των α, β, γ, α 0, έτσι ώστε οι ϱίζες της εξίσωσης : αx + βx + γ = 0 να είναι : (α ) αντίθετοι αριθµοί (ϐ ) αντίστροφοι αριθµοί.
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 58. Να ϐρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί p για τους οποίους η διαφορά των δύο ϱιζών της εξίσωσης x px + p 9 = 0, είναι ίση µε 6. 59. Να ϐρεθούν όλοι οι πραγµατικοί αριθµοί p και q για τους οποίους η εξίσωση x + px + q = 0 έχει ϱιζες τους p και q. 60. ίνεται η εξίσωση x (λ 3 + 8)x = 0 (). (α ) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ϱίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ ΙR. (ϐ ) Να ϐρείτε το λ ώστε οι ϱίζες της () να είναι αντίθετες. 6. ίνεται η εξίσωση : x 3x + λ = 0, (). (α ) Να ϐρείτε τις τιµές του λ ώστε η εξίσωση () να έχει ϱίζες πραγµατικές. (ϐ ) Αν x, x οι ϱίζες της () και ισχύει x = x να ϐρείτε τις ϱίζες x και x, καθώς και το λ. 6. (α ) Αν δύο ϑετικοί αριθµοί x και y έχουν σταθερό άθροισµα, x + y = α, δείξτε ότι το γινόµενό τους γίνεται µέγιστο όταν x = y. (ϐ ) Αν δύο ϑετικοί αριθµοί x και y έχουν σταθερό γινόµενο, x y = α, δείξτε ότι το άθροισµά τους γίνεται ελάχιστο όταν x = y. 63. Αν x και x είναι ϱίζες της εξίσωσης x βx + γ = 0, να αποδειχθεί ότι : x 3 + x 3 = β 3 3βγ. 64. Αν x και x είναι ϱίζες της εξίσωσης αx +βx+γ = 0, α 0, να αποδειχθεί ότι : x x = α 65. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ϱίζες οµόσηµες όταν είναι : A : P > 0 και S < 0 B : P > 0 και S > 0 Γ : > 0 και S > 0 : 0 και P > 0 E : > 0 και P > 0 Να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση και να τη διακαιολογήσετε. 66. Να λυθεί η εξίσωση x x + S = 0, όπου η διακρίνουσά της και S το άθροισµα των ϱιζών. 67. ίνεται η εξίσωση x (µ + 3)x + µ + 6µ 5 µε ϱίζες ρ και ρ. Αποδείξτε ότι η διαφορά ρ ρ δεν εξαρτάται απο το µ. 68. Αν ρ και ρ είναι ϱίζες της x + (α + γ)x + αγ β = 0 να ϐρεθούν οι ϱίζες της εξίσωσης y (ρ + ρ )y + ρ ρ + β χωρίς να χρησιµοποιηθεί ο τύπος που λύνει τη δευτεροβάθµια εξίσωση. 69. ίδεται η εξίσωση x 7x + 80 = 0. Χωρίς να υπολογισθούν οι ϱίζες της, ϐρείτε µια δευτεροβάθµια εξίσωση της οποίας οι ϱίζες είναι οι αντίστροφοι των ϱιζών της δοθείσας εξίσωσης.
.. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = 0 5 70. Αν x, x είναι ϱίζες της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 να σχηµατίσετε µια άλλη εξίσωση που να δέχεται ως ϱίζες τους αριθµούς κx, κx όπου κ ακέραιος αριθµός. 7. ( ) ίδεται η εξίσωση x + βx + γ = 0. Αν x, x είναι οι ϱίζες της, να κατασκευασθεί µια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ϱίζες τις x + 3 x και x + 3 x. 7. ( ) ίδεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0 και α, γ 0, µε ϱίζες ρ και ρ έτσι ώστε ρ ρ. Αν µ ο µεγαλύτερος απο τους : ρ ρ, ρ ρ να αποδειχθεί : (α ) ότι : β αγ < µ < β αγ, (ϐ ) < β αγ (γ ) Εξετάστε τις προυποθέσεις έτσι ώστε ο β να είναι µηδέν. 73. ( ) Αν µεταξύ των ϱιζών x, x και των ακεραίων συντελεστών α, β, γ της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 ισχύουν οι σχέσεις αγ < 0 και α x +x + > α x x, να αποδειχθεί ότι οι ϱίζες είναι άρρητοι αριθµοί... Αναγωγή σε δευτέρου ϐαθµού εξίσωση 74. Να λυθούν οι εξισώσεις : ( (α ) x + ) ( 3 x + ) 4 = 0 x x (ϐ ) (x ) x = 0. (γ ) (x 3) + x 6x + 9 = 7, (δ ) 5 5 n 7 0 n + 4 n = 0 µε n NΝ, x (ε ) x + x x 5 = 0, (ϝ ) αν x x = y, δείξτε ότι x + x = y +. Με την παρατήρηση αυτή λύστε την εξίσωση : x + x + x x = 5. 75. Να ϐρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου η υποτεινουσα είναι 0 εκατ. και το εµβαδόν του δεν αλλάζει αν η µια κάθετη πλευρά αυξηθεί κατά 3 εκατ. ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 8 εκατ. 76. Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής του κύκλου x + y = 3 και της υπερβολής y = 6 x.
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ { x 4 + y 4 = α 77. Αν ξέρουµε ότι το σύστηµα έχει τέσσερες ακέραιες λύσεις xy = β απο τις οποίες η µια είναι η (, ), να ϐρείτε τις άλλες λύσεις χωρίς να λύσετε το σύστηµα. 78. Εστω η διτετράγωνος εξίσωση : () : αx 4 + βx + γ = 0. Να αποδειχθεί ότι : (α ) η () έχει τέσσερες πραγµατικές και άνισες ϱίζες, όταν β 4αγ > 0, β α > 0 και γ α > 0, (ϐ ) η () έχει µόνο δύο πραγµατικές ϱίζες, αν γ α < 0, (γ ) η () δεν έχει πραγµατικές ϱίζες αν β 4αγ > 0, β α < 0 και γ α > 0 ή β 4αγ < 0. 79. Να διερευνηθεί το είδος των ϱιζών της (µ )x 4 4x + µ + = 0 για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού µ. Υπόδειξη : είξτε ότι για µ (, 3) και µ ( 3, ) η εξίσωση δεν έχει ϱίζες, για µ (, ) µόνο δύο πραγµατικές, για µ (, ) έχει 4 πραγµατικές και για µ (, ) καµµία πραγµατική ϱίζα. 80. ( ) Να λυθεί η εξίσωση : (x x + ) 4 6x (x x + ) + 5x 4 = 0. 8. ( ) Να λυθεί η εξίσωση : α x 3 + β x + β x + α = 0. 8. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 998/9, Α Λυκείου): Να ϐρεθούν οι πραγµατικές λύσεις της εξίσωσης : x + x = 4 x + x + 83. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 007/8, Α Λυκείου): Να ϐρεθούν οι ακέραιες ϑετικές ϱίζες της εξίσωσης : x 6 + x 3 y + 3x 3 + 3y + y 4 40 = 0 84. ( ) Για ποιές τιµές του µ η εξίσωση x + 3 τέσσερες διαφορετικές πραγµατικές ϱίζες. = x + µ(x + )(3 x) έχει 85. ( ) ( ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 00/, Α Λυκείου): Να λυθεί η εξίσωση : 3( + α + α 4 )x = ( + α + α ) x + α 5 + α 4 + α 3 α α ως προς x ϑεωρώντας το α ως παράµετρο.
.. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = 0 7..3 ιαθεµατικά Θέµατα 86. Εστω εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0. Είναι γνωστό ότι η αλγεβρική διακρίνουσα δίνει την ποιότητα των ϱιζών της δευτεροβάθµιας εξίσωσης. Υπάρχει γεωµετρική διακρίνουσα της δευτεροβάθµιας εξίσωσης ; Ενα γεω- µετρικό µέγεθος δηλαδή που ϑα καθορίζει αν το γράφηµα της συνάρτησης f(x) = αx + βx + γ έχει ή όχι κοινά σηµεία µε τον άξονα x x. 87. Θέλουµε να συνεχίσουµε να συµπληρώσουµε τον παρακάτω πίνακα µε ϕυσικούς αριθµούς ακολουθώντας τους δύο παρακάτω κανόνες : ος Κανόνας Κάθε γραµµή περιέχει διαδοχικούς ϕυσικούς αριθµούς. ος Κανόνας Σε κάθε γραµµή το άθροισµα των τετραγώνων των αριθµών που ϐρίσκονται στην αριστερή περιοχή είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των αριθµών στην δεξιά περιοχή µε τα έντονα τετράγωνα, δες σχήµα.. Ετσι για παράδειγµα στην πρώτη γραµµή 3 +4 = 5. Τότε : Σχήµα.: Άσκηση 86 (α ) είξτε ότι δεν υπάρχει άλλος τρόπος να συµπληρώσουµε την πρώτη γραµµή. (ϐ ) Συµπληρώστε τις επόµενες γραµµές του πίνακα. (γ ) είξτε ότι αν συνεχίσουµε να συµπληρώνουµε τον πίνακα προσθέτοντας κάθε ϕορά και µία νέα γραµµή στο κάτω µέρος, ϑα υπάρξει γραµµή που ϑα περιέχει τον αριθµό 004. Προσδιορίστε την ακριβή ϑέση του 004 στον πίνακα.