Κινητική Θεωρία πλάσµατος Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής ΑΠΘ *Οµιλία στο ο ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΝΤΗΞΗΣ, Βόλος- /5/003 1
Θέµατα Τυχαίες διαδικασίες και η κατανοµή Gauss Η συνάρτηση κατανοµής ταχυτήτων Η εξίσωση Boltzmann και η εξίσωση Vlassov Η εξίσωση Fokker-Planck ιάχυση από τυχαίες συγκρούσεις Τι άλλο µπορούµε να µάθουµε από τις εξισώσεις της κινητικής θεωρίας? Συµπεράσµατα
Ο τυχαίος βηµατισµός Πρόβληµα: Ας υποθέσουµε ότι ένας µεθυσµένος κινείται σε ένα ευθύ δρόµο. Αρχικά βρίσκεται στο φανάρι του σχήµατος και κάνει τυχαία βήµατα µε πιθανότητα p προς τα δεξιά και q=1-p προς τα αριστερά µε σταθερό βήµα µήκους l. Ερώτηση: Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσει σπίτι του (απόσταση L δεξιά από το φανάρι) µετά από Ν συνολικά βήµατα? 3
Ο τυχαίος βηµατισµός Για να φτάσει στο σηµείο x=ml, αν συνολικά κάνει Ν βήµατα από τα οποία τα n 1 είναι προς τα αριστερά και n τα δεξιά τότε Ν=n 1 +n, το m=n 1 -n και η πιθανότητα να κάνει n 1 βήµατα είναι n 1 =(N+m)/, p=1/ N! W( n1 ) = p (1 p) n!( N n )! 1 1 n ( N n ) 1 1 Pm ( ) N! 1 = [( N+ m) / ]![( N m) / ]! N 4
Ο τυχαίος βηµατισµός Αριθµητική εφαρµογή (N=0,p=q=1/) 5
Μέση τιµή Αν µία παράµετρος παίρνει τις διακεκριµένες τιµές uu 1,,..., um Με πιθανότητα αντίστοιχα Pu ( 1), Pu ( ),..., Pu ( M ) Η µέση τιµή θα είναι < u >= M i= 1 M i= 1 Pu ( ) u i Pu ( ) i i 6
Μέση τιµή Η µέση τιµή συνάρτησης f(u) < f( u) >= M i= 1 Pu ( ) f( u) M i= 1 i Pu ( ) i i M i= 1 Pu ( ) = 1 7
Μέση τιµή Απόκλιση από τη µέση τιµή u= u < u> < u>=< u> < u>= M ( u) P( ui)( ui u ) 0 i= 1 < >= < > Εφαρµογή στη πιθανότητα των τυχαίων βηµατισµών P(m) 0 < m >= 0 < >= ( m) N 8
Η κατανοµή πιθανότητας για µεγάλους αριθµούς Νfi² 1/ ( m < m> ) Pm ( ) = ( π < ( m) > ) exp < ( m) > = < > m / m 1/ ( π ( m) ) exp < ( ) > Βλέπε Reif Fundamentals of Statistical and thermal Physics, Mc Graw Hill, 1965 9
Η συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων Gauss Η µετάβαση από τις διακριτές τιµές των τυχαίων βηµατισµών του µεθυσµένου στις συνεχείς τιµές όταν το Ν είναι πολύ µεγάλο dx Pxdx ( ) = Pm ( ) l 10
Η συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων Gauss Η πιθανότητα ο µεθυσµένος να βρίσκεται σε απόσταση x, x+dx από το σηµείο που ξεκίνησε µετά από Ν βήµατα µήκους l 1 Px ( ) = πσ µ = ( p q) N σ = Npql e ( x µ ) σ 11
Ένα άλµα µπροστά και η θεµελίωση της στατιστικής φυσικής από τον Boltzmann Ο παράγοντας Boltzmann Αν ένα φυσικό σύστηµα αποτελείται από διακριτές ή συνεχείς στάθµες E n, και βρίσκεται σε θερµοδυναµική ισορροπία µε το περιβάλλον του η πιθανότητα ένα συγκεκριµένο άτοµο να βρίσκεται στη στάθµη n είναι e β E PE ( ) n Εφαρµογή στο ιδανικό αέριο Ε=mv / (Maxwell) n Pv () e βmv 1
Ένα άλµα µπροστά και η θεµελίωση της στατιστικής φυσικής από τον Boltzmann Ο προσδιορισµός των αυθαίρετων σταθερών Pvdv () = 1 Pvvdv () =< v > < > / = / m v kbt 1/ mv m kt B P() v dv = e dv πk T B Η πιθανότητα το µόριο να έχει ταχύτητα v, v+dv (1-D) 13
Η συνάρτηση κατανοµής ταχυτήτων f(v x )=ο µέσος αριθµός των µορίων ανα µονάδα όκγου µε ταχύτητα v x, v x +dv x 1/ mv m kbt M( x) x = 0 x, 0 = / x πkbt f v dv n e dv n N L 3-D f () v dv= f( v ) f( v ) f( v ) M x y z = 0 πkt B 3 dv= 4πvdv 3/ mv kt 3 B n e d v 3/ mv m kt B f () v 4πn e v dv M m = 0 πkt B 14
Η µεγάλη σηµασία της συνάρτησης κατανοµής ταχυτήτων στη περιγραφή του ιδανικού αερίου Μακροσκοπικές ποσότητες, όπως fvdv < v >= = fdv 8kT B mπ 1 3 m< v >= kbt < v >= df dv = 0 v = m kt m 3kT B m 15
Η συνάρτηση κατανοµής ταχυτήτων Γενίκευση Ροπές της f και µακροσκοπικές ποσότητες Πίεση, ενέργεια. f( r, v, t) d 3 rd 3 v 3 3 nrt (, ) = f( rvtdrdv,, ) 3 urt (,) = vf(, rvtdrdv,) 16
Η εξίσωση Boltzmann Θεωρούµε ένα στοιχειώδη όγκο στο χώρο των φάσεων 3 3 drdv Ο ρυθµός µεταβολής των ατόµων στον πραγµατικό χώρο f r ds = f v ds Όµοια στο χώρο των ταχυτήτων f v ds = f a ds 17
Η εξίσωση Boltzmann Άρα αν αγνοήσουµε τις συγκρούσεις t fds = fv ds fa ds Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Gauss t fd rd v = ( fv) d rd v ( fa) d rd v 3 3 3 3 3 v 18
Η εξίσωση Boltzmann f + ( fv) + v( fa) = 0 t v = a= 0, = eˆ + eˆ + eˆ v v v f + v f + a v f = 0 t df ( r ( t), v( t), t) = 0 dt v x y z x y z 19
Οι εξισώσεις Vlassov Η εξέλιξη των κατανοµών ταχυτήτων των ηλεκτρονίων και ιόντων f e, f i a = v B( r, t) q E( r, t) + c m v B( r, t) q E( r, t) + f c i + v f i + v f = 0 t m 0
Οι εξισώσεις Vlassov-Maxwell E= 4 πe( ni ne) B = 0 1 B E = c t 4π 1 E B= j+ c c t v B( r, t) q E( r, t) + f c i + v f i + v f = 0 t m n i = 3 f d v i j= e vfdv vfdv ( 3 3 ) i e 1
O ρόλος των συγκρούσεων Ένα απλό µοντέλο (Krook collision approximation) df f q v B f = + v f + E+ f = dt t m c t f f f M = t τ c c t f = fm + ( f(0) fm)exp τ v c c
Fokker-Planck f r v t = f r v v t t ψ v v v d v 3 (,, ) (,, ) (, ) ( ) 1 f rvt= dv v f rvt tψ v v v ψf + v v f ψ 3 (,, ) ( ) (,, ) (, ) ( ) ( ) v ( ) ψd 3 ( v) = 1 3 ψ vd ( v) =< v > 3 ψ v vd ( v) =< v v> 1 f(,,) r v t = f(,, r v t t) ( f < v>+ ) ( f < v v> ) f 1 = ( f < v>+ ) ( f < v v> ) t i c 3
ιάχυση από τυχαίες συγκρούσεις ιάχυση σε µία διάσταση Ν=t/τ z = ζ + ζ +... + ζ 1 i i j 1 N v N v 3 = ( < z > τ) = < > τ n < z >= < ζ >+ < ζ >< ζ > 1 < >= < > τ = 3 z v t Dt 4
ιάχυση από τυχαίες συγκρούσεις σε µαγνητικό πεδίο t < z >= N < ζ >= rl = D t τ rl D τ 5
Τι άλλο µπορούµε να µάθουµε από τις εξισώσεις της κινητικής θεωρίας? 1. Να υπολογίσουµε τις εξισώσεις των δύο ρευστών (ηλεκτρόνια-πρωτόνια) και Μαγνητοϋδροδυναµικής (MHD). Θεωρία διαταραχών και ηµιγραµµικά και µη-γραµµικά (quasi-linear or non-linear) φαινόµενα 3. Αριθµητική λύση των εξισώσεων Vlassov-Maxwell 6
Tί ί να συγκρατήσουµε από όλα αυτά? Την περιγραφή των τυχαίων βηµατισµών και τη συνάρτηση Gauss. Τη σηµασία της συνάρτησης κατανοµής ταχυτήτων Ποια είναι η συνάρτηση κατανοµής Maxwell και ποια είναι η φυσική της σηµασία? Την Εξίσωση Boltzmann και Vlassov-Maxwell. Πως θα µελετήσουµε τις συγκρούσεις Η κανονική διάχυση για τυχαίους βηµατισµούς 7
Τι θα ήταν χρήσιµο να διαβάσω? 1. Να υπολογίσουµε τις εξισώσεις των δύο ρευστών (ηλεκτρόνια-πρωτόνια) και Μαγνητοϋδροδυναµικής. Θεωρία διαταραχών και ηµιγραµµικά και µη-γραµµικά (quasi-linear or non-linear) φαινόµενα 3. Αριθµητική λύση των εξισώσεων Vlassov-Maxwell 8
Τι θα ήταν χρήσιµο να διαβάσω? (Για προχωρηµένους) Τι γίνεται µε όλα αυτά µακριά από την θερµοδυναµική ισορροπία? Απάντηση:??????? 9