Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών: Γεωπληροφορική. Κατεύθυνση: Σύγχρονες Γεωδαιτικές Εφαρμογές

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών: Γεωπληροφορική Κατεύθυνση: Σύγχρονες Γεωδαιτικές Εφαρμογές w 1. 7 gr / cm επιφάνεια Moho Αξιολόγηση γεωδαιτικών μεθόδων πρόβλεψης γεωμετρικών επιφανειών ασυνέχειας στο εσωτερικό της γης Γ. Κουτονίδης επιβλέπων καθηγητής Δ. Τσούλης Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 7

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 1 1.1 Σκοπός της εργασίας... 1 1. Δεδομένα βαρύτητας. 1.3 Το πρόγραμμα grcol.3. Μαθηματικό μοντέλο και περιγραφή της αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας 6.1 Επιλογή των a-priori τιμών.. 6. Η βαρυτημετρική απόκριση. 7.3 Βέλτιστη προσέγγιση... 9.4 Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας. 11.5 Πολλαπλά συσχετισμένα στρώματα..1.5.1 Παράδειγμα με δυο στρώματα συσχετισμένα..14.5. Παράδειγμα με ένα στρώμα. 16 3. Εφαρμογή βέλτιστης προσέγγισης δυο στρωμάτων 1 3.1 Περιγραφή της περιοχής..1 3. Τα διαθέσιμα δεδομένα.... 3.3 Ανωμαλίες βαρύτητας ελεύθερου αέρα... 3.4 Ψηφιακό μοντέλο τοπογραφίας (βυθού).. 3.5 Η αντιστροφή των δεδομένων βαρύτητας και ο προσδιορισμός της επιφάνειας ασυνέχειας Moho.. 3.6 Ενότητες Δοκιμών...3 3.6.1 Επιλογή a-priori τιμών για την 1η ενότητα..3 3.6.1.1 Δοκιμές γραφήματα για την 1η ενότητα... 4 3.6.1. Συγκεντρωτικός πίνακας δοκιμών 1ης ενότητας..7 3.6. Επιλογή a-priori τιμών για τη η ενότητα...8 3.6.3 Επιλογή a-priori τιμών για την 3η ενότητα. 37 3.6.3.1 Το μοντέλο CRUST..38 3.6.3. Επιλογή a-priori τιμών...4 4. Συμπεράσματα 48

5. Παράρτημα 49 5.1 Παράρτημα Α.49 5. Παράρτημα Β.55 6. Βιβλιογραφία 74

Ευχαριστίες Η περάτωση της μεταπτυχιακής μου εργασίας με τίτλο Αξιολόγηση γεωδαιτικών μεθόδων πρόβλεψης γεωμετρικών επιφανειών ασυνέχειας στο εσωτερικό της γης έγινε με την ψυχολογική και οικονομική στήριξη της οικογένειάς μου στην οποία οφείλω την μέχρι στιγμής πορεία μου. Υποχρέωσή μου είναι να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Δημήτριο Τσούλη για την υπόδειξη του θέματος και την αδιάκοπη παρακολούθηση της πορείας της εργασίας μέσω πολύωρων συζητήσεων και προβληματισμών. Τέλος, αισθάνομαι την ανάγκη για ένα μεγάλο ευχαριστώ στο Καθηγητή κ. Δημήτριο Αραμπέλο, που είχα την τιμή να είναι δάσκαλός μου, για την στήριξη που μου παρείχε και τις ατελείωτες ώρες που μου αφιέρωσε καθόλη την διάρκεια των σπουδών μου.

1. Εισαγωγή 1.1 Σκοπός της εργασίας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνηθεί η μέθοδος αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας και να ελεγχθούν οι διάφορες αριθμητικές παράμετροι που εμπλέκονται στη διαδικασία. Η μέθοδος πρόβλεψης θα εστιαστεί σε επιφάνειες ασυνέχειας γεωδαιτικού ενδιαφέροντος. Παράλληλα, θα ελεγχθούν και δεδομένα από διαφορετικές πηγές, όπως το μοντέλο CRUST.. Επίσης, θα γίνει αντιπαράθεση και έλεγχος της αποτελεσματικότητας του συνδυασμού του μοντέλου CRUST. και της αντιστροφής του πεδίου, έτσι ώστε να προκύψουν συμπεράσματα σχετικά με την ποιότητα των αποτελεσμάτων. Τέλος, θα μελετηθούν οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας και θα παρατηρηθεί το πώς επηρεάζονται από τις αλλαγές συγκεκριμένων παραμέτρων και πώς επηρεάζουν τα αποτελέσματα της αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας. Η αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας θα γίνει στο χώρο των αποστάσεων και με τη βοήθεια της σημειακής προσαρμογής. Συγκεκριμένα, θα προβλεφθούν ο ωκεάνιος πυθμένας και η επιφάνεια Moho μιας συγκεκριμένης περιοχής στον Ινδικό ωκεανό. Κατά τη διαδικασία της πρόβλεψης με τη συγκεκριμένη μέθοδο είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν a-priori τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των επιφανειών που επρόκειτο να προβλεφθούν. Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν είτε εμπειρικά είτε από κάποιο μοντέλο. Αρχικά, θα χρησιμοποιηθούν εμπειρικές τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά και σε επόμενη ενότητα οι αρχικές τιμές θα υπολογιστούν από το μοντέλο CRUST.. Λόγω του ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει περισσότερους γνωστούς από αγνώστους, εισάγουμε δεδομένα από διάφορες πηγές, με στόχο να μπορέσουμε να φτάσουμε σε κάποια λύση. Τα δεδομένα αυτά περιγράφουν τα στατιστικά χαρακτηριστικά των επιφανειών που προσπαθούμε να προβλέψουμε και συγκεκριμένα είναι: το μέσο βάθος του στρώματος, η τυπική απόκλισή του, το μήκος συσχέτισης, η διαφορά πυκνότητας μεταξύ των δυο στρωμάτων και η συσχέτιση μεταξύ τους. Η επιλογή των αρχικών τιμών για αυτά τα στατιστικά χαρακτηριστικά γίνεται είτε εμπειρικά είτε από διάφορες άλλες πηγές. Εν συνεχεία, μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας, οι αρχικές αυτές τιμές αναπροσαρμόζονται, ώστε τελικά να φτάσουμε σε ì ία όσο το δυνατόν πιο αληθοφανή, σε σχέση με τα αρχικά μας δεδομένα, λύση. Αντικειμενικός σκοπός της αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας είναι να προσδιοριστούν οι διάφορες επιφάνειες ασυνέχειας στο εσωτερικό της γης. Οι επιφάνειες αυτές διαχωρίζουν ουσιαστικά στρώματα με διαφορετικές πυκνότητες. Τέτοιες επιφάνειες είναι, για παράδειγμα, ο πυθμένας μιας ωκεάνιας περιοχής, η επιφάνεια διαχωρισμού φλοιού και μανδύα (Moho) και κάποιες άλλες ενδιάμεσες επιφάνειες, και αποτελούν σημαντική πληροφορία για τον επιστημονικό χώρο και αντικείμενο πολυετών ερευνών. Λόγω του ότι οι ανωμαλίες του πεδίου βαρύτητας προκαλούνται από διακυμάνσεις της κατανομής της πυκνότητας στο εσωτερικό της γης, η μελέτη τους μας δίνει τη δυνατότητα να ερευνήσουμε το εσωτερικό της γης. Συνεπώς οι ανωμαλίες του πεδίου 1

βαρύτητας αποτελούν τα αρχικά μας δεδομένα. Οπότε, οι ανωμαλίες της βαρύτητας μέσω της διαδικασίας της αντιστροφής μάς δίνουν πληροφορίες για τη γεωμετρία της επιφάνειας συνέχειας που θέλουμε να προσδιορίσουμε. Επίσης, θα γίνει ένας έλεγχος συνδυασμού της μεθόδου αντιστροφής βαρυτικών δεδομένων και του μοντέλου CRUST.. Δηλαδή, τα δεδομένα για τις a-priori τιμές των στατιστικών χαρακτηριστικών των επιφανειών θα υπολογιστούν από το μοντέλο CRUST. και θα εισαχθούν ως αρχικές τιμές στη μέθοδο αντιστροφής. Έτσι, θα μπορέσουμε να αξιολογήσουμε παράλληλα το μοντέλο CRUST. για την περιοχή μελέτης και τη μέθοδο αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας. Είναι γεγονός ότι πλέον υπάρχουν πληροφορίες για επιφάνειες στο εσωτερικό της γης, όπως το CRUST., παγκόσμια DTMs κ.ά. Όμως έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον και η μελέτη της αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας ως μια αυτόνομη μέθοδος με την οποία μπορούμε να ελέγξουμε τις παραπάνω πληροφορίες. Επίσης, ταυτόχρονα έχουμε τη δυνατότητα να εξετάσουμε εάν αυτή η μέθοδός μας λειτουργεί σωστά, αντιπαραβάλλοντας τα αποτελέσματά της με αυτά που ήδη έχουμε από άλλες πηγές. Το πρόβλημα της αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας έχει άπειρες λύσεις, επειδή οι άγνωστες παράμετροι είναι περισσότερες από τις γνωστές. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι πολλοί διαφορετικοί συνδυασμοί μαζών στο υπέδαφος μπορούν να μας δώσουν τη ίδια βαρυτική απόκριση στην επιφάνεια της γης. Έτσι, ουσιαστικά καθίσταται απαραίτητη η χρήση εξωγενών πληροφοριών, όπως: CRUST., DTMs, γεωλογικά δεδομένα, εμπειρικά κ.ά. Αυτές οι εξωγενείς πληροφορίες μάς δίνουν κάποια στοιχεία, ώστε να περιορίσουμε τις τελικές λύσεις στις ελάχιστες. 1. Δεδομένα βαρύτητας Ένα μεγάλο μέρος των πειραμάτων - δοκιμών που θα λάβουν μέρος στην παρούσα εργασία, αναφέρονται σε ωκεάνια περιοχή. Αυτό συμβαίνει, διότι σε ωκεάνιες περιοχές έχουμε πληθώρα και μεγάλης πυκνότητας δεδομένα βαρύτητας από την αντιστροφή των αλτιμετρικών δεδομένων. Στις ηπειρωτικές περιοχές υπάρχει η αντικειμενική δυσκολία των κλασικών μετρήσεων βαρύτητας, οι οποίες, όπως είναι λογικό, δεν καλύπτουν όλη την ηπειρωτική επιφάνεια της γης και είναι ανομοιογενούς ακρίβειας. Η διαδικασία αντιστροφής αλτιμετρικών δεδομένων είναι μια γνωστή διαδικασία, κατά την οποία από τα αλτιμετρικά δεδομένα υπολογίζονται ανωμαλίες βαρύτητας στην επιφάνεια της γης. Με αντιστροφή του τύπου του Stokes προκύπτει η τιμή των ανωμαλιών της βαρύτητας για κάθε σημείο Ρ ως εξής: N R 16R g P P 3 s N N p dσ, sin / όπου η μέση τιμή της βαρύτητας. Από αυτές τις ανωμαλίες βαρύτητας με τη μέθοδο αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας μπορούμε να προσδιορίσουμε τις επιφάνειες ασυνέχειας στο εσωτερικό της γης. Για

τη διαδικασία αντιστροφής χρησιμοποιείται το πρόγραμμα GRCOL, στο οποίο χρειάζεται να δοθούν στην αρχή, εκτός από τις ανωμαλίες της βαρύτητας, και κάποιες προσεγγιστικές τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των επιφανειών ασυνέχειας που πρόκειται να προσδιοριστούν. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η γεωμετρία αυτών των επιφανειών ασυνέχειας. Για την επιλογή των στατιστικών χαρακτηριστικών έχουμε στη διάθεσή μας δεδομένα από DTMs, CRUST. κ.ά. Οπότε, μας δίνεται η δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε κάποιες πιο αξιόπιστες αρχικές προσεγγιστικές τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά της επιφάνειας που θέλουμε να προσδιορίσουμε. 1.3 Το πρόγραμμα grcol Το πρόγραμμα grcol λειτουργεί σε περιβάλλον Fortran. Δίνει τη δυνατότητα να αναπαρασταθούν γεωμετρικά επιφάνειες ασυνέχειας στο εσωτερικό της γης, χρησιμοποιώντας ως δεδομένα εισόδου ανωμαλίες του πεδίου βαρύτητας και κάποιες a-priori τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των επιφανειών που προσδιορίζονται. Ανωμαλίες βαρύτητας Στατιστικά χαρακτηριστικά επιφάνειας grcol Γεωμετρία επιφάνειας Σχήμα 1.1. Σχηματική αναπαράσταση λειτουργίας του προγράμματος grcol. Αρχικά, το πρόγραμμα δίνει κάποιες πληροφορίες για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των δεδομένων βαρύτητας που εισάγονται. Αφού ορίσουμε την ισοδιάσταση του πλέγματος των δεδομένων, υπολογίζεται η εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας των δεδομένων, στοιχείο που είναι πολύ χρήσιμο στην πορεία της διαδικασίας. Στη συνέχεια ο χρήστης πρέπει να ορίσει κάποιες a-priori τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά της επιφάνειας ή των επιφανειών που προσπαθεί να προσδιορίσει. Οι τιμές είναι το μέσο βάθος σε km, η τυπική απόκλιση σε km, το μήκος συσχέτισης σε 3 km, η διαφορική πυκνότητα σε gr / cm και η συσχέτιση μεταξύ των στρωμάτων και επιλέγονται είτε εμπειρικά ή βάσει κάποιων βάσεων δεδομένων, όπως το CRUST.. Στη συνέχεια, υπολογίζεται η αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας, η οποία αναπαρίσταται σε παράθεση με την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας που υπολογίστηκε σε προηγούμενο βήμα. 3

Σχήμα 1.. Μορφή παρουσίασης των προαναφερθέντων συναρτήσεων από το πρόγραμμα grcol στην περίπτωση των δυο στρωμάτων. Η πρώτη γραφική παράσταση αναπαριστά τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας του 1ου και ου στρώματος και η δεύτερη γραφική παράσταση αναπαριστά την αναλυτική (*) και την εμπειρική (e) συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Βάσει των παραπάνω συναρτήσεων, μπορούν να προσδιοριστούν γεωμετρικά οι ζητούμενες επιφάνειες. Αυτό γίνεται με τη μέθοδο αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας. Το πρόγραμμα ì άς δίνει τη δυνατότητα να ορίσουμε τα όρια της περιοχής που θέλουμε να προσδιορίσουμε και την ισοδιάσταση του πλέγματος. Τα αρχεία εξόδου που δημιουργούνται από το πρόγραμμα, περιγράφονται σε πλέγμα, όπως αυτό που ακολουθεί. 4

Σχήμα 1.3. Αρχείο δεδομένων βάθους σε πλέγμα συναρτήσει των συντεταγμένων. Η πρώτη στήλη αναφέρει το γεωγραφικό πλάτος, η πρώτη γραμμή αναφέρει το γεωγραφικό μήκος. Τα υπόλοιπα στοιχεία είναι το βάθος των σημείων σε Km. Επίσης, ένα άλλο αρχείο περιγράφει τη βαρυτική απόκριση που δημιουργούν τα στρώματα που έχουν υπολογισθεί. Αυτή η βαρυτική απόκριση συγκρίνεται με τα αρχικά δεδομένα βαρύτητας και προκύπτουν οι διαφορές τους. Η στατιστική των διαφορών είναι μια πολύ αξιόπιστη πληροφορία για το αν η λύση που δίνεται, απέχει από την εικόνα που παρουσιάζεται από τα αρχικά δεδομένα βαρύτητας. Υπάρχει η δυνατότητα να γίνουν επαναληπτικές προσεγγίσεις, για να λυθεί το πρόβλημα της μη γραμμικότητας των σχέσεων. Η ανωμαλία της βαρύτητας που υπολογίσθηκε, συγκρίνεται με τη μετρηθείσα και οι διαφορές χρησιμοποιούνται, για να διορθώσουν τα βάθη που υπολογίστηκαν στην πρώτη λύση. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου η απόκλιση του πεδίου ανωμαλιών της βαρύτητας, το οποίο δημιουργείται από τα στρώματα που υπολογίσθηκαν από το πεδίο που μετρήθηκε (υπόλοιπο), γίνει ικανοποιητικά μικρή. Τελικά, δημιουργείται από το πρόγραμμα μια πλειάδα δεδομένων που περιγράφουν: τη βαρυτική απόκριση του κάθε στρώματος ξεχωριστά, τη συνολική βαρυτική απόκριση, το βάθος κάθε στρώματος και τη διαφορά βαρυτικής απόκρισης. 5

. Μαθηματικό μοντέλο και περιγραφή της αντιστροφής του πεδίου βαρύτητας.1 Επιλογή των a-priori τιμών Για την αντιστροφή του πεδίου ανωμαλιών της βαρύτητας ακολουθείται μια διαδικασία διαδοχικών προσεγγίσεων, για να λυθεί το πρόβλημα της μη γραμμικότητας των σχέσεων. Σκοπός είναι να προσδιοριστεί το βάθος της διαχωριστικής επιφάνειας (επιφάνεια ασυνέχειας) μεταξύ διαδοχικών στρωμάτων με διαφορετική πυκνότητα. Η μαθηματική έκφραση της προσέγγισης αυτής δίνεται από τη συνεχή συνάρτηση h( x, y) H ( u, ) e i( uxy ) dud, (.1) Όπου h(x,y) είναι μια συνάρτηση που περιγράφει το βάθος του σημείου με συντεταγμένες (x,y) του πλέγματος της επιφάνειας ασυνέχειας και Η(u,ν) ο ì ετασχηματισμός Fourier της h(x,y), ο οποίος εκφράζεται με τη σχέση i( uxy ) ( u, ) h( x, y) e dxdy. (.) Αρχικά, έχουμε κάποιες πληροφορίες για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των δεδομένων και στη συνέχεια υπολογίζεται η εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Η συνάρτηση αυτή προκύπτει από τα αρχικά δεδομένα και χρησιμοποιείται στη συνέχεια ως στοιχείο ελέγχου και σύγκρισης των αποτελεσμάτων. Αλτιμετρία Δεδομένα (φ, λ, h, Δg) Εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας Σχήμα.1. Πορεία υπολογισμού της εμπειρικής συνάρτησης συμμεταβλητότητας 6

Στη συνέχεια ζητήθηκε από το πρόγραμμα να οριστούν πόσες επιφάνειες (στρώματα) θα υπολογιστούν. Έπειτα, ζητήθηκαν οι a-priori τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά του κάθε στρώματος που είναι: το μέσο βάθος σε km, η τυπική 3 απόκλιση σε km, το μήκος συσχέτισης σε km, η διαφορική πυκνότητα σε gr / cm και η συσχέτιση μεταξύ των δυο στρωμάτων. Οι τιμές αυτές είναι αρχικές και η επιλογή τους γίνεται εμπειρικά ή με βάση δεδομένα που έχουμε από διάφορες πηγές, όπως CRUST, D.T.M., γεωλογική πληροφορία για τη σύσταση του υπεδάφους κ.ά. D.T.M. CRUST. Γεωλογία Εμπειρικά μέσο βάθος τυπική απόκλιση μήκος συσχέτισης διαφορική πυκνότητα συσχέτιση στρωμάτων Σχήμα.. Επιλογή των a-priori τιμών για τα στατιστικά στοιχεία του κάθε στρώματος Από τις a-priori τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των στρωμάτων και από τις ανωμαλίες βαρύτητας στην επιφάνεια της γης προκύπτει η αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Στη συνέχεια αυτές οι a-priori τιμές μεταβάλλονται, έτσι ώστε η αναλυτική συνάρτηση που προκύπτει να ταυτιστεί βέλτιστα με την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας των δεδομένων. Αφού οι δυο συναρτήσεις ταυτιστούν βέλτιστα, θεωρείται επιτυχής η επιλογή των τιμών για τα στατιστικά χαρακτηριστικά του κάθε στρώματος και υπολογίζονται τα βάθη του πλέγματος κάθε στρώματος.. Η βαρυτημετρική απόκριση Το πεδίο ανωμαλιών βαρύτητας, που δημιουργούν αυτά τα στρώματα, υπολογίζεται με τη βοήθεια αναπτυγμάτων σειρών. Η ανωμαλία της βαρύτητας στην επιφάνεια, που οφείλεται στη διακύμανση του βάθους h < σχετικά με το μέσο βάθος h της επιφάνειας ασυνέχειας, η οποία σχετίζεται με ανωμαλία της πυκνότητας Δρ, δίνεται από τη σχέση g h z dxdydz. h ( x x') ( y y') ( z z') (.3) Αν εφαρμοσθεί ο μετασχηματισμός Fourier στη σχέση (.3), προκύπτει 7

F( Δg) G e i ( uxy ) h ge h i( uxy ) ρ (x x') dzdx' dydy' dxdy dxdy z (y y') (z z') e i( uxy ) (.4) και με αντικατάσταση s x x', t y y' F( Δg) G e i ( ux' y ') h h s t dzdx' dy' z z e i( uxy ) dsdt (.5) Και με εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier στο στοιχειώδη όγκο προκύπτει dv dzdx'dy' F( Δg) G h h e e qz i( ux' y ') dzdx' dy' (.6) όπου q u. Με ανάπτυξη κατά Taylor στην περιοχή του σημείου h προκύπτει F( Δg) G Ge Ge qh qh n n (q) n! (q) n! n n h h n IF n (q) e n! h h h h ( z h ( z h qh ( z h ) n n ) dz. ) dz e n e i( ux' y ') i ( ux' y ') dzdx' dy' dx' dy' (.7) Για ρ = σταθερό προκύπτει ο τύπος του Parker F( g) Ge Ge qz n qz n (q) n! (q) n! n1 n IF([ z h 1 IF [( z h n 1 ] n ). ) ] n1 h h (.8) Στην (.8) η μη γραμμική σχέση της βαρύτητας και του βάθους της επιφάνειας ασυνέχειας αναπτύσσεται σε δυνάμεις του h h ). Το γραμμικό μέρος του ( 8

αναπτύγματος προκύπτει, αν αγνοηθούν οι όροι βαθμού μεγαλύτερου του n = 1, δηλαδή g L g ( 1 qh h) GIF ( e IF( h)), (.9) όπου h h h. Επομένως, στη γραμμική περίπτωση οι ανωμαλίες βαρύτητας προκύπτουν από τις μεταβολές του βάθους με απλό πολλαπλασιασμό επί την πυκνότητα, επί τον 3 παράγοντα.419mgal /( grcm ) / m και αναγωγή προς τα άνω. Στο χώρο των συχνοτήτων η επίλυση του απαιτούμενου για την αναγωγή προς τα άνω συνελικτικού ολοκληρώματος μετατρέπεται σε απλό πολλαπλασιασμό. Οι οριζόντιες μεταβολές στην κατανομή της πυκνότητας είναι δυνατό να λαμβάνονται υπόψη, έχοντας την πυκνότητα στις εξισώσεις (.8) και (.9) σαν όρισμα στο μετασχηματισμό Fourier. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει πλήρης ισοδυναμία ανάμεσα στο γραμμικό μέρος της εξίσωσης (.8), που είναι η εξίσωση (.9), και μιας έκφρασης για την ανωμαλία, η οποία δημιουργεί μια επιφανειακή μάζα (δηλαδή μια μάζα συμπυκνωμένη σε ένα στρώμα απειροστού πάχους), που είναι 1 qh g L ( ) GIF ( e IF( )), (.1) g όπου σ = ΔρΔ h η διαταρακτική μάζα συμπυκνωμένη στο βάθος h..3 Βέλτιστη προσέγγιση Στη συνέχεια, με βάση τα παραπάνω βάθη και μέσω του τύπου του Parker, θα υπολογιστεί η ανωμαλία της βαρύτητας που δημιουργείται από τα στρώματα αυτά στην επιφάνεια. Για την αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας, θα ακολουθηθεί μια διαδικασία διαδοχικών προσεγγίσεων, για να λυθεί το πρόβλημα της μη γραμμικότητας των σχέσεων. Η ανωμαλία της βαρύτητας που υπολογίσθηκε, συγκρίνεται με τη μετρηθείσα, και οι διαφορές χρησιμοποιούνται, για να διορθώσουν τα βάθη που υπολογίστηκαν στην πρώτη λύση. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου η απόκλιση του πεδίου ανωμαλιών της βαρύτητας, το οποίο δημιουργείται από τα στρώματα που υπολογίσθηκαν από το πεδίο που μετρήθηκε (υπόλοιπο), γίνει ικανοποιητικά μικρή, δηλαδή η k μεταβολή (διόρθωση) του βάθους h του πλέγματος προσδιορίζεται από το υπόλοιπο yk της ανωμαλίας της βαρύτητας που βρέθηκε στο (k -1) βήμα. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται, είναι η σημειακή προσαρμογή h k C T 1 h ( C D) yk. (.11) 9

Η σημειακή προσαρμογή αποτελεί απομίμηση των μεθόδων πρόγνωσης τιμών τυχαίων μεταβλητών από τιμές άλλων τυχαίων μεταβλητών και ιδιαίτερα της περίπτωσης, όπου όλες οι τυχαίες μεταβλητές σχετίζονται με κάποια στοχαστική συνάρτηση. Στη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής δεν προσδιορίζεται η συνάρτηση του μεγέθους αλλά διακριτές τιμές αυτού. Το πρώτο βήμα αποτελεί μία γενικευμένη παρεμβολή, στην οποία, με βάση κάποιο κατάλληλο κριτήριο, επιλέγεται μία συνάρτηση του μεγέθους ως η βέλτιστη ανάμεσα σε όλες τις σχετικές συναρτήσεις που ικανοποιούν συγκεκριμένα διακριτά δεδομένα. Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας του τύπου (.11) συνδέονται με γραμμικοποιημένα βάθη, δηλαδή διακυμάνσεις βάθους σε σχέση με ένα μέσο βάθος h. Το πλεονέκτημα από τη γραμμικοποίηση των συναρτήσεων συμμεταβλητότητας γύρω από το (ίδιο) σημείο h είναι ότι οι πίνακες των κανονικών εξισώσεων του συστήματος (.11) είναι οι ίδιοι σε όλα τα βήματα των διαδοχικών προσεγγίσεων. Η απόκριση της βαρύτητας κάθε στρώματος υπολογίζεται, όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα, από τον τύπο του Parker, που περιορίζεται σε ένα πεπερασμένο αριθμό όρων..4 Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας συναρτήσει της απόστασης s, προκύπτουν από τη σχέση (.1) με μια συνέλιξη και μια διαδικασία υπολογισμού του μέσου όρου κατά την έννοια του αζιμουθίου. Αυτό οδηγεί σε μια έκφραση, όπου η συνάρτηση συμμεταβλητότητας προκύπτει από το μετασχηματισμό Hankel C h h ( s) ( q) J (qs) qdq (.1), Όπου J είναι η μηδενικού βαθμού συνάρτηση του Bessel και Φ(q) = Δh(u,ν)Δh(u,ν)* η ισχύς του φάσματος (Bracewell, 1978). Οι γραμμικοποιημένες συναρτήσεις συμμεταβλητότητας μεταξύ των διαφόρων μεγεθών (ανωμαλιών της βαρύτητας και βαθών) προκύπτουν με εφαρμογή της γραμμικοποιημένης συνάρτησης, η οποία εκφράζεται με το γραì μικό μέρος του τύπου του Parker δύο φορές στη (.1), οπότε προκύπτει η συνάρτηση συμμεταβλητότητας μεταξύ των τιμών της ανωμαλίας της βαρύτητας και μία φορά, οπότε προκύπτει η συνάρτηση διασυμμεταβλητότητας μεταξύ των τιμών της ανωμαλίας της βαρύτητας και του βάθους, δηλαδή 1

C gg ( s) 3 ( ) ( G) (Ge e 4qh qh ) ( q) J (qs) qdq ( q) J (qs) qdq (.13) και C h g ( ) ( ) 3 qh s ( G) e ( q) J (qs) qdq. (.14) Στην περίπτωση που τα βάθη δεν είναι μεταξύ τους συσχετισμένα (λευκός θόρυβος), οπότε η ισχύς του φάσματος των βαθών είναι σταθερή, η συνάρτηση συμμεταβλητότητας που σχετίζεται με τις ανωμαλίες της βαρύτητας, ισοδυναμεί με ένα φίλτρο για την αναγωγή του πεδίου σε ύψος διπλάσιο του βάθους, αφού h (h ) 4 e qh ( q) J (qs) qdq 3/ ( s ). (.15) Η ισχύς του φάσματος των βαθών κάθε στρώματος είναι άγνωστη. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται μια a-priori τιμή ισχύος του φάσματος, η οποία δίνεται με την τιμή της μεταβλητότητας στις διάφορες συχνότητες. Στη συνέχεια οι a-priori τιμές μεταβάλλονται, έτσι ώστε οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας που προκύπτουν να προσεγγίζουν κατά βέλτιστο τρόπο τις αντίστοιχες συναρτήσεις συμμεταβλητότητας, οι οποίες προκύπτουν από τις μετρήσεις (στην προκειμένη περίπτωση ανωμαλίες της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης). Η a-priori ισχύς του φάσματος έγινε κατά τρόπο ώστε να υπάρχουν κλειστές εκφράσεις, όπως η (.15). Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρησιμοποίηση a-priori ισχύος του φάσματος σαν αυτό που προκύπτει από την αναγωγή σε ορισμένο ύψος. Εάν οι στατιστικές ιδιότητες των τιμών βάθους είναι τέτοιες που να αντιστοιχούν σε λευκό θόρυβο, αλλά είναι εξομαλυμένες με μια αναγωγή κατά D (D >, h < ), τότε ( D C h h s) c, (.16) 3/ ( s (D) ) C g g ( s) c( ( D h ) G) (.17) 3 / ( s (( D h )) ) και 11

C D h s) c G, (.18) 3/ ( s (D h ) ) ( h g όπου οι συντελεστές c και D ορίζονται εμπειρικά, κατά τρόπο ώστε οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας να προσεγγίζουν τις αντίστοιχες εμπειρικές συναρτήσεις..5 Πολλαπλά συσχετισμένα στρώματα Στην πραγματικότητα το υπέδαφος αποτελείται από πολλά στρώματα, τα οποία είναι συσχετισμένα μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση οι μεταβολές καθεμιάς από τις επιφάνειες ασυνέχειας, που χωρίζουν τα διάφορα στρώματα, συνεισφέρουν στη δημιουργία του πεδίου ανωμαλιών της βαρύτητας. Για Ν επιφάνειες ασυνέχειας θα ισχύει N g (.19) i1 g i όπου κάθε συνεισφορά gi προσδιορίζεται από τις μεταβολές του βάθους D i της διαχωριστικής επιφάνειας i, με τη βοήθεια του τύπου του Parker. Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας, που σχετίζονται με την i διαχωριστική επιφάνεια και τη συνεισφορά στο πεδίο ανωμαλιών της βαρύτητας από επιφάνεια αυτή, εκφράζονται από τις σχέσεις (.16.18), στις οποίες οι παράμετροι (ρ, c, D) αντικαθίστανται από τις παραμέτρους (, c i, D i ). Ακόμη, οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας εκφράζονται χρησιμοποιώντας τις ίδιες κλειστές εκφράσεις, όπως προηγουμένως C Δh h i j ( s) c ij D ij ij J (qs)qdq c (.) -ππq e ij s D 3/ ij όπου c ij και Dij ορίζονται εμπειρικά κατά τρόπο ώστε οι συντελεστές r(q) συσχέτισης αριθμητικά να είναι μικρότεροι ή ίσοι της μονάδας, δηλαδή r( q) c e c ij e qd i i qd ij c e j qd j c ij c c i j qd ij e 1 q Di D j e (.1) η οποία προκύπτει, αν c c c και Dij Di D j (.) ij i j Το αυτό ισχύει και για τις συσχετίσεις μεταξύ των αντίστοιχων σημάτων, δηλαδή είναι μικρότερες ή ίσες με τη μονάδα 1

C s) C () C () C (). (.3) h h i ( j hih j h ihi hih j Στην προκειμένη περίπτωση θεωρούνται ίσες συσχετίσεις για όλες τις συχνότητες cij r( q) r q. Αυτό προκύπτει, αν Dij Di D j και η συσχέτιση είναι rq. Με τις c c προϋποθέσεις αυτές η συσχέτιση ανάμεσα στα σήματα γίνεται C h () 4 ( ) ih c j ij Di D j Di D j r r 1, q (.4) C () () ( ) hi h j hi h j D C cic j Di D j i D j δηλαδή η ολική συσχέτιση γίνεται μικρότερη από r q, αν Di D j. Με τα παραπάνω, η αντιστροφή γίνεται λαμβάνοντας υπόψη τις μεταβολές του βάθους καθεμιάς από τις διαχωριστικές επιφάνειες μεταξύ δύο στρωμάτων και επιπλέον τις μεταξύ τους συσχετίσεις. Αυτό γίνεται με τη χρησιμοποίηση στο σύστημα των εξισώσεων (.11) των ακόλουθων σχέσεων αντί των (.17.18) C C N N ΔgΔg ( s) Cg g ( s), j i1 j1 N N ΔgΔh ( s) Cg h ( s), j i1 j1 i (.5) i (.6) i j και με D ij D D i j Di D j C h h ( ), i s c j ij (.7) 3 / s D D i j όπου cii ci, ώστε για i j η συνάρτηση συμμεταβλητότητας, η οποία σχετίζεται με την i διαχωριστική επιφάνεια, προκύπτει με όμοιο τρόπο, όπως αν είχε χρησιμοποιηθεί η εξίσωση (.16). Οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας και διασυμμεταβλητότητας, που σχετίζονται με τη συνεισφορά των στρωμάτων στη δημιουργία του πεδίου βαρύτητας, εκφράζονται από τις σχέσεις (βλ..17.18) (Αραμπέλος, ). Di h i D j h j Cg g ( ) ( G) Δ i j, i s c j ij ρ ρ (.8) 3 / s ( D h D h ) i i Di hi D j Cg h ( ) GΔ i. i s c j ij ρ (.9) 3/ s D h D i i j j j 13

Τα μοντέλα με πολλαπλά συσχετισμένα στρώματα είναι τα πλέον ρεαλιστικά και χρησιμοποιούνται σε πολλές εφαρμογές, όπως π.χ. ν εκτίμηση του βάθους των ωκεανών σε περιφερειακή ή σε παγκόσμια κλίμακα, από μετρήσεις βαρύτητας στην επιφάνεια της θάλασσας ή από τιμές της ανωμαλίας της βαρύτητας, οι οποίες προέκυψαν από δεδομένα της δορυφορικής αλτιμετρίας (Αραμπέλος, )..5.1 Παράδειγμα με δυο στρώματα συσχετισμένα Παρακάτω ακολουθεί ένα παράδειγμα, όπου προσδιορίζονται δυο επιφάνειες ασυνέχειας. Αρχικά, στο σχήμα.3, παρατηρείται ότι η αναλυτική και η εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας απέχουν πολύ. Στην συνέχεια, στο σχήμα.4, πλησίασαν περισσότερο και τελικά στο σχήμα.5 παρατηρείται ότι προσεγγίζουν η μια την άλλη καλύτερα. Κάθε φορά άλλαζαν και κάποια από τα στατιστικά χαρακτηριστικά των στρωμάτων. Τα στατιστικά στοιχεία που αλλάζουν είναι: το μέσο βάθος του στρώματος, η τυπική απόκλισή του, το μήκος συσχέτισης και η διαφορά πυκνότητας. 45 4 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα.3. Πρώτη δοκιμή: η διαφορά μεταβλητότητας των δυο συναρτήσεων είναι της τάξης των 375 mgal. 14

14 1 1 8 6 4 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα.4. Δεύτερη δοκιμή: η διαφορά μεταβλητότητας των δυο συναρτήσεων είναι της τάξης των 675 mgal. 5 45 4 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα.5. Τρίτη δοκιμή: η διαφορά μεταβλητότητας των δυο συναρτήσεων είναι της τάξης των 1 mgal. Μόλις οι προαναφερθείσες συναρτήσεις προσεγγιστούν βέλτιστα, τότε έχει βρεθεί μια λύση του προβλήματος. Η λύση που προκύπτει δεν είναι μοναδική και αυτό γιατί 15

υπάρχει απειρία λύσεων, αφού μια συγκεκριμένη βαρυτική απόκριση στην επιφάνεια την Γης μπορεί να προκληθεί από άπειρους συνδυασμούς μαζών στο υπέδαφος. Οπότε είναι απαραίτητο να υπάρχουν κάποια στοιχεία για τη διαστρωμάτωση του υπεδάφους από διαφορετικές πηγές. Τα στοιχεία αυτά μπορεί να είναι κάποιο μέσο βάθος, πυκνότητα κ.λπ. Στη συνέχεια, με βάση τα παραπάνω δεδομένα, δηλαδή την αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας, τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας του πρώτου στρώματος και τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας του δεύτερου στρώματος υπολογίζονται γεωμετρικά τα δυο στρώματα σε μορφή (φ, λ, h)..5. Παράδειγμα με ένα στρώμα Για το παρόν παράδειγμα οι μετρήσεις έγιναν με τα βαρυτήμετρα LaCoste Romberg G1 και G65 του Τομέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας του Τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Στη συνέχεια, προεπεξεργασία αυτών των δεδομένων, όπως: βαθμονόμηση, διόρθωση λόγω ολίσθησης, διόρθωση λόγω παλιρροιών και σύνδεση δεδομένων με σταθμό αναφοράς. Στο τέλος υπολογίστηκαν οι ανωμαλίες ελεύθερου αέρα. Τα δεδομένα αναφέρονται σε μια περιοχή της Χαλκιδικής και συγκεκριμένα στην περιοχή των Ελαιοχωρίων, όπου υπάρχει ένα θερμικό πεδίο (π.χ. τα θερμά λουτρά της περιοχής) φορέας του οποίου είναι ένα ασβεστολιθικό στρώμα της ιουρασικής περιόδου, το οποίο καλύπτεται από τριτογενή ιζήματα. Η περιοχή των Ελαιοχωρίων βρίσκεται στο δυτικό τμήμα της Χερσονήσου της Χαλκιδικής μεταξύ των ορεινών όγκων του Χορτιάτη, του Χολομώντα και της θάλασσας του Θερμαϊκού. (Γ. Κουτονίδης, 5) Το πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε είναι το GRCOL σε περιβάλλον FORTRAN. Ως αρχικά δεδομένα χρησιμοποιήθηκαν οι ανωμαλίες βαρύτητας της περιοχής. Χρησιμοποιώντας αυτά τα δεδομένα, υπολογίστηκε η εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκαν τέτοιες τιμές για το μέσο βάθος, τη μέση τετραγωνική απόκλιση των βαθών σε σχέση με το μέσο βάθος, το μήκος συσχέτισης και τη διαφορική πυκνότητα, ώστε η αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας που θα προκύψει, να έρθει σε σύμπτωση με την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Αφού δεν υπάρχουν επιπλέον στοιχεία για την διαστρωμάτωση του υπεδάφους, χρησιμοποιήθηκε ένα στρώμα για καλύτερη ποιότητα αποτελεσμάτων. Στην περίπτωση περισσοτέρων στρωμάτων οι άγνωστοί μας πολλαπλασιάζονται και είναι και συσχετισμένοι. Για να ελεγχθεί το πώς επηρεάζεται η συνάρτηση συμμεταβλητότητας, έγιναν κάποιες δοκιμές (tests), αλλάζοντας κάθε φορά μια μόνο παράμετρο κατά μια μικρή ποσότητα. Συνολικά έγιναν 1 δοκιμές με τις ακόλουθες τιμές για κάθε μια από τις αναγραφόμενες παραμέτρους: 16

A/A δοκιμής Μέσο βάθος [km] Μέση τετραγωνική απόκλιση [km] Μήκος συσχέτισης [km] Διαφορική πυκνότητα [gr / cm³] 1 1.5.7 1.9 1.8.7 1.9 3.1.7 1.9 4..7 1.9 5.1.8 1.9 6.1.6 1.9 7.1.65 1.9 8.1.65 9.9 9.1.7 9.9 1.1.7 8.9 11.1.7 8 1. 1.1.7 8.8 Πίνακας.1. Δοκιμές τιμών των χαρακτηριστικών του στρώματος Στον παραπάνω πίνακα τονίζονται οι αλλαγές που γίνονται από δοκιμή σε δοκιμή. Όπως φαίνεται, η μεταβολή σε μία παράμετρο κάθε φορά είναι ελάχιστη, έτσι ώστε η σύμπτωση της εμπειρικής και της αναλυτικής συνάρτησης συμμεταβλητότητας να είναι όσο το δυνατόν πιο καλή. Στο παράρτημα 1 παρουσιάζονται αναλυτικά οι δώδεκα δοκιμές που έγιναν, συμπεριλαμβανομένων και των αλλαγών που γίνονταν κάθε φορά στα στατιστικά στοιχεία της επιφάνειας. Στο παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζεται η διαφορά μεταβλητότητας για κάθε μια δοκιμή. Η διαφορά αυτή προκύπτει από την αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας, που είναι διαφορετική για κάθε δοκιμή, μείον της εμπειρικής συνάρτησης συμμεταβλητότητας των αρχικών δεδομένων. Η διαφορά μεταβλητότητας είναι σημαντικό στοιχείο, που υποδηλώνει εάν η επιλογή των στατιστικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας που θέλουμε να προσεγγίσουμε, είναι σωστή. Όσο περισσότερο προσεγγίζει η διαφορά το μηδέν, τόσο πιο σωστή είναι η επιλογή την στατιστικών χαρακτηριστικών που έγινε. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται όλες οι αναλυτικές συναρτήσεις συμμεταβλητότητας μαζί, σε παράθεση με την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας: 17

Η τελική τιμή για κάθε ένα από τα βάθη έγινε δεκτή μετά από ορισμένες διαδοχικές επαναλήψεις. Παρακάτω παρουσιάζονται για κάθε δοκιμή: ο αριθμός επαναλήψεων, η μέση τιμή, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, η ελάχιστη διαφορά και η μέγιστη διαφορά. 18

15 Διαφορά μεταβλητότητας 1 5-5 -1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1-15 Α/Α δοκιμής Σχήμα.6. Γραφική αναπαράσταση των διαφορών μεταβλητότητας για κάθε μια από τις δώδεκα δοκιμές. A/A δοκιμής Αριθμός επαναλήψεων Μέση τιμή [mgal] Μέσο τετραγωνικό σφάλμα [mgal] Ελάχιστη διαφορά [mgal] Μέγιστη διαφορά [mgal] 1 5.983 4.97-1.67 47.396 7.569 3.57-1.745 36.83 3 5.37.849-13.767 6.66 4 5.78.717-13.958 3.43 5 5.334.791-13.51 6.6 6 5.319.916-14.66 6.589 7 5.33.88-13.91 6.598 8 5.318.734-13.154 6.783 9 4.314.75-13.8 6.815 1 6.37.53-1.57 7.33 11 6.199.65-11.843 18.88 1 5.533 3.38-1. 35.41 Πίνακας.. Στατιστική ανάλυση των διαφορών της ανωμαλίας της βαρύτητας ανάμεσα στο πεδίο που προέκυψε και στα αρχικά δεδομένα βαρύτητας Από τις παραπάνω δοκιμές, στην ένατη προσεγγίζει βέλτιστα η αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας την εμπειρική. Η μέση τιμή είναι σε σχετικά χαμηλό επίπεδο 19

.314 mgal. Οι διαφορές της ανωμαλίας της βαρύτητας μεταξύ των μετρήσεων και του πεδίου που προέκυψε, παρουσιάζονται σε 3-D μορφή ως εξής: 6 mgal 4 mgal mgal mgal 18 mgal 16 mgal 14 mgal 1 mgal 1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal Σχήμα.19. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 9.

3. Εφαρμογή βέλτιστης προσέγγισης δυο στρωμάτων 3.1 Περιγραφή της περιοχής Η επόμενη εφαρμογή αναφέρεται στον Ινδικό ωκεανό, σε μία περιοχή μεταξύ της Αραβικής χερσονήσου και των δυτικών ακτών της Ινδονησίας. Η περιοχή ορίζεται περίπου από τα όρια 18 φ και 5 8. Στην περιοχή αυτή υπάρχει μια έντονη σεισμική δραστηριότητα, αφού βρίσκεται κοντά στην περιοχή θραύσης της Ειρηνικής τεκτονικής πλάκας με την αντίστοιχη Ινδική. Η περιοχή θεωρείται ωκεάνια, αν και υπάρχουν μικρά ηπειρωτικά τμήματα (νησιά), τα οποία όμως έχουν αμελητέα έκταση. Οπότε, κατακόρυφα η περιοχή διαχωρίζεται σε τρία διακριτά στρώματα: α) τη μάζα του θαλάσσιου νερού με μέση τιμή πυκνότητας 3 1.7gr cm, β) το τμήμα της λιθόσφαιρας μεταξύ του ωκεανού και του w / μανδύα με μέση τιμή πυκνότητας 3 πυκνότητας 3.7gr cm. m / c.67gr / cm 3, και γ) το μανδύα με μέση τιμή Εικόνα 3.1. Η περιοχή μελέτης στην εφαρμογή βέλτιστης προσέγγισης δυο στρωμάτων (Γ. Μαντζιος, 5). 1

3. Τα διαθέσιμα δεδομένα Η μέθοδος της αντιστροφής βασίζεται στα εξής διαθέσιμα δεδομένα: ανωμαλίες βαρύτητας ελεύθερου αέρα, οι οποίες περιγράφουν το πεδίο βαρύτητας της περιοχής, τιμές βάθους του ωκεανού, από τις οποίες προκύπτουν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της πρώτης διαχωριστικής επιφάνειας μεταξύ του ωκεάνιου νερού και της λιθόσφαιρας και κάποιες a-priori τιμές, οι οποίες να περιγράφουν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της δεύτερης επιφάνειας μεταξύ του γήινου φλοιού και του μανδύα. 3.3 Ανωμαλίες βαρύτητας ελεύθερου αέρα Το πεδίο ανωμαλιών βαρύτητας ορίστηκε από τιμές, οι οποίες προέρχονται από αλτιμετρικά δεδομένα. Πριν χρησιμοποιηθούν τα αλτιμετρικά δεδομένα, πρέπει να ελαχιστοποιηθούν τα σφάλματα της τροχιάς. Η ελαχιστοποίηση αυτή επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση των ασυμφωνιών των αλτιμετρικών δεδομένων στα κοινά σημεία τομής των τροχιών. Για το λόγο αυτό γίνεται συνόρθωση με τη βοήθεια ενός μαθηματικού μοντέλου, το οποίο συνήθως περιλαμβάνει δυο παραμέτρους: α) μια παράλληλη μετατόπιση και β) μια κλίση τροχιάς. Τα δεδομένα προέρχονται από τα αλτιμετρικά δορυφορικά προγράμματα ERS και GEOSAT και καλύπτουν σχεδόν ολόκληρη την επιφάνεια της Γης, εκτός από τις περιοχές βόρεια 8? και νότια 8? με ένα κάνναβο διακριτικής ικανότητας. Για τον προσδιορισμό της ασυνέχειας Moho χρησιμοποιήθηκαν οι τιμές των ανωμαλιών βαρύτητας με ισοδιάσταση, που σημαίνει μια τιμή περίπου ανά 36.5 Km κατά το γεωγραφικό πλάτος και περίπου 33 Km κατά γεωγραφικό μήκος. 3.4 Ψηφιακό μοντέλο τοπογραφίας (βυθού) Το μοντέλο του βυθού ορίζεται από τα δεδομένα του ψηφιακού μοντέλου DTM (Saleh and Pavlis, ). Ειδικότερα, τα βάθη των ωκεανών για τη δημιουργία του μοντέλο αυτού βασίστηκαν σε αντιστροφές αλτιμετρικών δεδομένων (ERS-1 και GEOSAT, Smith and Sandwell, 1997) μέχρι τα πλάτη ±7.6? σε συνδυασμό με πληροφορίες για το βυθό, οι οποίες προέρχονται από ηχοβολήσεις και παλαιότερα μοντέλα ψηφιακής τοπογραφίας, όπως το μοντέλο JGP95E. 3.5 Η αντιστροφή των δεδομένων βαρύτητας και ο προσδιορισμός της επιφάνειας ασυνέχειας Moho. Όπως προαναφέρθηκε, ο προσδιορισμός μιας διαχωριστικής επιφάνειας βασίζεται σε a-priori τιμές στατιστικών χαρακτηριστικών μιας διαχωριστικής επιφάνειας μεταξύ δυο στρωμάτων με διαφορά πυκνότητας Δρ. Επιπλέον, για τον ορισμό της συνάρτησης συμμεταβλητότητας του μοντέλου, η οποία πρακτικά υποδηλώνει τη βαρυτική απόκριση του στρώματος στο πεδίο βαρύτητας της επιφάνειας αναφοράς, απαιτείται και μια a-priori τιμή για το μήκος συσχέτισης. Στην περίπτωσή μας, όπου η βαρυτική απόκριση είναι αποτέλεσμα δυο διαχωριστικών επιφανειών, απαιτείται ορισμός των παραπάνω όρων για κάθε μια

επιφάνεια ξεχωριστά και ένας συντελεστής συσχέτισης, ο οποίος περιγράφει την εξάρτηση μεταξύ των δυο στρωμάτων. 3.6 Ενότητες Δοκιμών Οι παρακάτω δοκιμές χωρίζονται σε τρεις ενότητες. Στις δυο πρώτες χρησιμοποιούνται αρχικές τιμές από το DTM και στην τρίτη από το CRUST.. Η πρώτη δοκιμή περιλαμβάνει 37 δοκιμές, η δεύτερη 6 και η τρίτη 4. Σκοπός ήταν σε κάθε επόμενη δοκιμή να αλλάζει μόνον μια τιμή και οι υπόλοιπες να παραμένουν ίδιες. Αυτό γίνεται, για να μπορούν να ελεγχθούν οι αλλαγές που επιφέρονται στη συνάρτηση συμμεταβλητότητας από την αλλαγή του κάθε ενός στοιχείου ξεχωριστά. 3.6.1 Επιλογή a-priori τιμών για την 1η ενότητα Tα στατιστικά χαρακτηριστικά της πρώτης διαχωριστικής επιφάνειας, η οποία θεωρείται ότι διαχωρίζει τη ì άζα του ωκεάνιου νερού από τη λιθόσφαιρα, προέρχονται από τις πληροφορίες που λαμβάνονται από το ψηφιακό μοντέλο εδάφους, όπως περιγράφηκε παραπάνω. Συγκεκριμένα, ως μέση τιμή του στρώματος αυτού θεωρούνται τα 3.9 Km, με τυπική απόκλιση 8.7 Km. Η διαφορική πυκνότητα μεταξύ των δυο στρωμάτων λαμβάνεται ίση με τη διαφορά των μέσων τιμών των πυκνοτήτων του ωκεάνιου νερού και της λιθόσφαιρας, δηλαδή:,1 c w.67 1.7 1.6gr / cm 3 Επίσης, ως τιμή μήκους συσχέτισης για τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας ορίζονται τα 5 Km. Tα a-priori στατιστικά χαρακτηριστικά της δεύτερης διαχωριστικής επιφάνειας μεταξύ της λιθόσφαιρας και του μανδύα ορίζονται ως μέση τιμή βάθους τα Km, με τυπική απόκλιση τα.5 Km. Για τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας, το μήκος συσχέτισης ορίζεται στα 1 Km και η διαφορική πυκνότητα μεταξύ των δυο στρωμάτων λαμβάνεται ίση με τη διαφορά των μέσων τιμών των πυκνοτήτων της λιθόσφαιρας και του μανδύα, δηλαδή: 3, m c.7.67.6gr / 3 cm 3 Επιπρόσθετα, μεταξύ των δυο διαχωριστικών επιφανειών ορίζεται και ο συντελεστής συσχέτισης (cr). Η τιμή ορίζεται ως: cr 1. Αν η τιμή τείνει στο μηδέν, τότε τα δυο στρώματα θεωρούνται πλήρως ασυσχέτιστα. Αν η τιμή τείνει στο ένα, τότε τα δυο στρώματα θεωρούνται πλήρως συσχετισμένα. Στην περίπτωση, όπως αυτή της λιθόσφαιρας και του μανδύα, όπου τα δυο στρώματα θεωρούνται αρνητικά συσχετισμένα, ο συντελεστής ορίζεται ως: 1 cr. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής συσχέτισης για την περιοχή αυτή σε όλες τις δοκιμές ορίζεται ίσος με -.99. 3

3.6.1.1 Δοκιμές γραφήματα για την 1η ενότητα Παρακάτω παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων συμμεταβλητότητας που προκύπτουν από το κάθε σύνολο τιμών. Σκοπός είναι να ταυτιστεί η αναλυτική με την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Κάθε φορά αλλάζει τουλάχιστον ένα από τα στατιστικά στοιχεία των στρωμάτων και μελετάται η μεταβολή που προκαλείται στη μεταβλητότητα. Στο παράρτημα Α παραβάλλονται αναλυτικά οι συναρτήσεις συμμεταβλητότητας που προκύπτουν μετά από κάθε δοκιμή. Συνολικά γίνονται 36 δοκιμές. Παρακάτω παρουσιάζονται οι μεταβολές που προκύπτουν στις μεταβλητότητες, αλλάζοντας κάθε φορά κάποιο από τα στατιστικά στοιχεία και κρατώντας τα υπόλοιπα επτά σταθερά. Η κάθε μεταβολή παρουσιάζεται συναρτήσει της διαφοράς μεταβλητότητας. Η διαφορά μεταβλητότητας κάθε φορά προκύπτει ως εξής: από την επιλογή των στατιστικών στοιχείων των επιφανειών προκύπτει η αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας και συγκρίνεται με την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας των αρχικών δεδομένων. Η διαφορά μεταβλητότητας αυτών των δύο συναρτήσεων είναι η μια από τις δύο μεταβλητές στις παρακάτω συναρτήσεις. 1 1 Διαφορά μεταβλητότητας 8 6 4 1.7..5.7 Τυπική απόκλιση 1ου στρώματος [Km] Σχήμα 3.1. Παράσταση της διαφοράς μεταβλητότητας συναρτήσει της μεταβολής της τυπικής απόκλισης του 1ου στρώματος. 4

7 6 Διαφορά μεταβλητότητας 5 4 3 1 1. 1.5 Τυπική απόκλιση ου στρώματος [Km] Σχήμα 3.. Παράσταση της διαφοράς μεταβλητότητας συναρτήσει της μεταβολής της τυπικής απόκλισης του ου στρώματος. 4 41 Διαφορά μεταβλητότητας 4 39 38 37 36 35 34 33 14 6 Μέσο βάθος ου στρώματος [Km] Σχήμα 3.3. Παράσταση της διαφοράς μεταβλητότητας συναρτήσει της μεταβολής του μέσου βάθους του ου στρώματος. 5

8 7 Διαφορά μεταβλητότητας 6 5 4 3 1 1 1.6 Διαφορική πυκνότητα 1ου στρώματος Σχήμα 3.4. Παράσταση της διαφοράς μεταβλητότητας συναρτήσει της μεταβολής της διαφορικής πυκνότητας του 1ου στρώματος. 475 Διαφορά μεταβλητότητας 47 465 46 455 45 5 7 1 Μήκος συσχέτισης ου στρώματος [Km] Σχήμα 3.5. Παράσταση της διαφοράς μεταβλητότητας συναρτήσει της μεταβολής του μήκους συσχέτισης του ου στρώματος. 6

Σχήμα 3.6. Συνολικά οι διαφορές μεταβλητοτήτων των δεδομένων από τις μεταβλητότητες που προκύπτουν για κάθε δοκιμή. 3.6.1. Συγκεντρωτικός πίνακας δοκιμών 1ης ενότητας Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συγκεντρωτικά οι τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των δύο στρωμάτων για κάθε μια δοκιμή ξεχωριστά. Η τιμή για κάθε αλλαγή, για κάποιο από τα στατιστικά χαρακτηριστικά, που γίνεται από δοκιμή σε δοκιμή τονίζεται με έντονους χαρακτήρες. Α\Α Μέσο βάθος 1ο Στρώμα Τυπική απόκλιση Μήκος συσχέτισης Διαφορική πυκνότητα Μέσο βάθος Τυπική απόκλιση ο Στρώμα Μήκος συσχέτισης Διαφορική πυκνότητα 1 3.9 8.7 5 1.6.5 1.6 3.9 8.7 5 1.6 3.5 1.6 3 3.9 8.7 5 1.6 3.5 1.6 4 3.9 5 1.6 3.5 1.6 5 3.9 5 1.6.5 1.6 6 3.9 5 1.6 17.5 1.6 7 3.9 5 1.6 17 4 1.6 8 3.9. 5 1.6 17 4 1.6 9 3.9.5 5 1.6 17 4 1.6 1 3.9.7 5 1.6 17 4 1.6 11 3.9 1.7 5 1.6 17 4 1.6 1 3.9 1.7 5 1.6 17 1.6 13 3.9 1.7 5 1.6 17 1.5 1.6 14 3.9 1.7 5 1.6 17 1. 1.6 15 3.9 1.4 5 1.6 17 1. 1.6 7

16 3.9 1.4 5 1.6 1. 1.6 17 3.9 1.4 5 1.6 6 1. 1.6 18 3.9 1.4 5 1.6 14 1. 1.6 19 4.5 1.4 5 1.6 14 1. 1.6 3.9 1.4 75 1.6 14 1. 1.6 1 3.9 1.4 5 1.6 14 1. 1.6 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 1.6 3 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 8.6 4 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 13.6 5 3.9 1.4 65 1 14 1. 13.6 6 3.9 1.4 65 14 1. 13.6 7 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 13 1 8 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 13.4 9 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 1.4 3 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 7.4 31 3.9 1.4 65 1.6 14 1. 5.4 3 3.9 1. 65 1.6 14 1. 5.4 33 3.9 1. 65 1.6 14 1. 6.4 34 3.9 1. 5 1.1 13 1. 6.8 35 6 1. 6 1.1 13 1. 1.8 36 6 1.5 6 1.1 13 1.8 1.8 3.6. Επιλογή a-priori τιμών για τη η ενότητα Στη δεύτερη ενότητα των δοκιμών οι τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των στρωμάτων υπολογίστηκαν ως οι βέλτιστες μετά από πληθώρα δοκιμών. Οπότε για το πρώτο στρώμα το μέσω βάθος υπολογίστηκε στα 4 Km, με τυπική απόκλιση 1. Km. Το μήκος συσχέτισης υπολογίστηκε στα 9 Km και η διαφορική πυκνότητα υπολογίστηκε 1.6 gr/cm³. Για το δεύτερο στρώμα το μέσω βάθος υπολογίστηκε στα 14 Km, με τυπική απόκλιση 3 Km. Το μήκος συσχέτισης υπολογίστηκε στα 1 Km και η διαφορική πυκνότητα υπολογίστηκε.6 gr/cm³. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι -.99. Όσον αφορά στις διαφορικές πυκνότητες, επιδιώχθηκε να είναι οι προεπιλεγμένες τιμές, λόγω των δεδομένων που υπάρχουν για τις τιμές αυτές, δηλαδή: πυκνότητα του νερού 1.7 gr/cm³, πυκνότητα φλοιού.67 gr/cm³ και πυκνότητα μανδύα 3.7 gr/cm³. Παρακάτω παρουσιάζονται οι τιμές που χρησιμοποιήθηκαν σε κάθε δοκιμή για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των στρωμάτων: 8

Παράσταση συναρτήσεων συμμεταβλητότητας 1ου και ου στρώματος 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 1ο στρώματος ο στρώματος 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήματα 3.7. Δοκιμή 37 με αρχικές τιμές για το 1ο στρώμα: μέσο βάθος 4 Km, τυπική απόκλιση 1. Km, μήκος συσχέτισης 9 Km, διαφορική πυκνότητα 1.6 gr / cm³ και για το ο: μέσο βάθος 14 Km, τυπική απόκλιση 3 Km, μήκος συσχέτισης 1 Km, διαφορική πυκνότητα.6 gr / cm³. Η μεταβλητότητα που προκύπτει από την αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας, είναι 57.5 mgal. Η μεταβλητότητα από την εμπειρική συνάρτηση συμμεταβλητότητας είναι 46. διαφορά των μεταβλητοτήτων είναι 11.3 mgal. mgal. Οπότε η RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767 3.97.311-5.91 58.898 5.991 η επανάληψη 4.767 3.77.3-35.536 4.967 4.487 3η επανάληψη 4.767 4.17.3-6.666 33.75 3.85 4η επανάληψη 4.767 4.39.4-4.118 7.76 3.47 Πίνακας 3.1. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη της δοκιμής 37. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. 9

18 mgal 16 mgal 14 mgal 1 mgal 1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal -16 mgal -18 mgal Εικόνα 3.. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 37 Παράσταση συναρτήσεων συμμεταβλητότητας 1ου και ου στρώματος 5 45 4 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήματα 3.8. Δοκιμή 38: Μείωση της διαφορικής πυκνότητας του 1ου στρώματος από 1.6 gr / cm³ σε 1.4 gr / cm³. Η διαφορά των μεταβλητοτήτων προκύπτει ως -7.1 mgal. 1ο στρώματος ο στρώματος 3

RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767 3.63.66-4.36 46.811 5.49 η επανάληψη 4.767 3.87 -.1-3.433 9.341 3.81 3η επανάληψη 4.767 4.6 -.4-5.119.46 3.163 4η επανάληψη 4.767 4.34 -.7 -.953 1.14.87 Πίνακας 3.. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη της δοκιμής 38. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal -16 mgal -18 mgal - mgal Εικόνα 3.3. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 38. 31

Παράσταση συναρτήσεων συμμεταβλητότητας 1ου και ου στρώματος 5 45 4 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 1ο στρώματος ο στρώματος 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήματα 3.9. Δοκιμή 39: Αύξηση του μέσου βάθους του ου στρώματος από 14 Km σε 15 Km. Η διαφορά των μεταβλητοτήτων προκύπτει ως -54.6 mgal. RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767 3.95.96-39.953 46.47 5.441 η επανάληψη 4.767 3.883 -.1-7.684 9.514 3.776 3η επανάληψη 4.767 4.4.3 -.83.359 3.18 Πίνακας 3.3. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη της δοκιμής 39. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. 3

1 mgal 1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal -16 mgal -18 mgal Εικόνα 3.4. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 39 Παράσταση συναρτήσεων συμμεταβλητότητας 1ου και ου στρώματος 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 1ο στρώματος ο στρώματος 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήματα 3.1. Δοκιμή 4: Αύξηση του μήκους συσχέτισης του ου στρώματος από 1 Km σε 13 Km. Η διαφορά των μεταβλητοτήτων προκύπτει ως 61.5 mgal. 33

RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767 3.99.66-36.614 45.619 5.6 η επανάληψη 4.767 3.959 -.4-6.47 8.9 3.659 3η επανάληψη 4.767 4.81. -1.837 1.8 3.36 Πίνακας 3.4. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη της δοκιμής 4. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. 1 mgal 1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal Εικόνα 3.5. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 4. 34

Παράσταση συναρτήσεων συμμεταβλητότητας 1ου και ου στρώματος 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 1ο στρώματος ο στρώματος 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήματα 3.11. Δοκιμή 41: Μείωση του μέσου βάθους του 1 ου στρώματος από 4 Km σε 3.9 Km. Η διαφορά των μεταβλητοτήτων προκύπτει ως 65.6 mgal. RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767 3.33.68-36.573 45.49 5.48 η επανάληψη 4.767 3.96 -.4-6.389 8.89 3.647 3η επανάληψη 4.767 4.84. -1.79 1.697 3.7 Πίνακας 3.5. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη της δοκιμής 41. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. 35

1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal Εικόνα 3.6. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 41 Παράσταση συναρτήσεων συμμεταβλητότητας 1ου και ου στρώματος 5 45 4 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 1ο στρώματος ο στρώματος 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήματα 3.1. Δοκιμή 4: Αύξηση του μήκους συσχέτισης του 1ου στρώματος από 9 Km σε 95 Km. Η διαφορά των μεταβλητοτήτων προκύπτει ως -.1 mgal. 36

RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767 3.97.311-5.91 58.899 5.991 η επανάληψη 4.767 3.77 -.3-35.536 4.967 4.489 3η επανάληψη 4.767 4.17.3-6.666 33.75 3.85 Πίνακας 3.6. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη της δοκιμής 4. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. mgal mgal 18 mgal 16 mgal 14 mgal 1 mgal 1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal -16 mgal -18 mgal - mgal Εικόνα 3.7. Οι διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου για τη δοκιμή 4 3.6.3 Επιλογή a-priori τιμών για την 3η ενότητα Στη τρίτη ενότητα των δοκιμών οι τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των στρωμάτων στην περιοχή μελέτης υπολογίστηκαν από το CRUST. και συγκεκριμένα από το πρώτο (water) και το έβδομο στρώμα (lower crust). Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η περιοχή μελέτης. Είναι η περιοχή που εσωκλείεται στο τετράγωνο πλαίσιο. Βρίσκεται στον Ινδικό Ωκεανό. Το γεωγραφικό πλάτος της περιοχής εκτείνεται από -17.888? μέχρι -.1741?, ενώ το γεωγραφικό μήκος από 5.1688? μέχρι 79.7176?. 37

3.6.3.1 Το μοντέλο CRUST. Το μοντέλο CRUST. είναι μια παγκόσμια ψηφιακή βάση δεδομένων με πληροφορία πυκνότητας, βάθους και ταχύτητας διάδοσης σεισμικών κυμάτων που δημιουργήθηκε και γίνεται αντικείμενο διαχείρισης από το US Geological Survey και το ινστιτούτο Geophysics and Planetary Physics του πανεπιστημίου της Καλιφόρνια. Είναι μια ανανεωμένη έκδοση του μοντέλου φλοιού CRUST 5.1 με μεγαλύτερη ανάλυση. Ένας εκτενής συνδυασμός σεισμικών δεδομένων ταχύτητας και διάθλασης χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να προσδιοριστεί η δομή του φλοιού στις ηπείρους, ενώ για τις ωκεάνιες περιοχές χρησιμοποιήθηκαν κάποια υπάρχοντα μοντέλα σε συνδυασμό με τη δημιουργία καινούργιων για συγκεκριμένες ωκεάνιες περιοχές, όπως, για παράδειγμα, τα θαλάσσια οροπέδια. Το μοντέλο CRUST. είναι μια βελτιωμένη έκδοση του μοντέλου CRUST 5.1 και τα δυο μοντέλα δημιουργήθηκαν από: α) σεισμολογικά δεδομένα, και συγκεκριμένα από ταχύτητες διάδοσης των σεισμικών κυμάτων και τον τρόπο διάδοσής τους, β) λεπτομερή πληροφορία των ιζηματογενών στρωμάτων στο εσωτερικό του φλοιού της γης, τα οποία προσδιορίζονται με γεωλογικές μεθόδους, γ) πληροφορία της ποσότητας και της θέσης του πάγου που υπάρχει στο πλανήτη. Το μοντέλο φλοιού CRUST. αποτελείται από 16 υποπεριοχές ελλειψοειδών τραπεζίων επάνω στη γήινη επιφάνεια διαστάσεων, μέσα στα οποία ο φλοιός και το πάνω μέρος του μανδύα αναλύεται σε οκτώ στρώματα. Τα στρώματα αυτά είναι τα εξής: 1. Νερό (water). Πάγος (ice) 3. Μαλακά ιζήματα (soft sediments) 4. Σκληρά ιζήματα (hard sediments) 5. Επάνω φλοιός (upper sediments) 6. Μεσαίος φλοιός (middle crust) 7. Κάτω φλοιός (lower crust) 8. Επάνω μανδύας uppermost crust) Η πληροφορία της τοπογραφίας και της βαθυμετρίας προέρχεται από το παγκόσμιο μοντέλο ETOPO-5, προσαρμοσμένο στις ανάγκες και τη διακριτική ικανότητα του CRUST.. Η ταχύτητα μετάδοσης των σεισμικών κυμάτων σε κάθε στρώμα του φλοιού βασίζεται σε μετρήσεις πεδίου, ενώ η πυκνότητα υπολογίζεται έμμεσα από τις ταχύτητες. 38

Εικόνα 3.8. Τοπογραφία και βαθυμετρία από τα δεδομένα του CRUST. σε παγκόσμια κλίμακα σε Km (Χ. Βενέσης, 5). Μέγιστο Ελάχιστο Μέση τιμή Τυπική απόκλιση -6.48 5.4-1.89.6 Πίνακας 3.7.. Στατιστική της τοπογραφίας και της βαθυμετρίας σε Km. Εικόνα 3.9. Επιφάνεια Moho από τα δεδομένα του CRUST. σε παγκόσμια κλίμακα σε Km (Χ. Βενέσης, 5). Μέγιστο Ελάχιστο Μέση τιμή Τυπική απόκλιση -7.14-7.96 -.97 1.7 Πίνακας 3.8. Στατιστική της επιφάνειας Moho σε Km. 39

3.6.3. Επιλογή a-priori τιμών Στην παρούσα ενότητα δοκιμών οι a-priori τιμές για τα στατιστικά χαρακτηριστικά των επιφανειών προέκυψαν από το μοντέλο CRUST., το οποίο μας δίνει πληροφορίες για τη γεωμετρία των επιφανειών μελέτης, όπως επίσης και τιμές της πυκνότητας κάθε στρώματος. Με βάση τις τιμές αυτές, υπολογίστηκε η εξής συνάρτηση συì μεταβλητότητας: 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα 3.13. Δοκιμή 43 με αρχικές τιμές για το 1ο στρώμα: μέσο βάθος 4 Km, τυπική απόκλιση.95 Km. Το μήκος συσχέτισης υπολογίστηκε στα 45 Km και η διαφορική πυκνότητα υπολογίστηκε.1 gr / cm³. Για το δεύτερο στρώμα το μέσο βάθος υπολογίστηκε στα 1.4 Km, με τυπική απόκλιση 4.5 Km. Το μήκος συσχέτισης υπολογίστηκε στα 1 Km και η διαφορική πυκνότητα υπολογίστηκε.3 gr / cm³. Ο συντελεστής συσχέτισης επιλέχθηκε να είναι -.99. Από το παραπάνω σχήμα παρατηρείται ότι η μεταβλητότητα που προκύπτει, διαφέρει από αυτή των δεδομένων κατά περίπου 1533 mgal. Ελέγχοντας τις τιμές, προκύπτει μια μεγάλη απόκλιση στις τιμές των διαφορικών πυκνοτήτων σε σχέση με αυτές που υποθέτουμε ως πιο λογικές. Πιο αναλυτικά, η διαφορική πυκνότητα που προκύπτει για το πρώτο στρώμα από το CRUST. είναι.1 gr / cm³. Γνωρίζοντας όμως ότι γενικά ισχύει πως η πυκνότητα του νερού είναι 1.7 gr / cm³ και η πυκνότητα του φλοιού είναι.67 gr / cm³, συμπεραίνουμε ότι αυτό δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Στη συνέχεια ακολουθούν κάποιες αλλαγές που έγιναν στις τιμές, για να μειωθεί η διαφορά στις μεταβλητότητες και να έρθουν σε καλύτερη σύμπτωση οι δυο συναρτήσεις. 4

1 1 8 6 4 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα 3.14. Δοκιμή 44: Αύξηση της διαφορικής πυκνότητας για το 1ο στρώμα από.1 gr / cm³ σε 1.6 gr / cm³. Από το παραπάνω σχήμα παρατηρείται ότι η μεταβλητότητα που προκύπτει, διαφέρει από αυτή των δεδομένων κατά περίπου 54 mgal. Οπότε έχουμε μια σαφή βελτίωση αλλά όχι ικανοποιητική. Στην επόμενη δοκιμή προσαρμόστηκε καλύτερα η διαφορική πυκνότητα για το πρώτο στρώμα σε 1.4 gr / cm³. Η μεταβλητότητα σε αυτή την περίπτωση μειώθηκε στο 784 mgal. 9 8 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα 3.15. Δοκιμή 45: Μείωση της διαφορικής πυκνότητας για το 1ο στρώμα από 1.6 gr / cm³ σε 1.4 gr / cm³. 41

Επειδή το μοντέλο χρειάζεται περαιτέρω βελτίωση, ακολουθούν και κάποιες άλλες αλλαγές. Σε αυτή την περίπτωση μειώνεται το μήκος συσχέτισης του δεύτερου στρώματος από 1 Km σε 9 Km. Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας που προκύπτει, είναι η εξής: 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα 3.16. Δοκιμή 46: Μείωση του μήκους συσχέτισης για το ο στρώμα από 1 Km σε 9 Km. Όπως παρατηρείται, η μεταβλητότητα μειώνεται στα 644 mgal. Ακολουθεί αύξηση στο μήκος συσχέτισης του πρώτου στρώματος από 45 Km σε 5 Km. Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας που προκύπτει, είναι η εξής: 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα 3.17. Δοκιμή 47: Αύξηση του μήκους συσχέτισης για το 1ο στρώμα από 45 Km σε 5 Km. 4

Η μεταβλητότητα μειώνεται στα 56 mgal και προσεγγίζει περισσότερο την μεταβλητότητα των αρχικών δεδομένων που είναι 46. mgal. Τελικώς, μεταβάλλεται και η τυπική απόκλιση του πρώτου στρώματος από.95 Km σε.8 Km και η τελική αναλυτική συνάρτηση συμμεταβλητότητας που προκύπτει, είναι: 5 45 4 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Σχήμα 3.18. Δοκιμή 48: Μείωση της τυπικής απόκλισης του 1ου στρώματος από.95 Km σε.8 Km Η τελική μεταβλητότητα που προκύπτει είναι 459.6 mgal. Οι δυο συναρτήσεις συμμεταβλητότητας ταυτίζονται πολύ ικανοποιητικά και η διαφορά μεταβλητότητας γίνεται.6 mgal, που θεωρείται πολύ ικανοποιητική και μας εξασφαλίζει ότι η βαρυτική απόκριση, η οποία προκύπτει από το συνδυασμό των δυο στρωμάτων που περιγράφηκαν, δίνοντας τα στατιστικά του χαρακτηριστικά τους, ανταποκρίνεται στη βαρύτητα που υπολογίσθηκε στην επιφάνεια από την αντιστροφή των αλτιμετρικών δεδομένων. CRUST. Τελικές τιμές Μέσο βάθος 1ο Στρώμα Τυπική απόκλιση Μήκος συσχέτισης Διαφορική πυκνότητα Μέσο βάθος Τυπική απόκλιση ο Στρώμα Μήκος συσχέτισης Διαφορική πυκνότητα Συσχέτιση στρωμάτων 4.95 45.1 1.4 4.5 1.3 -.99 4.8 5 1.4 1.4 4.5 9.3 -.99 Πίνακας 3.9. Συγκεντρωτικός πίνακας για τις τιμές των στατιστικών χαρακτηριστικών που υπολογίστηκαν από το CRUST. και για τις τελικές τιμές που προέκυψαν μετά από τις διορθώσεις: Όπως παρατηρείται, το μέσο βάθος παρέμεινε το ίδιο και στα δυο στρώματα. Έγινε μια μικρή διόρθωση στα μήκη συσχέτισης και των δυο στρωμάτων και μια μείωση στην τυπική απόκλιση του πρώτου στρώματος. Η μεγάλη διαφορά παρατηρείται στην διαφορική πυκνότητα του πρώτου στρώματος, όπου χρειάστηκε να αυξηθεί κατά 1.3 43

gr / cm³ και να οριστεί ως 1.4 gr / cm³, τιμή που είναι λογική για τον πυθμένα μιας ωκεάνιας περιοχής. Τα δυο στρώματα που υπολογίστηκαν, προκαλούν μια βαρυτική απόκριση στην επιφάνεια. Αυτή συγκρίνεται με τις ανωμαλίες της βαρύτητας που προέκυψαν από την αντιστροφή των αλτιμετρικών δεδομένων. Ακολουθεί ο πίνακας με τα στατιστικά των διαφορών για κάθε μια επαναληπτική διαδικασία, που έγινε μέχρι να καταλήξουμε σε αυτή με την ελάχιστη δυνατή μέση τιμή διαφορών. RMS πραγματικών τιμών RMS τιμών μοντέλου μέση τιμή διαφορών ελάχιστη τιμή διαφορών μέγιστη τιμή διαφορών τυπική απόκλιση διαφορών 1η επανάληψη 4.767.77.345-59.39 54.757 6.456 η επανάληψη 4.767 3.68.181-47.59 51.481 4.83 3η επανάληψη 4.767 3.969.147-4.3 49.488 4.18 4η επανάληψη 4.767 4.161.11-34.996 47.893 3.94 5η επανάληψη 4.767 4.4.18-33.31 47.95 3.81 Πίνακας 3.1. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διαφορών για κάθε μια επανάληψη. Οι παραπάνω τιμές αναφέρονται σε mgal. Όπως παρατηρούμε, οι διαφορές βαρύτητας είναι σε χαμηλό επίπεδο, με μέση τιμή.18 mgal. Αυτό είναι ένα στοιχείο ελέγχου για το αν τα αποτελέσματα που έχουμε, ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα. Από εδώ συμπεραίνουμε ότι ο συνδυασμός των δυο επιφανειών που ορίσαμε, προκαλεί βαρυτική απόκριση στην επιφάνεια παρόμοια με αυτήν που έχουμε από την αντιστροφή των αλτιμετρικών δεδομένων. 6 mgal 4 mgal mgal mgal 18 mgal 16 mgal 14 mgal 1 mgal 1 mgal 8 mgal 6 mgal 4 mgal mgal mgal - mgal -4 mgal -6 mgal -8 mgal -1 mgal -1 mgal -14 mgal -16 mgal -18 mgal - mgal Εικόνα 3.1. Οι τελικές διαφορές βαρύτητας μεταξύ του μοντέλου και του πραγματικού πεδίου σε 3-D προβολή. 44

Εικόνα 3.11. Σχηματική αναπαράσταση της γεωμετρίας του πυθμένα και της επιφάνειας Moho. Παρακάτω παρουσιάζονται σε αντιπαράθεση η βυθομετρία και η επιφάνεια Moho που υπολογίσθηκαν από το CRUST. και από την αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας. Η διαστάσεις της ωκεάνιας περιοχής μελέτης είναι 18? x 3?. 45

Βυθομετρία από CRUST. Km -1 Km - Km Βυθομετρία από αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας -3 Km -4 Km -5 Km Εικόνα 3.1. Αναπαράσταση του βυθού στη περιοχή μελέτης από δεδομένα του μοντέλου CRUST. και από δεδομένα που προέκυψαν από την αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας. 46

Επιφάνεια Moho από CRUST. Επιφάνεια Moho από αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας -1-1 -14-16 -18 - - -4-6 -8-3 -3-34 -36-38 -4-4 Εικόνα 3.13. Αναπαράσταση της επιφάνειας ασυνέχειας Moho στην περιοχή μελέτης από δεδομένα του μοντέλου CRUST. και από δεδομένα που προέκυψαν από την αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας. Από τα δυο παραπάνω σχήματα είναι εμφανής η διαφορά στην πυκνότητα των δεδομένων που έχουμε σε κάθε μια από τις δυο περιπτώσεις. Για την περιοχή μελέτης με διαστάσεις 18? x 3? το μοντέλο CRUST. μας δίνει 88 τιμές, ενώ από την αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας με σημειακή προσαρμογή λαμβάνουμε 41 τιμές. Είναι γεγονός ότι η διαφορά στην ισοδιάσταση του κάθε πλέγματος δημιουργεί ανισότητες μεταξύ των δυο πηγών πληροφορίας. Μεταξύ των δυο αποτελεσμάτων ανά επιφάνεια υπάρχουν κάποιες ομοιότητες, ειδικά στις μεγάλες εξάρσεις. Αυτό το γεγονός δίνει τη δυνατότητα να μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι πληροφορίες από το CRUST. και την αντιστροφή του πεδίου βαρύτητας σε συνδυασμό, έτσι ώστε η αξιοπιστία του τελικού αποτελέσματος να είναι καλύτερη και συμβατή και με τις δυο πηγές πληροφοριών. 47