Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 1. Η εκμάθηση της σχεδίασης του Γεωμετρικού τόπου των ριζών της Χ.Ε με εφαρμογή: Στη μελέτη της ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ του συστήματος ελέγχου Στη βελτίωση του συστήματος ελέγχου 4

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγικές γνώσεις Γενικές έννοιες Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών (Γ.Τ.Ρ) Βελτίωση επιδόσεων συστημάτων ελέγχου με χρήση του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών Τυπολόγιο Ασκήσεις και Λύσεις 5

Γενικές έννοιες (1) Η μέθοδος του γεωμετρικού τόπου των ριζών (Root locus analysis - Evans 1948) αποτελεί μία γραφική μέθοδο με τη βοήθεια της οποίας κατασκευάζεται ο γεωμετρικός τόπος στο μιγαδικό επίπεδο, επάνω στο οποίο κινούνται οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός συστήματος καθώς μεταβάλλεται η τιμή κάποιας συγκεκριμένης παραμέτρου του. 6

Γενικές έννοιες (2) 7

Γενικές έννοιες (3) 8

Ορισμός του γεωμετρικού τόπου των ριζών (1) Το διάγραμμα του γεωμετρικού τόπου των ριζών (root locus diagram) είναι μια γραφική διαδικασία απεικόνισης των θέσεων των πόλων του κλειστού συστήματος στο επίπεδο s ενός συστήματος καθώς μεταβάλλεται κάποια από τις παραμέτρους του, έστω Κ. Με το διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ λαμβάνουμε ικανοποιητικές πληροφορίες σχετικά με την ευστάθεια και τη γενικότερη συμπεριφορά ενός συστήματος. 9

Γεωμετρικός τόπος των ριζών (1) Η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού συστήματος δίνεται από τη σχέση (4): 10

Ορισμός του γεωμετρικού τόπου των ριζών (2) 11

Γεωμετρικός τόπος των ριζών (2) Οι σχέσεις (8) και (9) αποτελούν το κριτήριο του μέτρου και της φάσης (magnitude phase condition) για το γεωμετρικό τόπο των ριζών. Το κριτήριο του μέτρου (σχέση 8 ) δίνει τη δυνατότητα προσδιορισμού της τιμής της παραμέτρου Κ για ένα συγκεκριμένο σημείο που αντιστοιχεί στη ρίζα s1. Ο Γ.Τ.Ρ. των σημείων που ικανοποιούν τις σχέσεις (8) και (9) για K,0 ονομάζεται συμπληρωματικός Γ.Τ.Ρ (complementary root locus). 12

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (1) 1. Οι πόλοι της G(s)H(s) είναι τα σημεία εκκίνησης (αναχώρησης των κλάδων) του γ.τ.ρ. 2. Τα μηδενικά (zeros) της G(s)H(s) και το άπειρο όταν m<n είναι τα σημεία λήξης του γ.τ.ρ. 3. Ο αριθμός των κλάδων του τόπου ισούται με το max(m,n),όπου m είναι το πλήθος των μηδενικών και n είναι το πλήθος των πόλων της G(s)H(s). 13

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (2) 4. Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών παρουσιάζει συμμετρία ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών (οριζόντιος άξονας). 5. Για μεγάλες τιμές του s, ο γ.τ.ρ πλησιάζει ασυμπτωτικά τις ευθείες γραμμές που σχηματίζουν γωνίες με τον οριζόντιο άξονα: 14

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (3) 6. Το σημείο τομής των ασυμπτώτων ευθειών με τον οριζόντιο άξονα δίνεται από την σχέση: 15

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (4) 7. Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να είναι τμήμα του γ.τ.ρ, εαν: Για Κ 0 το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του τμήματος, είναι περιττό. Για Κ 0 το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του τμήματος, είναι άρτιο. 16

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (5) 8. Τα σημεία αποχωρισμού και άφιξης των κλάδων από και προς τον οριζόντιο άξονα ονομάζονται σημεία θλάσης του γ.τ.ρ και βρίσκονται με τους παρακάτω δύο τρόπους. 1ος τρόπος 17

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (6) Κάθε ρίζα της εξίσωσης (14) αποτελεί ένα δεκτό σημείο θλάσης αν ταυτόχρονα ικανοποιεί τη συνθήκη (4) για κάποια πραγματική τιμή του Κ. 2ος τρόπος Αντί της (14) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η λύση της εξίσωσης (15) όταν όλοι οι πόλοι και τα μηδενικά της G(s)H(s) είναι πραγματικοί αριθμοί. 18

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (7) Οι γωνίες αναχώρησης του γ.τ.ρ από μιγαδικό πόλο ή άφιξης σε μιγαδικό μηδενικό υπολογίζονται από τη σχέση (16). 19

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών (8) Τα σημεία τομής του γ.τ.ρ με τον άξονα των φανταστικών αριθμών (κατακόρυφος άξονας) είναι τα σημεία ±jω c όπου το σύστημα μεταπίπτει από ευστάθεια σε αστάθεια και υπολογίζονται από το αλγεβρικό κριτήριο ευστάθειας Routh. 20

Βελτίωση επιδόσεων συστημάτων ελέγχου με χρήση του γεωμετρικού τόπου των ριζών (1) Κατά τη σχεδίαση ενός συστήματος ελέγχου αντικειμενικός σκοπός είναι η καμπύλη απόκρισης χρόνου και συχνότητας να ανταποκρίνεται πλήρως προς τις τεχνικές προδιαγραφές και απαιτήσεις του συστήματος. Γι' αυτό συχνά απαιτείται ανακατανομή και προσθήκη νέων πόλων ή μηδενικών στη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου, του συστήματος. 21

Βελτίωση επιδόσεων συστημάτων ελέγχου με χρήση του γεωμετρικού τόπου των ριζών (2) Τα παραπάνω μπορούν να επιτευχθούν με την εισαγωγή κατάλληλων διορθωτικών κυκλωμάτων (δικτυωμάτων) στο σύστημα ελέγχου με τους εξής τρόπους: Με τη εισαγωγή ενός διορθωτικού κυκλώματος έτσι ώστε να σχηματίζεται εσωτερικός βρόχος ανατροφοδότησης στο σύστημα. Με τη εισαγωγή ενός διορθωτικού κυκλώματος σε σειρά με τις μονάδες ελέγχου του συστήματος. Με τη εισαγωγή ενός διορθωτικού κυκλώματος παράλληλα με μία ή περισσότερες μονάδες ελέγχου του συστήματος. 22

Διορθωτικά συστήματα Τα διορθωτικά κυκλώματα που χρησιμοποιούνται ανήκουν συνήθως στις παρακάτω κατηγορίες: Κύκλωμα προπορείας φάσης Κύκλωμα καθυστέρησης φάσης Μικτό κύκλωμα προπορείας-καθυστέρησης φάσης 23

Κύκλωμα προπορείας φάσης (1) 24

Κύκλωμα προπορείας φάσης (2) 25

Απόκριση συχνότητας LEAD CIRCUIT 26

Κύκλωμα προπορείας φάσης (3) Το δικτύωμα προήγησης φάσης χρησιμοποιείται ώστε να παρέχει μία γωνία προήγησης και επομένως ένα ικανοποιητικό περιθώριο φάσης για ένα σύστημα. Με την εισαγωγή ενός κυκλώματος προπορείας πετυχαίνουμε: Ελάττωση του χρόνου αποκατάστασης (Ts ). Σταθεροποίηση. Αύξηση του οριακού κέρδους (Kcr ) και της οριακής συχνότητας ταλάντωσης (ωcr ). 27

Κύκλωμα καθυστέρησης φάσης (1) 28

Κύκλωμα καθυστέρησης φάσης (2) 29

Απόκριση συχνότητας LAG CIRCUIT 30

Κύκλωμα καθυστέρησης φάσης (3) Με τη χρήση του δικτυώματος καθυστέρησης φάσης μπορούμε να αναδιαμορφώσουμε το γεωμετρικό τόπο των ριζών και να προσδιορίσουμε έτσι τις ζητούμενες θέσεις των ριζών του συστήματος ώστε να αυξηθεί π.χ η σχετική του ευστάθεια. Με την εισαγωγή ενός κυκλώματος καθυστέρησης πετυχαίνουμε: Αύξηση του χρόνου αποκατάστασης (Τs ) Αύξηση του ολικού στατικού κέρδους του συστήματος Ελάττωση του μόνιμου σφάλματος e ss 31

Κύκλωμα προπορείας-καθυστέρησης φάσης (1) 32

Κύκλωμα προπορείας-καθυστέρησης φάσης (2) 33

Κύκλωμα προπορείας-καθυστέρησης φάσης (3) Η χρησιμοποίηση του κυκλώματος προπορείαςκαθυστέρησης φάσης συνδυάζει ορισμένες από τις βελτιώσεις που προσφέρει ένα κύκλωμα προπορείας ή καθυστέρησης χωριστά με την προϋπόθεση ότι το μικτό κύκλωμα θα χρησιμοποιήσει σε διαφορετικές περιοχές τις ιδιότητες του σαν κύκλωμα προπορείας και σαν κύκλωμα καθυστέρησης. 34

Βελτίωση των επιδόσεων ενός συστήματος ελέγχου 35

Κανόνες προσεγγιστικής χάραξης του γεωμετρικού τόπου των ριζών της Χ.Ε συστήματος (1) Πίνακας 6.1 36

Κυκλώματα αντιστάθμισης (1) Πίνακας 6.2 39

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης Γεωμετρικός τόπος των ριζών Μελέτη της ευστάθειας 42

Άσκηση 1 43

Λύση Άσκησης 1 (1) 44

Άσκηση 2 48

Άσκηση 3 56

Άσκηση 4 62

Άσκηση για Λύση 69

Τέλος Ενότητας