KBANTOMHXANIKH ΘΕΩΡΙΑ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KBANTOMHXANIKH ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αρχή κυματσωματιδιακύ δυϊσμύ Σχέσεις Einstein De Broglie Η κβαντμηχανική τυ Schrödinger και φρμαλισμός πυ εισήχθει από τν Heisenberg απτελύν τη βάση αυτύ πυ είναι γνωστό ως Σύγχρνη Φυσική, με τις θεωρίες της πίας αντικαταστάθηκε ή επεκτάθηκε με επιτυχία η κλασική μηχανική σε όλη την περιχή της φυσικής σε ατμικό και μριακό επίπεδ. Τ κεφάλαι αυτό ασχλείται μόν με την κυματμηχανική τυ Schrödinger και τν τρόπ με τν πί αναδεικνύει τη δυϊκή κυματ-σωματιδιακή φύση της ύλης. Η δυϊκή αυτή φύση θεμελιώθηκε πρώτα για την ηλεκτρμαγνητική ακτινβλία με την παραδχή τυ Planc και λκληρώθηκε με την υπόθεση των φωτνίων τυ Einstein. Σύμφωνα με την παραδχή τυ Planc η ενέργεια ενός ηλεκτρμαγνητικύ κύματς δεν μπρεί να κατέχει πιαδήπτε τιμή, αλλά μόν ρισμένες διάκριτες τιμές (κβάντωση ενέργειας) και συγκεκριμένα είναι ακέραι πλλαπλάσι της πσότητας hν. Δηλαδή: E n nhν, n,,... (8-) 34 όπυ h 6, 63 Joule sec είναι η σταθερά τυ Planc, ν είναι η συχνότητα και η πσότητα hν νμάζεται κβάντυμ ενέργειας. Στη συνέχεια Einstein με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ερμήνευσε τη διάδση της ηλεκτρμαγνητικής ακτινβλίας όχι μέσω κυμάτων, αλλά σωματιδίων πυ τα νόμασε φωτόνια. Τα σωματίδια αυτά έχυν ενέργεια E=hν, διαδίδνται με την ταχύτητα τυ φωτός, έχυν μηδενική μάζα ηρεμίας και ρμή : p E c hν c p Δηλαδή συνδέθηκαν τα κυματικά χαρακτηριστικά συχνότητα και μήκς κύματς με τα σωματιδιακά χαρακτηριστικά ενέργεια και ρμή τυ φωτνίυ. Οι παραπάνω σχέσεις μπρύν να γραφύν σε μια πλύ πι κμή μρφή αν περιγραφύν τα κυματικά χαρακτηριστικά τυ φωτνίυ μέσω της κυκλικής συχνότητας ω=πν και τυ κυματάριθμυ =π/λ, τα πία είναι πλύ πι βλικά για τη μαθηματική περιγραφή των κυμάτων. Δηλαδή: h h E ω ω και p ό πυ h / π (8-) π π h λ Οι σχέσεις (8-) απτελύν τις σχέσεις Einstein, ι πίες συνδέυν τα κυματικά με τα σωματιδιακά χαρακτηριστικά τυ φωτνίυ και επιβεβαιώνυν τν κυματσωματιδιακό δυϊσμό τυ φωτός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αργότερα de Broglie αντιστρέφντας την υπόθεση τυ Einstein, με σκπό να εξηγήσει την κβάντωση των ενεργειακών καταστάσεων των ηλεκτρνίων μέσα στα άτμα, θεώρησε ότι ένα υλικό σωμάτι μάζας m, ενέργειας Ε και ρμής p αντιστιχεί σε κύμα, πυ νμάζεται υλικό κύμα de Broglie συχνότητας ν=e/h και μήκυς κύματς λ=h/p. Παρατηρείται ότι για λ=π/, ν=π/ω και ι παραπάνω σχέσεις δηγύν στις (8-). Άρα σύμφωνα με τα πρηγύμενα θεμελιώνεται η αρχή τυ κυματσωματιδιακύ δυϊσμύ, η πία εκτείνεται σε όλη τη φυσική πραγματικότητα και εκφράζεται πστικά από τις σχέσεις Einstein De Broglie: h / π E ω και p (8-3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Εφαρμγή Να υπλγιστεί η φασική και η μαδική ταχύτητα των υλικών κυμάτων de Broglie σύμφωνα με τη Νευτώνεια Μηχανική και σύμφωνα με τη θεωρία της Σχετικότητας. Λύση Από τις σχέσεις Einstein De Broglie είναι Σύμφωνα με τη Νευτώνεια Μηχανική Η φασική ταχύτητα είναι: υ ph ω ω E/ E / p / E p και p / Αλλά: / E p m πότε : υ ph p / m p p m mυ υ m Δηλαδή η φασική ταχύτητα είναι τ μισό της ταχύτητας τυ σωματιδίυ. Η μαδική ταχύτητα είναι: ph υ υ g dω d( E / ) d d( p / ) de dp d dp p m p m p m mυ υ m g υ Σύμφωνα με τη θεωρία της Σχετικότητας Η φασική ταχύτητα είναι: υ ph ω E / p / E p Αλλά: E γm c και p γm υ, όπυ γ / υ / c πότε: υ ph Η μαδική ταχύτητα είναι: γm oc c υph c (αφύ υ<c) γm υ υ o υ g dω d d( E / ) d( p / ) de dp Αλλά: o E p c m c πότε: 4 υ g d 4 ( p c moc ) dp p pc c m o c 4 pc E γmoυc γm c o υ Δηλαδή η μαδική ταχύτητα ενός υλικύ κύματς de Broglie αντιστιχεί στη σωματιδιακή ταχύτητα υ σύμφωνα και με την Κλασική Μηχανική και με τη Σχετικότητα. g υ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Θεωρία Bohr Η θεωρία τυ Bohr εξηγεί τα υδργνειδή, δηλαδή τα συστήματα εκείνα των πίων πυρήνας απτελύμενς από Ζ πρωτόνια έλκει ένα και μόν ένα ηλεκτρόνι. Ο Bohr ερμήνευσε κλασικά τη συμπεριφρά τυς εισάγντας τρεις αυθαίρετες παραδχές: α) Τ ηλεκτρόνι κινείται με διάκριτες κυκλικές τρχιές γύρω από τν ακλόνητ πυρήνα. Κάθε τέτια τρχιά χαρακτηρίζεται από την αντίστιχη κβαντισμένη ενέργεια. β) Ακτινβλία εκπέμπεται ή απρρφάται μόν κατά τις μεταπτώσεις από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη, δηλαδή η αντίστιχη συχνότητα είναι: ν h γ) Η στρφρμή τυ ηλεκτρνίυ είναι επίσης κβαντισμένη, δηλαδή : Από τη σχέση (8-5) πρκύπτει: mυr (8-4) L mυr n, n,,... (8-5) n pr n h π πr h n p πr nλ Δηλαδή η περιφέρεια μιας στάσιμης τρχιάς απτελεί ένα σύστημα στάσιμων κυμάτων και περιέχει ένα ακέραι πλήθς n μηκών κύματς de Broglie λ. Με βάση τις τρεις παραπάνω παραδχές και θεωρώντας ως κεντρμόλ την ελκτική δύναμη Coulomb F e / r Bohr υπλόγισε τις επιτρεπόμενες τρχιές και ενέργειες ως: r n n mz e και E, n,,... n e mz n 4 (8-6), Για n= και Ζ= πρκύπτει η πρώτη ακτίνα τυ Bohr r / e m 5 Å και η πρώτη ενεργειακή στάθμη E 4, me / 3 6eV. Η αναζήτηση μιας γενικότερης συνθήκης, πυ θα ήταν εφαρμόσιμη και για διαφρετικύ τύπυ περιδικές κινήσεις (όπως ελλειπτικές τρχιές ή απλές αρμνικές ταλαντώσεις) δήγησε στην ακόλυθη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης τυ Bohr: Επιτρεπόμενες είναι μόν εκείνες ι περιδικές τρχιές πυ η δράση τυς είναι ακέραι πλλαπλάσι της σταθεράς τυ Planc h. Η δράση μιας περιδικής τρχιάς είναι τ φασικό λκλήρωμα pdq, όπυ q είναι μια γενικευμένη συντεταγμένη της κίνησης και p η αντίστιχη γενικευμένη ρμή. Δηλαδή: pdq nh, n,,... (8-7) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Κύμα πιθανότητας Αρχή αβεβαιότητας τυ Heisenberg Η δυνατότητα ενός σωματιδίυ να συμπεριφέρεται ταυτόχρνα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντπισμέν και αδιαίρετ αφενός και εκτεταμέν και διαιρετό αφετέρυ, ερμηνεύτηκε από τν M. Born με την πιθανκρατική ερμηνεία των υλικών κυμάτων. Σύμφωνα με αυτή τ κύμα πυ περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίυ στ χώρ δεν αντιπρσωπεύει μια μετρήσιμη φυσική διαταραχή (όπως ένα ηλεκτρμαγνητικό, ακυστικό ή πιδήπτε άλλ μηχανικό κύμα), αλλά είναι μια καθαρά μαθηματική ντότητα πυ περιγράφει απλώς την πιθανότητα να βρεθεί τ σωματίδι στη μια ή την άλλη περιχή τυ χώρυ. Δηλαδή πρόκειται για ένα κύμα πιθανότητας. Έτσι όπυ τ κύμα είναι ισχυρό, η πιθανότητα να βρεθεί τ σωματίδι είναι μεγάλη και αντιστρόφως, όπυ τ κύμα είναι ασθενές, η πιθανότητα να βρεθεί εκεί τ σωματίδι είναι αντίστιχα μικρή. Αν (, y, z, είναι η κυματσυνάρτηση ενός υλικύ κύματς (κύματς πιθανότητας) σε μια ρισμένη χρνική στιγμή, τότε η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί τ σωματίδι στ στιχειώδη όγκ γύρω από τ σημεί (,y,z) είναι: dp dv (, y, z, * (8-8) όπυ είναι η μιγαδική συζυγής της Ψ όταν αυτή είναι εκφρασμένη μιγαδικά. Οπότε η πιθανότητα να βρεθεί τ σωματίδι μέσα σε ένα πεπερασμέν όγκ V πρφανώς είναι: * P (, y, z, ddydz (8-9) V Ενώ επειδή τ σωματίδι πρέπει πάνττε να βρίσκεται κάπυ στ χώρ, αν τ λκλήρωμα επεκταθεί σε όλ τ χώρ, η πιθανότητα γίνεται βεβαιότητα, δηλαδή ισύται με τη μνάδα και ισχύει: (, y, z, ddydz (8-) Η σχέση (8-) νμάζεται συνθήκη καννικπίησης και εκφράζει τη διατήρηση της λικής πιθανότητας. Άρα με την πιθανκρατική ερμηνεία των υλικών κυμάτων η αντίφαση σωματίδι-κύμα αίρεται αυτόματα. Τ σωματίδι δεν είναι πια υπχρεωμέν να αρνηθεί τη σωματιδιακή τυ υπόσταση και να απλωθεί σε όλ τν όγκ τυ κύματς πυ συνδεύει την κίνησή τυ, γιατί τ κύμα περιγράφει απλώς την πιθανότητα να βρεθεί αυτό εδώ ή εκεί, αλλά πτέ εδώ και εκεί ταυτόχρνα. Μια άμεση συνέπεια της αρχής τυ κυματσωματιδιακύ δυϊσμύ και της πιθανκρατικής τυ ερμηνείας είναι μια θεμελιώδης αρχή της Κβαντμηχανικής, η αρχή της ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 αβεβαιότητας τυ Heisenberg. Σύμφωνα με αυτή στα πλαίσια της Κβαντμηχανικής, σε αντίθεση με την Κλασική Φυσική, δεν είναι δυνατόν να μετρηθύν ταυτόχρνα με απόλυτη ακρίβεια η θέση και η ρμή ενός σωματιδίυ. Δηλαδή: p (8-) Διαπιστώνεται έτσι ότι η ταυτόχρνη γνώση της θέσης και της ρμής ενός κβαντικύ σωματιδίυ είναι αδύνατη. Έτσι αν ένα σωματίδι έχει απόλυτα καθρισμένη ρμή (Δp=) τότε η θέση τυ θα είναι τελείως απρσδιόριστη ( ), ενώ αντίθετα αν η θέση τυ σωματιδίυ είναι απόλυτα καθρισμένη (Δ=) τότε η αβεβαιότητα της ρμής τυ γίνεται άπειρη ( p ). Επίσης ισχύει η σχέση αβεβαιότητας ενέργειας χρόνυ, σύμφωνα με την πία η απρσδιριστία της ενέργειας ΔΕ σε μια μέτρηση πυ διαρκεί χρνικό διάστημα Δt επαληθεύει την ανισότητα: E t (8-) Δηλαδή αν ένα σωματίδι παραμένει μόνιμα σε κάπια ενεργειακή στάθμη, τότε η ενέργειά τυ είναι πλήρως καθρισμένη (ΔΕ=), ενώ χρόνς ζωής της στάθμης είναι απρσδιόριστς ( ). Αντίθετα αν τ σωματίδι εκτελεί μεταπτώσεις σε ενεργειακές στάθμες (Δt=) τότε υπάρχει πλήρης αδυναμία εντπισμύ τυ σε μια στάθμη ( ). t E Παρατήρηση: Πλύ συχνά κάνντας χρήση της αρχής της αβεβαιότητας, πραγματπιείται εκτίμηση για την τάξη μεγέθυς της θεμελιώδυς στάθμης διάφρων κβαντικών συστημάτων, θεωρώντας ότι στη θεμελιώδη κατάσταση ισχύει η πρσέγγιση: p (8-3) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Κυματική εξίσωση Schrödinger Για την εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης Schrödinger πυ περιγράφει τη συμπεριφρά ενός σωματιδίυ θεωρείται ότι τ σωματίδι περιγράφεται από ένα υλικό κύμα ενέργειας και ταχύτητας υ g dω / d. Τ υλικό αυτό κύμα αν είναι ω, ρμής p μνδιάστατ περιγράφεται μαθηματικά από την κυματσυνάρτηση: της πίας τ τετράγων i( ω i( pe / (, Ae Ae (8-4) (, παριστάνει την πιθανότητα να βρεθεί τ σωματίδι στ σημεί. Η λική ενέργεια ενός σωματιδίυ μάζας m και ρμής p μέσα σε ένα συντηρητικό πεδί δυναμικύ V δίνεται από τη σχέση: p E V E V p m( E V) (8-5) m Παραγωγίζντας την Ψ(, πρκύπτει: ( 85) (, p (, (, m ( E V) (, (, ( E V) (, m (8-6) Αν τώρα γραφεί απαλείφεται κινός παράγντας iωt (, ( ) e και αντικατασταθεί στην παραπάνω, τότε e iωt και πρκύπτει: ( ) ( E V) ( ) m (8-7) Η σχέση (8-7) απτελεί τη χρνικά ανεξάρτητη κυματική εξίσωση Schrödinger και δίνει καταστάσεις σταθερής συχνότητας, δηλαδή σταθερής ενέργειας. Για τις καταστάσεις πυ δεν έχυν σταθερή ενέργεια πρέπει να διατηρηθεί η χρνική εξάρτηση στην εξίσωση Schrödinger και αυτό επιτυγχάνεται αν ληφθεί υπόη ότι: (, ie (, (, (, E(, i t i t t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην (8-6) πρκύπτει η χρνικά εξαρτημένη κυματική εξίσωση Schrödinger: t t i t V t m ), ( ), ( ), ( (8 8) Παρατήρηση: Στ βιβλί αυτό θα θεωρηθύν μόν καταστάσεις σταθερής ενέργειας, πότε θα γίνεται χρήση μόν της χρνικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger. Στις τρεις διαστάσεις αυτή έχει τη μρφή: V E m V E z y m ) ( ) ( Στν ακόλυθ πίνακα παρυσιάζεται η ιστρική πρεία θεμελίωσης της Κβαντμηχανικής.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 h / π Μηχανική των μητρών Εισαγωγή των μητρών για την περιγραφή των φυσικών μεγεθών. 96-7 Born ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Χρνλ Όνμα γία Ερευνητή Ανακάλυη 9 Planc Ακτινβλία τυ μέλανς σώματς Η ενέργεια ενός φωτεινύ κύματς είναι ακέραι πλλαπλάσι της πσότητας Ε=hν. 95 Einstein Φωτηλεκτρικό Φαινόμεν Τ φως έχει ταυτόχρνα και σωματιδιακή υφή, με σωματιδιακό φρέα τα φωτόνια. 93 Bohr Άτμ τυ υδργόνυ Θεωρία των κβαντωμένων τρχιών Τ ηλεκτρόνι μπρεί να κινείται μόν σε εκείνες τις τρχιές των πίων η στρφρμή είναι ακέραι πλλαπλάσι της πσότητας. 93 Compton Φαινόμεν Compton Αναμφίβλη πειραματική απόδειξη της σωματιδιακής φύσης τυ φωτός. Εκτός από ενέργεια E=hν τα φωτόνια έχυν και ρμή p=h/λ. 93 De Broglie Η υπόθεση των υλικών κυμάτων Κάθε σωματίδι ενέργειας Ε και ρμής p συμπεριφέρεται ως κύμα συχνότητας ν και μήκυς κύματς λ ίσων με ν=e/h και λ=h/p. 94 Pauli Απαγρευτική αρχή Δεν είναι δυνατό να τπθετηθύν στ ίδι άτμ περισσότερα από ένα ηλεκτρόνια με τα ίδια φυσικά χαρακτηριστικά. 95 Heisenberg Schrödinger Heisenberg Κυματμηχανική Η εξίσωση των υλικών κυμάτων Η κυματσυνάρτηση (,y,z) ενός υλικύ κύματς ικανπιεί την εξίσωση : m [ E V(, y, z) ] y z Η πιθανκρατική ερμηνεία των υλικών κυμάτων Τ τετράγων της κυματσυνάρτησης ενός υλικύ κύματς παριστάνει την πιθανότητα να βρεθεί τ σωματίδι σε μια ρισμένη περιχή τυ χώρυ. Η αρχή της αβεβαιότητας Τ γινόμεν των αβεβαιτήτων θέσης και ρμής ενός σωματιδίυ δεν μπρεί να γίνει μικρότερ από τη σταθερά τυ Planc. Δηλαδή: p h. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Davisson Germer Πειραματική επιβεβαίωση της κυματικής συμπεριφράς των ηλεκτρνίων. Απειρόβαθ μνδιάστατ πηγάδι δυναμικύ Θεωρείται η περίπτωση ενός σωματιδίυ πυ είναι περιρισμέν να κινείται σε μια περιχή μεταξύ τυ = και =L στην πία τ δυναμικό είναι V=. Στα = και =L τα τιχώματα τυ δυναμικύ έχυν άπειρ ύς. Αυτό απτελεί μια εξιδανικευμένη μρφή τυ δυναμικύ πυ βλέπει ένα ηλεκτρόνι στις χαμηλές ενεργειακές στάθμες κντά στν πυρήνα ενός ατόμυ. Συνεπώς τ απλό αυτό κβαντμηχανικό πρόβλημα περιγράφει την κίνηση σωματιδίυ υπό την επίδραση τυ δυναμικύ: V( ), για L, για L και V() V() Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δυναμικύ φαίνεται στ Σχήμα 8.. Τ γεγνός ότι τ δυναμικό είναι άπειρ έξω από τ πηγάδι, σημαίνει ότι τ σωματίδι δεν έχει καμία πιθανότητα να ξεφύγει από τ διάστημα <<L και επμένως η κυματσυνάρτηση θα είναι μηδέν παντύ Σχήμα 8. έξω από τ πηγάδι και θα έχει μη μηδενικές τιμές μόν μέσα σε αυτό. Συνεπώς για να υπάρχει συνέχεια των τιμών της () μέσα και έξω από τ διάστημα <<L θα πρέπει να ισχύυν ι συνριακές συνθήκες: Επειδή όμως για 7) δίνει: V()= = =L (=)=(=L)= (8-9) L είναι V()= η χρνικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger (8- me me, όπυ (8-) Η γενική λύση της παραπάνω διαφρικής εξίσωσης ως γνωστό είναι: ( ) Asin Bcos (8-) Οπότε επιβάλλντας τις συνριακές συνθήκες (8-9) στην (8-) πρκύπτει: ( 8) ( ) Asin Bcos B ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Δηλαδή: ( ) Asin (8-) και ( L) ( 8) Asin L sin L nπ L nπ n, n,,... (8-3) L Άρα από τις (8-) και (8-3) πρσδιρίζνται ι ενεργειακές ιδιτιμές ως: me n n π L E n n π ml n E, n,,... (8-4) όπυ E π / ml είναι η ενέργεια της θεμελιώδυς στάθμης. Επίσης ι ιδιτιμές της ρμής είναι: p n ( 83) π pn n, n,,... (8-5) L Δηλαδή παρατηρείται ότι σε ένα άπειρ πηγάδι δυναμικύ, ένα σωματίδι δεν μπρεί να έχει μια αυθαίρετη τιμή ενέργειας, αλλά θα πρέπει να πάρει μόν τις κβαντισμένες τιμές Εn. Οι ιδισυναρτήσεις τυ σωματιδίυ σύμφωνα με τις (8-) και (8-3) είναι: n nπ ( ) A sin, n,,... (8-6) L όπυ η σταθερά Α υπλγίζεται από τη συνθήκη καννικπίησης ως: L n ( ) d A sin d A ( cos ) d L L A A L sin L A L sin nπ ( L ) A L A Άρα ι καννικπιημένες ιδισυναρτήσεις είναι: n L nπ ( ) sin, n,,... (8-7) L L ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Στ ακόλυθ σχήμα φαίνεται η μρφή των τεσσάρων πρώτων ιδισυναρτήσεων: 4 () n=4 E 4 =6E 3 () n=3 E 3 =9E () n= E =4E () n= = =L E π / ml Σχήμα 8. Παρατηρήσεις: Από τ παραπάνω σχήμα διαπιστώνεται ότι: α) Οι ιδισυναρτήσεις είναι εναλλάξ άρτιες και περιττές ως πρς τ κέντρ τυ φρέατς δυναμικύ και αυτό είναι γενικό χαρακτηριστικό όλων των δυναμικών V() πυ είναι συμμετρικά ως πρς κάπι σημεί, δηλαδή είναι άρτια (κατπτρικά) δυναμικά V()=V(- ). β) Όσ περισσότερ διεγερμένη είναι μια στάθμη, τόσ περισσότερυς κόμβυς εμφανίζει η αντίστιχη κυματσυνάρτηση. Η ιδιότητα αυτή είναι γενική, ισχύει για όλα τα κβαντικά συστήματα και είναι γνωστή ως κμβικό θεώρημα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Βήμα δυναμικύ Έστω ένα σωματίδι μάζας m τ πί πρσπίπτει από τα αριστερά στ δυναμικό:, για V( ), όπυ V θετική σταθερά V, για Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δυναμικύ φαίνεται στ Σχήμα 8.3. V() V()=V o E>V o V()= I = II E<V o Σχήμα 8.3 Τ κβαντμηχανικό αυτό σύστημα αντιστιχεί σε ένα πείραμα σκέδασης μιας δέσμης σωματιδίων στην επιφάνεια ενός μετάλλυ (ρθγώνι σκαλπάτι δυναμικύ). Δηλαδή αν σταλεί ένα σωματίδι από τα αριστερά θα βρεθεί η πιθανότητα να ανακλαστεί στ μέταλλ και να επιστρέει και η πιθανότητα να περάσει τ σκαλπάτι. Ένα δυναμικό με αυτή τη μρφή δεν μπρεί πρφανώς να συγκρατήσει τ σωματίδι σε δέσμια κατάσταση και επμένως τ φάσμα θα είναι συνεχές σε όλη την ενεργειακή περιχή Ε>. Είναι απαραίτητ να μελετηθύν ξεχωριστά ι δύ περιπτώσεις όπυ η λική ενέργεια τυ σωματιδίυ είναι Ε>Vo και Ε<Vo, όπυ E p / m V( ). η περίπτωση: Ε > Vo Για τν πρσδιρισμό της πλήρης λύσης της () για τ βήμα δυναμικύ πρέπει να λυθεί η εξίσωση Schrödinger στις ξεχωριστές περιχές < (περιχή Ι) και > (περιχή ΙΙ). Οπότε στην περιχή Ι είναι V()= και η χρνικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger δίνει: me, όπυ me η γενική λύση της πίας είναι: i i ( ) Ae Be (8-8) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Ae i Παρατηρείται ότι όρς είναι η κυματική περιγραφή ενός πρσπίπτντς σωματιδίυ πυ κινείται πρς τα δεξιά, ενώ όρς i Be παριστάνει ένα ανακλώμεν σωματίδι πυ κινείται πρς τα αριστερά. Στην περιχή ΙΙ είναι και η εξίσωση Schrödinger δίνει: V( ) V m( E V ) όπυ m( E V ) επειδή E V E V και η γενική λύση της είναι: i i ( ) Ce De (8-9) Η ριακή συνθήκη σκέδασης είναι D=, λόγω τυ ότι δεν υπάρχει αίτι ανάκλασης στην περιχή ΙΙ. Έτσι ι άγνωστες σταθερές Α, Β, C πρσδιρίζνται από τις ριακές συνθήκες συνέχειας (συνθήκες συναρμγής) στ =: ( ) ( ) A B C i A i B i C Λύνντας τ παραπάνω σύστημα πρσδιρίζνται ι συντελεστές Β, C ως: Άρα ι (8-8) και (8-9) γίννται: B A και C A Ae i i ( και ) Ae ) i ( (8-3) Ae όπυ η σταθερά Α υπλγίζεται από τη συνθήκη καννικπίησης: ( ) d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Παρατηρείται ότι τ και δίνει την πυκνότητα πιθανότητας ή την ένταση τυ σωματιδίυ να βρεθεί στην περιχή Ι και ΙΙ αντίστιχα. Οι πειραματικά ενδιαφέρυσες πσότητες σε ένα πείραμα μνδιάστατης σκέδασης είναι ι συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης Τ, πυ ρίζνται από τις σχέσεις: R πλάτς ανακλώμενυ πλάτς πρσπίπτντς κυματάριθμ περιχής κυματάριθμ περιχής R (8-3α) T πλάτς διερχόμενυ πλάτς πρσπίπτντς κυματάριθμ περιχής κυματάριθμ περιχής C C 4 ( ) 4 T (8-3β) ( ) Από τις σχέσεις (8-3) εύκλα φαίνεται ότι R+T=, επειδή τ σωματίδι ή ανακλάται ή διέρχεται. η περίπτωση: Ε <Vo Στην περιχή Ι (<), όπως και πριν, επειδή V()= η εξίσωση Schrödinger δίνει: me, όπυ me και η γενική λύση αυτής είναι: Ενώ στην περιχή ΙΙ (>) είναι i i ( ) Ae Be (8 3) V( ) V και η εξίσωση Schrödinger δίνει: m( E V ) όπυ m( E V ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 αφύ E V E V και η γενική λύση της είναι: ( ) Ce De Επειδή η λύση D=. Άρα : () πρέπει να μην απειρίζεται όταν ( e ) πρκύπτει ότι ( ) Ce (8-33) Οι ριακές συνθήκες συνέχειας στ = δίνυν τις τιμές για τις σταθερές Α, Β, C: ( ) ( ) A B C i A i B C Λύνντας τ παραπάνω σύστημα πρκύπτει: i B A και C A i i Άρα ι κυματσυναρτήσεις (8-3) και (8-33) για τις ξεχωριστές περιχές γράφνται: i Ae i i i ( και ) Ae ) i όπυ η σταθερά Α υπλγίζεται από τη συνθήκη καννικπίησης ( ) d Οι συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης Τ τώρα είναι: ( (8-34) Ae R και T R T i i R (8 35) Δηλαδή παρατηρείται ότι για κάθε ενέργεια E Vo πρκύπτει λική ανάκλαση τυ σωματιδίυ (όπως και στην κλασική περίπτωση), ακόμα και για εκείνα τα σωματίδια πυ διεισδύυν στην κλασικά απαγρευμένη περιχή >, όπυ η () δεν είναι μηδενική. Η πιθανότητα να βρεθεί τ σωματίδι στην περιχή ΙΙ είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 P( ) ( ) Ce i Ae e 4 A Έτσι αφύ εκθετικός συντελεστής V, τόσ γρηγρότερα η κυματσυνάρτηση ρισμένη ενέργεια E V Επίσης παρατηρείται ότι όταν (). V εξαρτάται από τη () V o, όσ μεγαλύτερη είναι η τείνει στ μηδέν στην περιχή ΙΙ, για, δηλαδή στην περίπτωση τυ άπειρυ φρέατς δυναμικύ, η γίνεται μηδενική και δεν υπάρχει διείσδυση στην κλασικά απαγρευμένη περιχή. Στ ακόλυθ σχήμα παριστάννται ι γραφικές παραστάσεις των συντελεστών R και Τ συναρτήσει της ενέργειας, τόσ στην κβαντμηχανική όσ και στην κλασική περίπτωση. R Κβαντμηχανικά T V o E V o E R Κλασσικά T V o E V o E Σχήμα 8.4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικύ Έστω ένα σωματίδι με ενέργεια E V πυ κινείται στ τετραγωνικό πηγάδι δυναμικύ με εύρς L τυ Σχήματς 8.5. Μέσα στ πηγάδι τ δυναμικό είναι μηδέν και η τιμή τυ ύυς τυ δυναμικύ είναι πεπερασμένη. Δηλαδή τ κβαντμηχανικό αυτό πρόβλημα περιγράφει την κίνηση σωματιδίυ υπό την επίδραση τυ δυναμικύ: V, V( ) V, για για L L και Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δυναμικύ φαίνεται στ Σχήμα 8.5. V()=V o V()=V o E<V o I II V()= III = =L Σχήμα 8.5 Γράφντας την χρνικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger για κάθε μια από τις τρεις περιχές πρκύπτει: Για την περιχή Ι (<): m( E V ) όπυ m( E V ) επειδή E V E V και η γενική της λύση είναι: ( ) Ae Be ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Για να παραμείνει πεπερασμένη η πρέπει Β=, πότε: () καθώς (συνθήκη καννικπίησης) ( ) Ae (8-36) Για την περιχή ΙΙ ( L) : me, όπυ me και η γενική λύση αυτής είναι: ( ) Ccos Dsin (8-37) Για την περιχή ΙΙΙ (>L): 3 m( E V ) όπυ 3 3 m( E V ) 3 και η γενική λύση της είναι: 3 ( ) Fe Ge Επειδή η λύση 3 () πρέπει να μην απειρίζεται, αλλά να είναι πεπερασμένη, όταν πρέπει F=, πότε: 3 ( (8-38) ) Ge Οι ριακές συνθήκες συνέχειας, δηλαδή ότι ι () και στα σημεία = και =L δίνυν: / πρέπει να είναι συνεχείς, Στ =: ( ) ( ) A C A D Στ =L: ( L) ( L) Ccos L Dsin L Ge 3 L ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 L 3 L Csin L Dcos L Ge Για να ικανπιείται τ παραπάνω σύστημα πρέπει να επιβληθύν ρισμένες συνθήκες στα, δηλαδή στην τιμή της Ε. Επμένως επιτρέπνται μόν ρισμένες τιμές για την Ε, ι πίες πρκύπτυν αν διαιρεθύν κατά μέλη ι πρώτες δυ και ι δεύτερες δύ εξισώσεις τυ πρηγύμενυ συστήματς: και C () και D C tαn cos sin L C ( ) L D L D Csin L Dcos C L tαn L D L tαn tαn L L tαn L tαn L tαn L tαn L tαn L Ή αντικαθιστώντας τις τιμές των, πρκύπτει: tαnl me E( V E V E) (8-39) Συνεπώς επιτρεπόμενες ενεργειακές καταστάσεις πρκύπτυν μόν για εκείνες τις τιμές της ενέργειας Ε πυ ικανπιύν την εξίσωση (8-39) και ι τιμές αυτές μπρύν να υπλγιστύν με αριθμητικές ή γραφικές μεθόδυς. Οι κυματσυναρτήσεις () τυ τετραγωνικύ πηγαδιύ έχυν την ίδια γενική μρφή με εκείνες τυ απειρόβαθυ πηγαδιύ (Σχήμα 8.), μόν πυ τώρα δεν μηδενίζνται στα άκρα = και =L, αλλά έχυν και εκθετικά φθίνυσες υρές πυ εκτείννται στην κλασικά απαγρευμένη περιχή < και >L. Η κυματσυνάρτηση της θεμελιώδυς στάθμης είναι άρτια χωρίς κανένα κόμβ, η αμέσως επόμενη περιττή με ένα κόμβ στ =L/ κ..κ. Στ ακόλυθ σχήμα παριστάννται ι τρεις πρώτες κυματσυναρτήσεις για ένα σωματίδι σε τετραγωνικό πηγάδι δυναμικύ με τις τρεις χαμηλότερες επιτρεπόμενες ενέργειες Ε,Ε και Ε3. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 V o V o E 3 E = =L E Σχήμα 8.6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Αρμνικός ταλαντωτής Στις πρηγύμενες παραγράφυς εξετάστηκαν πρβλήματα όπυ τ δυναμικό λάμβανε σταθερή τιμή ανά περιχή. Σαν τελευταί παράδειγμα και ένα από τα σημαντικότερα κβαντμηχανικά συστήματα, όπυ τ δυναμικό δεν έχει σταθερή τιμή, είναι τ πρόβλημα τυ αρμνικύ ταλαντωτή, όπυ μελετάται η συμπεριφρά σωματιδίυ μάζας m υπό την επίδραση τυ δυναμικύ: V( ) mω όπυ ω είναι η σταθερή κυκλική συχνότητα τυ ταλαντωτή. Τ σύστημα αυτό βρίσκει άμεση αξιπίηση στη μελέτη της ταλαντωτικής κίνησης των μρίων και η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δυναμικύ απδίδεται στ ακόλυθ σχήμα. V() V() mω E Σχήμα 8.7 Η εξίσωση Schrödinger (8-7) για τ σύστημα αυτό δίνει: m m V() V( ) ( ) mω ( ) E( ) (8-4) m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 Η γενική λύση της (8-4) σε ότι αφρά στις κυματσυναρτήσεις ενεργειακές ιδιτιμές En είναι πλύπλκη και απαιτεί τη λύση της διαφρικής εξίσωσης τυ Hermite, πράγμα τ πί είναι έξω από τα πλαίσια αυτύ τυ βιβλίυ. Συνπτικά τα απτελέσματα είναι τα ακόλυθα: n () και στις E n n ω, n,,,... (8-4) ενώ ι τρεις πρώτες ιδισυναρτήσεις είναι: o α ( ) π / 4 e α / / 4 α / α / ( ) ( α) e, όπυ π α mω/ α ( ) π / 4 3/ ( 4α ) e α / Οι κυματσυναρτήσεις () για τις τρεις πρώτες ενεργειακές στάθμες τυ αρμνικύ ταλαντωτή φαίννται στ ακόλυθ σχήμα. () V() 5ω / () 3ω / () ω / Σχήμα 8.8 Παρατηρείται ότι ι ιδισυναρτήσεις τυ αρμνικύ ταλαντωτή, λόγω της συμμετρίας τυ δυναμικύ είναι εναλλάξ άρτιες (όταν n άρτις) και περιττές (όταν n περιττός). Επίσης παρατηρείται ότι, ενώ ένας κλασικός αρμνικός ταλαντωτής δεν μπρεί πτέ να ξεπεράσει τ μέγιστ πλάτς απμάκρυνσης, ένα σωματίδι πυ υπακύει σε μια κυματμηχανική περιγραφή έχει μια πεπερασμένη πιθανότητα να βρεθεί πέρα από τ όρι αυτό και αυτό φαίνεται από τις εκθετικά φθίνυσες υρές των κυματσυναρτήσεων πυ εκτείννται στην κλασικά απαγρευμένη περιχή. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778