ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις (3 μεταβλητών). Αυτή είναι μια αρκετά γενική υπόθεση, μιας και αν δεν είναι πραγματικές συναρτήσεις, μπορούμε, γενικά, να κάνουμε πράξεις και να φέρουμε το μιγαδικό δυναμικό στη μορφή αυτή. Η Χαμιλτονιανή του σωματίου γράφεται H ReV r i ImV r m όπου r, είναι, αντίστοιχα, οι τελεστές της θέσης και της ορμής. Επειδή οι συναρτήσεις ReV r, ImV r είναι πραγματικές, οι τελεστές ReVr, ImVr είναι ερμιτιανοί. Έτσι, η Χαμιλτονιανή αποτελείται από ένα ερμιτιανό ReV r και από ένα αντιερμιτιανό m i ImV r τμήμα. Έστω ότι η κατάσταση του σωματίου τη χρονική στιγμή περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης, που ικανοποιεί την εξίσωση του Schroiger i H Θα δείξουμε τα εξής: Ο αντιερμιτιανός όρος, δηλαδή το φανταστικό μέρος του δυναμικού, καταστρέφει τη σταθερότητα του μέτρου του μήκους του διανύσματος κατάστασης οποίο τώρα εξαρτάται από τον χρόνο. Η ολική πιθανότητα, που είναι ίση με το τετράγωνο του μέτρου του διανύσματος κατάστασης, εξαρτάται και αυτή από τον χρόνο, επομένως δεν διατηρείται εν γένει. Στην εξίσωση συνέχειας, που στην αναπαράσταση θέσης μας δίνει τη χρονική μεταβολή της πιθανότητας το σωμάτιό μας να βρεθεί σε μια τυχαία κλειστή περιοχή του χώρου, δηλαδή σε μια περιοχή που έχει σύνορο μια κλειστή επιφάνεια, εμφανίζεται ένας πρόσθετος όρος που είναι ανάλογος με το φανταστικό μέρος του δυναμικού. Θα δείξουμε ότι ο όρος αυτός, αν ολοκληρωθεί σε όλο τον χώρο, μας δίνει τη χρονική μεταβολή της ολικής πιθανότητας. Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι εκφράζει την τοπική σε κάθε σημείο του χώρου καταστροφή ή δημιουργία πιθανότητας με το πέρασμα του χρόνου, η οποία, όπως θα δούμε, έχει εκθετική συμπεριφορά (εκθετική αύξηση ή εκθετική μείωση). Ας τα δούμε., το

Είναι ΜΕΤΡΟ (ΜΗΚΟΣ) ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 1, (1.1) Για το εσωτερικό γινόμενο, θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό.,. αντί του συμβολισμού του Dirac (bra-ke), επειδή ο πρώτος βολεύει, και ενδείκνυται, όταν χειριζόμαστε μη ερμιτιανούς τελεστές. Ο συμβολισμός του Dirac είναι φτιαγμένος για τον χειρισμό κυρίως ερμιτιανών τελεστών. Από την (1.1) θα πάρουμε, (1.),, Όμως i H i (1.3) H Από τις (1.) και (1.3) θα πάρουμε i H,, i H i i,, i i H H H,, H i i i, H, H, H H i, H H, H H i (1.4) Παρατηρήστε ότι όταν ο Ĥ (Χαμιλτονιανή) είναι ερμιτιανός τελεστής, δηλαδή όταν το δυναμικό είναι πραγματικό, μηδενίζεται ο όρος H H, οπότε, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος κατάστασης είναι σταθερό, επομένως Έτσι, μπορούμε να κανονικοποιήσουμε την κατάσταση του συστήματός μας την αρχική χρονική στιγμή και η σταθερότητα του μέτρου του διανύσματος κατάστασης μάς εξασφαλίζει ότι η κανονικοποίηση διατηρείται. Αυτός, άλλωστε, r r,. είναι ο λόγος που κανονικοποιούμε τις αρχικές κυματοσυναρτήσεις Θυμίζουμε ότι r, r.

Αντίθετα, όταν το δυναμικό έχει μη μηδενικό φανταστικό μέρος, ο Ĥ δεν είναι ερμιτιανός. Τότε H ReV r i ImV r H ReV r i ImV r m m Επομένως Ερμιτιανό τμήμα H H i ImV r (1.5) Αντιερμιτιανός όρος Παρατηρήστε την ομοιότητα με τη σχέση z z i Im z Αν αντικαταστήσουμε την (1.5) στην (1.4) θα πάρουμε i,i ImV r,imv r Το εσωτερικό γινόμενο,imv r θα το γράψουμε τώρα με τον συμβολισμό του Dirac. Σημειώνουμε ότι ο τελεστής της θέσης παραμένει ερμιτιανός, οπότε ο τελεστής ImV r είναι κι αυτός ερμιτιανός, εφόσον η συνάρτηση είναι πραγματική συνάρτηση. Έτσι λοιπόν ImV r (1.6) Ορίζουμε τη μέση τιμή του τελεστή ImV r Αν ImV r V ImV r (1.7) (σταθερό), τότε ImVr, τη χρονική στιγμή, ως όπως πρέπει. Αν το μέτρο του διανύσματος κατάστασης ImVr ήταν σταθερό, V V V V, μπορούσαμε να κανονικοποιήσουμε το διάνυσμα την αρχική χρονική στιγμή, δηλαδή να θέσουμε 1, οπότε 1 1, και τότε η μέση τιμή θα δινόταν από τη γνωστή σχέση Im ImV r V r Τώρα λοιπόν θα έχουμε

ImV r Im Im V r V r ImV r ImV r (1.8) Αν αντικαταστήσουμε την (1.8) στην (1.6) θα πάρουμε ImV r ImV r 1 ImV r ImV r l ImV r (1.9) Αυτή είναι η σχέση που μας δίνει τη χρονική μεταβολή του μέτρου του (τυχαίου) διανύσματος κατάστασης, όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό. Αν ολοκληρώσουμε από μια αρχική χρονική στιγμή έως μια τυχαία χρονική στιγμή, θα πάρουμε ImV r ImV r l l ImV r l l l ImV r e (1.1) Αυτή είναι η σχέση που μας δίνει τη χρονική εξάρτηση του μέτρου του (τυχαίου) διανύσματος κατάστασης, όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό. Παρατηρήστε αμέσως ότι αν το δυναμικό είναι πραγματικό, δηλαδή αν ImV r, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος κατάστασης είναι σταθερό. Παρατηρήστε επίσης όταν αν ImV r V μέρος του δυναμικού είναι σταθερό, τότε η (1.1) γράφεται V ImV r V V, δηλαδή αν το φανταστικό V e e e V, οπότε

Αν V, το μέτρο του διανύσματος κατάστασης αυξάνει εκθετικά και τείνει στο άπειρο. Αν V, το μέτρο του διανύσματος κατάστασης μειώνεται εκθετικά και τείνει στο μηδέν. ImVr Δείτε επίσης ότι το εκθετικό είναι αδιάστατο, όπως πρέπει άλλωστε. Σημειώνουμε ότι για να ισχύει η προηγούμενη ανάλυση, θα πρέπει να είναι πεπερασμένο το αρχικό μέτρο του διανύσματος κατάστασης, δηλαδή θα πρέπει, και επίσης θα πρέπει να παραμένει πεπερασμένο με το πέρασμα του χρόνου, δηλαδή θα πρέπει. ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Στην αναπαράσταση θέσης, η ολική πιθανότητα, ας τη συμβολίσουμε με P oal, είναι η πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο σε όλο τον χώρο. Έτσι, 3 3 Poal r r r r r r,, 3 3 r r r r r r 1 Poal (1.11) Αν το μέτρο του διανύσματος είναι σταθερό, δηλαδή αν το δυναμικό είναι πραγματικό, η ολική πιθανότητα διατηρείται, και μπορούμε να τη θέσουμε ίση με τη μονάδα, δηλαδή Poal 1. Με την κανονικοποίηση ουσιαστικά αυτό κάνουμε, δηλαδή θέτουμε την ολική πιθανότητα ίση με τη μονάδα. Όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό, δείξαμε ότι Επομένως ImV r e Im V r ImV r Poal e e ImVr P e (1.1) oal Όπου ImV r ImV r

Παρατηρήστε ότι η έκφραση της ολικής πιθανότητας είναι ανεξάρτητη από την αναπαράσταση. Αν ImV r V V, η (1.1) γράφεται P e oal (1.13) ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Στην αναπαράσταση θέσης, το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης r, είναι η πυκνότητα πιθανότητας θέσης. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο σε μια κλειστή περιοχή όγκου U, δηλαδή σε μια περιοχή που έχει ως σύνορο μια κλειστή επιφάνεια, είναι P U,,,,, 3 3 3 PU r r r r r r r r U U U U 3 r, r, r r, r, Δηλαδή PU 3 r (1.14) U Παρατηρήστε ότι η ποσότητα είναι πραγματική, αφού ο ένας όρος είναι μιγαδικός συζυγής του άλλου, επομένως Re Re Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού η πιθανότητα, και η χρονική της παράγωγος, είναι μετρήσιμες ποσότητες, επομένως πρέπει να εκφράζονται από πραγματικές συναρτήσεις. Από την εξίσωση του Schroiger θα έχουμε i H r i r H r, i H r r, (1.15) Η χαμιλτονιανή είναι H V r m Επομένως, στην αναπαράσταση θέσης, θα είναι i H r V r V r (1.16) m m Από τις (1.15) και (1.16) θα πάρουμε i i m m i V V

Άρα i i i i V V m m Οπότε i i V Επίσης m i i V m Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις, θα πάρουμε i i V V (1.17) m i Η παράσταση m προέρχεται από τον κινητικό όρο της Χαμιλτονιανής, δηλαδή από την ορμή του σωματίου, ενώ στην παράσταση i V V συμμετέχει μόνο το φανταστικό μέρος του δυναμικού. Με άλλα λόγια, το πραγματικό μέρος του δυναμικού δεν εμπλέκεται στην εξίσωση συνέχειας. Θέλουμε τώρα να γράψουμε το ως απόκλιση μιας ποσότητας. Είναι Επίσης, είναι V V i ImV Έτσι, η (1.17) γράφεται i i m i Im V m Δηλαδή iimv i Im V m Οπότε η (1.14) γράφεται

P 3 U 3 i r r Im V m U U PU 3 i r Im V m U 3 3 i Im r r V m U U i 3 3 r r Im V m U U 3 i r Im V m U Επειδή η περιοχή U είναι τυχαία (αυθαίρετη), πρέπει να μηδενίζεται η ολοκληρωτέα συνάρτηση, δηλαδή i Im V m Im V mi Η προηγούμενη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως j ImV (1.18) Η (1.18) είναι η εξίσωση συνέχειας σε μιγαδικό δυναμικό, στις τρεις διαστάσεις. Όπου, βέβαια, r, r, είναι η πυκνότητα πιθανότητας και,,,,, j r r r r r mi είναι το ρεύμα πιθανότητας r, r, r, r, είναι Παρατηρήστε ότι η ποσότητα φανταστική, αφού ισχύει Re mi είναι πραγματική ποσότητα, ως γινόμενο φανταστικών ποσοτήτων. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού το ρεύμα πιθανότητας, ως μετρήσιμη ποσότητα, πρέπει να είναι πραγματική συνάρτηση. Αν το δυναμικό είναι πραγματικό, η (1.18) γράφεται Έτσι, το r, r, r, r, j (1.19) Η (1.19) είναι η εξίσωση συνέχειας σε πραγματικό δυναμικό, στις τρεις διαστάσεις.

Θα δείξουμε τώρα ότι ο πρόσθετος όρος ImV σχετίζεται με τη δημιουργία ή την καταστροφή πιθανότητας. Δείξαμε ότι η ολική πιθανότητα ισούται με το μέτρο (μήκος) του διανύσματος κατάστασης στο τετράγωνο, δηλαδή Poal. Επίσης, δείξαμε ότι ImV r με τον πρόσθετο όρο Θα συνδέσουμε το εσωτερικό γινόμενο ImV r της εξίσωσης συνέχειας, ImV. Για να το κάνουμε αυτό, θα γράψουμε το στην αναπαράσταση θέσης. εσωτερικό γινόμενο ImV r Είναι Ο τελεστής θέσης r είναι ερμιτιανός, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. Έτσι, ισχύει η σχέση 3 πληρότητας r r r 1 3 3 r r r ImV r r r r ImV r 3 ImV r r r r ImV r 3 3 r r, Im V r r r, r r, Im V r r, 3 3 r r, ImV r r ImV Δηλαδή 3 r Im V P oal 3 r Im V (1.) Άρα, λοιπόν, το ολοκλήρωμα του πρόσθετου όρου, σε όλο τον χώρο, ισούται με τη χρονική μεταβολή της ολικής πιθανότητας. Δείξαμε ότι, παρουσία μιγαδικού δυναμικού, η εξίσωση συνέχειας, στις τρεις διαστάσεις, γράφεται j ImV Ο πρώτος όρος,, είναι η τοπική χρονική μεταβολή της πυκνότητας πιθανότητας. Ο δεύτερος όρος, j, εκφράζει την τοπική μεταφορά, την τοπική ροή, πιθανότητας από το ένα σημείο του χώρου στο άλλου. Ο τρίτος όρος, ο πρόσθετος όρος, ImV, εκφράζει την τοπική δημιουργία ή την τοπική καταστροφή πιθανότητας εξαιτίας της

παρουσίας του μιγαδικού δυναμικού. Παρατηρήστε ότι ο όρος αυτός είναι ανάλογος του γινομένου της πυκνότητας πιθανότητας επί το φανταστικό μέρος του δυναμικού, σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, η τοπική καταστροφή ή η τοπική δημιουργία πιθανότητας να είναι εκθετική. Για να το καταλάβουμε καλύτερα αυτό, ας θέσουμε j, δηλαδή ας υποθέσουμε ότι δεν έχουμε μεταφορά, ροή, πιθανότητας από το ένα σημείο του χώρου στο άλλο. Τότε, η εξίσωση συνέχειας γράφεται 1 l l ImV ImV ImV ImV ImV r, l Im V r, r,e r, Αν θεωρήσουμε ότι το φανταστικό μέρος του δυναμικού δεν εξαρτάται από τον χρόνο, τότε,, ImV r r r e (1.1) Η (1.1) μάς δίνει τη χρονική εξέλιξη της πυκνότητας πιθανότητας σε κάθε σημείο του χώρου, όταν η απόκλιση του ρεύματος πιθανότητας είναι μηδέν. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι στις περιοχές του χώρου όπου ImV, η πυκνότητα πιθανότητας φθίνει εκθετικά με το πέρασμα του χρόνου και τείνει στο μηδέν, ενώ, αντίθετα, στις περιοχές του χώρου όπου ImV, η πυκνότητα πιθανότητας αυξάνει εκθετικά με το πέρασμα του χρόνου και τείνει στο άπειρο ( ). Στις επιφάνειες που μηδενίζεται η συνάρτηση ImV, δηλαδή στις επιφάνειες με εξίσωση r, r, Im V x, y, z, ισχύει, δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας δεν εξαρτάται από τον χρόνο, είναι στάσιμη. Κοντά στις επιφάνειες αυτές, η ImV είναι σε άλλα σημεία θετική και σε άλλα αρνητική, οπότε παρατηρείται μια μη γραμμική συμπεριφορά, με γειτονικές μεταξύ τους περιοχές όπου η πυκνότητα πιθανότητας τείνει εκθετικά στο άπειρο ή στο μηδέν. ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΕ ΧΡΟΝΟΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Στην περίπτωση όπου το δυναμικό δεν εξαρτάται από τον χρόνο, η χαμιλτονιανή του σωματίου μας γράφεται H ReV r i ImV r m Αν είναι η κατάσταση του συστήματός μας τη χρονική στιγμή, τότε i = H (εξίσωση Schroiger) Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή μηδέν, η κατάσταση του σωματίου μας,, είναι μια ιδιοκατάσταση της ενέργειας, δηλαδή

H E Σημειώστε ότι επειδή ο Ĥ δεν είναι ερμιτιανός, οι ιδιοτιμές του, οι ενέργειες, θα είναι, γενικά, μιγαδικοί αριθμοί, δηλαδή θα έχουν και φανταστικό μέρος. Έστω ότι Τότε T Ο H δεν εξαρτάται από τον χρόνο H H T T H T E E, δηλαδή η είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας, και αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή E.Με άλλα λόγια, καθώς περνάει ο χρόνος, η κατάσταση του σωματίου εξακολουθεί να είναι ιδιοκατάσταση ίδιας ενέργειας. Αν αντικαταστήσουμε την στην εξίσωση του Schroiger, θα πάρουμε i T = H T i T TH TE T, γιατί η είναι, ως ιδιοκατάσταση ιδιοκατάσταση, άρα T i T ET i T ET i E T ie T ie ie ie c lt lt c T e e T c Τη σταθερά Άρα ie e μπορούμε να την ενσωματώσουμε στην κατάσταση ie T e e Όπου τώρα η ενέργεια E είναι μιγαδικός αριθμός, δηλαδή E E ie r Επομένως. i Er ie r e e e E ie (1.) Άρα E ie r e e e E (1.3) Αν E, το μέτρο της ιδιοκατάστασης αυξάνει εκθετικά και τείνει στο άπειρο. Αν E, το μέτρο της ιδιοκατάστασης φθίνει εκθετικά και τείνει στο μηδέν.

E, τότε Αν, δηλαδή το μέτρο της ιδιοκατάστασης είναι σταθερό. Αυτό συμβαίνει, όπως είδαμε, όταν το δυναμικό είναι πραγματικό, αλλά, όπως βλέπουμε εδώ, μπορεί να συμβεί και σε μιγαδικό δυναμικό. Ας δούμε πότε. Δείξαμε (εξ. (1.1)) ότι το μέτρο μιας τυχαίας κατάστασης ImV r e είναι Αν η κατάσταση είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας, τότε (εξ. (1.3)) e E Επομένως, θα πρέπει ImV r E Im E V r e e E ImV r E ImV r Το Im V r ισούται με την παράγουσα της συνάρτησης ImVr χρονική στιγμή, μείον την ίδια παράγουσα τη χρονική στιγμή μηδέν. Δηλαδή Im V r Im V r Άρα E ImV r (1.4) τη όπου ImV r ImV r Παρατηρήστε ότι αν ImV r V είναι σταθερό, τότε Im, δηλαδή αν το φανταστικό μέρος του δυναμικού V r Im V V r V V, Επομένως E V Γενικά, εφόσον η E δεν εξαρτάται από τον χρόνο, αφού είναι το φανταστικό μέρος ιδιοτιμής μιας χρονικά ανεξάρτητης Χαμιλτονιανής, η μέση τιμή ImV r δεν πρέπει να εξαρτάται από τον χρόνο. Πράγματι, από την (1.) θα έχουμε

E ie r r e e e e Επομένως r r e e e e e E ie E ie E ie E Άρα Im V r ανεξάρτητο του χρόνου E ImV r e e e e ImV r e E Δηλαδή ImV r ier E ier ImV r E ImV r e ImV r ImV r E e ImVr ImV r ImV r Έτσι, λοιπόν, η μέση τιμή (1.5) βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας. Από την (1.4) συμπεραίνουμε ότι αν ImV r δεν εξαρτάται από τον χρόνο, όταν το σωμάτιο ImV r, τότε E. Δηλαδή, όταν η μέση τιμή του φανταστικού μέρους του δυναμικού είναι μηδέν, είναι μηδέν το φανταστικό μέρος της ιδιοτιμής της ενέργειας. Επίσης, η ολική πιθανότητα είναι oal E P e P e oal E (1.6) Αν E, η ολική πιθανότητα αυξάνει εκθετικά και τείνει στο άπειρο. Αν E, η ολική πιθανότητα φθίνει εκθετικά και τείνει στο μηδέν. Αν E, η ολική πιθανότητα παραμένει σταθερή, δηλαδή Poal Poal. Αυτό, όπως δείξαμε, συμβαίνει όταν είναι μηδέν η μέση τιμή του φανταστικού μέρους του δυναμικού ImV r, στη συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση. ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όπου το φανταστικό μέρος του δυναμικού είναι σταθερό, δηλαδή real V r V r iv Τότε

H V real r iv Hherm iv, m όπου Hherm Vreal m r είναι το ερμιτιανό κομμάτι της Χαμιλτονιανής. Δηλαδή herm, H herm Vreal r H herm H H iv m Αν ιδιοκατάσταση του H herm, με ιδιοτιμή (ενέργεια) E, τότε herm herm H H iv H iv E iv E iv Ĥ E iv Δηλαδή η είναι ιδιοκατάσταση του Ĥ, με ιδιοτιμή (ενέργεια) E iv. Επειδή ο H herm είναι ερμιτιανός, οι ιδιοτιμές του, E, είναι πραγματικές. Έτσι λοιπόν οι ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής Ĥ έχουν πραγματικό μέρος τις ιδιοτιμές του H herm και σταθερό φανταστικό μέρος ίσο με iv. Επομένως, για να υπολογίσουμε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ενέργειες του δυναμικού V r V r iv (σταθερό φανταστικό μέρος), αρκεί να υπολογίσουμε τις real ιδιοκαταστάσεις και τις ενέργειες του δυναμικού Vr είναι οι ιδιοκαταστάσεις του V real r συν iv. Παρατηρήστε επίσης ότι Vreal Vreal r. Οι ιδιοκαταστάσεις του r, ενώ οι ενέργειες είναι οι ενέργειες του H, H H iv, H H, H iv, H iv 1, H herm herm herm herm herm herm herm Επομένως, οι HH έχουν κοινό σύνολο ιδιοκαταστάσεων., herm ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ (ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ) 1 i Ως παράδειγμα, θα εξετάσουμε το δυναμικό V x m x, δηλαδή το δυναμικό μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή με σταθερό φανταστικό μέρος, ίσο με τη βασική ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή. Οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας είναι οι ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή, και οι ενέργειες είναι E 1 i Παρατηρήστε ότι

1 1 1 1 1 E 1 1 1 Για, E, δηλαδή το μέτρο των ενεργειών τείνει στις ενέργειες του αρμονικού ταλαντωτή. Η βασική ενέργεια του συστήματος είναι i E = 1 i και η αντίστοιχη, βασική κατάσταση του συστήματος, στην αναπαράσταση θέσης, είναι 1 1 1 x 4 a 1 1 x x e, a a m είναι δηλαδή ίδια με τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Όμως, η χρονική εξέλιξη της x, δεν είναι ίδια με τη χρονική εξέλιξη της, η x, βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή. Όπως δείξαμε, η εξέλιξη μιας ιδιοκατάστασης της ενέργειας, όταν το δυναμικό είναι μιγαδικό, είναι E ie r r, e e r Στην περίπτωσή μας E r, Οπότε E, i x, e e x. Η χρονική εξέλιξη της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή Θα επαληθεύσουμε τώρα την εξίσωση συνέχειας j ImV Η πυκνότητα πιθανότητας είναι x i, x e e x e x e x Επομένως Επίσης είναι

x, x, j x, x, mi mi x x i i i i e e xe e x e e xe e x mi e x x e x x j x, mi Επειδή ImV, θα έχουμε (ισχύει) Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση x θα ισχύουν τα αντίστοιχα, δηλαδή E ie r x, e e x Η χρονική εξέλιξη της ιδιοκατάστασης x του αρμονικού ταλαντωτή 1 E i r Με εξαίρεση μια σταθερή μιγαδική φάση, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κυματοσυναρτήσεων, οι ιδιοκαταστάσεις x του αρμονικού ταλαντωτή είναι E πραγματικές συναρτήσεις. Η πυκνότητα πιθανότητας για το σύστημά μας θα είναι x ier, x e e x e x e x Οπότε x e Το ρεύμα πιθανότητας είναι μηδέν, όπως και πριν, αφού x, x, j x, x, mi mi x x ier ier ier ier e e xe e x e e xe e x mi e x x e x x j x, mi Επίσης ImV, επομένως, η εξίσωση συνέχειας γράφεται j ImV (ισχύει) Όπως δείξαμε, οι ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή είναι και ιδιοκαταστάσεις του συστήματος που εξετάζουμε. Η διαφορά είναι ότι επειδή το

δυναμικό μας έχει και ένα (σταθερό) φανταστικό μέρος, η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων του συστήματός μας είναι διαφορετική από εκείνη των ιδιοκαταστάσεων του αρμονικού ταλαντωτή. Η διαφορά τους είναι ο χρονικός E παράγοντας e, όπου E (το φανταστικό μέρος του δυναμικού), που προκαλεί τη χρονική μεταβολή (στην περίπτωσή μας αύξηση) του μέτρου του διανύσματος της ιδιοκατάστασης. Με άλλα λόγια, αν είναι η χρονική εξέλιξη της ιδιοκατάστασης της αντίστοιχης ιδιοκατάστασης E E του αρμονικού ταλαντωτή, τότε η χρονική εξέλιξη e e SHO Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα SHO του συστήματος που εξετάζουμε είναι (1.7) SHO και έχουν διαφορετικό μέτρο. Συγκεκριμένα, το μέτρο του με τη μονάδα), ενώ, αντίθετα, το μέτρο του είναι παράλληλα, αλλά SHO είναι σταθερό (ίσο SHO αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο. Παρατηρήστε επίσης ότι ο παράγοντας e καθορίζεται αποκλειστικά από το φανταστικό μέρος της ενέργειας, E, που είναι ίσο με το σταθερό φανταστικό μέρος του δυναμικού. Επομένως ο παράγοντας e είναι ίδιος για όλες τις ιδιοκαταστάσεις. Έτσι, λοιπόν, αν θεωρήσουμε έναν γραμμικό συνδυασμό ιδιοκαταστάσεων θα ισχύουν τα ίδια, δηλαδή το διάνυσμα κατάστασης του συστήματός μας θα είναι παράλληλο στο αντίστοιχο διάνυσμα κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή, με μέτρο που θα είναι ίσο με τον παράγοντα e, δηλαδή θα αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο. ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ V x iax Ας θεωρήσουμε ένα σωμάτιο υπό την επίδραση του δυναμικού Θα λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας. Αν η είναι μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας, τότε Ĥ E (1.8) Στην αναπαράσταση θέσης, x x, i V x iax,. Επομένως, η (1.8) γράφεται x a. i x x H x E H x E x iax x E x m x iax x E x x E x iax x m m

m (1.9) x E iax x Στην αναπαράσταση ορμής, x i,. Έτσι, η (1.8) θα μας δώσει H E H E iai E m m (1.3) m a E a E Βλέπουμε ότι στην αναπαράσταση ορμής, η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας είναι μια διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης που λύνεται εύκολα με μια απλή ολοκλήρωση ενώ στην αναπαράσταση θέσης, η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας είναι μια διαφορική εξίσωση ης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές. Βολεύει λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών στην αναπαράσταση ορμής. Γενικά, στην αναπαράσταση θέσης, η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας είναι μια διαφορική εξίσωση ης τάξης, και είναι γενικά απλούστερη από τη διαφορική εξίσωση που παίρνουμε αν γράψουμε την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας στην αναπαράσταση ορμής. Γι αυτό βολεύει να εργαζόμαστε στην αναπαράσταση θέσης, με εξαίρεση δύο περιπτώσεις: όταν το δυναμικό είναι σταθερό, όπου η εξίσωση ιδιοτιμών στην αναπαράσταση ορμής είναι μια απλή εξίσωση, και όταν το δυναμικό είναι γραμμική συνάρτηση της θέσης, όπως εδώ, όπου η εξίσωση ιδιοτιμών στην αναπαράσταση ορμής είναι μια διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης που λύνεται με απλή ολοκλήρωση. Όταν το δυναμικό είναι τετραγωνική συνάρτηση της θέσης αυτή είναι η περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή, ή γενικότερα του φορτισμένου αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο η εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας στην αναπαράσταση θέσης έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας στην αναπαράσταση ορμής. Από την (1.3) θα πάρουμε όχι ταυτοτικά μηδενική, ως ιδιοσυνάρτηση l E a E 1 m a me E l E E 1 1 1 a me a me a me 3 E a 6mE 3 E c l c e e a 6mE A 3 6ma E a Ae (1.31) Επειδή το δυναμικό είναι φανταστικό (μιγαδικό), η ενέργειας είναι κι αυτή μιγαδική εν γένει. Η ορμή είναι πραγματική, καθώς ο τελεστής της ορμής εξακολουθεί να είναι ερμιτιανός. Μπορούμε να γράψουμε την ως 3 6ma παράγοντας e είναι πραγματικός και ο παράγοντας και η σταθερά A. Αν E a e 3 6ma Ae e E a, όπου ο είναι μιγαδικός, όπως

E E ie τότε r 3 3 3 ( Er ie ) E ie Er ie 6ma a 6ma a a 6ma a a r Ae e Ae e e Ae e e Επομένως 3 3 E E r r 6ma a 6ma a A e e A e A e 3 6ma 6mE 1 r Έτσι, για 6mE 1 r 1 οπότε A e 3 6ma Οπότε i) αν a, τότε, l l A e A e ii) αν a, τότε A e A e l, l Σε κάθε περίπτωση, το ολοκλήρωμα αποκλίνει (απειρίζεται), αφού η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι μη αρνητική και απειρίζεται στο ένα από τα δύο όρια, δεν είναι ολοκλήρωσης. Έτσι, η ιδιοκατάσταση της ενέργειας, κανονικοποιήσιμη. Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο της ιδιοκατάστασης της ενέργειας την αρχική χρονική στιγμή, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος, απειρίζεται. Πράγματι, 1, είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής. Ο τελεστής της ορμής εξακολουθεί να είναι ερμιτιανός, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. Επομένως

Το αποτέλεσμα αυτό, όπως βλέπουμε, είναι ανεξάρτητο από την αναπαράσταση, δηλαδή ισχύει και στην αναπαράσταση θέσης. Πράγματι, είναι x x x x x x 1, είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της θέσης. Ο τελεστής της θέσης εξακολουθεί να είναι ερμιτιανός, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. x x x x x x x x Επομένως x x Επειδή το αρχικό μέτρο της κατάστασής μας,, απειρίζεται, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τις σχέσεις για τη χρονική εξέλιξη του μέτρου ενός διανύσματος κατάστασης σε μιγαδικό δυναμικό, αφού οι σχέσεις αυτές, όπως επισημάναμε, ισχύουν όταν το αρχικό μέτρο του διανύσματος κατάστασης, δηλαδή το μέτρο του την αρχική χρονική στιγμή, είναι πεπερασμένο. Παρατηρήστε επίσης ότι η σταθερά a έχει διαστάσεις δύναμης και στις δύο αναπαραστάσεις. Πράγματι, στην αναπαράσταση θέσης E V x x iax ax al E MVV MVV MV a L L VT T T F Στην αναπαράσταση ορμής 1 E E ET T E V x iai a a F Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosa@homail.com