Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου σε γινόμενο αναγώγων Απλή ρίζα πολυωνύμου Πολυώνυμα και πίνακες, πολυώνυμα και γραμμικές απεικονίσεις Συνιστώμενες ασκήσεις: -8, 10-13, 0 Συμβολισμός: Το σύνολο είναι το ή το 1 Έστω ( ), p( ) [ ] όπου p( ) μονικό και ανάγωγο Δείξτε ότι ( ( ), p( )) 1 ή ( ( ), p( )) p( ) 010 010 Βρείτε το ( 1, 1) και το ( 1, 1) 11 008 009 3 Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο ( ) [ ] τέτοιο ώστε ( ) ( 1) ( 1) 4 a Έστω ( ) [ ] και a, b με a b Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( ) με το ( a)( b) b Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, b τέτοιες ώστε το πολυώνυμο ( 1)( ) να διαιρεί το 10 7 4 a b 1 5 4 5 Έστω ( ), ( ) [ ], όπου ( ), ( ) 6 [ ] Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους 3 6 Έστω ( ), ( ) [ ], όπου ( ) 1, ( ) [ ] Να βρεθούν οι πίνακες A τέτοιοι ώστε ( A) ( A) 0 7 Έστω ( ), ( ) [ ] με ( ( ), ( )) 1 8 a Δείξτε ότι δεν υπάρχει A με ( A) ( A) 0 b Αληθεύει ότι για κάθε f ( ) [ ] υπάρχουν a( ), b( ) [ ] τέτοια ώστε f ( ) a( ) ( ) b( ) ( ) ; 3 a Βρείτε τις ρίζες στο του πολυωνύμου 3 6 5 b Έστω m {0} Δείξτε ότι για κάθε c, ο m δεν είναι πολλαπλή ρίζα του 100 9 ( ) c c Να βρεθούν όλες οι τιμές του a τέτοιες ώστε το πολυώνυμο 30 a να διαιρεί το ( 1)( )( 100) 9 Να βρεθούν όλα τα μονικά πολυώνυμα ( ) [ ] βαθμού 4 τέτοια ώστε 10 Έστω f : 3 3 ( ( ), 1) 1 και μια γραμμική απεικόνιση με deg ( ( ), 3 ) 1 0 1 ( f :, ) 1 1 0, 0 1 1
Aσκήσεις1 όπου 3 είναι μια διατεταγμένη βάση του, και ( ) 3 1 [ ] Να βρεθεί ο πίνακας ( ( f ) :, ) 11 Έστω A και ( ) [ ] Δείξτε τα εξής a 1 a Αν ο A είναι διαγώνιος, A, τότε a ( a1 ) ( A) ( a ) (Σημείωση Εννοούμε ότι τα αόρατα στοιχεία είναι 0) A1 b Αν ο A είναι της μορφής A i i, όπου A i και 1 k ( μπλοκ A k διαγώνιος ), τότε ( A1 ) ( A) ( A ) a 1 * c Αν ο A είναι άνω τριγωνικός, A, τότε a ( a1 ) * ( A) ( a ) (Σημείωση Με * σημειώνουμε το τμήμα του πίνακα που δεν μας ενδιαφέρει Εδώ τα δύο * δεν είναι γενικά ίδια) A1 * d Αν ο A είναι της μορφής A i i, όπου A i και 1 k ( μπλοκ άνω A k τριγωνικός ), τότε ( A1 ) * ( A) ( A ) 1 Έστω ( ) [ ] με μη μηδενικό σταθερό όρο και A τέτοιος ώστε ( A) 0 Δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιμος 5 4 3 13 Έστω A τέτοιος ώστε A 0 Έστω ( ) 1 Δείξτε ότι ( A) είναι αντιστρέψιμος 14 Το συμπέρασμα στο ερώτημα b ονομάζεται το Θεώρημα Παρεμβολής του Lagrage Για και, λέει ότι από δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική ευθεία Έστω,, 1 διακεκριμένα Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο [ ] 1 όλων των πολυωνύμων βαθμού το πολύ 1 και την απεικόνιση f : 1[ ], f ( ( )) ( ( 1),, ( )) a Δείξτε ότι η f είναι γραμμική, 1-1 και επί b Δείξτε ότι για κάθε a,, a υπάρχει μοναδικό 1 ( ) 1[ ] τέτοιο ώστε ( 1 ) a1,, ( ) a
Aσκήσεις1 3 c Βρείτε ένα πολυώνυμο ( ) τέτοιο ώστε (1), () 1, ( 1) 1 k d Δείξτε ότι το ( ) του υποερωτήματος b δίνεται από ( ) a j j ( ), όπου j ( ) j1 k 1 j k k j A I 15 Έστω A και B 0 A ( A) ( A) a Δείξτε ότι ( B) 0 ( A) για κάθε ( ) [ ], όπου ( ) είναι η παράγωγος του ( ) 013 014 014 015 b Δείξτε ότι αν ( A I ) ( A I ) 0, τότε ( B I ) ( B I ) 0 16 Δείξτε ότι για κάθε A υπάρχει μη μηδενικό ( ) [ ] βαθμού το πολύ τέτοιο ώστε ( A) 0 17 Έστω A, B και ( ) [ ] με μηδενικό σταθερό όρο Δείξτε ότι αν AB BA 0, τότε ( A B) ( A) ( B) 18 Έστω a,, 1 a Θέτουμε Για παράδειγμα, αν 3 e a a a, i 1,, i t1 t ti 1 t1 ti, τότε e a a a, 1 1 3 e a a a a a a, 1 1 3 3 e3 a1a a3 Δείξτε ότι αν ei 0 για κάθε i 1,,, τότε ai 0 για κάθε i 1,, 19 Έστω A και ( ) [ ] Δείξτε ότι αν det( A I ) 0, τότε det( ( A) (1) I ) 0 0 Επαναληπτική Άσκηση Κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα a Έστω ( ), ( ), ( ) [ ] Αν ( ) ( ) ( ), τότε ( ) ( ) ή ( ) ( ) b Έστω ( ), ( ), ( ) [ ] με ( ) ανάγωγο Αν ( ) ( ) ( ), τότε ( ) ( ) ή ( ) ( ) c Έστω ( ), ( ), ( ) [ ] Αν ( ) ( ) και ( ) ( ), τότε ( ) ( ) ( ) d Έστω ( ), ( ), ( ) [ ] Αν ( ) ( ), ( ) ( ) και ( ( ), ( )) 1, τότε ( ) ( ) ( ) e Για κάθε ( ), ( ), ( ) [ ] ισχύει ( ( ), ( )) ( ( ) ( ) ( ), ( )) f Έστω ( ), ( ) [ ] και A Αν ( A) ( A) 0, τότε τα ( ), ( ) δεν είναι σχετικά πρώτα g Έστω A και ( ) [ ] Αν ο A είναι άνω τριγωνικός (αντίστοιχα διαγώνιος), τότε και ο ( A) είναι άνω τριγωνικός (αντίστοιχα διαγώνιος) h Έστω A, B και ( ) [ ] Αν οι A, B είναι όμοιοι, τότε οι ( A), ( B) είναι όμοιοι i Έστω A, B και ( ) [ ] θετικού βαθμού Αν οι ( A), ( B) είναι όμοιοι, τότε οι A, B είναι όμοιοι
Aσκήσεις1 4 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις1 1 Λύση: Αν ( ) ( ( ), p( )), τότε ( ) p( ) Επειδή το p( ) είναι ανάγωγο, οι μόνοι διαιρέτες του είναι τα σταθερά πολυώνυμα και τα πολυώνυμα της μορφής cp( ), c {0} Άρα το ( ) είναι σταθερό πολυώνυμο ή πολυώνυμο της μορφής cp( ), c Επειδή τα ( ), p( ) είναι μονικά, παίρνουμε ( ) 1 ή ( ) p( ) Λύση: Παρατηρούμε ότι 1 1 γιατί 010 010 1005 1004 1003 100 1 ( ) 1 ( 1)(( ) ( ) ( ) 1) Σημείωση: Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα πολυωνύμων 1 3 4 a( ) 1 ( a( ) 1)( a( ) a( ) a( ) a( ) a( ) 1), όπου a( ) [ ] και θετικός περιττός ακέραιος 010 Άρα ( 1, 1) 1 010 010 Έχουμε ( 1, 1) ( 1,( 1) ) Είδαμε πριν ότι Από αυτό έπεται ότι Πράγματι, έστω Άρα 1 1 010 010 ( 1,( 1) ) 1 010 d( ) ( 1,( 1) ) Τότε οπότε d( ) και επομένως d( ) 1 d d 010 ( ) 1 και ( ) ( 1) 010 010 d( ) 1 και d( ) ( 1), 11 008 009 3 Υπόδειξη: Θεωρήστε βαθμούς στη σχέση ( ) ( 1) ( 1) και εφαρμόστε την Πρόταση 11 4 a Υπόδειξη: Aπό την ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύμων (βλ Θεώρημα 13 1 ) υπάρχουν q( ), r( ) [ ] τέτοια ώστε deg r( ) 1 και ( ) q( )( a)( b) r( ) Θέστε στην τελευταία σχέση a και στη συνέχεια b για να προσδιορίστε το r( ) ( a) ( b) a ( b) b ( a) Απάντηση: r( ) a b a b 5 Λύση: Παρατηρούμε ότι 5 4 4 3 ( ) ( 1) 3 ( 1)( 1) ( 1) ( 1), ( ) 6 ( )( 3), δηλαδή έχουμε τις αναλύσεις των ( ), ( ) σε γινόμενα ανάγωγων πολυωνύμων στο [ ] Από αυτές παίρνουμε (βλ Πρόταση 11 και Ορισμός 113) ( ( ), ( )) 1, ( ( ), ( )) ( ) ( ) Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο στα ( ), ( ) για να δείξουμε ότι ( ( ), ( )) 1 Τότε, σύμφωνα με το σχόλιο μετά την Πρόταση 115, έχουμε 1 Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα 13, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 01, ISBN: 978-960-6706-36-3
Aσκήσεις1 5 ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ( ), ( )) 6 Λύση: Έστω ότι ( A) ( A) 0 Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ότι ( ( ), ( )) 1 Από το Θεώρημα 16 έπεται ότι υπάρχουν ( ), ( ) [ ] με 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A I ( A) ( A) ( A) ( A) 0 A I 7 Σύμφωνα με το Θεώρημα 16 υπάρχουν ( ), ( ) [ ] με 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a Λύση: Έστω ότι υπάρχει A τέτοιος ώστε ( A) ( A) 0 Τότε από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι I ( A) ( A) ( A) ( A) 0, άτοπο b Αληθεύει αφού από την πιο πάνω σχέση παίρνουμε f ( ) ( f ( ) ( )) ( ) ( f ( ) ( )) ( ) 8 a Υπόδειξη: Μια ρίζα είναι το 1 Με τον αλγόριθμο διαίρεσης πολυωνύμων βρίσκουμε 3 3 65 ( 1)( 5) 99 8 8 91 b Λύση: Έχουμε ( ) 100 9 (100 9) και ( m) 0 γιατί m {0} Το ζητούμενο έπεται από την Πρόταση 1310 c Απάντηση: a m(30 m), m 1,,,14 9 Υπόδειξη: Επειδή το Επειδή Απάντηση: 1 είναι ανάγωγο πάνω από το, έχουμε 3 ( 1)( ), έχουμε ( ( ), 1) 1 1 ( ) 1 ( ) και δεν διαιρεί το ( ) ( ) και 1 δεν διαιρεί το ( ) deg ( ( ), 3 ) 1 ή ( ) ( 1)( 1), ( 1)( 1)( a), a {} ( 1)( ), ( 1)( )( b), b {1} 10 Απάντηση: Σύμφωνα με την Πρόταση 141 έχουμε 11 1 4 ( ( f ) :, ) ( A) A 3 A I3 (πράξεις) 6 5 1 1 3 1 11 1 Λύση: Αν ( ) a a0, a0 0, τότε από ( A) 0 έχουμε a A a A a I 0 1 0 1 1 1 1 ( ( a A a1i )) A A( ( a A a1i )) I a0 a0 και συνεπώς ο A είναι αντιστρέψιμος
Aσκήσεις1 6 5 4 3 4 3 13 Λύση: Από 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) και την υπόθεση παίρνουμε και άρα ο I A I A A A A I A A A A I A I 4 3 4 3 ( )( ) ( )( ) 4 3 A A A A I είναι αντιστρέψιμος 14 Υπόδειξη: Για το 1-1 βλ Πρόταση 131 Για το επί υπενθυμίζουμε ότι dim 1[ ] dim 1 A A 15 a Υπόδειξη: Δείξτε με επαγωγή στο ότι B για κάθε ακέραιο 0 A 013 014 014 015 b Λύση: Έστω ( ) ( 1) ( ) και ( ) ( 1) ( ) Τότε το ( ) διαιρεί το ( ) και, επειδή από την υπόθεση ( A) 0, παίρνουμε ( A) 0 Έχουμε 013 015 014 014 ( ) 014( 1) ( ) 015( 1) ( ) 013 015 014 014 Επειδή το ( ) διαιρεί το ( 1) ( ) και το ( 1) ( ), έπεται ότι το ( ) διαιρεί το ( A) ( A) ( ) Άρα ( A) 0 Από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε ( B) 0 0 ( A) 16 Υπόδειξη: Τα στοιχεία I, A, A,, A το πλήθος τους είναι μεγαλύτερο του του διανυσματικού χώρου dim είναι γραμμικά εξαρτημένα γιατί 17 Υπόδειξη: Αρκεί να δειχτεί ότι ( A B) A B για κάθε θετικό ακέραιο Δείξτε τη σχέση αυτή με επαγωγή στο 18 Λύση: Έχουμε την ισότητα πολυωνύμων 1 ( a )( a )( a ) e e e 1 1 Αν κάποιο a i ήταν αρνητικό, τότε το ai θα ήταν θετική ρίζα του πολυωνύμου στο δεξί μέλος, πράγμα άτοπο αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου αυτού είναι θετικοί 19 Λύση: Επειδή η τιμή του πολυωνύμου ( ) (1) για 1 είναι ίση με (1) (1) 0, έχουμε ότι το 1 διαιρεί το ( ) (1), δηλαδή υπάρχει a( ) [ ] με ( ) (1) ( 1) a( ) Άρα και επομένως ( A) (1) I ( A I ) a( A) det ( A) (1) I det ( A I ) a( A) det( A I )det a( A) 0 0 Λύση a Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι b Σωστή Πράγματι, έστω ότι ( ) ( ) ( ) και το ( ) δεν διαιρεί το ( ) Επειδή το ( ) είναι ανάγωγο και δεν διαιρεί το ( ) έχουμε ( ( ), ( )) 1 Από την Πρόταση 19 έχουμε ( ) ( ) c Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι ( ) ( ) ( ) d Σωστή Βλ Πρόταση 110 e Σωστή Πράγματι, έστω d 1 ( ) ( ( ), ( )) και d ( ) ( ( ) ( ) ( ), ( )) Τότε d ( ) ( ) και d ( ) ( ) 1 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) και d ( ) ( ) 1 1 d ( ) ( ( ) ( ) ( ), ( )) 1 1 ( ) ( ) d d Επίσης,
Aσκήσεις1 7 d ( ) ( ) ( ) ( ) και d ( ) ( ) d ( ) ( ) και d ( ) ( ) d ( ) ( ( ), ( )) d( ) d1( ) Δείξαμε ότι d1( ) d( ) και d( ) d1( ) Επειδή τα d1( ), d( ) είναι μονικά παίρνουμε d1( ) d( ) f Σωστή Πράγματι, βλ άσκηση 7 g Σωστή Βλ Παρατήρηση 14 h Σωστή Πράγματι, έστω ότι οι A, B είναι όμοιοι, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος P 1 1 1 1 τέτοιος ώστε B P AP Τότε έχουμε B ( P AP)( P AP) P A P και επαγωγικά k 1 k αποδεικνύεται άμεσα ότι B P A P για κάθε θετικό ακέραιο k Έστω ( ) a a a [ ] Τότε 1 0 ( B) a B a B a I 1 0 a P A P a P AP a I 1 1 1 0 1 P ( a A a1 A a0i ) P 1 P ( A) P, 1 δηλαδή ( B) P ( A) P, που σημαίνει ότι οι ( A), ( B) είναι όμοιοι 0 1 0 0 i Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι A, B, ( ) 0 0 0 0 Τότε ( A) ( B) (και άρα οι ( A), ( B) είναι όμοιοι), αλλά οι A, B δεν είναι όμοιοι γιατί ο μόνος πίνακας όμοιος με το μηδενικό είναι ο μηδενικός